湘教版初中数学九年级下册第一章二次函数 单元测试
一、单选题
1．（2021九上·长春月考）抛物线y＝2x2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（3，0） B．（﹣3，0） C．（0，3） D．（0，﹣3）
2．（2021九上·芜湖月考）在下列抛物线中，其顶点是(－2，4)的是（ ）．
A．y＝(x+2)2﹣4 B．y＝(x－2)2+4
C．y＝(x+2)2+4 D．y＝(x－2)2﹣4
3．（2021九上·芜湖月考）我们把“将抛物线向右平移2个单位或．向上平移1个单位”这种变换称为抛物线的简单变换．已知抛物线经过两次简单变换后得到的一条抛物线是y=x2+1，则原抛物线的表达式不可能是（ ）．
A．y=x2－1 B．y=x2+6x+5 C．y=x2+4x+4 D．y=x2+8x+17
4．（2021九上·芜湖月考）已知二次函数y＝x2－bx+c的图象经过A（1，n），B（3，n），且与x轴只有一个交点，则n的值为（ ）．
A．1 B．2 C． D．
5．（2021九上·德州期中）若二次函数y＝x2﹣6x+k的图象经过A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3+ ，y3）三点，则y1，y2，y3关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
6．（2021九上·龙凤期中）如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），有下列结论：①2a+b=0，②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，④当y＜0时，﹣2＜x＜4，其中正确的是（ ）
A．②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④
7．（2021九上·龙凤期中）如图，已知二次函数 向右平移2个单位得到抛物线 的图象，则阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2021九上·德州期中）求二次函数 的图象如图所示，其对称轴为直线 ，与 轴的交点为 、 ，其中 ，有下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；其中，正确的结论有（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
9．（2020九上·永定期中）下表是满足二次函数 的五组数据， 是方程 的一个解，则下列选项中正确的是（ ）
x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4
y -0.80 -0.54 -0.20 0.22 0.2
A． B． C． D．
10．（2021·裕华模拟）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米．当喷射出的水流距离喷水头20米时．达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌．下列说法正确的是（ ）
A．水流运行轨迹满足函数y＝﹣ x2﹣x+1
B．水流喷射的最远水平距离是40米
C．喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米
D．若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌
二、填空题
11．（2021九上·芜湖月考）将抛物线y=x2+1沿x轴向下翻折，则得到的新抛物线的解析式为 ．
12．（2021九上·长春月考）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（6，3）．若抛物线y＝mx2＋2mx＋m＋3（m为常数，m≠0）向右平移a（a＞0）个单位长度，平移后的抛物线的顶点在线段AB上，则a的取值范围为 ．
13．（2021九上·芜湖月考）设二次函数y＝x2+2x－3的图象为C1，关于x的一次函数y＝kx+3k的图象为C2.
（1）C1和C2恰好都经过定点P，则点P的坐标为 ；
（2）若C1和C2有两个不同的交点，设其横坐标分别为x1和x2，且x1＜x2＜1，则k的取值范围为 ．
14．（2021九上·德州期中）二次函数y=2x2+(m-1)x-3的顶点在y轴上，则m= ．
15．（2021九上·龙沙期中）二次函数y＝x2﹣4x+1的最小值是 ．
16．（2021九上·龙凤期中）如图，把抛物线 沿直线 平移 个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后抛物线的表达式是 ．
三、作图题
17．（2021九上·津南期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与对应的函数y的值（部分）如表所示：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … m ﹣2 ﹣3 ﹣2 1 6 …
解答下列问题：
（1）表格中m的值等于 ；
（2）求这个二次函数的解析式；
（3）在直角坐标系中，画出这个函数的图象．
18．（2021九上·安义月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点C，A分别在x轴，y轴上，经过A，C两点的抛物线交x轴于另一点D，连接AC．请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中的抛物线上找出点E，使 ．
（2）在图2中的抛物线上作出该抛物线的顶点F．
四、解答题
19．（2021九上·思明期中）已知抛物线的顶点坐标是（1，﹣3），与y轴的交点是（0，﹣2），求这个二次函数的解析式.
20．（2021九上·肇源期中）现有一块直角三角形的材料， cm， cm，用它截下一个矩形，如图是截法示意图，求这种截法下矩形的最大面积是多少？
21．（2021九上·肇源期中）如图的一座拱桥，当水面宽AB为12 m时，桥洞顶部离水面4
m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是 ，求选取点B为坐标原点时的抛物线解析式．
五、综合题
22．（2021九上·长春月考）如图，已知二次函数y＝﹣x2＋bx＋c的图象经过点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上是否存在点P，使∠PAB＝∠ABC，若存在请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
23．（2021九上·长春月考）若抛物线的顶点坐标是（﹣4，3），且过点（﹣5，1）．
（1）求此抛物线的函数关系式．
（2）直接写出当﹣6＜x＜﹣1时，y的取值范围．
24．（2021九上·长春月考）在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x2＋2mx＋2m＋1的图像记为G，抛物线G的自变量x的取值范围为x≤2m，m为常数．
（1）当点（0，3）在图象G上时，求m的值．
（2）抛物线G上有一点B到y轴的最小距离为2，求点B的坐标．
（3）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（m，﹣m2＋m＋3）．
①当图象G的最高点的纵坐标与点P的纵坐标之差为1时，求m的值．
②将点P向左平移4个单位长度得到点Q，连结PQ．以PQ为边向上方作矩形PQMN，使PN＝2，当图象G在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围．
25．（2021九上·哈尔滨月考）已知，平面直角坐标系中，抛物线 交y轴于点A，交x轴于点B、C， 为等边三角形， ．
（1）如图1，求抛物线解析式．
（2）如图2，P为AC上方抛物线上一点，过P作 交AC于D，设点P的横坐标为t，PD的长度为d，求d与t的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，在x轴上点B左侧取一点E，使得点E在AD的垂直平分线上，连接ED，若 的周长为36，求d的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解： 抛物线 ，
该抛物线的顶点坐标为 ，
故答案为：D．
【分析】根据 抛物线 ，求顶点坐标即可。
2．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：A、y＝（x+2）2-4的顶点坐标为（-2，-4），故A不符合题意；
B、y＝（x-2）2+4的顶点坐标为（2，4），故B不符合题意；
C、y＝（x+2）2+4的顶点坐标为（-2，4），故C符合题意；
D、y＝（x-2）2-4的顶点坐标为（2，-4），故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据抛物线y＝a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），逐项进行判断，即可得出答案.
