2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册6.3三角形的中位线 同步练习
一、单选题
1．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，E，F分别为AB，AD的中点，BC＝2，CD＝ ，则EF的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从点C向点D移动而点R不动时，下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不变 D．线段EF的长与点P的位置有关
3．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点∠ABD＝20°，∠BDC＝70°，则∠NMP的度数为（ ）
A．50° B．25° C．15° D．20
4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D是AC上一个动点，以AB为对角线的所有平行四边形ADBE中，线段DE的最小值是（ ）
A．4 B．2 C．2 D．6
5．如图，在△ABC中，点M，N分别是AB，AC的中点，延长CB至点D，使MN=BD，连接DN，若CD=6，则MN的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
6．如图，D，E为△ABC两边AB，AC的中点，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若∠B=55 °，则∠BDF等于（ ）
A．55° B．60° C．70° D．90°
7．（2018·苏州模拟）如图，在梯形 中， ，中位线 与对角线 交于 两点，若 cm， cm，则 的长等于（ ）
A．10 cm B．13 cm C．20 cm D．26 cm
8．三角形的三条中位线的长分别为3 cm，4 cm，5 cm，则原三角形的周长为（ ）
A．6.5 cm B．24 cm C．26 cm D．52 cm
9．如图，已知E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，若AC=10 cm，BD=12 cm，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．10 cm B．11 cm C．12 cm D．22 cm
10．（2017九上·海口期中）如图，梯形ABCD中，DC∥AB，EF是梯形的中位线，对角线BD交EF于G，若AB=10，EF=8，则GF的长等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
11．（2019九上·射阳期末）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝4，D、E、F分别为BC、AC、AB中点，连接DE、FE，则四边形BDEF的周长是 ．
12．（2018·梧州）如图，已知在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BC=6cm，则DE 的长度是 cm．
13．（2019九上·农安期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是AB，AC的中点，点F是AD的中点．若AB＝8，则EF＝ ．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝7，将矩形ABCD绕点C逆时针旋转90°得到矩形A′B′CD′，点E、F分别是BD、B′D′的中点，则EF的长度为 cm．
15．（2018·潘集模拟）在△A1B1C1中，已知A1B1＝7，B1C1＝4，A1C1＝5，依次连接△A1B1C1的三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5周长为 .
16．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AD、AB上的点，连结OE、OF、EF．若AB=7，BC=5 ，∠DAB=45°，则△OEF周长的最小值是 ．
三、解答题
17．如图，在△ABC中，已知AB=6，AC=10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E为BC中点．求DE的长．
18．已知，如图在△ABC中，点D、E、F分别是BC、CA、AB边上的中点．
求证：
（1）四边形AFDE是平行四边形；
（2） 周长等于AB+AC．
19．（2018·寮步模拟）如图，已知△ABC中，D为AB的中点.
（1）请用尺规作图法作边AC的中点E，并连接DE（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）条件下，若DE=4，求BC的长.
20．（2018·焦作模拟）如图1：在等边△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连结BE，CD，点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点．
（1）观察猜想
图1中△PMN的形状是 ；
（2）探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，△PMN的形状是否发生改变？并说明理由．
21．（2018·潮阳模拟）在图1、图2中，线段AC=CE，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点，四边形BCGF和CDHN都是正方形，AE的中点是M．如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，容易证明FM=MH，FM⊥HM；现将图1的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，判断△FMH的形状，并证明你的结论．
22．（2018九上·海安月考）△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α（0°＜α≤90°），点F，G，P分别是DE，BC，CD的中点，连接PF，PG．
（1）如图①，α=90°，点D在AB上，则∠FPG= °；
（2）如图②，α=60°，点D不在AB上，判断∠FPG的度数，并证明你的结论；
（3）连接FG，若AB=5，AD=2，固定△ABC，将△ADE绕点A旋转，则PF长度的最大值为 ；PF长度的最小值为 ；
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BD，
∵BC＝2，CD＝ ，∠C＝90°，
∴BD＝ ＝ ，
∵E、F分别为AB、AD的中点，
∴BD＝ EF＝ ，
故答案为：D．
【分析】连接BD，根据勾股定理算出BD的长，然后根据三角形的中位线等于第三边的一半得出答案。
2．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：因为AR的长度不变，根据中位线定理可知，EF平行于AR，且等于AR的一半，
所以当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，线段EF的长不变。
故答案为：C
【分析】根据中位线定理可知，EF平行于AR，且等于AR的一半，而AR的长度不变，所以当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，线段EF的长不变。
3．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，
∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PM＝
AB，PN＝
DC，PM∥AB，PN∥DC，
∵AB＝CD，
∴PM＝PN，
∴△PMN是等腰三角形，
∵PM∥AB，PN∥DC，
∴∠MPD＝∠ABD＝20°，∠BPN＝∠BDC＝70°，
∴∠MPN＝∠MPD+∠NPD＝20°+（180﹣70）°＝130°，
∴∠PMN＝
＝25°．
故答案为：B
【分析】由中位线的性质可知PM=PN，∠MPN=130°，利用等腰三角形的性质即可求出 ∠NMP的度数 。
4．【答案】A
【知识点】垂线段最短；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，
∴BC⊥AC，
∵四边形ADBE是平行四边形，
∴OD=OE，OA=OB，
∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC.
