3.4 力的合成与分解复习学案

　力的合成与分解
一、力的合成
答案：共同　等效替代　平行四边形　三角形
【基础练1】　一个人用双手抓住单杠把自己吊起来，静止在空中，如图所示。在下列四种情况下，两臂用力最小的是(　　)
A．当他两臂平行时
B．当他两臂成60°夹角时
C．当他两臂成90°夹角时
D．当他两臂成120°夹角时
解析：选A。两臂中拉力等大，即F1＝F2，其合力大小为F＝2F1cos，式中θ为两手臂间的夹角，且合力F＝G，可见F1＝F2＝＝，由此可知θ＝0时，F1、F2最小，即A正确。
二、力的分解
答案：效果　正交　方向　算术
【基础练2】　(多选)将物体所受重力按力的效果进行分解，下列图中正确的是(　　)
解析：选ABD。A项中物体重力分解为垂直于斜面使物体压紧斜面的分力G1和沿斜面向下使物体向下滑的分力G2；B项中物体的重力分解为沿两条细绳使细绳张紧的分力G1和G2，故A、B正确；C项中物体的重力应分解为垂直于两接触面使物体压紧两接触面的分力G1和G2，故C错误；D项中物体的重力分解为水平向左压紧墙的分力G1和沿绳向下使绳张紧的分力G2，故D正确。
【基础练3】　用两根承受的最大拉力相等、长度不等的细线AO、BO，悬挂一个中空铁球，如图所示，当在球内不断注入铁砂时，则(　　)
A．AO先被拉断　　　　　　 B．BO先被拉断
C．AO、BO同时被拉断 D．条件不足，无法判断
解析：选B。依据力的作用效果，将重力分解如图所示，据图示可知：FB>FA。又因为两绳承受拉力能力相同，故当在球内不断注入铁砂时，BO绳先断，B正确。
考点一　共点力的合成
1．两个共点力的合力范围
|F1－F2|≤F≤F1＋F2。
2．重要结论
(1)两个分力一定时，夹角θ越大，合力越小。
(2)合力一定时，两个分力夹角越大，两分力越小。
(3)合力可以大于分力，等于分力，也可以小于分力。
3．力合成的方法
(1)作图法。
(2)计算法。
若两个力F1、F2的夹角为θ，如图所示，合力的大小可由余弦定理得到：
F＝eq \r(F＋F＋2F1F2cos θ)
tan α＝。
4．三个共点力的合成
(1)最大值：三个力共线且同向时，其合力最大，为F1＋F2＋F3。
(2)最小值：任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则三个力的合力的最小值为零，如果第三个力不在这个范围内，则合力的最小值为最大的一个力减去另外两个较小的力的大小之和。
　(·湖北武汉高三上学期期末调研)两个力F1和F2间的夹角为θ，两力的合力为F。以下说法正确的是(　　)
A．合力F总比分力F1和F2中的任何一个力都大
B．合力F一定总比分力F1和F2中的一个力大
C．若F1和F2大小不变，θ越小，合力F就越大
D．如果夹角θ不变，若F1的大小不变，只要F2增大，合力F就必然增大
[解析]　二力平衡时，合力为零，此时合力F比分力中的任何一个力都小，A、B错误；若F1和F2大小不变，θ角越小，合力F越大，C正确；如果夹角θ不变，F1大小不变，F2增大，合力F可能减小，也可能增大，故D错误。
[答案]　C
【对点练1】　(·江苏五校上学期联考)某同学看到鱼缸中的一条小鱼在水中游动，当小鱼沿直线水平向左减速游动的过程中，他画出的水对鱼的作用力F方向正确的是(　　)
解析：选C。鱼在水中受水的浮力保持鱼在竖直方向的平衡，由于水平方向向左减速，故鱼受水平方向向右的外力。故水对鱼的作用力应是浮力与向右推动的合力，故应斜向右上方。
【对点练2】　(2019·高考天津卷)2018年10月23日，港珠澳跨海大桥正式通车。为保持以往船行习惯，在航道处建造了单面索(所有钢索均处在同一竖直面内)斜拉桥，其索塔与钢索如图所示。下列说法正确的是(　　 )
A．增加钢索的数量可减小索塔受到的向下的压力
B．为了减小钢索承受的拉力，可以适当降低索塔的高度
C．索塔两侧钢索对称且拉力大小相同时，钢索对索塔的合力竖直向下
D．为了使索塔受到钢索的合力竖直向下，索塔两侧的钢索必须对称分布