3．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：A、y=x2-1向上平移1个单位得到y=x2，再向上平移1个单位得到y=x2+1，故A不符合题意；
B、y=x2+6x+5=（x+3）2-4无法经过两次简单变换后得到y=x2+1，故B符合题意；
C、y=x2+4x+4=（x+2）2向右平移2个单位得到y=x2，再向上平移1个单位得到y=x2+1，故C不符合题意；
D、y=x2+8x+17=（x+4）2+1向右平移2个单位得到y=（x+2）2+1，再向右平移2个单位得到y=x2+1，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据平移变换规律：左加右减，上加下减，逐项进行判断，即可得出答案.
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵点A（1，n），B（3，n）在抛物线y＝x2-bx+c上，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∴-=2，
∴b=4，
∴抛物线解析式为y=x2-4x+c，
∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴△=(﹣4)2-4c=0，
∴c=4，
∴抛物线解析式为y=x2-4x+4，
当x=1时n=1-4+4=1.
故答案为：A.
【分析】根据二次函数的性质得出抛物线的对称轴为直线x=2，从而得出b的值，再根据抛物线与x轴只有一个交点，得出c的值，从而得出抛物线的解析式，再把x=1代入进行计算，即可得出n的值.
5．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y＝x2﹣6x+k，
∴图象的开口向上，对称轴是直线x＝ ＝3，
C（3+ ，y3）关于直线x＝3的对称点是（3- ，y3），
∵ 1＜1＜3- ，
∴y1＞y2＞y3，
故答案为：A．
【分析】先求出二次函数的队曾在，再求出点A、B、C到对称轴的距离，再根据二次函数增减性判断即可。
6．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的其他应用
【解析】【解答】①∵抛物线的对称轴x=﹣ =1，
∴b=﹣2a，即2a+b=0，故此结论符合题意；
②∵由图可知a＜0、c＞0，
∴b=﹣2a＞0，
则abc＜0，故此结论不符合题意；
③由图象可知该抛物线与直线y=3只有唯一交点A（1，3），
∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，此结论符合题意；
④抛物线与x轴的交点为（4，0）且抛物线的对称轴为x=1，
则抛物线与x轴的另一交点为（﹣2，0），
∴当y＜0时，x＜﹣2或x＞4，此结论不符合题意；
综上所述：①③符合题意，
故答案为：B．
【分析】利用对称轴是直线x=1判断①；利用由图可知a＜0、c＞0，得出abc＜0，故此结论不符合题意；由图象可知该抛物线与直线y=3只有唯一交点A（1，3），方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，此结论符合题意；抛物线与x轴的交点为（4，0）且抛物线的对称轴为x=1，则抛物线与x轴的另一交点为（﹣2，0），当y＜0时，x＜﹣2或x＞4，此结论不符合题意。
7．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；平移的性质
【解析】【解答】解：设点M为抛物线y1的顶点，点N为抛物线y2的顶点，
连接MA、NB，
则四边形AMNB的面积和阴影部分的面积相等，
∵AB∥MN，AB=MN=2，
∴四边形AMNB是平行四边形，
∵二次函数y1=（x+1）2-3，
∴该函数的顶点M的坐标为（-1，-3），
∴点M到x轴的距离为3，
∴四边形AMNB的面积是2×3=6，
∴阴影部分的面积是6，
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的性质和平移的特点，得出四边形AMNB的面积和阴影部分的面积相等，再根据题意，可求出四边形AMNB是平行四边形，及它的面积，从而得出阴影部分的面积。
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的其他应用
【解析】【解答】∵抛物线开口向上，∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线 ，∴b=2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，
所以①不符合题意；
∵抛物线 与x轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，而对称轴为 ，由于抛物线与x轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，根据抛物线的对称轴性，∴抛物线与x轴另一个交点在点（-3，0）与点（-2，0）之间，即有-3＜ ＜-2，所以②符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线 ，且c＜-1，∴当 时， ， 所以③符合题意；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ，∴当 时， ，
当 代入 得： ，
∵ ，∴ ，即 ，所以④不符合题意；
∵对称轴为直线 ，∴ ，
∵由于 时， ，∴ 0，所以 0，解得 ，
根据图象得 ，∴ ，所以⑤符合题意.
所以②③⑤符合题意，
故答案为：C．
【分析】①对称轴再y轴的左侧，则ab同号，c＜0，即可求解；②对称轴为直线 ，即可求解；③对称轴为直线 ，且c＜-1，即可求解；开口向上，对称轴为直线 ， ，∴ ，即 ，所以④不符合题意； 时， ， ，所以⑤符合题意.
