湘教版初中数学九年级下册第二章圆 单元测试
一、单选题
1．（2021九上·芜湖月考）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，如果以点为圆心，AC为半径作⊙A，那么斜边AB的中点D与⊙A的位置关系是（ ）．
A．点D在⊙A外 B．点D在⊙A上 C．点D在⊙A内 D．无法确定
2．（2021九上·芜湖月考）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD=36°，那么∠BAD等于（ ）．
A．36° B．44° C．54° D．56°
3．（2021九上·芜湖月考）如图，PA、PB分别切⊙O于A，B，∠APB=60°，⊙O半径为2，则PB的长为（ ）．
A．3 B．4 C． D．
4．（2021九上·德州期中）如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，若剪下的三角形的周长为8cm，则BC为（ ）
A．8cm B．5cm C．6.5cm D．无法确定
5．（2021九上·德州期中）如图所示，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE＝8个单位，OF＝6个单位，则圆的直径为（ ）
A．12个单位 B．10个单位 C．1个单位 D．15个单位
6．（2021九上·阳信期中）下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021九上·阳信期中）如图，从圆外一点P引圆的两条切线PA，PB，A，B为切点，C为PB上的一点，连接CO交⊙O于点D，若 ， ， ，则⊙O的半径长是（ ）
A． B． C．4 D．3
8．（2021九上·阳信期中）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
9．（2021九上·阳信期中）如图，点A、B、C是⊙O上的三个点，若∠AOB＝82°，则∠C的度数为（ ）
A．82° B．38° C．24° D．41°
10．（2021九上·阳信期中）已知 是半径为6的圆的一条弦，则 的长不可能是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
二、填空题
11．（2021九上·哈尔滨月考）若扇形的圆心角为90°，半径为4，则该扇形的弧长为 ．
12．（2021九上·德州期中）如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为 ．
13．（2021九上·德州期中）在半径为2的圆O中有一条弦AB=2 ，则弦AB所对的圆周角度数为
14．（2021九上·阳信期中）如图，若以AB为边长作⊙O的内接正多边形，则这个多边形是正 边形．
15．（2021·靖江模拟）如图，点P为⊙O外一点，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝90°.若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）.
16．（2020·高新模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圆，则点M的坐标为 .
三、解答题
17．（2021九上·芜湖月考）如图，在△ABC中AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A为圆心，AB为半径作⊙A，延长BC交⊙A于点D，试求CD的长．
18．（2021九上·德州期中）如图所示，一座圆弧形拱桥的跨度AB长为40米，桥离水面最大距离CD为10米，若有一条水面上宽度为30米，宽度为6米的船能否通过这座桥？请说明理由．
19．（2021九上·阳信期中）如图，一宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切于点C时，另一边与圆两个交点A和B的读数恰好为“2”和“8”（单位：cm）求该圆的半径．
20．（2021九上·阳信期中）如图， 和 是⊙ 的两条切线，A，B是切点．C是 上任意一点，过点C画⊙ 的切线，分别交 和 于D，E两点，已知 ，求 的周长．
四、综合题
21．（2021九上·芜湖月考）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，经过点C的⊙O与斜边AB相切于点D，交AC边于点E．
（1）求证：∠ACD= ∠B；
（2）若BC＝6，AC＝8，求AD和CD的长．
22．（2021九上·阳信期中）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系， 的顶点均在格点上，点O为原点，点A、B的坐标分别是 、 ．
（1）将 向下平移2个单位后得到 ，则点 的坐标为 ；
（2）将 绕点O逆时针旋转 后得到 ，请在图中作出 ，并求出这时点 的坐标为 ▲ ；
（3）在（2）中的旋转过程中，求线段OB扫过的图形的面积．
23．（2021九上·龙沙期中）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过点A作AB⊥OP，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与PA的延长线交于点D．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若OB=3，OD=5，求OP的长．
24．（2021九下·昆明月考）在 中， ， ， 是 边上的点，⊙O与 相切，切点为 ， 与⊙O相交于点 ，且 ．
（1）求证： 是⊙O的切线；
（2）如果 为 弧上的一个动点（不与 、 重合），过点 作⊙O的切线分别与边 、 相交于 、 ，连接 、 ，有两个结论：①四边形 的周长不变，② 的度数不变．已知这两个结论只有一个符合题意，找出正确的结论并证明；
（3）探究：在（2）的条件下，设 ， ，试问 与 之间满足怎样的函数关系，写出你的探究过程并确定变量 的取值范围，并说明当 时 点的位置．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AC=2，BC=4，
∴AB=，
∵D为AB的中点，
∴AD=＞AC，
∴点D在⊙A外.
故答案为：A.