解析：选C。增加钢索的数量，索塔受到的向下的压力增大，A错误；当索塔受到的力F一定时，降低索塔的高度，钢索与水平方向的夹角α减小，则钢索受到的拉力将增大，B错误；如果索塔两侧的钢索对称且拉力大小相同，则两侧拉力在水平方向的合力为零，钢索的合力一定竖直向下，C正确；索塔受到钢索的拉力合力竖直向下，当两侧钢索的拉力大小不等时，由图可知，两侧的钢索不一定对称，D错误。
考点二　力的分解
1．效果分解法
2．正交分解法
(1)定义：将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法。
(2)建立坐标轴的原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(即使尽可能多的力在坐标轴上)；在动力学中，以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系。
(3)方法：物体受到多个力F1、F2、F3、…作用，求合力F时，可把各力沿相互垂直的x轴、y轴分解。
x轴上的合力Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…
y轴上的合力Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
合力大小F＝eq \r(F＋F)
合力方向：与x轴夹角为θ，则tan θ＝。
3．效果分解的典例
实例 分解思路
拉力F可分解为水平方向分力F1＝Fcos α和竖直方向分力F2＝Fsin α
重力分解为沿斜面向下的力F1＝mgsin α和垂直于斜面向下的力F2＝mgcos α
重力分解为使球压紧挡板的分力F1＝mgtan α和使球压紧斜面的分力F2＝
重力分解为使球压紧竖直墙壁的分力F1＝mgtan α和使球拉紧悬线的分力F2＝
重力分解为拉紧AO线的分力F2和拉紧BO线的分力F1，F1＝F2＝
　(·济南市第一次模拟)剪式千斤顶的截面图如图所示。四根等长的支持臂用光滑铰链连接，转动手柄，通过水平螺纹轴减小MN间的距离，以抬高重物。保持重物不变，MP和PN夹角为120°时N点受到螺纹轴的作用力为F1；MP和PN夹角为60°时N点受到螺纹轴的作用力为F2。不计支持臂和螺纹轴的重力，则F1与F2大小之比为(　　)
A．1∶1　　　　　　 B．1∶3
C.∶1 D．3∶1
[解析]　当两臂间的夹角为120°时，两臂受到的压力为N1＝＝G，对N点分析，N点受到螺纹轴的作用力为F1＝2N1cos 30°＝G，当两臂间的夹角为60°时，两臂受到的压力为N2＝＝G，对N点分析，N点受到螺纹轴的作用力为F2＝2N2cos 60°＝G，则有＝3∶1，故A、B、C错误，D正确。
[答案]　D
【对点练3】　(·吉林市第二次调研)如图所示，小球被轻绳系住，静止在光滑斜面上。若按力的实际作用效果来分解小球受到的重力G，则G的两个分力的方向分别是图中的(　　)
A．1和2 B．1和3
C．2和3 D．1和4
解析：选A。小球重力产生两个效果，一是使绳子拉伸，二是使斜面受压，故应按此两个方向分解，分别是1和2，故A正确，B、C、D错误。
　如图所示，墙上有两个钉子a和b，它们的连线与水平方向的夹角为45°，两者的高度差为l。一条不可伸长的轻质细绳一端固定于a，另一端跨过光滑钉子b悬挂一质量为m1的重物。在绳上距a端的c点有一固定绳圈。若绳圈上悬挂质量为m2的钩码，平衡后绳的ac段正好水平，则重物和钩码的质量比 为(　　)
A. B．2
C. D．
[解析]　法一　力的效果分解法
钩码的拉力F等于钩码重力m2g，将F沿ac和bc方向分解，两个分力分别为Fa、Fb，如图甲所示，其中Fb＝m1g，由几何关系可得cos θ＝＝，又由几何关系得cos θ＝，联立解得＝。
法二　正交分解法
绳圈受到Fa、Fb、F三个力作用，如图乙所示，将Fb沿水平方向和竖直方向正交分解，由竖直方向受力平衡得
m1gcos θ＝m2g；由几何关系得cos θ＝，联立解得 ＝。
[答案]　C