9．【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：由表格中的数据，得：
在1.6＜x＜2.4范围内，y随x的增大而增大，
当x=2.0时，y= 0.20<0，当x=2.2时，y=0.22>0，
所以方程 的一个根 的取值范围是2.0< <2.2，
故答案为：C．
【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质进行解答即可。
10．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：A、设石块运行的函数关系式为y=a（x-20）2+11，
把（0，1）代入解析式得：400a+11=1，
解得： ，
∴解析式为 ；
故A不符合题意；
B、当y=0时， ；
解得x= 2 +20，
∴水流喷射的最远水平距离是2 +20米；
故B不符合题意；
C、当x=20时，y=11，
∴11-2=9
∴喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9米
故C不符合题意；
D、向后平移后的解析式为 ，
当x=37时，y=8.5
8.5-3=5.5＞2.3，
∴可以避开对这棵石榴树的喷灌；
故答案为：D
【分析】设抛物线的解析式为y=a（x-20）2+c，用待定系数法求得解析式，则可判断A；解方程，即可判断B；计算当x=30时y的值，则可判断选项C和D。
11．【答案】y=－x2－1
【知识点】二次函数图象的几何变换；轴对称的性质
【解析】【解答】解：根据题意，得翻折后抛物线的解析式的解析式为-y=x2+1，
∴ 新抛物线的解析式为y=-x2-1.
【分析】根据关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标坐标互为相反数，得出翻折后抛物线的解析式的解析式为-y=x2+1，即可得出答案.
12．【答案】1≤a≤7
【知识点】二次函数图象的几何变换；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：∵抛物线 ，
∴抛物线的顶点坐标为（-1，3），
∵点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（6，3），
∴线段AB与x轴平行，且点（-1，3）在直线AB上，
∵抛物线y＝mx2＋2mx＋m＋3（m为常数，m≠0）向右平移a（a＞0）个单位长度，平移后的抛物线的顶点在线段AB上，
∴ ，
解得1≤a≤7，
故答案为：1≤a≤7．
【分析】先求出抛物线的顶点坐标为（-1，3），再求出 ，最后求解即可。
13．【答案】（1）（－3，0）
（2）k＜0且k≠-4
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）由，
得：x2+（2-k）x-3（1+k）=0，
∴（x+3）［x-（1+k）］=0，
∴x=-3或x=1+k，
∴y=0或y=k2+4k，
∴ 定点P的坐标为（-3，0）；
（2）∵ x1＜x2＜1，
∴-3＜1+k＜1或1+k＜-3＜1，
∴-4＜k＜0或k＜-4，
∴ k的取值范围为k＜0且k≠-4 .
【分析】（1）联立两个函数的解析式得出x2+（2-k）x-3（1+k）=0，利用因式分解法得出x=-3或x=1+k，得出y=0或y=k2+4k，即可得出定点P的坐标为（-3，0）；
（2）根据x1＜x2＜1，得出-3＜1+k＜1或1+k＜-3＜1，解不等式即可得出k的取值范围.
14．【答案】1
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数y=x2+（m-1）x-3的图象顶点在y轴上，
∴ ，
解得m=1．
故答案为：1．
【分析】根据二次函数的顶点的横坐标列式求解即可。
15．【答案】-3
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：由二次函数y＝x2﹣4x+1化为顶点式为 ，
∵该二次函数开口向上，
∴当x=2时，有最小值，最小值为-3；
故答案为：-3．
【分析】利用配方法将一般式化为顶点式，再根据顶点式求最值即可。
16．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵A在直线y=x上，
∴设A（m，m），
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴A（1，1），
∴抛物线解析式为 ，
故答案为： ．
【分析】先根据A在直线y=x上，设A（m，m），再根据 ，利用勾股定理求出m的值，再根据抛物线平移的性质，即可得出解析式。
17．【答案】（1）1
（2）解：把 代入函数解析式可得：
解得：
所以抛物线的解析式为：
（3）解：列表：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 1 ﹣2 ﹣3 ﹣2 1 …
描点：
再用光滑的曲线连接即可.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；描点法画函数图象
【解析】【解答】解：（1）由表格信息可得：抛物线上 关于抛物线的对称轴对称，
所以 关于抛物线的对称轴对称，
所以
故答案为：1
【分析】（1）先求出 关于抛物线的对称轴对称，再求解即可；
（2）利用待定系数法求抛物线的解析式即可；
（3）先列表，再描点，最后作图即可。
18．【答案】（1）解：如图1，延长BA交抛物线于点E，点E即为所求；
（2）解：如图2，延长CA、DE交于点P知△PCD为等腰三角形，连接AD、CE交于点Q，连接PQ交抛物线于点F即为所求．
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；尺规作图的定义
【解析】【分析】（1）根据 找点即可；
（2）先求出△PCD为等腰三角形 ，再作点即可。
19．【答案】解：由抛物线顶点坐标为（1，-3）可设其解析式为y=a（x-1）2-3，
将（0，-2）代入，得：a-3=-2，
解得：a=1，
则抛物线解析式为y=（x-1）2-3.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】根据题意可设二次函数的解析式为y=a(x-1)2-3，然后将点（0，-2）代入求出a的值，据此可得二次函数的解析式.