【分析】先根据勾股定理求出AB=2，再根据线段中点的定义得出AD=＞AC，即可得出点D在⊙A外.
2．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=∠ACD=36°，
∴∠BAD=90°-36°=54°.
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理得出∠ADB=90°，∠ABD=∠ACD=36°，再根据直角三角形的两个锐角互余，即可得出∠BAD=54°.
3．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OP，OB，
∵ PA、PB分别切⊙O于A，B，∠APB=60°，
∴∠B=90°，∠BPO=∠APB=30°，
∴OP=2OB=4，
∴PB=.
故答案为：C.
【分析】根据切线的性质和切线长定理得出∠B=90°，∠BPO=∠APB=30°，从而得出OP=4，再利用勾股定理即可得出PB的长.
4．【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：由切线长定理得，BD=BG，CE=CG，MH=MD，NH=NE，
∴△AMN的周长=AM+MN+AN
=AM+MH+AN+NH
=AM+MD+AN+NE
=AD+AE
=8（cm），
∵△ABC的周长=AD+AE+BD+CE+BC=8+BG+CG+BC=8+2BC=18cm，
∴BC=5，
故答案为：B．
【分析】根据切线长定理得出BD=BG，CE=CG，MH=MD，NH=NE，将三角形ABC的周长化为AD+AE+BD+CE+BC，求解即可。
5．【答案】B
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接EF，
∵OE⊥OF，
∴EF是圆的直径，
∴EF= ．
故答案为：B．
【分析】连接EF，再来勾股定理即可求出EF的长。
6．【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：根据圆周角的定义可知，选项 中的角是圆周角．
故答案为：A．
【分析】根据圆周角的定义逐项判断即可。
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接OB，PO，
∵从圆外一点P引圆的两条切线PA，PB，A，B为切点，
∴PA＝PB＝9，∠BPO＝∠APO，∠OBC＝90°，
∵CD∥AP，
∴∠COP＝∠OPA＝∠OPB，
∴CP＝CO＝2＋OD，
∴BC＝9 （2＋OD）＝7 OD，
∵OC2＝OB2＋BC2，
∴（7 OD）2＋OD2＝（2＋OD）2，
∴OD＝3，OD＝15（不合题意舍去），
∴⊙O的半径长是3，
故答案为：D．
【分析】由切线长定理得出PA＝PB＝9，∠BPO＝∠APO，∠OBC＝90°，由平行线的性质得出CP＝CO＝2＋OD，有勾股定理可求解。
8．【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OC，如下图：
∵ ，
∴
又∵DC切⊙O于点C，OC为半径
∴
∴ 是直角三角形
∴
∴
故答案为：C
【分析】连接OC，由于AB是直径，可知，，推出 是直角三角形，再利用三角形外角性质求解即可。
9．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： ， ，
，
故答案为：D．
【分析】根据圆周角的性质：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可。
10．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵圆的半径为6，
∴直径为12，
∵AB是一条弦，
∴AB的长应该小于等于12，不可能为14，
故答案为：D．
【分析】根据直径是圆中最长的弦可求出答案。
11．【答案】2π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由弧长公式可得：该扇形的弧长为
故答案为：2π
【分析】根据 扇形的圆心角为90°，半径为4， 再结合弧长公式计算求解即可。
12．【答案】60°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°（直径所对的圆周角是直角），
∵∠CBD=30°，
∴∠D=60°（直角三角形的两个锐角互余），
∴∠A=∠D=60°（同弧所对的圆周角相等）；
故答案是：60°
【分析】先求出∠D的度数，再由圆周角定理即可得出结论。
13．【答案】45°或135°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图所示，
连接OA、OB，过O作OF⊥AB，则AF= AB，∠AOF= ∠AOB，
∵OA=2，AB= ，
∴AF= AB= ，
∴OF= = ，
∴△AOF是等腰直角三角形，∠AOF=45°，
∴∠AOB=2∠AOF=90°，
∴∠ADB= ∠AOB=45°，
∴∠AEB=180°-45°=135°，
故答案为：45°或135°．
【分析】先根据题意画出图形，连接OA、OB，过O作OF⊥AB，则AF= AB，∠AOF= ∠AOB，由垂径可求出AF的长，根据勾股定理求出OF，得出等腰直角三角形，可求出∠AOF的度数，由圆周角定理及圆内接四边形的性质即可求出答案。
14．【答案】六
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，AC⊥BD，∠BAD=∠ABC=90°，
∴∠OAE=∠OBF=45°，∠AOB=∠EOF=90°，
∴∠AOE+∠BOE=∠BOF+∠BOE，
∴∠AOE=∠BOF，
在△AOE和△BOF中， ，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴S△AOE=S△BOF，
∴四边形EOFB的面积S1=S△AOB= S2，
故答案为：S1= S2．
【分析】根据正方形的性质得出OA=OB，AC⊥BD，∠BAD=∠ABC=90°，求得∠AOE=∠BOF，根据全等三角形的性质得出结论即可。
15．【答案】4-π
【知识点】扇形面积的计算；切线长定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接OA，OB，
∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴OA⊥AP，OB⊥PB，PA=PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°=∠BPA，
∴四边形OBPA是正方形，
∴∠AOB=90°，
∴阴影部分的面积=S正方形OBPA-S扇形AOB则=22- =4-π.
