相似导学案
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文档简介
7.1图形的相似（一）（总第一课时）计划上课时间
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一、学习目标:
1、从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念．
2、了解成比例线段的概念，会确定线段的比．
二、重点、难点：（1）重点：相似图形的概念与成比例线段的概念．
（2）难点：成比例线段概念．
三、复习和预习案：
C1 、观察下列右方几幅图片可以发现，其中的一个图形可以看作是另一个图形 或
得到的。它们的 相同，我
们把这种 相同的图形叫做 。
C2、上方左图中第一幅是人们从平面镜中看到的镜像与自己相似吗？ 。第二和第三幅是人们从哈哈镜里看到的镜像与自己相似吗？ 。
C3、数学书的长记作线段AB= 厘米，宽记作线段CD= 厘米。我们把这两条线段的长度的比叫做 。记作：——。
C4、对于四条线段a,b,c,d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，（记作：或a:b=c:d），我们就说这四条线段是 ，简称 ．
C5、若四条线段a,b,c,d满足，则有 × = × 。
四、讨论与展示、点评、质疑：
C1、如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是（ ）
C2、一张桌面的长（1）如果a=1.25m，宽b=0.75m，则a:b = 。（2）如果a=125cm，b=75cm，则a:b = 。（3）如果a=1250mm，b=750mm，则a:b = 。
小结：上面分别采用m、cm、mm三种不同的长度单位，求得的的值说 __的，由此可知：两条线段的比与所采用的长度单位______，但求比时两条线段的长度单位必须____．
C3、已知：一张地图的比例尺是1:32000000，量得北京到上海的图上距离大约为3.5cm，求北京到上海的实际距离大约是多少km？
五、自我检测案：C1、如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？
C2、如图，图形a～f中，与图形（1）相似的是 ，与图形(2)相似的是 。
C3、下列说法正确的是（ ）
A．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似.B．商店新买来的一副三角板是相似的.
C．所有的课本都是相似的. D．国旗的五角星都是相似的.
C4、观察下列图形： 与 ， 与 ， 与 是相似图形。
C5、在比例尺是1:8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离时7.5cm，那么福州与上海之间的实际距离是多少km？
C6、AB两地的实际距离为2500m，在一张平面图上的距离是5cm，那么这张平面地图的比例尺是多少？
27.1 图形的相似（二）（总第二课时）计划上课时间
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一、教学目标：
1、知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
2、会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算．
二、重点、难点：1．重点：相似多边形的主要特征与识别．
2．难点：运用相似多边形的特征进行相关的计算．
三、复习和预习案：
C1、观察图片，体会相似图形性质：
(1) 图 (1)中的△A1B1C1是由正△ABC放大后得到的,它们的对应角 ，对应边的比 。
图27.1-4
(2)图(2)中两个正六边形是相似的，它们的对应角 ，对应边的比 。
C2、、左图的格点图中有一个四边形，在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形．
C3、（1）相似多边形的特征：相似多边形的对应角______，对应边的比___ ____．
反之，如果两个多边形的对应角______，对应边的比_______，那么这两个多边形_______．
C4、相似比：相似多边形______ __的比称为相似比．相似比为1的两个相似图形是 。因此___ _____形是一种特殊的相似形．
C5、相似比是有顺序的．△ABC与△A＇B＇C＇的相似比为k，则△A＇B＇C＇与△ABC的相似比为．
四、讨论与展示、点评、质疑：
C1、下列说法正确的是（ ）
A．所有的平行四边形都相似 B．所有的矩形都相似
C．所有的菱形都相似 D．所有的正方形都相似
C2、如图：四边形ABCD和EFGH相似，则 ， ， ．
C3、如上图所示的两个直角三角形相似吗？
C4、如图所示的两个五边形相似，则 = 、
= 、 = 、 = ．
B5、已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，
且A1B1:B1C1:C1D1:D1A1=7:8:11:14，若四边形ABCD的周长为40，求四边形ABCD的各边的长．
五、自我检测案：
C1、△ABC与△DEF相似，且相似比是，则△DEF 与△ABC与的相似比是（ ）．
A． B． C． D．
C2、下列所给的条件中，能确定相似的有（ ）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
（1）两个半径不相等的圆； （2）所有的正方形； （3）所有的等腰三角形；（4）所有的等边三角形； （5）所有的等腰梯形； （6）所有的正六边形．
C3、已知四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相 B4、如图，AB∥EF∥CD，CD=4，AB=9，若
似，四边形ABCD的最长边和最短边的长分 梯形CDEF与梯形EFAB相似，求EF的长．
别是10cm和4cm，如果四边形A1B1C1D1的
最短边的长是6cm，那么四边形A1B1C1D1
中最长的边长是多少？
B5、如图，一个矩形ABCD的长AD= a cm，宽AB= b cm，E、F分别是AD、BC的中点，连接E、F，所得新矩形ABFE与原矩形ABCD相似，求a:b的值． （:1）
27.2.1相似三角形的判定（一）（总第三课时）计划上课时间
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一、学习目标:1、会用符号“∽”表示相似三角形如△ABC ∽ △;
2、知道当△ABC与△的相似比为k时，△与△ABC的相似比为1/k．
3、理解掌握平行线分线段成比例定理
二、重点、难点： （1）重点: 理解掌握平行线分线段成比例定理及应用．
三、复习和预习案： （2）难点: 掌握平行线分线段成比例定理应用．
C1、相似多边形的对应角______，对应边的比___ ____．
C2、相似三角形的对应角______，对应边的比___ ____．
C3、（1）相似三角形的定义几何语言： （2）相似三角形的性质几何语言：
∵∠A ∠A′, ∠B ∠B′, ∠C ∠C′ ∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠A=___, ∠B=___, ∠C=___,
∴△ABC △A′B′C′ ．
（3）两个相似三角形的相似比k=1时，这两个三角形是 。
C4、（1）如图27.2-1,已知三条直线l3 , l4, l5.互相平行，量得线段AB = , BC = ， DE = , EF = 。计算 AB︰BC = ，DE︰EF = 。发现 （或记作AB：BC DE：EF）。
（2）同理：AB︰AC=（ ）︰（ ），BC︰AC=（ ）︰（ ）．
（3）平行线分线段成比例定理： 三条__ _ 截两条直线，所得的__ ___线段的比___ ___。
平行线分线段成比例定理几何语言： 平行线分线段成比例定理推论几何语言：
∵ ∵
∴ ∴
C5、如图27.2-2（1）中，AD：DB = ： ，AD：AB = ： ，DB：AB = ： 。
C6、如图27.2-2（2）中，AD：DB = ： ，AD：AB = ： ，DB：AB = ： 。
C7、平行线分线段成比例定理推论： 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的_______线段的比_________.