∴OD∥CB.
又点O是AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD= CB=2，
∴ED=2OD=4.
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形对角线互相平分得出OD=OE，OA=OB，根据垂线段最短得出OD⊥BC.根据三角形的中位线得出OD= CB=2，所以得出ED=2OD=4.
5．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】 点 、 分别是 、 的中点，
，
， ，
，
.
故答案为： .
【分析】由三角形的中位线等于第三边的一半可得MN=BC，而MN=BD，CD=CB+BD，所以MN=CD可求解。
6．【答案】C
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵D、E为△ABC两边AB、AC的中点，即DE是三角形的中位线．
∴DE∥BC
∴∠ADE=∠B=55°
∴∠EDF=∠ADE=55°
∴∠BDF=180°-55°-55°=70°．
故答案为：C．
【分析】先证明DE是三角形的中位线，得出DE∥BC，可求出∠ADE的度数，再根据折叠的性质，可得出∠EDF=∠ADE，就可得出∠EDF的度数，可求得答案。
7．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵EF是梯形的中位线，
∴EF∥CD∥AB．
∴AM=CM，BN=DN．
∴EM是△ACD的中位线，NF是△BCD的中位线，
∴EM= CD，NF= CD．
∴EM=NF= =5，即CD=10．
∵EF是梯形ABCD的中位线，
∴DC+AB=2EF，即10+AB=2×18=36．
∴AB=26．
故答案为：D．
【分析】由三角形的中位线定理可得：EM=CD，FN=CD，MN=（AB-CD）；所以CD=2EM=2FN=EM+FN=EF-MN，则AB=2MN+CD=2MN+EF-MN=MN+EF。
8．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】2×（3+4+5）=24
【分析】根据三角形的中位线定理可得原三角形的周长=2×（3+4+5）=24。
9．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF=AC=×10=5
同理可得：HG=AC=×10=5
EH=BD=×12=6
FG=BD=×12=6
∴四边形EFGH的周长=EF+HG+EH+FG=5+5+6+6=22
故答案为：D
【分析】根据三角形的中位线定理及已知条件分别求出EF、HG、EH、FG的长，再求出四边形EFGH的周长即可。
10．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵EF是梯形ABCD的中位线，AB∥CD，
∴EF∥AB，
∴DG=BG，
∴EG=1/2AB=5
∴GF=EF-EG=8-5=3．
故答案为：B．
【分析】根据图形中位线定理得出EF∥AB，根据过三角形一边中点且平行于三角形另一边的直线一定平分第三边得出：DG=BG，故EG是三角形ABD的中位线，根据三角形的中位线等于第三边的一半得出EG=1/2AB=5，然后根据线段的和差，由GF=EF-EG即可算出答案。
11．【答案】14
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵D,E,F分别为BC、AC、AB中点,
∴EF=BD=8÷2=4，DE=BF=6÷2=3.
∴四边形BDEF的周长是4+4+3+3=14.
【分析】根据三角形中位线等于第三边的一半即可得出EF=BD=8÷2=4，DE=BF=6÷2=3，再根据四边形周长的计算方法即可算出答案。
12．【答案】3
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵D、E 分别是 AB、AC 的中点，
∴DE 是△ABC 的中位线，
∴DE= BC= =3cm，
故答案为：3．
【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半即可直接得出答案。
13．【答案】2
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵AD＝BD＝4，
∴CD＝ AB＝4，
∵AF＝DF，AE＝EC，
∴EF＝ CD＝2．
故答案为：2.
【分析】根据题意可知，CD为△ABC的中线，可求出其长度，又因为EF为三角形ADC的中位线，即可根据CD的长度，求得EF的长度。
14．【答案】5
【知识点】旋转的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】如图，连接AC、A′C，AA′，
∵矩形ABCD绕点C逆时针旋转90°得到矩形A′B′CD′，
∴∠ACA′=90°，∠ABC=90°，
∴AC= ，AC=BD=A′C=B′D′，
AC与BD互相平分，A′C与B′D′互相平分，
∵点E、F分别是BD、B′D′的中点，
∴E是AC的中点，F是A′C的中点，
∵∠ACA′=90°，∴△ACA′是等腰直角三角形，
∴AA′= AC= =10，
∴EF= AA′=5，
故答案为：5.