故答案为：4-π.
【分析】连接OA，OB，由切线长定理可得PA=PB，∠OAP=∠OBP=90°=∠BPA，根据有三个角是直角的四边形是矩形，然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形可得四边形OBPA是正方形，则∠AOB=90°，由图形的构成得S阴影=S正方形OBPA-S扇形AOB即可求解.
16．【答案】（6，6）
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图∵圆M是△ABC的外接圆
∴点M在AB、BC的垂直平分线上，
∴BN=CN，
∵点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0）
∴OA=OB=4，OC=8，
∴BC=4，
∴BN=2，
∴ON=OB+BN=6，
∵∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵OM⊥AB，
∴∠MON=45°，
∴△OMN是等腰直角三角形，
∴MN=ON=6，点M的坐标为（6，6）.
故答案为：（6，6）.
【分析】如图：由题意可得M在AB、BC的垂直平分线上，则BN=CN；证得ON=OB+BN=6，即△OMN是等腰直角三角形，得出MN=ON=6，即可得出答案.
17．【答案】解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，连接AD.
∴AD＝AB＝5，
根据垂径定理，得DE＝BE，
∴CE＝BE﹣BC＝DE﹣2.
根据勾股定理，得AD2﹣DE2＝AC2﹣CE2
∴52﹣DE2＝42﹣（DE﹣2）2
解得DE=
∴CD＝DE+CE＝2DE﹣2=
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】 过点A作AE⊥BD于点E，连接AD，根据垂径定理得出DE＝BE，得出CE＝DE-2，根据勾股定理得出AD2-DE2＝AC2-CE2，得出DE的长，利用CD＝DE+CE＝2DE-2，即可得出答案.
18．【答案】解：如图，假设船能通过，弧形桥所在的圆恢复如图，
在Rt△AOD中，r2=202+（r﹣10）2，
解得r=25，
∴OD=r﹣10=15，
在Rt△OEG中，r2=152+OG2，
解得OG=20，
∴可以通过的船的高度为GD=OG﹣OD=20﹣15=5，
∵6＞5，
∴船不能通过．
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】先恢复弧形桥所在的圆 ，求出圆的半径，再根据船的宽度求出 可以通过的船的高度 ，即可判断能否通过。
19．【答案】解 ：连接OC，交AB于E，
由切线性质可得OC垂直于直尺两边，且CE=2，
∵AB=8﹣2=6cm，OE⊥AB，
∴BE= AB= ×6=3cm，
设OB=r，
∴（r﹣2）2+9=r2
解得r= ，
∴该圆的半径为 cm．
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】根据垂径定理得出BE的长，再根据勾股定理列方程求解即可。
20．【答案】解：∵DA、DC是圆O的切线，
∴DA=DC，
同理可得EC=EB，
∴C△PDE=PD+PE+DE=PD+PE+DC+CE=PD+PE+DA+EB=PA+PB=10cm．
【知识点】切线长定理
【解析】【分析】根据 DA、DC是圆O的切线， 得出DA=DC，同理可得EC=EB，再根据周长公式求解即可。
21．【答案】（1）证明：如图，连接OD.
∵AB为切线，∴OD⊥AB，∴∠ODB＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠COD＝180°.
∵∠AOD+∠COD＝180°，∴∠AOD＝∠ABC.
∵∠AOD＝2∠ACD，∴∠ACD= ∠ABC.
（2）解：在Rt△ABC中，AB=
∵OC⊥CB，∴BC为切线，∴BD＝BC＝6，∴AD＝4.
设⊙O的半径为r，则OD＝OC＝r，OA＝8﹣r，
在Rt△AOD中，r2+42＝（8﹣r）2，解得r＝3，∴OC＝3.
如图，连接OB交CD于H.
∵OC＝OD，BC＝BD，∴OB垂直平分CD.
在Rt△OCB中，OB=
∴CD＝2CH=
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得出∠ODB＝90°，从而得出∠AOD＝∠ABC，根据圆周角定理得出∠AOD＝2∠ACD，即可得出∠ACD=∠ABC；
（2）根据切线长定理得出BD＝BC＝6，得出AD＝4，设⊙O的半径为r，得出OD＝r，OA=8-r，再根据勾股定理列出方程，解方程求出r的长，连接OB交CD于H，求出OB的长，再根据等积法得出CH的长，利用CD＝2CH，即可得出CD的长.