四、讨论与展示、点评、质疑：
C1、如图，△ABC∽△AED, 其中DE∥BC，找出对应角并写出对应边的比例式．
C2、如图，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，找出对应角并写出对应边的比例式．
C3、 如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4 ，AB=3，EC=1.求AD和BD.
五、自我检测案：
1、如果△ABC∽△ADE,则∠ = ∠ ，∠ = ∠ ， ---- = ---- = ----。
2、如图△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA．
（1）写出对应边的比例式；
（2）写出所有相等的角；
（3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD、DC的长．
C3、如图16，在矩形中，点分别在边上，，，求的长．
27.2.1相似三角形的判定（二）（总第四课时）计划上课时间
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一、学习目标：1、经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程．
2、会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题．
二、重点、难点：1、重点：相似三角形的定义与三角形相似的预备定理．
2、难点：三角形相似的预备定理的应用．
三、复习和预习案：
C1、在相似多边形中，最简单的就是就是边数最少的相似 ．
C2、现阶段判定三角形相似的方法有 种，就是相似三角形的定义：
（1）相似三角形的定义的几何语言： （2）相似三角形的性质的几何语言：
∵△ABC与△A′B′C′中： ∵
= ， = ， = ， ∴ = ， = ， = ，
= = = =
∴
B3、如图27.2-3，在△ABC中，DE∥BC，△ADE与△ABC相似吗？
分析：（1）找三组对应 分别相等。即 = ， = ， =
（2）找三组对应 的比相等。即 = =
证明：
C4、判定三角形相似的（预备）定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所成的三角形与原来三角形相似。
判定三角形相似的（预备）定理几何语言：
∵
∴
C5、现阶段判定三角形相似的方法有 种，一是用 ，二是用
四、讨论与展示、点评、质疑：
C1、如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的长．
解：∵ ∥ 又∵DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm
∴ ∽ ∴
∴ = ∴DE =
五、自我检测案：（一）填空：
C1、如图，△ABC∽△AED, 其中DE∥BC，则 = ， = ，
= ， = =
C2、如图，AB∥EF∥CD，图中共有 对相似三角形。
C3、如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．
C4、如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有 对
C5、下列各组三角形一定相似的是（ ）
A．两个直角三角形 B．两个钝角三角形 C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形
C6、如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相似三角形 对。
C2、如图，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，则 = =
B3、如图，DE∥BC，（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；
（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长．
解：（1）∵ ∥ （2）∵AB = + = + =
∴ ∽ ∽
∴ = ∴ = =
又∵AD=2，DB=3 ∴ = =
∴DE:BC = ∴AE = BC =
B4、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h．(设网球是直线运动)
解：由题可得： = 5米， = 0.8米，
= 10米。 ∥
∵ ∥
∴ ∽
∴ =
∴ =
∴h = = 米。
27.2.1相似三角形的判定（三）（总第五课时）计划上课时间
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一、学习目标:
1、 初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法，以及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法．
二、重点、难点（1）重点: 掌握两种判定方法，会运用两种判定方法判定两个三角形相似。
（2）难点:准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似．
三、复习和预习案：
C1、现阶段判定三角形相似的方法有 种，一是用 ，二是用
C2、两个相似三角形的相似比k=1时，这两个三角形是 。
C3、三角形全等的判定方法有 种：
C4、类似于三角形全等的（SSS，SAS）判定方法，讨论：
（1）三边的比都相等两个三角形相似。（2）两组边的比和夹角都相等的两个三角形相似。
几何语言： 几何语言：
四、讨论与展示、点评、质疑： C1、判断⊿ABC和⊿是否相似。
（1）已知∠A = 120 AB = 7 ，AC = 14 （2）AB = 4 AC = 8 BC = 6
∠= 120 = 3 =6 = 12 =21 =18
解： ∵ = ， = 解：∵
∴ = ∴
∵ ∴
∴ ∽
C2、已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD的长．
解：∵—— = ，—— =
∴ = ∴ =
∵ 既： =
∴ ∽ ∴ AD =
B3、如果在△ABC中∠B=30°，AB=5㎝，AC=4㎝，在△A’B’C’中，∠B’=30°A’B’=10㎝，A’C’=8㎝，这两个三角形一定相似吗？ 。
C4、特别注意： 两边的比和一个角相等时，如果角是两边和夹角，两个三角形相似；如果这个角不是夹角，两个三角形不一定相似。
五、自我检测案：
C1、如图，AB?AC=AD?AE，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△AED．
证明：∵ =
∴——— = ———
∵ ∠ = ∠
∴ ∠ = ∠
∴ ∽
C2、已知：如图，P为△ABC中线AD上的一点，且BD2=PD?AD，求证：△ADC∽△CDP． 证明：∵ =
∴——— = ———
∵ ∠ = ∠
∴ ∠ = ∠
∴ ∽
C3、如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD?AB，求证：△ACD∽△ABC。