【分析】连接AC、A′C，AA′，由旋转的性质易证△ACA′是等腰直角三角形，EF是△ACA′的中位线，用勾股定理可求得AA′的长，根据三角形的中位线定理即可求解。
15．【答案】1
【知识点】代数式求值；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示，
∵A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，
∴以此类推：△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的 ，
∴则△A5B5C5的周长为（7+4+5）÷16=1．
故答案为：1．
【分析】根据三角形的中位线定理A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半；A3B3、B3C3、C3A3分别等于A2B2、B2C2、C2A2的一半，等于A1B1、B1C1、C1A1的，依次类推得出△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的 ，根据发现的规律即可得出结论。
16．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形的中位线定理
【解析】【解答】作点O关于AB的对称点M，点O关于AD的对称点N，连接MN交AB于F交AD于E，则△OEF周长的最小，
△OEF周长的最小值=MN，
由作图得：AN=AO=AM，∠NAD=∠DAO，∠MAB=∠BAO，
∵∠DAB=45°，
∴∠MAN=90°，
过D作DP⊥AB于P，
则△ADP是等腰直角三角形，
∴AP=DP= AD，
∵AD=BC=5 ，
∴AP=DP=5，
∵OM⊥AB于Q，
∴OQ∥DP，
∵OD=OB，
∴OQ= DP= ，BQ= BP= （AB﹣AF）=1，
∴AQ=6，
∴AO= = = ，
∴AM=AN=AO= ，
∴MN= AM= ，
∴△OEF周长的最小值是
【分析】根据轴对称-最短路线得出△OEF周长的最小值=MN，因为△ADP是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到AP=DP= AD，求得AP=DP=5，根据三角形的中位线的性质得到OQ= DP= ，BQ= BP= （AB﹣AF）=1，根据勾股定理得到AO= = = ，然后根据等腰直角三角形的性质得到答案。
17．【答案】解：延长BD交AC于点F．∵∠BAD=∠FAD，AD=AD，∠ADB=∠ADF=90°．∴△ABD≌△AFD，∴AB=AF=6，BD=DF．又∵E为BC中点，∴DE= FC= （AC-AF）= （10-6）=2
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【分析】延长BD交AC于点F．由已知条件可用角边角证得△ABD≌△AFD，所以AB=AF=6，BD=DF．而E为BC中点，所以DE是三角形BCF的中位线，根据三角形的中位线定理可得DE= FC= （AC-AF）= （10-6）=2。
18．【答案】（1）证明：∵D、E分别是BC、AC的中点，F为AB的中点， ∴DE=AF，DE∥AF，
∴四边形AFDE是平行四边形
（2）证明：∵点D、E、F分别是BC、CA、AB边上的中点，
∴DF=EC，DE=BF， ∴四边形AFDE的周长=AF+DF+DE+AE=AF+BF+EC+AE=AB+AC
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由三角形的中位线定理可得DE=AF=BF=AB，DE∥AF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AFDE是平行四边形；
（2）由三角形的中位线定理可得DF=AE=EC=AC，结合（1）中的平行四边形的性质可得四边形AFDE的周长=AF+DF+DE+AE=AF+BF+EC+AE=AB+AC。
19．【答案】（1）解：作线段AC的垂直平分线MN交AC于E，点E就是所求的点.