22．【答案】（1）（1，1）
（2）解：（-2，3）；同样的方法求出点 ，顺次连接 、 、O就得出 ，
是所求作的图形．
（3）解：如图： ，
线段OB扫过的图形的面积为 ．
【知识点】扇形面积的计算；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【解答】（1）如图， 为所作，
，
故答案为：（1，1）；
（2）如图， ，过点O作OA的垂线，在上面取一点 使 ，
由作图得： ．
故答案为： ；
【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出 的坐标，在描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的旋转画出A、B的对应点 、 即可；
（3） 先利用勾股定理计算出OB，再根据扇形的面积公式计算即可。
23．【答案】（1）证明：连接OA，
∵AB⊥OP，OB=OA，
∴∠BOP=∠AOP，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
在△OBP与△OAP中 ，
∴△OBP≌△OAP（SAS），
∴∠OBP=∠OAP=90°．
∴OB⊥PB．
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：∵OD=5，OA=OB=3，∴在Rt△AOD中，AD= =4，
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴PA=PB，
在Rt△DBP中，PD2=PB2+BD2，即（PB+4）2=PB2+82，
解得，PB= 6，
在Rt△OBP中，OP= =3 ．
【知识点】勾股定理；切线的判定
【解析】【分析】（1） 连接OA， 根据切线的性质得出 ∠OAP=90°， 证明 △OBP≌△OAP（SAS）， 得出 ∠OBP=∠OAP=90°． 根据切线的判定定理证明即可；
（2）根据勾股定理得出AD的值，根据切线的性质得出 PA=PB，再根据勾股定理得出PB的值，最后根据勾股定理即可得解。
24．【答案】（1）解：如图，连接OA，OD，OE，
∵AB是⊙O的切线，点D为切点，
∴∠ADO=90°，
∵AD=AE，OD=0E，AO=AO，
∴△AOD≌△AOE，
∴∠ADO=∠AEO=90°，
∴AC是⊙O的切线，点E为切点；
（2）解：根据题意，四边形BCHG的周长为BC+CH+BG+HG，
∵ ， ，
∴∠B=∠C=45°，BC=4 ，
∵∠ADO=∠AEO=90°，OD=0E，
∴∠DOB=∠EOC=45°，△BOD≌△COE，
∴OB=OC，BD=CE，
∴∠EOD=90°，∠AOB=90°，∠BAO=45°，
∴BD=OD=DA=CE= AB=2，
∵AB，AC，GH都是⊙O的切线，
∴HF=HE，GD=GF，
∴四边形BCHG的周长为BC+CE+EH+GH+BD+GD
=BC+CE+BD+GH+HF+FG
= BC+CE+BD+2GH
=4+4 +2GH，
∵GH是变量，
∴四边形BCHG的周长不是定值，这个结论不符合题意；
∵AB，AC，GH都是⊙O的切线，
根据切线长定理，得
GO平分∠DOF，HO平分∠EOF，
∴∠GOH=∠GOF+∠HOF= ∠DOF+ ∠EOF= （∠DOF+∠EO）
= ∠EOD，
∵∠EOD=90°，
∴∠GOH=45°，是个定值，故该结论符合题意
（3）解：根据题意，GD=GF=x-2，HE=HF=y-2，
∴GH=x+y-4，AG=4-x，AH=4-y，
在直角三角形AGH中，
，
∴ ，
整理，得
y= ，且2＜x＜4，
当x=y时，∴AG=AH，
∴AG：AB=AH：AC，
∴GH∥BC，
∴OF⊥GH，
∵BG=CH，∠B=∠C，BO=CO，
∴△BOG≌△COH，
∴GO=HO，
∴GF=FH，
∴A，F，O三点一线，
∴∠DOF=∠EOF，
∴弧DF=弧EF，
故点F是弧DE的中点．
【知识点】切线的判定；圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接OA，OD，OE，证明△AOD≌△AOE，得到∠AEO=90°，判断即可；
（2）根据切线长定理，四边形 的周长=4+4 +2GH，GH可变，故该结论不符合题意；
根据题意，∠GOH=∠GOF+∠HOF= ∠DOF+ ∠EOF= （∠DOF+∠EO）
= ∠EOD，证明∠EOD=90°即可；
（3）根据题意，GD=GF=x-2，HE=HF=y-2，故GH=x+y-4，AG=4-x，AH=4-y，
在直角三角形AGH中，实施勾股定理，化简即可，注意特殊位置弧的中点．
1 / 1湘教版初中数学九年级下册第二章圆 单元测试
一、单选题
1．（2021九上·芜湖月考）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，如果以点为圆心，AC为半径作⊙A，那么斜边AB的中点D与⊙A的位置关系是（ ）．
A．点D在⊙A外 B．点D在⊙A上 C．点D在⊙A内 D．无法确定
【答案】A
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AC=2，BC=4，
∴AB=，
∵D为AB的中点，
∴AD=＞AC，
∴点D在⊙A外.