C4、已知零件的外径为25cm，要求它的厚度x，需先求出它的内孔直径AB，现用一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）去量（如图），若OA：OC=OB：OD=3，CD=7cm。求此零件的厚度x。
B5、如图18，⊙中，弦相交于的中点，
连接并延长至点，使，连接BC、．
（1）求证：；
（2）当时，求的值
27.2.1 相似三角形的判定（四）（总第六课时）计划上课时间
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一、学习目标：1、掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法．
二、重点、难点：1、重点：三角形相似的判定方法3——“两角对应相等，两个三角形相似”。2、难点：三角形相似的判定方法3的运用．
三、复习和预习案：C1、观察两副三角尺，其中同样角度（300与600，或450与450）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是 三角形。
C2、类似于相似三角形的判定（一）、判定（二）研究判定（三）
（1）三边的比都相等两个 （2）两组边的比和夹角都 （3）两组角分别相等的
三角形相似。 相等的两个三角形相似。 两个三角形相似。
几何语言： 几何语言： 几何语言：
C3、有一个锐角相等的两直角三角形相似吗？ ；有一个角相等的两等腰三角形相似吗？ ；在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝80°，∠C＝60°，∠A′＝80°，∠B′＝40°，这两个三角形相似吗？ 。
四、讨论与展示、点评、质疑：
C1、△ABC中，点D在AB上，如果∠ACD= C2、弦AB和CD相交于⊙o内一点P,
∠B，AD = 4cm ，BD =2 cm,求AC的长。 求证:PA·PB=PC·PD
解：∵ ∠ = ∠ ， 证明：连结 、
∠ = ∠ ∵ = 、 =
∴ ∽ ∴ ∠ =∠ ，∠ =∠
∴——— = ——— ∴ ∽
既： = ∴——— = ———
∴ AC = ∴ 。
C3、如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，DF⊥AE于F。 ∴
∴∠ = ∠ =90 ∴——— = ———
∥ 既： =
∴ ∴DF =
C4、如图3，点D在AB上，当∠ ＝∠ 时， △ACD∽△ABC。
C5、如图4，点E在AC上，点D在AB上，则满足条件 ，就可以使△ADE与原△ABC相似。
五、自我检测案：
C1、如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、 C2、已知：如图，∠1=∠2=∠3，
BC、CA的中点，求证：△ABC∽△DEF． 求证：△ABC∽△ADE．
证明： 证明：
C3、已知：如图，△ABC 的高AD、BE C4、已知：如图，BE是△ABC的外接圆O的直径，
交于点F．求证：． CD是△ABC的高．（1）求证：AC?BC=BE?CD；
（2）若CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的直径BE的长．
27.2.2相似三角形应用举例（一）（总第七课时）计划上课时间
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一、学习目标:1、进一步巩固相似三角形的知识． 2、能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题． 3、通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．
二、学习重点、难点：1、重点：运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度．2、难点：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题。
三、复习和预习案：
C1、相似三角形的判定：
（1）三边的比都相等两个 （2）两组边的比和夹角都 （3）两组角分别相等的
三角形相似。 相等的两个三角形相似。 两个三角形相似。
几何语言： 几何语言： 几何语言：
四、讨论与展示、点评、质疑：
C1、据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾
经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一
根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量
金字塔的高度．如图，如果木杆EF长2 m，它的影长
FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO．
解：
C2、在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为90米，那么高楼的高度是多少米?
解：
C3、如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，求河的宽度PQ．
五、自我检测案：
C1、如图，这是圆桌正上方的灯泡（当成一个点）发出的光线照射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面为1米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为多少？
C2、为了测量一池塘的宽AB,在岸边找到了一点C,
使AC⊥AB，在AC上找到一点D，在BC上找到一点E,使DE⊥AC，测出AD=35m，DC=35m，DE =30m,那么你能算出池塘的宽AB吗?
C3、如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸
边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线
杆．小丽站在离南岸边15米的点处看北岸，发现北岸
相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这
两棵树之间还有三棵树，求河宽多少米？
27.2.3相似三角形的周长与面积（总第八课时）计划上课时间
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学习目标：1、相似三角形的一切对应线段的比都等于相似比。
2、理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
3、能用三角形的性质解决简单的问题．
二、学习重点、难点1、重点：相似三角形的性质与运用．2、难点：相似三角形性质的灵活运用，及对“相似三角形面积的比等于相似比的平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相似比”的理解．
三、复习和预习案：
C1、相似三角形性质一：相似三角形的 相等.