（2）解：∵点D、E分别是线段AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线
∴DE=BC
BC=2DE=8
【知识点】作图-线段垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）按要求作图即可。
（2）根据作图可证得DE是△ABC的中位线，根据中位线定理可得出BC=2DE，即可得出答案。
20．【答案】（1）等边三角形
（2）解：△PMN的形状不发生改变，仍为等边三角形．理由如下：
连接BD，CE．
由旋转可得∠BAD=∠CAE．
∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=∠ABC=60°，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE．
∵M是BE的中点，P是BC的中点，
∴PM是△BCE的中位线，
∴PM= CE且PM∥BD．
同理可证PN= BD且PN∥BD，
∴BD=CE，∠MPB=∠ECB，∠NPC=∠DBC，
∴∠MPB+∠NPC=∠ECB+∠DBC=(∠ACB+∠ACE)+(∠ABC-∠ABD)= ∠ACB+∠ABC=120°，
∴∠MPN=60°，
∴△PMN是等边三角形．
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）等边三角形 ．理由如下：
∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60°．
∵AD=AE，∴BD=EC．
∵N、P分别是DC、BC的中点，∴NP是△BCD的中位线，∴NP∥BD，BD=2NP，∴∠NPC=∠ABC=60°，BD=2NP．
同理可证：EC=2MP，∠MPB=∠ECB=60°．
∴MP=NP，∠MPN=180°－∠MPB－∠NPC=60°，∴△MPN是等边三角形．
【分析】（1）△ABC是等边三角形，所以AB=AC，∠ACB=∠ABC=60°，所以BD=EC，根据中位线定理得.PN∥BD，，从而得PM=PN，∠MPN=60°，可以判断三角形PMN是等边三角形。
（2）连接BD，CE ，利用旋转的定义，△ABD绕点A逆时针方向旋转60°得△CAE，则BD=CE，∠ABD=∠ACE，根据中位线定理得PM=PN，∠MPB=∠ECB，∠NPC=∠DBC，得出∠MPB+∠NPC=120°，从而得出∠MPN=60°，可以判断三角形PMN为等边三角形。
21．【答案】解：△FMH是等腰直角三角形，证明：连接BM，MD，MF交AC于P，∵B、D.M分别是AC、CE、AE的中点，∴MD∥BC， MB∥CD， ∴四边形BCDM是平行四边形，∴∠CBM=∠CDM，∵∴∠FBM=∠MDH，∵FB=HD，BM=DM，∴△FBM≌△HDM，∴FM=MH，∠FMB=∠MHD，∠BFM=∠DHM，∴∴△FMH是等腰直角三角形.
【知识点】全等三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】△FMH是等腰直角三角形，连接BM，MD，MF交AC于P，根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半得出，MD∥BC， MD= AC=BC=BF ， MB∥CD， MB=CE=CD=DH ， 根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出，四边形BCDM是平行四边形，根据平行四边形的对角相等得出∠CBM=∠CDM，根据等式的性质得出∠FBM=∠MDH，然后由SAS判断出△FBM≌△HDM，根据全等三角形的性质得出FM=MH，∠FMB=∠MHD，∠BFM=∠DHM，根据角的和差，平行线的性质及三角形的外角定理，由 ∠FMH =∠FMD ∠HMD=∠APM ∠BFM=∠FBP= 90 ， 从而得出答案。
22．【答案】（1）90
（2）解：∠FPG=120°；理由如下：连接BD，连接CE．如图②∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵G、P、F分别是BC、CD、DE的中点，
∴PG∥BD，PF∥CE．
∴∠PGC=∠CBD，∠DPF=∠DCE=∠DCA+∠ACE=∠DCA+∠ABD，∠DPG=∠PGC+∠BCD=∠CBD+∠BCD，∴∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠DCA+∠ABD+∠CBD+∠BCD=180°-∠BAC=180°-∠α=120°，
即∠GPF=120°
（3）；
【知识点】全等三角形的判定与性质；图形的旋转；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）∵AB=AC、AD=AE，
∴BD=CE，
∵G、P、F分别是BC、CD、DE的中点，
∴PG∥BD，PF∥CE．
∴∠ADC=∠DPG，∠DPF=∠ACD，
∴∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠ADC+∠ACD=180°-∠BAC=180°-∠α=90°，
即∠GPF=90°；
（ 3 ）如图，连接BD、CE，过点P作PH⊥FG于点H
∵AE=AD，AB=AC，点F、G、P分别是DE、BC、DC的中点
∴CE=DB=AB+AD=5+2=7，
PF是△DEC的中位线，PG是△BDC的中位线，
∴PF=CE=×7=，PG=BD
∴PG=PF=
∵PH⊥FG
当点D在BA的延长线上时，CE=BD最长
∴PF最长，即PF长度的最大值为3.5；
如图
当点B在线段AB上时，CE=DE最短
同理可证：PF=CE，PG=BD=（5-2）=
∴PF=PG=
故答案为： ；
【分析】（1）利用已知证明BD=CE，利用三角形中位线定理证明PG∥BD，PF∥CE，再利用平行线的性质，可证得∠ADC=∠DPG，∠DPF=∠ACD，然后就可求出∠GPF的度数。
（2）连接BD，连接CE，利用SAS证明△ABD≌△ACE，可证得∠ABD=∠ACE，再利用三角形的中位线定理，去证明PG∥BD，PF∥CE，然后利用平行线的性质，就可得∠GPF的度数。
（3）当点D在BA的延长线上时，CE=BD最长，即PF最长，利用三角形中位线定理，就可求出PG的长，易证得PF=PG，即可求出PF的最大值；当点B在线段AB上时，CE=DE最短，即PF最短，利用三角形的中位线定理可求出PF的最小值。
1 / 12018-2019学年初中数学北师大版八年级下册6.3三角形的中位线 同步练习
一、单选题
1．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，E，F分别为AB，AD的中点，BC＝2，CD＝ ，则EF的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BD，
∵BC＝2，CD＝ ，∠C＝90°，
∴BD＝ ＝ ，
∵E、F分别为AB、AD的中点，
∴BD＝ EF＝ ，
故答案为：D．
【分析】连接BD，根据勾股定理算出BD的长，然后根据三角形的中位线等于第三边的一半得出答案。
2．如图，在四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从点C向点D移动而点R不动时，下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不变 D．线段EF的长与点P的位置有关