20．【答案】解：∵四边形BFED是矩形，
∴EF∥CB，
∴ ，
∵ ，
∴△AEF∽△ACB，
∴ ，
∵ cm， cm，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ （ ），
∴当 时，S有最大值 ；
∴这种截法下矩形的最大面积是1200 cm2．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】先求出 △AEF∽△ACB， 再利用相似三角形的性质计算求解即可。
21．【答案】解：如图：
由题意可得出：y=a（x+6）2+4，
将（-12，0）代入得出，0=a（-12+6）2+4，
解得： ，
∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是： ．
故答案为： ．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】先求出 0=a（-12+6）2+4， 再求出 ， 最后求解即可。
22．【答案】（1）解：∵二次函数 的图象经过点A(-2，0)，B(6，0)，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为：
（2）解：存在，P(2，-8)或(2，8)
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（2）存在，理由如下：
如图，当点P在 轴下方时，
令 ，则 ，
∴点C的坐标为(0，12)，
∵∠PAB=∠ABC，
∴ ，
∴可设直线BC的解析式为 ，直线AP的解析式为 ，
，
∴ ，
∴直线BC的解析式为 ，
∴直线AP的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线AP的解析式为 ，
∵抛物线解析式为 ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
令 ，
∴此时点P的坐标为(2，-8)；
如图，当点P在 轴上方时，设AP与 轴相交于D，
∵C（0，12），B（6，0），A（-2，0），
∴OA=2，OB=6，OC=12，
∵∠CBO=∠DAO，∠COB=∠DOA，
∴△CBO∽△DAO， ，
∴ ，
∴D（0，4），
设直线AP的解析式为 ，
∴ ，
∴
∴直线AP的解析式为 ，
令 ，
∴此时点P的坐标为(2，8)；
综上所述，抛物线的对称轴上存在点P(2，-8)或(2，8)，使得∠PAB＝∠ABC．
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）分类讨论，利用待定系数法求函数解析式，再利用相似三角形的性质求解即可。
23．【答案】（1）解：∵抛物线顶点坐标（﹣4，3），
∴设抛物线解析式为y=a（x+4）2+3，
∵抛物线经过点（-5，1），
∴1=a（-5+4）2+3，
解得：a=-2，则该抛物线解析式为y=-2（x+4）2+3
（2）解：由（1）知抛物线解析式为y=-2（x+4）2+3；．
则抛物线的开口方向向下，且对称轴是直线x=-4，
所以当x=-4时，y有最大值为3，且x>-4时，y随x的增大而减小．x<-4时，y随x的增大而增大，
所以当x=-6时，y=－5，
当x=-1时，y=-15，
所以当﹣6＜x＜﹣1时，y的取值范围 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】（1）先求出 抛物线解析式为y=a（x+4）2+3， 再求出 1=a（-5+4）2+3， 最后求函数解析式即可；
（2）先求出 抛物线的开口方向向下，且对称轴是直线x=-4， 再求出 当x=-1时，y=-15， 最后求取值范围即可。
24．【答案】（1）解：∵点（0，3）在图象G上，
∴ ，
∴
（2）解：∵抛物线G的解析式为 ，
∴抛物线G的对称轴为直线 ，
当m>0时，此时 ，
∴此时图像G与y轴有交点，则不满足，图像G上一点B到y轴的最小距离为2，
当 时，
∵一个点到y轴的距离即为这个点的横坐标的绝对值，设B（a，b），
∴ ，
∵B到y轴的最小距离为2，
∴此时B点的横坐标即为 ，
∴ ，
解得 或 （舍去）；
当 时， ， ，
∴B点坐标为（-1，-1）；
（3）解：①抛物线G的解析式为 ，
∴抛物线G的对称轴为直线 ，
当 时，G的最高点横坐标即为 ，
∴此时G的最高点纵坐标为 ，
∵图象G的最高点的纵坐标与点P（ ， ）的纵坐标之差为1，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 （舍去）；
时，G的最高点纵坐标即为抛物线 的顶点坐标的纵坐标，
∴此时G点最高点纵坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍去）；
∴综上所述，当图象G的最高点的纵坐标与点P的纵坐标之差为1时， 或 ；② 或
【知识点】二次函数-动态几何问题；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（3）②如图所示，当 时，A点为 时图像G上的一点，
∵抛物线的对称轴为直线x=m，
∴当 时，y随x的增大而增大，
∴要使图象G在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大，则P点必须在A点下方，即P的纵坐标小于A点的纵坐标，同时Q点的横坐标要小于A点的坐标，并且M点的纵坐标必须要大于此时图像G在M点横坐标处的函数值，
∵将点P向左平移4个单位长度得到点Q，连结PQ．以PQ为边向上方作矩形PQMN，使PN＝2，
∴ ， ，
∴ ，
解得 ；
当 时，如图所示，
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴当 时，y随x的增大而增大，
∴要使图象G在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大，则P点必须在抛物线顶点下方，即P的纵坐标小于抛物线顶点的纵坐标，并且M点的纵坐标必须要大于此时图像G在横坐标为M点横坐标处的函数值，
∵将点P向左平移4个单位长度得到点Q，连结PQ．以PQ为边向上方作矩形PQMN，使PN＝2，
∴ ， ，
∴ ，
解得 ；
∴综上所述， 或 ．
【分析】（1）先求出 ， 再计算求解即可；
（2）先求出 抛物线G的对称轴为直线 ， 再计算求解即可；
（3）先求出 抛物线G的对称轴为直线 ， 再分类讨论，列方程求解即可；
（4）结合图形，分类讨论，列不等式求解即可。
25．【答案】（1）解：设二次函数解析式为
∵ 为等边三角形，
∴ ，
，
∴ ， ，代入解得 ，
∴
（2）解：延长PD交x轴于H，
设AC解析式为：
过 ， ，
代入解得 ， ．
∴
∴
∵
∴
（3）解：连接AE，延长CA至K，使 ，连接EK，
∵点E在AD的垂直平分线上．
∴ ．
∴
∴
∴
∴
∴ ，
．
∵
∴ 为等边三角形
∴
∴ ．
∵ 的周长为36
∴ ．
中， ，
（舍）， ，
由（2）得 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用勾股定理和待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出 ， ，再求出点D的坐标，最后求解即可；
（3）利用全等三角形的判定与性质，再结合勾股定理计算求解即可。
1 / 1湘教版初中数学九年级下册第一章二次函数 单元测试
一、单选题
1．（2021九上·长春月考）抛物线y＝2x2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（3，0） B．（﹣3，0） C．（0，3） D．（0，﹣3）
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解： 抛物线 ，
该抛物线的顶点坐标为 ，
故答案为：D．
【分析】根据 抛物线 ，求顶点坐标即可。
2．（2021九上·芜湖月考）在下列抛物线中，其顶点是(－2，4)的是（ ）．
A．y＝(x+2)2﹣4 B．y＝(x－2)2+4
C．y＝(x+2)2+4 D．y＝(x－2)2﹣4
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：A、y＝（x+2）2-4的顶点坐标为（-2，-4），故A不符合题意；
B、y＝（x-2）2+4的顶点坐标为（2，4），故B不符合题意；
C、y＝（x+2）2+4的顶点坐标为（-2，4），故C符合题意；
D、y＝（x-2）2-4的顶点坐标为（2，-4），故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据抛物线y＝a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），逐项进行判断，即可得出答案.