相似三角形性质二：相似三角形的 相等。
C2、如图：∵△ABC∽△A′B′C′，且△ABC与△A′B′C′，的相似比为k，
∴ —— = —— = —— = k
∴AB = ，BC = ，CA = 。
∴
C3、相似三角形性质三：相似三角形周长的比等于 。
C4、相似三角形性质四：相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比等于 。
C5、相似三角形性质五：相似三角形面积的比等于
四、讨论与展示、点评、质疑：
C1、 已知：如图：△ABC ∽△A′B′C′， C2、如图在ΔABC 和ΔDEF中，AB=2DE，
它们的周长分别是 60 cm 和72 cm，且AB AC=2DF，∠A=∠D，ΔABC的周长是
＝15 cm，B′C′＝24 cm，求BC、 24，面积是12，求ΔDEF的周长和
AB、A′B′、A′C′的长． 面积。
五、自我检测案：
C1、填空：（1）如果两个相似三角形对应边的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为_____，面积的比为_____．
（2）如果两个相似三角形面积的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为________．
（3）连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_______．
（4）两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm和18 cm，若较大三角形的周长是42 cm ，面积是12 cm 2，则较小三角形的周长为________cm，面积为_______cm2．
（5）如果把一个三角形各边同时扩大为原来的5倍，那么它的周长也扩大为原来的 倍。
（6）如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那么它的三边也扩大为原来的 倍。
C2、如图,求证正方形网格上的△A1B1C1和△A2B2C2相似，并出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比．
B3、△ABC中，DE∥BC，EF∥AB， B4、如图，点D、E分别是△ABC边AB、
已知△ADE和△EFC的面积分别为 AC上的点，且DE∥BC，BD＝2AD，求
4和9，求△ABC的面积。 △ADE的周长︰△ABC的周长的值。
27.3位似（一）（总第九课时）计划上课时间
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一、学习目标：1、了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质．2、掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．
二、学习重点、难点：1、重点：位似图形的有关概念、性质与作图．
2、难点：利用位似将一个图形放大或缩小．
三、复习和预习案：
C1、生活中我们经常把自己好看的照片放大或缩小，由于没有改变图形的形状，我们得到的照片是真实的.
C2、观察下图中的两个图形不仅是 多边图形，而且每组对应点的连线都相交于 ，对应边都互相 ，这样的两个图形叫做 . 这个交点叫做 。这时的相似比又称为 .（位似中心可在形上、形外、形内.)
C3、利用位似，可以将一个图形进行 或 。
四、讨论与展示、点评、质疑：
C1、把图中的四边形ABCD缩小到原来的．
作法一：（1）在四边形ABCD外任取一点O；
（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取
点A′、B′、C′、D′，使得；
（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，
作法二：（1）在四边形ABCD外任取一点O；
（2）过点O分别作射线OA， OB， OC，OD；
（3）分别在射线OA， OB， OC， OD
的反向延长线上取点A′、B′、C′、D′，
使得；
（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′。
作法三：（1）在四边形ABCD内任取一点O；
（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；
（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′，
使得；
（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，
五、自我检测案：
C1、 下列说法正确的是（ ）
A.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定全等；
B.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形不一定相似；
C.两个图形如果是相似图形，那么这两个图形一定位似；
D.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定相似。
C2、下列每组图中的两个多边形，是位似图形的是（ ）
C3、下图中四边形ABCD和四边形EFGD是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A. 点E B. 点F C.点G D.点D
C5、已知上图中，AE∶ED=3∶2，则四边形ABCD
与四边形EFGD的位似比为（ ）
A. 3∶2 B. 2∶3 C. 5∶2 D. 5∶3
C6、如上右边图，已知△ABC和点O.以O为位似中心，求作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长缩小到原来的一半.
27.3位似（二）（总第十课时）计划上课时间
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一、学习目标：1、巩固位似图形及其有关概念．2、会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．
3、了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同，并能在复杂图形中找出这些变换．
二、学习重点、难点：1、重点：用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．
2、难点：把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．
三、复习和预习案：
C1、在平面直角坐标系中，先画出以A(6,3)和B(6,0)为端点的线段AB，再以坐标原点O为位似中心，相似比为把线段AB缩小，则A点的对应点 的坐标为（ ）或（ ），B点的对应点 的坐标为（ ）或（ ）。
C2、△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，则A点的对应点 的坐标为（ ）或（ ），B点的对应点 的坐标为（ ）或（ ），A点的对应点 的坐标为（ ）或（ ）。
C3、位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比
四、讨论与展示、点评、质疑：
C1、四边形ABCD的坐标为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0) ,
D(-2,4),画出它的一个以原点O为位似中心,相似比为1/2
的位似图形.