【对点练4】　如图所示，在倾角为θ的固定光滑斜面上，质量为m的物体受外力F1和F2的作用，F1方向水平向右，F2方向竖直向上，若物体静止在斜面上，则下列关系正确的是(　　)
A．F1sin θ＋F2cos θ＝mgsin θ，F2≤mg
B．F1cos θ＋F2sin θ＝mgsin θ，F2≤mg
C．F1sin θ＋F2cos θ＝mgsin θ，F2≥mg
D．F1cos θ＋F2sin θ＝mgsin θ，F2≥mg
解析：选B。对物体的受力分析如图所示，由平衡条件得
F1sin θ＋mgcos θ＝F2cos θ＋N①
F1cos θ＋F2sin θ＝mgsin θ②
由②式知＋F2＝mg，故F2≤mg，故B正确。
考点三　力的合成与分解在实际生活中的应用
　(多选)(2018·高考天津卷)明朝谢肇淛的《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺塔倾侧，议欲正之，非万缗不可。一游僧见之曰：无烦也，我能正之。”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身。假设所用的木楔为等腰三角形，木楔的顶角为θ，现在木楔背上加一力F，方向如图所示，木楔两侧产生推力FN，则(　　)
A．若F一定，θ大时FN大
B．若F一定，θ小时FN大
C．若θ一定，F大时FN大
D．若θ一定，F小时FN大
[解析]　木楔两侧面产生的推力合力大小等于F，由力的平行四边形定则可知，FN＝，由表达式可知，若F一定，θ越小，FN越大，A错误，B正确；若θ一定，F越大，FN越大，C正确，D错误。
[答案]　BC
【对点练5】　(·佛山市二模)如图所示，战士在水平地面上进行拉轮胎的负荷训练，设战士做匀速直线运动，运动过程中保持双肩及两绳的端点A、B等高。两绳间的夹角为θ、所构成的平面与水平面间的夹角恒为α，轮胎重为G，地面对轮胎的摩擦阻力大小恒为f，则每根绳的拉力大小为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选A。设每根绳子的拉力为T，则两根绳子拉力的合力为2Tcos；在水平方向f＝2Tcos·cos α，解得T＝，A正确。
(建议用时：20分钟)
1．(·陕西汉中质检)如图甲所示，笔记本电脑散热底座一般有四个卡位用来调节角度。某同学将电脑放在散热底座上，为了获得更好的舒适度，由原卡位1缓慢调至卡位4(如图乙所示)，电脑始终处于静止状态，则(　　)
A．电脑受到的支持力变小
B．电脑受到的摩擦力变大
C．散热底座对电脑的作用力的合力不变
D．电脑受到的支持力与摩擦力两力大小之和等于其重力大小
解析：选C。对电脑受力分析如图所示，电脑始终处于静止状态，故电脑受力平衡，电脑受到的支持力大小FN＝Gcos θ，电脑受到的摩擦力大小f＝Gsin θ，由原卡位1调至卡位4，θ减小，故FN增大，f减小，A、B错误；散热底座对电脑的作用力的合力即电脑受到的支持力与摩擦力两力的合力，大小等于电脑的重力，方向竖直向上，始终不变，C正确；电脑受到的支持力与摩擦力两力大小之和大于其重力大小，D错误。
2．(多选)李强同学设计的一个小实验如图所示，他将细绳的一端系在手指上，细绳的另一端系在直杆的A端，杆的左端顶在掌心上，组成一个“三角支架”。在杆的A端悬挂不同的重物，并保持静止。通过实验会感受到(　　)
A．细绳是被拉伸的，杆是被压缩的
B．杆对手掌施加的作用力的方向沿杆由C指向A
C．细绳对手指施加的作用力的方向沿细绳由B指向A
D．所挂重物质量越大，细绳和杆对手的作用力也越大
解析：选ACD。重物所受重力的作用效果有两个，一是拉紧细绳，二是使杆压紧手掌，所以重力可分解为沿细绳方向的力F1和垂直于掌心方向的力F2，如图所示，由三角函数得F1＝，F2＝Gtan θ，故A、C、D正确。
3．小明想推动家里的衣橱，但使出了很大的力气也推不动，他便想了个妙招，如图所示，用A、B两块木板，搭成一个底角较小的人字形架，然后往中央一站，衣橱居然被推动了！下列说法正确的是(　　)
A．这是不可能的，因为小明根本没有用力去推衣橱