3．（2021九上·芜湖月考）我们把“将抛物线向右平移2个单位或．向上平移1个单位”这种变换称为抛物线的简单变换．已知抛物线经过两次简单变换后得到的一条抛物线是y=x2+1，则原抛物线的表达式不可能是（ ）．
A．y=x2－1 B．y=x2+6x+5 C．y=x2+4x+4 D．y=x2+8x+17
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：A、y=x2-1向上平移1个单位得到y=x2，再向上平移1个单位得到y=x2+1，故A不符合题意；
B、y=x2+6x+5=（x+3）2-4无法经过两次简单变换后得到y=x2+1，故B符合题意；
C、y=x2+4x+4=（x+2）2向右平移2个单位得到y=x2，再向上平移1个单位得到y=x2+1，故C不符合题意；
D、y=x2+8x+17=（x+4）2+1向右平移2个单位得到y=（x+2）2+1，再向右平移2个单位得到y=x2+1，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据平移变换规律：左加右减，上加下减，逐项进行判断，即可得出答案.
4．（2021九上·芜湖月考）已知二次函数y＝x2－bx+c的图象经过A（1，n），B（3，n），且与x轴只有一个交点，则n的值为（ ）．
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵点A（1，n），B（3，n）在抛物线y＝x2-bx+c上，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∴-=2，
∴b=4，
∴抛物线解析式为y=x2-4x+c，
∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴△=(﹣4)2-4c=0，
∴c=4，
∴抛物线解析式为y=x2-4x+4，
当x=1时n=1-4+4=1.
故答案为：A.
【分析】根据二次函数的性质得出抛物线的对称轴为直线x=2，从而得出b的值，再根据抛物线与x轴只有一个交点，得出c的值，从而得出抛物线的解析式，再把x=1代入进行计算，即可得出n的值.
5．（2021九上·德州期中）若二次函数y＝x2﹣6x+k的图象经过A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3+ ，y3）三点，则y1，y2，y3关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y＝x2﹣6x+k，
∴图象的开口向上，对称轴是直线x＝ ＝3，
C（3+ ，y3）关于直线x＝3的对称点是（3- ，y3），
∵ 1＜1＜3- ，
∴y1＞y2＞y3，
故答案为：A．
【分析】先求出二次函数的队曾在，再求出点A、B、C到对称轴的距离，再根据二次函数增减性判断即可。
6．（2021九上·龙凤期中）如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），有下列结论：①2a+b=0，②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，④当y＜0时，﹣2＜x＜4，其中正确的是（ ）
A．②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的其他应用
【解析】【解答】①∵抛物线的对称轴x=﹣ =1，
∴b=﹣2a，即2a+b=0，故此结论符合题意；
②∵由图可知a＜0、c＞0，
∴b=﹣2a＞0，
则abc＜0，故此结论不符合题意；
③由图象可知该抛物线与直线y=3只有唯一交点A（1，3），
∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，此结论符合题意；
④抛物线与x轴的交点为（4，0）且抛物线的对称轴为x=1，
则抛物线与x轴的另一交点为（﹣2，0），
∴当y＜0时，x＜﹣2或x＞4，此结论不符合题意；
综上所述：①③符合题意，
故答案为：B．
【分析】利用对称轴是直线x=1判断①；利用由图可知a＜0、c＞0，得出abc＜0，故此结论不符合题意；由图象可知该抛物线与直线y=3只有唯一交点A（1，3），方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，此结论符合题意；抛物线与x轴的交点为（4，0）且抛物线的对称轴为x=1，则抛物线与x轴的另一交点为（﹣2，0），当y＜0时，x＜﹣2或x＞4，此结论不符合题意。
7．（2021九上·龙凤期中）如图，已知二次函数 向右平移2个单位得到抛物线 的图象，则阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；平移的性质
【解析】【解答】解：设点M为抛物线y1的顶点，点N为抛物线y2的顶点，
连接MA、NB，
则四边形AMNB的面积和阴影部分的面积相等，
∵AB∥MN，AB=MN=2，
∴四边形AMNB是平行四边形，
∵二次函数y1=（x+1）2-3，
∴该函数的顶点M的坐标为（-1，-3），
∴点M到x轴的距离为3，
∴四边形AMNB的面积是2×3=6，
∴阴影部分的面积是6，
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的性质和平移的特点，得出四边形AMNB的面积和阴影部分的面积相等，再根据题意，可求出四边形AMNB是平行四边形，及它的面积，从而得出阴影部分的面积。
8．（2021九上·德州期中）求二次函数 的图象如图所示，其对称轴为直线 ，与 轴的交点为 、 ，其中 ，有下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；其中，正确的结论有（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的其他应用
【解析】【解答】∵抛物线开口向上，∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线 ，∴b=2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，
所以①不符合题意；
∵抛物线 与x轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，而对称轴为 ，由于抛物线与x轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，根据抛物线的对称轴性，∴抛物线与x轴另一个交点在点（-3，0）与点（-2，0）之间，即有-3＜ ＜-2，所以②符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线 ，且c＜-1，∴当 时， ， 所以③符合题意；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ，∴当 时， ，
当 代入 得： ，
∵ ，∴ ，即 ，所以④不符合题意；
∵对称轴为直线 ，∴ ，
∵由于 时， ，∴ 0，所以 0，解得 ，
根据图象得 ，∴ ，所以⑤符合题意.