C2、如图所示的图案中，找出平移、轴对称、旋转和位似变换。
解：观察的角度不同，答案就不同（答案不惟一）：
如：（1）它可以看作是一排鱼按照（ ）方向旋转（ ）度连续旋转（ ）次得到的旋转图形；
（2）它还可以看作位似中心是图形的（ ），相似比是 ∶ ∶ ∶ 的位似图形。
C3、如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，
（1）将△ABC向左平移三个单位得到△A1B1C1，则
A1（ ）、B1（ ）、C1（ ）。
（2）△ABC关于x轴对称的△A2B2C2三个顶点
A2（ ）、B2（ ）、C2（ ）。
（3）将△ABC绕点O旋转180°得到△A3B3C3，
A3（ ）、B3（ ）、C3（ ）。
五、自我检测案：
C1、如图，在直角坐标系中，△ABC的各个坐标为A（-1，1），B（2，3），C（0，3）。画出以坐标原点0为位似中心，位似比为0.5的⊿，则A（ ）、B（ ）、C（ ）
B2、如图△ABC中，边BC=8cm，高AD=12cm，EF∥BC。（1）若EF=4,求（2）若将EF向上平移，使=4，求的高。（3）若设，试写出与的函数解析式。
相似三角形的小结与复习课（总第十一课时）计划上课时间
主备 审阅 审批
一、学习目标：1、通过例题的讲解使学生进一步巩固相似三角形的概念、三角形相似的判定及相似三角形的性质等知识。2、培养学生把课本上所学知识应用到实践中去的认识以及提高学生解决实际问题的能力。3、培养学生将实际问题抽象成数学问题的思想方法。
二、教学重点与难点：1、通过例题的分析、研究，揭示应用相似三角形有关知识解题的规律，提高分析问题和解决问题的能力。
三、复习和预习案：C1、相似三角形的判定方法：
（1）定义：对应角 ，对应边 的两个三角形叫做相似三角形（不常用）。
（2）预备定理：如果一条直线 于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边（或其延长线）分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似。
（3）判定一：两组 相等的两个三角形相似。
（4）判定二：两组 且 相等的两个三角形相似。
（5）判定三：三组 的两个三角形相似。
（6）判定四： 和一条 的两个直角三角形相似（适用于直角三角形）。
C2、相似形的性质：（1）相似三角形的 相等、 相等。
（2） 相似三角形 的比、 的比、 的比和 的比都等于相似比。
（3）相似三角形 的比等于相似比的平方。
C3、判断题（1）所有的等边三角形都相似 ( ) （2）所有的等腰直角三角形都相似 ( )
（3）所有的直角三角形都相似 ( ) （4）所有等腰三角形都相似 ( )
（5）有一个角是100°的两个等腰三角形相似 ( )
（6）有一个角是70°的两个等腰三角形相似 ( )
（7）如果两个三角形周长之比是1∶2，那么它的面积之比为1∶4( )
（8）若两等腰三角形面积之比为9∶25，则它的底边之比为3∶5( )
C4、填空：（1）已知两个相似三角形的对应角平分线的比是1∶4，则对应高的比为_____，面积的比为_____。（2）已知两个相似三角形的面积比是1∶4，对应中线的比为_____，周长的比为______。（3）一个三角形的面积扩大为原来的100倍，而它的形状不变，则边长应扩大为原来的______倍。（4）两个相似三角形对应周长的比为2∶3，面积的比为1∶a,则a等于_____.
四、讨论与展示、点评、质疑：
A5、如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上
的一动点（P异于A、D），Q是BC边上的任意一点. 连AQ、DQ，
过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F.
(1)求证：△APE∽△ADQ；(2)设AP的长为x，试求△PEF的面积
S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？
(3)当Q在何处时，△ADQ的周长最小？
五、自我检测案：
C2、如图△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=8cm，高AD=12cm，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上（不与点B、点C重合）。求：（1）AK为何值时，矩形EFGH是正方形？
（2）AK为何值时，此矩形的邻边之比是1:2？
（3）若设，试写出与的函数解析式。
（4）为何值时，达到最大值。
第27章《相似》测试题C
时间90分钟，满分100分
一、选择题（每小题3分，共24分）
1. （08贵阳市）如果两个相似三角形的相似比是，那么它们的面积比是（ ）
A． B． C． D．
2.若两个相似三角形的面积比为4:1，那么这两个三角形的周长比为（ ）
A.4:1 B.1:4 C.2:1 D.16:1
3.在比例尺为1:5000的国家体育馆“鸟巢”的设计图上，长轴为6.646cm，短轴为5.928cm，则它们的实际长度分别为（ ）
A.332.3m，296.4m B.330m，300m C.332.5m，296.5m D.332.3m，297.3m
4.如图1，用两根等长的钢条和交叉构成一个卡钳，可以用来测量工作内槽的宽度.设，且量得，则内槽的宽等于（ ）
A. B. C. D.
5.如图2，小华在打网球时，若使球刚好能过网（网高AB为0.8m），且落在对方区域离网5m点O点处，已知她的击球高度CD是2.4m.如图2，如果认为球是直线运动的，则她站的地点离网的距离是（ ）
A.15m B.10m C.8m D.7.5m
6.某装潢公司要在如图3所示的五角星中，沿边每隔20厘米装一盏闪光灯，若BC=（-1）米，则需要安装闪光灯（ ）
A.100盏 B.101盏 C.102盏 D.103盏
7.在平面直角坐标系中，已知A（6，3），B（6，0）两点，以坐标原点O为位似中心，位似比为，把线段AB缩小到线段A/B/，则A/B/的长度等于（ ）
A.1 B.2 C.3 D.6
8.如图4，△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①∠ACP=∠B，②∠APC=∠ACB，③AC2=AP·AB，④AB·CP=AP·CB.其中能满足△APC和△ACB相似的条件是（ ）
A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①②③
二、填空题（每小题3分，共24分）
9.已知=，则=________.
10. （08荆州市）两个相似三角形周长的比为2:3，则其对应的面积比为___________.
11.如图5，电影胶片上每一个图片的规格为3．5 cm×3．5 cm，放映屏幕的规格为2 m×2 m，若放映机的光源S距胶片2 0 cm，那么光源S距屏幕 ，米时，放映的图象刚好布满整个屏幕．
12.如图6，已知等腰的面积为，点分别是边的中点，则梯形的面积为______．
13.如果两个位似图形的对应线段长分别为2cm和6cm，且两个图形的面积之差为120cm2，则较大的图形的面积为_________.