B．这是不可能的，因为无论如何小明的力气也没那么大
C．这有可能，A板对衣橱的推力有可能大于小明的重力
D．这有可能，但A板对衣橱的推力不可能大于小明的重力
解析：选C。由小明所受重力产生的效果，小明的重力可分解为沿两个木板方向的分力，由于两个木板夹角接近180°，根据平行四边形定则可知，分力可远大于小明的重力，C正确。
4．已知两个共点力的合力为50 N，分力F1的方向与合力F的方向成30°角，分力F2的大小为30 N。则(　　)
A．F1的大小是唯一的
B．F2的方向是唯一的
C．F2有两个可能的方向
D．F2可取任意方向
解析：选C。由F1、F2和F的矢量三角形图可以看出：因F2＝30 N＞F20＝25 N且F2＜F，所以F1的大小有两个，即F1′和F1″，F2的方向有两个，即F2′的方向和F2″的方向，故A、B、D错误，C正确。
5.“中国天眼”500 m口径球面射电望远镜维护时的照片如图所示。为不损伤望远镜球面，质量为m的工作人员被悬在空中的氦气球拉着，当他在离底部有一定高度的望远镜球面上缓慢移动时，氦气球对其有大小为mg、方向竖直向上的拉力作用，使其有“人类在月球上行走”的感觉，若将人视为质点，此时工作人员(　　)
A．受到的重力大小为mg
B．受到的合力大小为mg
C．对球面的压力大小为mg
D．对球面的作用力大小为mg
解析：选D。工作人员在球面(望远镜口径较大)上缓慢移动时可近似看做处于平衡状态，其受到的合力为零，对其受力分析，如图所示。球面对工作人员的作用力F＝mg－mg＝mg，根据牛顿第三定律可知，工作人员对球面的作用力大小为mg，A、B错误，D正确；工作人员在移动时，球面对其作用力是支持力和摩擦力的合力，C错误。
6．如图所示，质量均为M的A、B两滑块放在粗糙水平面上，两轻杆等长，杆与滑块、杆与杆间均用光滑铰链连接，在两杆铰合处悬挂一质量为m的重物C，整个装置处于静止状态，设杆与水平面间的夹角为θ。下列说法正确的是(　　)
A．当m一定时，θ越小，滑块对地面的压力越大
B．当m一定时，θ越大，轻杆受力越大
C．当θ一定时，M越大，滑块与地面间的摩擦力越大
D．当θ一定时，M越大，可悬挂重物C的质量m越大
解析：选D。对A、B、C整体分析可知，对地面压力为FN＝(2M＋m)g，与θ无关，故A错误；将C对两杆铰合处的拉力按照作用效果分解，如图所示：根据平行四边形定则，有F1＝F2＝＝，故m一定时，θ越大，轻杆受力越小，故B错误；对A分析，受重力、杆的推力、支持力和向右的静摩擦力，根据平衡条件，有f＝F1cos θ＝，与M无关，故C错误；当θ一定时，M越大，M与地面间的最大静摩擦力越大，则可悬挂重物C的质量m越大，故D正确。
7．(多选)已知力F，且它的一个分力F1跟F成30°角，大小未知，另一个分力F2的大小为 F，方向未知，则F1的大小可能是　(　　)
A. B．
C. D．F
解析：选AC。根据题意作出矢量三角形如图，因为 F>，从图上可以看出，F1有两个解，由直角三角形OAD可知FOA＝＝F，由直角三角形ABD得FBA＝＝F。由图的对称性可知FAC＝FBA＝F，则分力F1＝F－F＝；F1′＝F＋F＝。
8. 如图所示，用一根长为l的细绳一端固定在O点，另一端悬挂质量为m的小球A，为使细绳与竖直方向成30°角且绷紧，小球A处于静止状态，对小球施加的最小的力是(　　)
A.mg B．mg
C.mg D．mg
解析：选C。将小球重力分解如图，其中一个分力等于施加的力的大小。当施加的力与OA垂直时最小，Fmin＝mgsin 30°＝mg，C正确。
9. (·江苏海门中学第二次质调)生活中经常用刀来劈开物体。刃的横截面如图所示，F是竖直向下作用在刀背上的力，若刀的横截面是等腰三角形，刀刃两侧面的夹角为θ，刀的重力为G。则刀劈物体时对物体侧向推力FN的大小为(　　)
A. B．
C. D．
解析：选C。将力F和重力根据平行四边形定则分解，由几何知识得，侧向推力的大小为FN＝＝，故C正确。
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