所以②③⑤符合题意，
故答案为：C．
【分析】①对称轴再y轴的左侧，则ab同号，c＜0，即可求解；②对称轴为直线 ，即可求解；③对称轴为直线 ，且c＜-1，即可求解；开口向上，对称轴为直线 ， ，∴ ，即 ，所以④不符合题意； 时， ， ，所以⑤符合题意.
9．（2020九上·永定期中）下表是满足二次函数 的五组数据， 是方程 的一个解，则下列选项中正确的是（ ）
x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4
y -0.80 -0.54 -0.20 0.22 0.2
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：由表格中的数据，得：
在1.6＜x＜2.4范围内，y随x的增大而增大，
当x=2.0时，y= 0.20<0，当x=2.2时，y=0.22>0，
所以方程 的一个根 的取值范围是2.0< <2.2，
故答案为：C．
【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质进行解答即可。
10．（2021·裕华模拟）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米．当喷射出的水流距离喷水头20米时．达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌．下列说法正确的是（ ）
A．水流运行轨迹满足函数y＝﹣ x2﹣x+1
B．水流喷射的最远水平距离是40米
C．喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米
D．若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：A、设石块运行的函数关系式为y=a（x-20）2+11，
把（0，1）代入解析式得：400a+11=1，
解得： ，
∴解析式为 ；
故A不符合题意；
B、当y=0时， ；
解得x= 2 +20，
∴水流喷射的最远水平距离是2 +20米；
故B不符合题意；
C、当x=20时，y=11，
∴11-2=9
∴喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9米
故C不符合题意；
D、向后平移后的解析式为 ，
当x=37时，y=8.5
8.5-3=5.5＞2.3，
∴可以避开对这棵石榴树的喷灌；
故答案为：D
【分析】设抛物线的解析式为y=a（x-20）2+c，用待定系数法求得解析式，则可判断A；解方程，即可判断B；计算当x=30时y的值，则可判断选项C和D。
二、填空题
11．（2021九上·芜湖月考）将抛物线y=x2+1沿x轴向下翻折，则得到的新抛物线的解析式为 ．
【答案】y=－x2－1
【知识点】二次函数图象的几何变换；轴对称的性质
【解析】【解答】解：根据题意，得翻折后抛物线的解析式的解析式为-y=x2+1，
∴ 新抛物线的解析式为y=-x2-1.
【分析】根据关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标坐标互为相反数，得出翻折后抛物线的解析式的解析式为-y=x2+1，即可得出答案.
12．（2021九上·长春月考）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（6，3）．若抛物线y＝mx2＋2mx＋m＋3（m为常数，m≠0）向右平移a（a＞0）个单位长度，平移后的抛物线的顶点在线段AB上，则a的取值范围为 ．
【答案】1≤a≤7
【知识点】二次函数图象的几何变换；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：∵抛物线 ，
∴抛物线的顶点坐标为（-1，3），
∵点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（6，3），
∴线段AB与x轴平行，且点（-1，3）在直线AB上，
∵抛物线y＝mx2＋2mx＋m＋3（m为常数，m≠0）向右平移a（a＞0）个单位长度，平移后的抛物线的顶点在线段AB上，
∴ ，
解得1≤a≤7，
故答案为：1≤a≤7．
【分析】先求出抛物线的顶点坐标为（-1，3），再求出 ，最后求解即可。
13．（2021九上·芜湖月考）设二次函数y＝x2+2x－3的图象为C1，关于x的一次函数y＝kx+3k的图象为C2.
（1）C1和C2恰好都经过定点P，则点P的坐标为 ；
（2）若C1和C2有两个不同的交点，设其横坐标分别为x1和x2，且x1＜x2＜1，则k的取值范围为 ．
【答案】（1）（－3，0）
（2）k＜0且k≠-4
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）由，
得：x2+（2-k）x-3（1+k）=0，
∴（x+3）［x-（1+k）］=0，
∴x=-3或x=1+k，
∴y=0或y=k2+4k，
∴ 定点P的坐标为（-3，0）；
（2）∵ x1＜x2＜1，
∴-3＜1+k＜1或1+k＜-3＜1，
∴-4＜k＜0或k＜-4，
∴ k的取值范围为k＜0且k≠-4 .
【分析】（1）联立两个函数的解析式得出x2+（2-k）x-3（1+k）=0，利用因式分解法得出x=-3或x=1+k，得出y=0或y=k2+4k，即可得出定点P的坐标为（-3，0）；
（2）根据x1＜x2＜1，得出-3＜1+k＜1或1+k＜-3＜1，解不等式即可得出k的取值范围.