14.如图7，△ABC中，AB>AC，过AC上一点D作直线DE，交AB于E，使△ADE与△ABC相似，这样的直线可作_______条.
15.如图8，△EDC是由△ABC缩小得到的，A（-3，5），那么点E的坐标是________.
16.我们可以用下面的方法测出月球的距离：如图9，在月圆时，把一个五分的硬币（直径约为2.4cm），放在离眼O约2.6m的AB处，正好把月亮遮住，已知月球的直径约为3500km，那么月球与地球的距离约为_________.
三、解答题（共52分）
17.（8分）图9是几组三角形的组合图形，图①中，△AOB∽△DOC；图②中，△ABC∽△ADE；图③中，△ABC∽△ACD；图④中，△ACD∽△CBD.
小Q说：图①、②是位似变换，其位似中心分别是O和A.
小R说：图③、④是位似变换，其位似中心是点D.
请你观察一番，评判小Q，小R谁对谁错.
18.（8分）如图10，在一个3×5的正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C在单位正方形顶点上，请你在图中画一个△A1，B1，C1都在单位正方形的顶点上.
19.（8分）如图10，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，问：△AOB与△COD是否相似？
有一名同学解答如下：
因为AD∥BC，所以∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO，
所以△AOD∽△BOC，所以又因为∠AOB=∠DOC，所以△AOB∽△COD.
请判断这名同学的证明是否正确，说明理由.
20.（8分）如图12，AD是∠BAC的角平分线，交△ABC的边BC于点D，BH⊥AD，CK⊥AD，垂足分别为H、K，你能说明AB·DK=AC·DH吗？
21.（10分）如图13，在正方形ABCD中，P是CD上一动点（与C、D不重合），使三角板的直角顶点与P重合，并且一条直角边经过点B，另一条直角边所在的直线交于点E.
探究：（1）观察操作作结果，你发现哪个三角形与△BPC相似？为什么？
（2）当P点位于CD的中点时，（1）中两个相似三角形周长的比是多少？
22.（10分）如图14，在中，，是边上的高，是边上的一个动点（不与重合），，，垂足分别为．
（1）求证：；
（2）与是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；
（3）当时，为等腰直角三角形吗？并说明理由．
参考答案
一、1.B 2.C 3.A 4.A 5.B 6.A 7.A 8.D
二、9. 10. 4：9 11. 12.6 13.135cm2 14.2 15.（-2，2.5） 16.3.8×105km提示：2.4×10-5km，又△OAB∽△OCD.所以==，即OE=3.8×105km.
三、17.小Q对，①，②都可以看成位似变换，位似中心分别为O、A，③、④虽然都存在相似三角形，但对应顶点的连线不相交于一点，而且对应边也不平行，所以③、④不是位似变换.
18.由图可知∠ABC=135°，不妨设单位正方形的边长为1个单位，则AB:BC=1:，由此推断，所画三角形必有一角为135°，且夹该角的两边之比为1:，也可以把这一比值看作:2，2:2等，以此为突破口，在图连出和2，2和2等线段，即得△EDF∽△GDH∽△FMN∽△ABC，如图所示.即图中的△EDF、△GDH、△FMN均可视为△A1B1C1.
19.不正确，错在△AOD∽△BOC不能得到，而应得到主要原因是没有找准△AOD与△BOC的对应边.
20.由题意，可得△ABH∽△ACK，△BHD∽△CKD，则有，所以，即有AB·DK=AC·DH.
21.（1）如图（1）当另一条直角边与AD交于点E时，则有△PDE∽△BCP，说明略；
（2）如图（1），当点P是CD的中点时，则有△PDE和△BCP的周长比是1:2；如图（2），当点P是CD的中点时，则有△PCE∽△BCP的周长比是1:2或者△BPE和△BCP的周长比为
22. （1）证明：在和中，
，
，.
（2）与垂直.证明如下：
在四边形中，
四边形为矩形，
由（1）知.
为直角三角形，，，
，.
又，.
即..
（3）当时，为等腰直角三角形，
理由如下：
，，
由（2）知：..
又，为等腰直角三角形.