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：因为AR的长度不变，根据中位线定理可知，EF平行于AR，且等于AR的一半，
所以当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，线段EF的长不变。
故答案为：C
【分析】根据中位线定理可知，EF平行于AR，且等于AR的一半，而AR的长度不变，所以当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，线段EF的长不变。
3．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点∠ABD＝20°，∠BDC＝70°，则∠NMP的度数为（ ）
A．50° B．25° C．15° D．20
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，
∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PM＝
AB，PN＝
DC，PM∥AB，PN∥DC，
∵AB＝CD，
∴PM＝PN，
∴△PMN是等腰三角形，
∵PM∥AB，PN∥DC，
∴∠MPD＝∠ABD＝20°，∠BPN＝∠BDC＝70°，
∴∠MPN＝∠MPD+∠NPD＝20°+（180﹣70）°＝130°，
∴∠PMN＝
＝25°．
故答案为：B
【分析】由中位线的性质可知PM=PN，∠MPN=130°，利用等腰三角形的性质即可求出 ∠NMP的度数 。
4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D是AC上一个动点，以AB为对角线的所有平行四边形ADBE中，线段DE的最小值是（ ）
A．4 B．2 C．2 D．6
【答案】A
【知识点】垂线段最短；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，
∴BC⊥AC，
∵四边形ADBE是平行四边形，
∴OD=OE，OA=OB，
∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC.
∴OD∥CB.
又点O是AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD= CB=2，
∴ED=2OD=4.
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形对角线互相平分得出OD=OE，OA=OB，根据垂线段最短得出OD⊥BC.根据三角形的中位线得出OD= CB=2，所以得出ED=2OD=4.
5．如图，在△ABC中，点M，N分别是AB，AC的中点，延长CB至点D，使MN=BD，连接DN，若CD=6，则MN的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】 点 、 分别是 、 的中点，
，
， ，
，
.
故答案为： .
【分析】由三角形的中位线等于第三边的一半可得MN=BC，而MN=BD，CD=CB+BD，所以MN=CD可求解。
6．如图，D，E为△ABC两边AB，AC的中点，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若∠B=55 °，则∠BDF等于（ ）
A．55° B．60° C．70° D．90°
【答案】C
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵D、E为△ABC两边AB、AC的中点，即DE是三角形的中位线．
∴DE∥BC
∴∠ADE=∠B=55°
∴∠EDF=∠ADE=55°
∴∠BDF=180°-55°-55°=70°．
故答案为：C．
【分析】先证明DE是三角形的中位线，得出DE∥BC，可求出∠ADE的度数，再根据折叠的性质，可得出∠EDF=∠ADE，就可得出∠EDF的度数，可求得答案。
7．（2018·苏州模拟）如图，在梯形 中， ，中位线 与对角线 交于 两点，若 cm， cm，则 的长等于（ ）
A．10 cm B．13 cm C．20 cm D．26 cm
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵EF是梯形的中位线，
∴EF∥CD∥AB．
∴AM=CM，BN=DN．
∴EM是△ACD的中位线，NF是△BCD的中位线，
∴EM= CD，NF= CD．
∴EM=NF= =5，即CD=10．
∵EF是梯形ABCD的中位线，
∴DC+AB=2EF，即10+AB=2×18=36．
∴AB=26．
故答案为：D．
【分析】由三角形的中位线定理可得：EM=CD，FN=CD，MN=（AB-CD）；所以CD=2EM=2FN=EM+FN=EF-MN，则AB=2MN+CD=2MN+EF-MN=MN+EF。
8．三角形的三条中位线的长分别为3 cm，4 cm，5 cm，则原三角形的周长为（ ）
A．6.5 cm B．24 cm C．26 cm D．52 cm
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】2×（3+4+5）=24
【分析】根据三角形的中位线定理可得原三角形的周长=2×（3+4+5）=24。
9．如图，已知E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，若AC=10 cm，BD=12 cm，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．10 cm B．11 cm C．12 cm D．22 cm
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF=AC=×10=5
同理可得：HG=AC=×10=5
EH=BD=×12=6
FG=BD=×12=6
∴四边形EFGH的周长=EF+HG+EH+FG=5+5+6+6=22
故答案为：D
【分析】根据三角形的中位线定理及已知条件分别求出EF、HG、EH、FG的长，再求出四边形EFGH的周长即可。
10．（2017九上·海口期中）如图，梯形ABCD中，DC∥AB，EF是梯形的中位线，对角线BD交EF于G，若AB=10，EF=8，则GF的长等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵EF是梯形ABCD的中位线，AB∥CD，
∴EF∥AB，
∴DG=BG，
∴EG=1/2AB=5
∴GF=EF-EG=8-5=3．
故答案为：B．
【分析】根据图形中位线定理得出EF∥AB，根据过三角形一边中点且平行于三角形另一边的直线一定平分第三边得出：DG=BG，故EG是三角形ABD的中位线，根据三角形的中位线等于第三边的一半得出EG=1/2AB=5，然后根据线段的和差，由GF=EF-EG即可算出答案。
二、填空题
11．（2019九上·射阳期末）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝4，D、E、F分别为BC、AC、AB中点，连接DE、FE，则四边形BDEF的周长是 ．
【答案】14
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵D,E,F分别为BC、AC、AB中点,
∴EF=BD=8÷2=4，DE=BF=6÷2=3.