故答案为：A.
【分析】先根据勾股定理求出AB=2，再根据线段中点的定义得出AD=＞AC，即可得出点D在⊙A外.
2．（2021九上·芜湖月考）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD=36°，那么∠BAD等于（ ）．
A．36° B．44° C．54° D．56°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=∠ACD=36°，
∴∠BAD=90°-36°=54°.
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理得出∠ADB=90°，∠ABD=∠ACD=36°，再根据直角三角形的两个锐角互余，即可得出∠BAD=54°.
3．（2021九上·芜湖月考）如图，PA、PB分别切⊙O于A，B，∠APB=60°，⊙O半径为2，则PB的长为（ ）．
A．3 B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OP，OB，
∵ PA、PB分别切⊙O于A，B，∠APB=60°，
∴∠B=90°，∠BPO=∠APB=30°，
∴OP=2OB=4，
∴PB=.
故答案为：C.
【分析】根据切线的性质和切线长定理得出∠B=90°，∠BPO=∠APB=30°，从而得出OP=4，再利用勾股定理即可得出PB的长.
4．（2021九上·德州期中）如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，若剪下的三角形的周长为8cm，则BC为（ ）
A．8cm B．5cm C．6.5cm D．无法确定
【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：由切线长定理得，BD=BG，CE=CG，MH=MD，NH=NE，
∴△AMN的周长=AM+MN+AN
=AM+MH+AN+NH
=AM+MD+AN+NE
=AD+AE
=8（cm），
∵△ABC的周长=AD+AE+BD+CE+BC=8+BG+CG+BC=8+2BC=18cm，
∴BC=5，
故答案为：B．
【分析】根据切线长定理得出BD=BG，CE=CG，MH=MD，NH=NE，将三角形ABC的周长化为AD+AE+BD+CE+BC，求解即可。
5．（2021九上·德州期中）如图所示，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE＝8个单位，OF＝6个单位，则圆的直径为（ ）
A．12个单位 B．10个单位 C．1个单位 D．15个单位
【答案】B
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接EF，
∵OE⊥OF，
∴EF是圆的直径，
∴EF= ．
故答案为：B．
【分析】连接EF，再来勾股定理即可求出EF的长。
6．（2021九上·阳信期中）下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：根据圆周角的定义可知，选项 中的角是圆周角．
故答案为：A．
【分析】根据圆周角的定义逐项判断即可。
7．（2021九上·阳信期中）如图，从圆外一点P引圆的两条切线PA，PB，A，B为切点，C为PB上的一点，连接CO交⊙O于点D，若 ， ， ，则⊙O的半径长是（ ）
A． B． C．4 D．3
【答案】D
【知识点】勾股定理；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接OB，PO，
∵从圆外一点P引圆的两条切线PA，PB，A，B为切点，
∴PA＝PB＝9，∠BPO＝∠APO，∠OBC＝90°，
∵CD∥AP，
∴∠COP＝∠OPA＝∠OPB，
∴CP＝CO＝2＋OD，
∴BC＝9 （2＋OD）＝7 OD，
∵OC2＝OB2＋BC2，
∴（7 OD）2＋OD2＝（2＋OD）2，
∴OD＝3，OD＝15（不合题意舍去），
∴⊙O的半径长是3，
故答案为：D．
【分析】由切线长定理得出PA＝PB＝9，∠BPO＝∠APO，∠OBC＝90°，由平行线的性质得出CP＝CO＝2＋OD，有勾股定理可求解。
8．（2021九上·阳信期中）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OC，如下图：
∵ ，
∴
又∵DC切⊙O于点C，OC为半径
∴
∴ 是直角三角形
∴
∴
故答案为：C
【分析】连接OC，由于AB是直径，可知，，推出 是直角三角形，再利用三角形外角性质求解即可。
9．（2021九上·阳信期中）如图，点A、B、C是⊙O上的三个点，若∠AOB＝82°，则∠C的度数为（ ）
A．82° B．38° C．24° D．41°
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： ， ，
，
故答案为：D．
【分析】根据圆周角的性质：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可。
10．（2021九上·阳信期中）已知 是半径为6的圆的一条弦，则 的长不可能是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵圆的半径为6，
∴直径为12，
∵AB是一条弦，
∴AB的长应该小于等于12，不可能为14，
故答案为：D．
【分析】根据直径是圆中最长的弦可求出答案。
二、填空题
11．（2021九上·哈尔滨月考）若扇形的圆心角为90°，半径为4，则该扇形的弧长为 ．
【答案】2π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由弧长公式可得：该扇形的弧长为
故答案为：2π
【分析】根据 扇形的圆心角为90°，半径为4， 再结合弧长公式计算求解即可。