相似三角形测试题
一、选择题（40分）
1. 如图1，已知，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
图4
图3 图3
图1
2. 如图2所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中单独能够判定的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3. 如图3，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：
（1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4.其中正确的有：（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4. 若△ABC∽△DEF, △ABC与△DEF的相似比为１∶2，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．1∶4 B．1∶2 C．2∶1 D．１∶
5. 如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（ ）
A．只有1个 B．可以有2个 C．有2个以上但有限 D．有无数个
6. 美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图4，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
7. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）
8. 在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高.将△ABC按如图5所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为（ ）
A．9.5 B．10.5 C．11 D．15.5
9. 如图6，在中，的垂直平分线交的延长线于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．2
图5 图6 图7
10. 如图7，是的直径，是的切线，点在上，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（30分）
11．如图8是一种贝壳的俯视图，点分线段近似于黄金分割．已知=10，则的长约为 ．（结果精确到0.1）
图8 图9
图10
12. 如图9，与中，交于．给出下列结论：①；②；③；④．
其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）．
13. 如图10，中，直线交于点交于点交于点若则 ．
14. 如图11，锐角△ABC中，BC＝6,两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y ＞0）,当x ＝ ，公共部分面积y最大，y最大值
图11 图12 图13
15. 如图12，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是 ．
16.将三角形纸片（△ABC）按如图13所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是 ．
三、解答题（80分）
17.（本题8分）如图14，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，
求证：△ADE∽△EFC．
图14
18.（本题8分）如图15，已知是的直径，过点作弦的平行线，交过点的切线于点，连结．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
图15
19. （本题8分）如图16，在矩形中，点分别在边上，，，求的长．
图16
20（本题10分）如图17，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的
高，AE是⊙O的直径，连接BE，△ABE与△ADC相似吗？请证明你的结论．
图17
21（本题10分）如图18，⊙中，弦相交于的中点，
连接并延长至点，使，连接BC、．
（1）求证：；
（2）当时，求的值
22（本题12分）已知：如图19，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB上的
点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．
（1）求证：BC＝CD；
（2）求证：∠ADE＝∠ABD；
（3）设AD＝2，AE＝1，求⊙O直径的长．
图19
23（本题12分）正方形边长为4，、分别是、上的两个动点，当点在上运动时，保持和垂直，
（1）证明：；
（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；
当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；
（3）当点运动到什么位置时，求的值．
24（本题12分）如图，在中，点是边上的动点（点与点不重合），过动点作交于点
（1）若与相似，则是多少度？
（2）试问：当等于多少时，的面积最大？
最大面积是多少？
（3）若以线段为直径的圆和以线段为直径
的圆相外切，求线段的长．
九年级数学 相似 单元测试（1）
一.选择题(每小题3分,共30分)
1.在比例尺为1:5000的地图上,量得甲,乙两地的距离25cm,则甲,乙的实际距离是( )
A.1250km B.125km C. 12.5km D.1.25km
2.已知,则的值为 ( )
A. B. C.2 D.
3.已知⊿ABC的三边长分别为,,2,⊿A′B′C′的两边长分别是1和,如果⊿ABC与⊿A′B′C′相似,那么⊿A′B′C′的第三边长应该是 ( )
A. B. C. D.
4.在相同时刻，物高与影长成正比。如果高为1.5米的标杆影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高为 ( )
A 20米 B 18米 C 16米 D 15米
5.如图,∠ACB=∠ADC=90°,BC=a,AC=b,AB=c,要使⊿ABC∽⊿CAD,
只要CD等于 ( )
A. B. C. D.
6.一个钢筋三角架三 长分别为20cm,50cm,60cm,现要再做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为30cm和50cm的两根钢筋,要求以其中的一根为一边,从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边,则不同的截法有 ( )
A.一种 B.两种 C.三种 D.四种
7、用位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心的位置可以选在( )
A 原图形的外部 B 原图形的内部 C 原图形的边上 D 任意位置
8、如图，□ABCD中，EF∥AB，DE∶EA = 2∶3，EF = 4，则CD的长（ ）
A． B．8 C．10 D．16
9、如图，一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，测得光线与地面所成的角，窗户的高在教室地面上的影长MN=米，窗户的下檐到教室地面的距离BC=1米（点M、N、C在同一直线上），则窗户的高AB为 ( )
A．米 B．米 C．2米 D．1.5米
10、某校计划在一块三角形的空地上修建一个面积最大的正方形水池，使得水池的一边在△ABC的边BC上，△ABC中边BC=60m，高AD=30m，则水池的边长应为( )
A 10m B 20m C 30m D 40m
二.填空题(每小题3分,共30分)
11、已知,则
12、.已知点C是线段AB的黄金分割点,且AC>BC,则AC∶AB= .
13、.把一矩形纸片对折,如果对折后的矩形与原矩形相似,则原矩形纸片的长与宽之比为 .
14、如图,⊿ABC中,D,E分别是AB,AC上的点(DEBC),
当 或 或 时,⊿ADE与⊿ABC相似.
15、在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且
，则∠BCA的度数为____________。
16、如图，小伟在打网球时，击球点距离球网的水平距离是8米，已知网高是0.8米，要使球恰好能打过网，且落在离网4米的位置，则球拍击球的高度h为 米.
17、如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，那么△ADE与四边形DBCE的面积之比是 .
18、大矩形的周长是与它位似的小矩形的2倍,小矩形的面积是5cm2,大矩形的长为5cm,则大矩形的宽为 cm.
19、斜拉桥是利用一组组钢索，把桥面重力传递到耸立在两侧高塔上的桥梁，它不需要建造桥墩，（如图所示），其中A1B1、A2B2、A3B3、A4B4是斜拉桥上互相平行的钢索，若最长的钢索A1B1=80m，最短的钢索A4B4=20m，那么钢索A2B2= m，A3B3= m
20、已知△ABC周长为1，连结△ABC三边中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边中点构成第三个三角形，以此类推，第2006个三角形的周长为
三.解答题(60分)
21.(8分)在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点,以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.请你在如图所示的4×4的方格纸中,画出两个相似但不全等的格点三角形(要求:所画三角形为钝角三角形,标明字母,并说明理由).
22.、（5分）如图,测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为10cm，AC被分为60等份.如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处，且DE∥AB，那么小玻璃管口径DE是多大?
23、.如图, 等边⊿ABC，点D、E分别在BC、AC上,且BD=CE，AD与BE相交于点F.
(1)试说明⊿ABD≌⊿BCE. (2)⊿AEF与⊿ABE相似吗?说说你的理由.