∴四边形BDEF的周长是4+4+3+3=14.
【分析】根据三角形中位线等于第三边的一半即可得出EF=BD=8÷2=4，DE=BF=6÷2=3，再根据四边形周长的计算方法即可算出答案。
12．（2018·梧州）如图，已知在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BC=6cm，则DE 的长度是 cm．
【答案】3
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵D、E 分别是 AB、AC 的中点，
∴DE 是△ABC 的中位线，
∴DE= BC= =3cm，
故答案为：3．
【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半即可直接得出答案。
13．（2019九上·农安期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是AB，AC的中点，点F是AD的中点．若AB＝8，则EF＝ ．
【答案】2
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵AD＝BD＝4，
∴CD＝ AB＝4，
∵AF＝DF，AE＝EC，
∴EF＝ CD＝2．
故答案为：2.
【分析】根据题意可知，CD为△ABC的中线，可求出其长度，又因为EF为三角形ADC的中位线，即可根据CD的长度，求得EF的长度。
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝7，将矩形ABCD绕点C逆时针旋转90°得到矩形A′B′CD′，点E、F分别是BD、B′D′的中点，则EF的长度为 cm．
【答案】5
【知识点】旋转的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】如图，连接AC、A′C，AA′，
∵矩形ABCD绕点C逆时针旋转90°得到矩形A′B′CD′，
∴∠ACA′=90°，∠ABC=90°，
∴AC= ，AC=BD=A′C=B′D′，
AC与BD互相平分，A′C与B′D′互相平分，
∵点E、F分别是BD、B′D′的中点，
∴E是AC的中点，F是A′C的中点，
∵∠ACA′=90°，∴△ACA′是等腰直角三角形，
∴AA′= AC= =10，
∴EF= AA′=5，
故答案为：5.
【分析】连接AC、A′C，AA′，由旋转的性质易证△ACA′是等腰直角三角形，EF是△ACA′的中位线，用勾股定理可求得AA′的长，根据三角形的中位线定理即可求解。
15．（2018·潘集模拟）在△A1B1C1中，已知A1B1＝7，B1C1＝4，A1C1＝5，依次连接△A1B1C1的三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5周长为 .