12．（2021九上·德州期中）如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为 ．
【答案】60°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°（直径所对的圆周角是直角），
∵∠CBD=30°，
∴∠D=60°（直角三角形的两个锐角互余），
∴∠A=∠D=60°（同弧所对的圆周角相等）；
故答案是：60°
【分析】先求出∠D的度数，再由圆周角定理即可得出结论。
13．（2021九上·德州期中）在半径为2的圆O中有一条弦AB=2 ，则弦AB所对的圆周角度数为
【答案】45°或135°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图所示，
连接OA、OB，过O作OF⊥AB，则AF= AB，∠AOF= ∠AOB，
∵OA=2，AB= ，
∴AF= AB= ，
∴OF= = ，
∴△AOF是等腰直角三角形，∠AOF=45°，
∴∠AOB=2∠AOF=90°，
∴∠ADB= ∠AOB=45°，
∴∠AEB=180°-45°=135°，
故答案为：45°或135°．
【分析】先根据题意画出图形，连接OA、OB，过O作OF⊥AB，则AF= AB，∠AOF= ∠AOB，由垂径可求出AF的长，根据勾股定理求出OF，得出等腰直角三角形，可求出∠AOF的度数，由圆周角定理及圆内接四边形的性质即可求出答案。
14．（2021九上·阳信期中）如图，若以AB为边长作⊙O的内接正多边形，则这个多边形是正 边形．
【答案】六
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，AC⊥BD，∠BAD=∠ABC=90°，
∴∠OAE=∠OBF=45°，∠AOB=∠EOF=90°，
∴∠AOE+∠BOE=∠BOF+∠BOE，
∴∠AOE=∠BOF，
在△AOE和△BOF中， ，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴S△AOE=S△BOF，
∴四边形EOFB的面积S1=S△AOB= S2，
故答案为：S1= S2．
【分析】根据正方形的性质得出OA=OB，AC⊥BD，∠BAD=∠ABC=90°，求得∠AOE=∠BOF，根据全等三角形的性质得出结论即可。
15．（2021·靖江模拟）如图，点P为⊙O外一点，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝90°.若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）.
【答案】4-π
【知识点】扇形面积的计算；切线长定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接OA，OB，
∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴OA⊥AP，OB⊥PB，PA=PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°=∠BPA，
∴四边形OBPA是正方形，
∴∠AOB=90°，
∴阴影部分的面积=S正方形OBPA-S扇形AOB则=22- =4-π.
故答案为：4-π.
【分析】连接OA，OB，由切线长定理可得PA=PB，∠OAP=∠OBP=90°=∠BPA，根据有三个角是直角的四边形是矩形，然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形可得四边形OBPA是正方形，则∠AOB=90°，由图形的构成得S阴影=S正方形OBPA-S扇形AOB即可求解.
16．（2020·高新模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圆，则点M的坐标为 .
【答案】（6，6）
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图∵圆M是△ABC的外接圆
∴点M在AB、BC的垂直平分线上，
∴BN=CN，
∵点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0）
∴OA=OB=4，OC=8，
∴BC=4，
∴BN=2，
∴ON=OB+BN=6，
∵∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵OM⊥AB，
∴∠MON=45°，
∴△OMN是等腰直角三角形，
∴MN=ON=6，点M的坐标为（6，6）.
故答案为：（6，6）.
【分析】如图：由题意可得M在AB、BC的垂直平分线上，则BN=CN；证得ON=OB+BN=6，即△OMN是等腰直角三角形，得出MN=ON=6，即可得出答案.
三、解答题
17．（2021九上·芜湖月考）如图，在△ABC中AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A为圆心，AB为半径作⊙A，延长BC交⊙A于点D，试求CD的长．
【答案】解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，连接AD.
∴AD＝AB＝5，
根据垂径定理，得DE＝BE，
∴CE＝BE﹣BC＝DE﹣2.
根据勾股定理，得AD2﹣DE2＝AC2﹣CE2
∴52﹣DE2＝42﹣（DE﹣2）2
解得DE=
∴CD＝DE+CE＝2DE﹣2=
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】 过点A作AE⊥BD于点E，连接AD，根据垂径定理得出DE＝BE，得出CE＝DE-2，根据勾股定理得出AD2-DE2＝AC2-CE2，得出DE的长，利用CD＝DE+CE＝2DE-2，即可得出答案.