14．（2021九上·德州期中）二次函数y=2x2+(m-1)x-3的顶点在y轴上，则m= ．
【答案】1
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数y=x2+（m-1）x-3的图象顶点在y轴上，
∴ ，
解得m=1．
故答案为：1．
【分析】根据二次函数的顶点的横坐标列式求解即可。
15．（2021九上·龙沙期中）二次函数y＝x2﹣4x+1的最小值是 ．
【答案】-3
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：由二次函数y＝x2﹣4x+1化为顶点式为 ，
∵该二次函数开口向上，
∴当x=2时，有最小值，最小值为-3；
故答案为：-3．
【分析】利用配方法将一般式化为顶点式，再根据顶点式求最值即可。
16．（2021九上·龙凤期中）如图，把抛物线 沿直线 平移 个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后抛物线的表达式是 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵A在直线y=x上，
∴设A（m，m），
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴A（1，1），
∴抛物线解析式为 ，
故答案为： ．
【分析】先根据A在直线y=x上，设A（m，m），再根据 ，利用勾股定理求出m的值，再根据抛物线平移的性质，即可得出解析式。
三、作图题
17．（2021九上·津南期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与对应的函数y的值（部分）如表所示：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … m ﹣2 ﹣3 ﹣2 1 6 …
解答下列问题：
（1）表格中m的值等于 ；
（2）求这个二次函数的解析式；
（3）在直角坐标系中，画出这个函数的图象．
【答案】（1）1
（2）解：把 代入函数解析式可得：
解得：
所以抛物线的解析式为：
（3）解：列表：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 1 ﹣2 ﹣3 ﹣2 1 …
描点：
再用光滑的曲线连接即可.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；描点法画函数图象
【解析】【解答】解：（1）由表格信息可得：抛物线上 关于抛物线的对称轴对称，
所以 关于抛物线的对称轴对称，
所以
故答案为：1
【分析】（1）先求出 关于抛物线的对称轴对称，再求解即可；
（2）利用待定系数法求抛物线的解析式即可；
（3）先列表，再描点，最后作图即可。
18．（2021九上·安义月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点C，A分别在x轴，y轴上，经过A，C两点的抛物线交x轴于另一点D，连接AC．请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中的抛物线上找出点E，使 ．
（2）在图2中的抛物线上作出该抛物线的顶点F．
【答案】（1）解：如图1，延长BA交抛物线于点E，点E即为所求；
（2）解：如图2，延长CA、DE交于点P知△PCD为等腰三角形，连接AD、CE交于点Q，连接PQ交抛物线于点F即为所求．
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；尺规作图的定义
【解析】【分析】（1）根据 找点即可；
（2）先求出△PCD为等腰三角形 ，再作点即可。
四、解答题
19．（2021九上·思明期中）已知抛物线的顶点坐标是（1，﹣3），与y轴的交点是（0，﹣2），求这个二次函数的解析式.
【答案】解：由抛物线顶点坐标为（1，-3）可设其解析式为y=a（x-1）2-3，
将（0，-2）代入，得：a-3=-2，
解得：a=1，
则抛物线解析式为y=（x-1）2-3.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】根据题意可设二次函数的解析式为y=a(x-1)2-3，然后将点（0，-2）代入求出a的值，据此可得二次函数的解析式.
20．（2021九上·肇源期中）现有一块直角三角形的材料， cm， cm，用它截下一个矩形，如图是截法示意图，求这种截法下矩形的最大面积是多少？
【答案】解：∵四边形BFED是矩形，
∴EF∥CB，
∴ ，
∵ ，
∴△AEF∽△ACB，
∴ ，
∵ cm， cm，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ （ ），
∴当 时，S有最大值 ；
∴这种截法下矩形的最大面积是1200 cm2．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】先求出 △AEF∽△ACB， 再利用相似三角形的性质计算求解即可。
21．（2021九上·肇源期中）如图的一座拱桥，当水面宽AB为12 m时，桥洞顶部离水面4
m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是 ，求选取点B为坐标原点时的抛物线解析式．
【答案】解：如图：
由题意可得出：y=a（x+6）2+4，
将（-12，0）代入得出，0=a（-12+6）2+4，
解得： ，
∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是： ．
故答案为： ．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】先求出 0=a（-12+6）2+4， 再求出 ， 最后求解即可。
五、综合题
22．（2021九上·长春月考）如图，已知二次函数y＝﹣x2＋bx＋c的图象经过点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上是否存在点P，使∠PAB＝∠ABC，若存在请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵二次函数 的图象经过点A(-2，0)，B(6，0)，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为：
（2）解：存在，P(2，-8)或(2，8)
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（2）存在，理由如下：
如图，当点P在 轴下方时，
令 ，则 ，
∴点C的坐标为(0，12)，
∵∠PAB=∠ABC，
∴ ，
∴可设直线BC的解析式为 ，直线AP的解析式为 ，
，
∴ ，
∴直线BC的解析式为 ，
∴直线AP的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线AP的解析式为 ，
∵抛物线解析式为 ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