【答案】1
【知识点】代数式求值；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示，
∵A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，
∴以此类推：△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的 ，
∴则△A5B5C5的周长为（7+4+5）÷16=1．
故答案为：1．
【分析】根据三角形的中位线定理A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半；A3B3、B3C3、C3A3分别等于A2B2、B2C2、C2A2的一半，等于A1B1、B1C1、C1A1的，依次类推得出△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的 ，根据发现的规律即可得出结论。
16．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AD、AB上的点，连结OE、OF、EF．若AB=7，BC=5 ，∠DAB=45°，则△OEF周长的最小值是 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形的中位线定理
【解析】【解答】作点O关于AB的对称点M，点O关于AD的对称点N，连接MN交AB于F交AD于E，则△OEF周长的最小，
△OEF周长的最小值=MN，
由作图得：AN=AO=AM，∠NAD=∠DAO，∠MAB=∠BAO，
∵∠DAB=45°，
∴∠MAN=90°，
过D作DP⊥AB于P，
则△ADP是等腰直角三角形，
∴AP=DP= AD，
∵AD=BC=5 ，
∴AP=DP=5，
∵OM⊥AB于Q，
∴OQ∥DP，
∵OD=OB，
∴OQ= DP= ，BQ= BP= （AB﹣AF）=1，
∴AQ=6，
∴AO= = = ，
∴AM=AN=AO= ，
∴MN= AM= ，
∴△OEF周长的最小值是
【分析】根据轴对称-最短路线得出△OEF周长的最小值=MN，因为△ADP是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到AP=DP= AD，求得AP=DP=5，根据三角形的中位线的性质得到OQ= DP= ，BQ= BP= （AB﹣AF）=1，根据勾股定理得到AO= = = ，然后根据等腰直角三角形的性质得到答案。
三、解答题
17．如图，在△ABC中，已知AB=6，AC=10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E为BC中点．求DE的长．
【答案】解：延长BD交AC于点F．∵∠BAD=∠FAD，AD=AD，∠ADB=∠ADF=90°．∴△ABD≌△AFD，∴AB=AF=6，BD=DF．又∵E为BC中点，∴DE= FC= （AC-AF）= （10-6）=2
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【分析】延长BD交AC于点F．由已知条件可用角边角证得△ABD≌△AFD，所以AB=AF=6，BD=DF．而E为BC中点，所以DE是三角形BCF的中位线，根据三角形的中位线定理可得DE= FC= （AC-AF）= （10-6）=2。
18．已知，如图在△ABC中，点D、E、F分别是BC、CA、AB边上的中点．
求证：
（1）四边形AFDE是平行四边形；
（2） 周长等于AB+AC．
【答案】（1）证明：∵D、E分别是BC、AC的中点，F为AB的中点， ∴DE=AF，DE∥AF，
∴四边形AFDE是平行四边形
（2）证明：∵点D、E、F分别是BC、CA、AB边上的中点，
∴DF=EC，DE=BF， ∴四边形AFDE的周长=AF+DF+DE+AE=AF+BF+EC+AE=AB+AC
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由三角形的中位线定理可得DE=AF=BF=AB，DE∥AF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AFDE是平行四边形；
（2）由三角形的中位线定理可得DF=AE=EC=AC，结合（1）中的平行四边形的性质可得四边形AFDE的周长=AF+DF+DE+AE=AF+BF+EC+AE=AB+AC。
19．（2018·寮步模拟）如图，已知△ABC中，D为AB的中点.
（1）请用尺规作图法作边AC的中点E，并连接DE（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）条件下，若DE=4，求BC的长.
【答案】（1）解：作线段AC的垂直平分线MN交AC于E，点E就是所求的点.
（2）解：∵点D、E分别是线段AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线
∴DE=BC
BC=2DE=8
【知识点】作图-线段垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）按要求作图即可。
（2）根据作图可证得DE是△ABC的中位线，根据中位线定理可得出BC=2DE，即可得出答案。
20．（2018·焦作模拟）如图1：在等边△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连结BE，CD，点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点．
（1）观察猜想
图1中△PMN的形状是 ；
（2）探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，△PMN的形状是否发生改变？并说明理由．
【答案】（1）等边三角形
（2）解：△PMN的形状不发生改变，仍为等边三角形．理由如下：
连接BD，CE．
由旋转可得∠BAD=∠CAE．
∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=∠ABC=60°，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE．
∵M是BE的中点，P是BC的中点，
∴PM是△BCE的中位线，
∴PM= CE且PM∥BD．
同理可证PN= BD且PN∥BD，
∴BD=CE，∠MPB=∠ECB，∠NPC=∠DBC，
∴∠MPB+∠NPC=∠ECB+∠DBC=(∠ACB+∠ACE)+(∠ABC-∠ABD)= ∠ACB+∠ABC=120°，
∴∠MPN=60°，
∴△PMN是等边三角形．
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）等边三角形 ．理由如下：
∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60°．
∵AD=AE，∴BD=EC．
∵N、P分别是DC、BC的中点，∴NP是△BCD的中位线，∴NP∥BD，BD=2NP，∴∠NPC=∠ABC=60°，BD=2NP．
同理可证：EC=2MP，∠MPB=∠ECB=60°．
∴MP=NP，∠MPN=180°－∠MPB－∠NPC=60°，∴△MPN是等边三角形．
【分析】（1）△ABC是等边三角形，所以AB=AC，∠ACB=∠ABC=60°，所以BD=EC，根据中位线定理得.PN∥BD，，从而得PM=PN，∠MPN=60°，可以判断三角形PMN是等边三角形。
（2）连接BD，CE ，利用旋转的定义，△ABD绕点A逆时针方向旋转60°得△CAE，则BD=CE，∠ABD=∠ACE，根据中位线定理得PM=PN，∠MPB=∠ECB，∠NPC=∠DBC，得出∠MPB+∠NPC=120°，从而得出∠MPN=60°，可以判断三角形PMN为等边三角形。
21．（2018·潮阳模拟）在图1、图2中，线段AC=CE，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点，四边形BCGF和CDHN都是正方形，AE的中点是M．如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，容易证明FM=MH，FM⊥HM；现将图1的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，判断△FMH的形状，并证明你的结论．
【答案】解：△FMH是等腰直角三角形，证明：连接BM，MD，MF交AC于P，∵B、D.M分别是AC、CE、AE的中点，∴MD∥BC， MB∥CD， ∴四边形BCDM是平行四边形，∴∠CBM=∠CDM，∵∴∠FBM=∠MDH，∵FB=HD，BM=DM，∴△FBM≌△HDM，∴FM=MH，∠FMB=∠MHD，∠BFM=∠DHM，∴∴△FMH是等腰直角三角形.