18．（2021九上·德州期中）如图所示，一座圆弧形拱桥的跨度AB长为40米，桥离水面最大距离CD为10米，若有一条水面上宽度为30米，宽度为6米的船能否通过这座桥？请说明理由．
【答案】解：如图，假设船能通过，弧形桥所在的圆恢复如图，
在Rt△AOD中，r2=202+（r﹣10）2，
解得r=25，
∴OD=r﹣10=15，
在Rt△OEG中，r2=152+OG2，
解得OG=20，
∴可以通过的船的高度为GD=OG﹣OD=20﹣15=5，
∵6＞5，
∴船不能通过．
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】先恢复弧形桥所在的圆 ，求出圆的半径，再根据船的宽度求出 可以通过的船的高度 ，即可判断能否通过。
19．（2021九上·阳信期中）如图，一宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切于点C时，另一边与圆两个交点A和B的读数恰好为“2”和“8”（单位：cm）求该圆的半径．
【答案】解 ：连接OC，交AB于E，
由切线性质可得OC垂直于直尺两边，且CE=2，
∵AB=8﹣2=6cm，OE⊥AB，
∴BE= AB= ×6=3cm，
设OB=r，
∴（r﹣2）2+9=r2
解得r= ，
∴该圆的半径为 cm．
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】根据垂径定理得出BE的长，再根据勾股定理列方程求解即可。
20．（2021九上·阳信期中）如图， 和 是⊙ 的两条切线，A，B是切点．C是 上任意一点，过点C画⊙ 的切线，分别交 和 于D，E两点，已知 ，求 的周长．
【答案】解：∵DA、DC是圆O的切线，
∴DA=DC，
同理可得EC=EB，
∴C△PDE=PD+PE+DE=PD+PE+DC+CE=PD+PE+DA+EB=PA+PB=10cm．
【知识点】切线长定理
【解析】【分析】根据 DA、DC是圆O的切线， 得出DA=DC，同理可得EC=EB，再根据周长公式求解即可。
四、综合题
21．（2021九上·芜湖月考）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，经过点C的⊙O与斜边AB相切于点D，交AC边于点E．
（1）求证：∠ACD= ∠B；
（2）若BC＝6，AC＝8，求AD和CD的长．
【答案】（1）证明：如图，连接OD.
∵AB为切线，∴OD⊥AB，∴∠ODB＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠COD＝180°.
∵∠AOD+∠COD＝180°，∴∠AOD＝∠ABC.
∵∠AOD＝2∠ACD，∴∠ACD= ∠ABC.
（2）解：在Rt△ABC中，AB=
∵OC⊥CB，∴BC为切线，∴BD＝BC＝6，∴AD＝4.
设⊙O的半径为r，则OD＝OC＝r，OA＝8﹣r，
在Rt△AOD中，r2+42＝（8﹣r）2，解得r＝3，∴OC＝3.
如图，连接OB交CD于H.
∵OC＝OD，BC＝BD，∴OB垂直平分CD.
在Rt△OCB中，OB=
∴CD＝2CH=
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得出∠ODB＝90°，从而得出∠AOD＝∠ABC，根据圆周角定理得出∠AOD＝2∠ACD，即可得出∠ACD=∠ABC；
（2）根据切线长定理得出BD＝BC＝6，得出AD＝4，设⊙O的半径为r，得出OD＝r，OA=8-r，再根据勾股定理列出方程，解方程求出r的长，连接OB交CD于H，求出OB的长，再根据等积法得出CH的长，利用CD＝2CH，即可得出CD的长.