令 ，
∴此时点P的坐标为(2，-8)；
如图，当点P在 轴上方时，设AP与 轴相交于D，
∵C（0，12），B（6，0），A（-2，0），
∴OA=2，OB=6，OC=12，
∵∠CBO=∠DAO，∠COB=∠DOA，
∴△CBO∽△DAO， ，
∴ ，
∴D（0，4），
设直线AP的解析式为 ，
∴ ，
∴
∴直线AP的解析式为 ，
令 ，
∴此时点P的坐标为(2，8)；
综上所述，抛物线的对称轴上存在点P(2，-8)或(2，8)，使得∠PAB＝∠ABC．
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）分类讨论，利用待定系数法求函数解析式，再利用相似三角形的性质求解即可。
23．（2021九上·长春月考）若抛物线的顶点坐标是（﹣4，3），且过点（﹣5，1）．
（1）求此抛物线的函数关系式．
（2）直接写出当﹣6＜x＜﹣1时，y的取值范围．
【答案】（1）解：∵抛物线顶点坐标（﹣4，3），
∴设抛物线解析式为y=a（x+4）2+3，
∵抛物线经过点（-5，1），
∴1=a（-5+4）2+3，
解得：a=-2，则该抛物线解析式为y=-2（x+4）2+3
（2）解：由（1）知抛物线解析式为y=-2（x+4）2+3；．
则抛物线的开口方向向下，且对称轴是直线x=-4，
所以当x=-4时，y有最大值为3，且x>-4时，y随x的增大而减小．x<-4时，y随x的增大而增大，
所以当x=-6时，y=－5，
当x=-1时，y=-15，
所以当﹣6＜x＜﹣1时，y的取值范围 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】（1）先求出 抛物线解析式为y=a（x+4）2+3， 再求出 1=a（-5+4）2+3， 最后求函数解析式即可；
（2）先求出 抛物线的开口方向向下，且对称轴是直线x=-4， 再求出 当x=-1时，y=-15， 最后求取值范围即可。
24．（2021九上·长春月考）在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x2＋2mx＋2m＋1的图像记为G，抛物线G的自变量x的取值范围为x≤2m，m为常数．
（1）当点（0，3）在图象G上时，求m的值．
（2）抛物线G上有一点B到y轴的最小距离为2，求点B的坐标．
（3）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（m，﹣m2＋m＋3）．
①当图象G的最高点的纵坐标与点P的纵坐标之差为1时，求m的值．
②将点P向左平移4个单位长度得到点Q，连结PQ．以PQ为边向上方作矩形PQMN，使PN＝2，当图象G在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）解：∵点（0，3）在图象G上，
∴ ，
∴
（2）解：∵抛物线G的解析式为 ，
∴抛物线G的对称轴为直线 ，
当m>0时，此时 ，
∴此时图像G与y轴有交点，则不满足，图像G上一点B到y轴的最小距离为2，
当 时，
∵一个点到y轴的距离即为这个点的横坐标的绝对值，设B（a，b），
∴ ，
∵B到y轴的最小距离为2，
∴此时B点的横坐标即为 ，
∴ ，
解得 或 （舍去）；
当 时， ， ，
∴B点坐标为（-1，-1）；
（3）解：①抛物线G的解析式为 ，
∴抛物线G的对称轴为直线 ，
当 时，G的最高点横坐标即为 ，
∴此时G的最高点纵坐标为 ，
∵图象G的最高点的纵坐标与点P（ ， ）的纵坐标之差为1，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 （舍去）；
时，G的最高点纵坐标即为抛物线 的顶点坐标的纵坐标，
∴此时G点最高点纵坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍去）；
∴综上所述，当图象G的最高点的纵坐标与点P的纵坐标之差为1时， 或 ；② 或
【知识点】二次函数-动态几何问题；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（3）②如图所示，当 时，A点为 时图像G上的一点，
∵抛物线的对称轴为直线x=m，
∴当 时，y随x的增大而增大，
∴要使图象G在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大，则P点必须在A点下方，即P的纵坐标小于A点的纵坐标，同时Q点的横坐标要小于A点的坐标，并且M点的纵坐标必须要大于此时图像G在M点横坐标处的函数值，
∵将点P向左平移4个单位长度得到点Q，连结PQ．以PQ为边向上方作矩形PQMN，使PN＝2，
∴ ， ，
∴ ，
解得 ；
当 时，如图所示，
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴当 时，y随x的增大而增大，
∴要使图象G在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大，则P点必须在抛物线顶点下方，即P的纵坐标小于抛物线顶点的纵坐标，并且M点的纵坐标必须要大于此时图像G在横坐标为M点横坐标处的函数值，
∵将点P向左平移4个单位长度得到点Q，连结PQ．以PQ为边向上方作矩形PQMN，使PN＝2，
∴ ， ，
∴ ，
解得 ；
∴综上所述， 或 ．
【分析】（1）先求出 ， 再计算求解即可；
（2）先求出 抛物线G的对称轴为直线 ， 再计算求解即可；
（3）先求出 抛物线G的对称轴为直线 ， 再分类讨论，列方程求解即可；
（4）结合图形，分类讨论，列不等式求解即可。
25．（2021九上·哈尔滨月考）已知，平面直角坐标系中，抛物线 交y轴于点A，交x轴于点B、C， 为等边三角形， ．
（1）如图1，求抛物线解析式．
（2）如图2，P为AC上方抛物线上一点，过P作 交AC于D，设点P的横坐标为t，PD的长度为d，求d与t的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，在x轴上点B左侧取一点E，使得点E在AD的垂直平分线上，连接ED，若 的周长为36，求d的值．
【答案】（1）解：设二次函数解析式为
∵ 为等边三角形，
∴ ，
，
∴ ， ，代入解得 ，
∴
（2）解：延长PD交x轴于H，
设AC解析式为：
过 ， ，
代入解得 ， ．
∴
∴
∵
∴
（3）解：连接AE，延长CA至K，使 ，连接EK，
∵点E在AD的垂直平分线上．
∴ ．
∴
∴
∴
∴
∴ ，
．
∵
∴ 为等边三角形
∴
∴ ．
∵ 的周长为36
∴ ．
中， ，
（舍）， ，
由（2）得 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用勾股定理和待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出 ， ，再求出点D的坐标，最后求解即可；
（3）利用全等三角形的判定与性质，再结合勾股定理计算求解即可。
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