【知识点】全等三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】△FMH是等腰直角三角形，连接BM，MD，MF交AC于P，根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半得出，MD∥BC， MD= AC=BC=BF ， MB∥CD， MB=CE=CD=DH ， 根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出，四边形BCDM是平行四边形，根据平行四边形的对角相等得出∠CBM=∠CDM，根据等式的性质得出∠FBM=∠MDH，然后由SAS判断出△FBM≌△HDM，根据全等三角形的性质得出FM=MH，∠FMB=∠MHD，∠BFM=∠DHM，根据角的和差，平行线的性质及三角形的外角定理，由 ∠FMH =∠FMD ∠HMD=∠APM ∠BFM=∠FBP= 90 ， 从而得出答案。
22．（2018九上·海安月考）△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α（0°＜α≤90°），点F，G，P分别是DE，BC，CD的中点，连接PF，PG．
（1）如图①，α=90°，点D在AB上，则∠FPG= °；
（2）如图②，α=60°，点D不在AB上，判断∠FPG的度数，并证明你的结论；
（3）连接FG，若AB=5，AD=2，固定△ABC，将△ADE绕点A旋转，则PF长度的最大值为 ；PF长度的最小值为 ；
【答案】（1）90
（2）解：∠FPG=120°；理由如下：连接BD，连接CE．如图②∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵G、P、F分别是BC、CD、DE的中点，
∴PG∥BD，PF∥CE．
∴∠PGC=∠CBD，∠DPF=∠DCE=∠DCA+∠ACE=∠DCA+∠ABD，∠DPG=∠PGC+∠BCD=∠CBD+∠BCD，∴∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠DCA+∠ABD+∠CBD+∠BCD=180°-∠BAC=180°-∠α=120°，
即∠GPF=120°
（3）；
【知识点】全等三角形的判定与性质；图形的旋转；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）∵AB=AC、AD=AE，
∴BD=CE，
∵G、P、F分别是BC、CD、DE的中点，
∴PG∥BD，PF∥CE．
∴∠ADC=∠DPG，∠DPF=∠ACD，
∴∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠ADC+∠ACD=180°-∠BAC=180°-∠α=90°，
即∠GPF=90°；
（ 3 ）如图，连接BD、CE，过点P作PH⊥FG于点H
∵AE=AD，AB=AC，点F、G、P分别是DE、BC、DC的中点
∴CE=DB=AB+AD=5+2=7，
PF是△DEC的中位线，PG是△BDC的中位线，
∴PF=CE=×7=，PG=BD
∴PG=PF=
∵PH⊥FG
当点D在BA的延长线上时，CE=BD最长
∴PF最长，即PF长度的最大值为3.5；
如图
当点B在线段AB上时，CE=DE最短
同理可证：PF=CE，PG=BD=（5-2）=
∴PF=PG=
故答案为： ；
【分析】（1）利用已知证明BD=CE，利用三角形中位线定理证明PG∥BD，PF∥CE，再利用平行线的性质，可证得∠ADC=∠DPG，∠DPF=∠ACD，然后就可求出∠GPF的度数。
（2）连接BD，连接CE，利用SAS证明△ABD≌△ACE，可证得∠ABD=∠ACE，再利用三角形的中位线定理，去证明PG∥BD，PF∥CE，然后利用平行线的性质，就可得∠GPF的度数。
（3）当点D在BA的延长线上时，CE=BD最长，即PF最长，利用三角形中位线定理，就可求出PG的长，易证得PF=PG，即可求出PF的最大值；当点B在线段AB上时，CE=DE最短，即PF最短，利用三角形的中位线定理可求出PF的最小值。
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