22．（2021九上·阳信期中）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系， 的顶点均在格点上，点O为原点，点A、B的坐标分别是 、 ．
（1）将 向下平移2个单位后得到 ，则点 的坐标为 ；
（2）将 绕点O逆时针旋转 后得到 ，请在图中作出 ，并求出这时点 的坐标为 ▲ ；
（3）在（2）中的旋转过程中，求线段OB扫过的图形的面积．
【答案】（1）（1，1）
（2）解：（-2，3）；同样的方法求出点 ，顺次连接 、 、O就得出 ，
是所求作的图形．
（3）解：如图： ，
线段OB扫过的图形的面积为 ．
【知识点】扇形面积的计算；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【解答】（1）如图， 为所作，
，
故答案为：（1，1）；
（2）如图， ，过点O作OA的垂线，在上面取一点 使 ，
由作图得： ．
故答案为： ；
【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出 的坐标，在描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的旋转画出A、B的对应点 、 即可；
（3） 先利用勾股定理计算出OB，再根据扇形的面积公式计算即可。
23．（2021九上·龙沙期中）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过点A作AB⊥OP，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与PA的延长线交于点D．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若OB=3，OD=5，求OP的长．
【答案】（1）证明：连接OA，
∵AB⊥OP，OB=OA，
∴∠BOP=∠AOP，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
在△OBP与△OAP中 ，
∴△OBP≌△OAP（SAS），
∴∠OBP=∠OAP=90°．
∴OB⊥PB．
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：∵OD=5，OA=OB=3，∴在Rt△AOD中，AD= =4，
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴PA=PB，
在Rt△DBP中，PD2=PB2+BD2，即（PB+4）2=PB2+82，
解得，PB= 6，
在Rt△OBP中，OP= =3 ．
【知识点】勾股定理；切线的判定
【解析】【分析】（1） 连接OA， 根据切线的性质得出 ∠OAP=90°， 证明 △OBP≌△OAP（SAS）， 得出 ∠OBP=∠OAP=90°． 根据切线的判定定理证明即可；
（2）根据勾股定理得出AD的值，根据切线的性质得出 PA=PB，再根据勾股定理得出PB的值，最后根据勾股定理即可得解。
24．（2021九下·昆明月考）在 中， ， ， 是 边上的点，⊙O与 相切，切点为 ， 与⊙O相交于点 ，且 ．
（1）求证： 是⊙O的切线；
（2）如果 为 弧上的一个动点（不与 、 重合），过点 作⊙O的切线分别与边 、 相交于 、 ，连接 、 ，有两个结论：①四边形 的周长不变，② 的度数不变．已知这两个结论只有一个符合题意，找出正确的结论并证明；
（3）探究：在（2）的条件下，设 ， ，试问 与 之间满足怎样的函数关系，写出你的探究过程并确定变量 的取值范围，并说明当 时 点的位置．
【答案】（1）解：如图，连接OA，OD，OE，
∵AB是⊙O的切线，点D为切点，
∴∠ADO=90°，
∵AD=AE，OD=0E，AO=AO，
∴△AOD≌△AOE，
∴∠ADO=∠AEO=90°，
∴AC是⊙O的切线，点E为切点；
（2）解：根据题意，四边形BCHG的周长为BC+CH+BG+HG，
∵ ， ，
∴∠B=∠C=45°，BC=4 ，
∵∠ADO=∠AEO=90°，OD=0E，
∴∠DOB=∠EOC=45°，△BOD≌△COE，
∴OB=OC，BD=CE，
∴∠EOD=90°，∠AOB=90°，∠BAO=45°，
∴BD=OD=DA=CE= AB=2，
∵AB，AC，GH都是⊙O的切线，
∴HF=HE，GD=GF，
∴四边形BCHG的周长为BC+CE+EH+GH+BD+GD
=BC+CE+BD+GH+HF+FG
= BC+CE+BD+2GH
=4+4 +2GH，
∵GH是变量，
∴四边形BCHG的周长不是定值，这个结论不符合题意；
∵AB，AC，GH都是⊙O的切线，
根据切线长定理，得
GO平分∠DOF，HO平分∠EOF，
∴∠GOH=∠GOF+∠HOF= ∠DOF+ ∠EOF= （∠DOF+∠EO）
= ∠EOD，
∵∠EOD=90°，
∴∠GOH=45°，是个定值，故该结论符合题意
（3）解：根据题意，GD=GF=x-2，HE=HF=y-2，
∴GH=x+y-4，AG=4-x，AH=4-y，
在直角三角形AGH中，
，
∴ ，
整理，得
y= ，且2＜x＜4，
当x=y时，∴AG=AH，
∴AG：AB=AH：AC，
∴GH∥BC，
∴OF⊥GH，
∵BG=CH，∠B=∠C，BO=CO，
∴△BOG≌△COH，
∴GO=HO，
∴GF=FH，
∴A，F，O三点一线，
∴∠DOF=∠EOF，
∴弧DF=弧EF，
故点F是弧DE的中点．
【知识点】切线的判定；圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接OA，OD，OE，证明△AOD≌△AOE，得到∠AEO=90°，判断即可；
（2）根据切线长定理，四边形 的周长=4+4 +2GH，GH可变，故该结论不符合题意；
根据题意，∠GOH=∠GOF+∠HOF= ∠DOF+ ∠EOF= （∠DOF+∠EO）
= ∠EOD，证明∠EOD=90°即可；
（3）根据题意，GD=GF=x-2，HE=HF=y-2，故GH=x+y-4，AG=4-x，AH=4-y，
在直角三角形AGH中，实施勾股定理，化简即可，注意特殊位置弧的中点．
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