(3)BD2=AD·DF吗?请说明理由. （9分）
24、（8分）如图:学校旗杆附近有一斜坡．小明准备测量学校旗杆AB的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长BC=20米，斜坡坡面上的影长CD=8米，太阳光线AD与水平地面成30°角，斜坡CD与水平地面BC成30°的角，求旗杆AB的高度（精确到1米）．
25、（8分）（06苏州）如图，梯形ABCD中．AB∥CD．且AB=2CD，
E,F分别是AB，BC的中点。EF与BD相交于点M．
(1)求证：△EDM∽△FBM；
(2)若DB=9，求BM．
26、（10分）(06潍坊)如图，在△ABC的外接圆O中，D是弧BC的中点，AD交BC于点E，连结BD．（1）列出图中所有相似三角形；
（2）连结，若在弧上任取一点K（点A、B、C除外），连结交于点，DC2=DF·DK是否成立？若成立，给出证明；若不成立，举例说明．
27、（12分）如图,平面直角坐标系中,直线AB与轴,轴分别交于A(3,0),B(0,)两点, ,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥轴于点D.
(1)求直线AB的解析式;
(2)若S梯形OBCD＝,求点C的坐标;
(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的三角形与△OBA相似.若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案
1、D 2、B 3、A 4、B 5、A 6、B 7、D 8、C 9、C 10、B
11、－1/4 12、(－1)/2 13、 14、略 15、65° 16、2.4米
17、1：3 18、4 19、60，40 20、1/22005
21、略 22、20/3 23、略 24、20 25、（1）略（2）3
26、（1）△ABD∽△AEC∽△BED （2）成立。证明△DFC∽△DCK
27、（1）直线AB解析式为：y=x+．
（2）方法一：设点Ｃ坐标为（x，x+），那么OD＝x，CD＝x+．
∴＝＝．
由题意： ＝，解得（舍去）∴Ｃ（２，）
方法二：∵ ,＝，∴
由OA=OB，得∠BAO＝30°，AD=CD．
∴ ＝CD×AD＝＝．可得CD＝．
∴ AD=１，OD＝２．∴C（２，）．
（３）当∠OBP＝Rt∠时，如图
①若△BOP∽△OBA，则∠BOP＝∠BAO=30°，BP=OB=3，
∴（3，）．
②若△BPO∽△OBA，则∠BPO＝∠BAO=30°,OP=OB=1．
∴（1，）．
当∠OPB＝Rt∠时
③ 过点P作OP⊥BC于点P(如图)，此时△PBO∽△OBA，∠BOP＝∠BAO＝30°
过点P作PM⊥OA于点M．
方法一： 在Rt△PBO中，BP＝OB＝，OP＝BP＝．
∵ 在Rt△PＭO中，∠OPM＝30°，
∴ OM＝OP＝；PM＝OM＝．∴（，）．
方法二：设Ｐ（x ，x+），得OM＝x ，PM＝x+
由∠BOP＝∠BAO,得∠POM＝∠ABO．
===．
∴x+＝x，解得x＝．此时，（，）．
④若△POB∽△OBA(如图)，则∠OBP=∠BAO＝30°，∠POM＝30°．
∴ PM＝OM＝．
∴ （，）（由对称性也可得到点的坐标）．
当∠OPB＝Rt∠时，点P在ｘ轴上,不符合要求.
综合得，符合条件的点有四个，分别是：
（3，），（1，），（，），（，）．
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一、学习目标:
1、从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念．
2、了解成比例线段的概念，会确定线段的比．
二、重点、难点：（1）重点：相似图形的概念与成比例线段的概念．
（2）难点：成比例线段概念．
三、复习和预习案：
C1 、观察下列右方几幅图片可以发现，其中的一个图形可以看作是另一个图形 或
得到的。它们的 相同，我
们把这种 相同的图形叫做 。
C2、上方左图中第一幅是人们从平面镜中看到的镜像与自己相似吗？ 。第二和第三幅是人们从哈哈镜里看到的镜像与自己相似吗？ 。
C3、数学书的长记作线段AB= 厘米，宽记作线段CD= 厘米。我们把这两条线段的长度的比叫做 。记作：——。
C4、对于四条线段a,b,c,d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，（记作：或a:b=c:d），我们就说这四条线段是 ，简称 ．
C5、若四条线段a,b,c,d满足，则有 × = × 。
四、讨论与展示、点评、质疑：
C1、如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是（ ）
C2、一张桌面的长（1）如果a=1.25m，宽b=0.75m，则a:b = 。（2）如果a=125cm，b=75cm，则a:b = 。（3）如果a=1250mm，b=750mm，则a:b = 。
小结：上面分别采用m、cm、mm三种不同的长度单位，求得的的值说 __的，由此可知：两条线段的比与所采用的长度单位______，但求比时两条线段的长度单位必须____．
C3、已知：一张地图的比例尺是1:32000000，量得北京到上海的图上距离大约为3.5cm，求北京到上海的实际距离大约是多少km？
五、自我检测案：C1、如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？
C2、如图，图形a～f中，与图形（1）相似的是 ，与图形(2)相似的是 。
C3、下列说法正确的是（ ）
A．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似.B．商店新买来的一副三角板是相似的.
C．所有的课本都是相似的. D．国旗的五角星都是相似的.
C4、观察下列图形： 与 ， 与 ， 与 是相似图形。
C5、在比例尺是1:8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离时7.5cm，那么福州与上海之间的实际距离是多少km？
C6、AB两地的实际距离为2500m，在一张平面图上的距离是5cm，那么这张平面地图的比例尺是多少？
27.1 图形的相似（二）（总第二课时）计划上课时间
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一、教学目标：
1、知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
2、会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算．
二、重点、难点：1．重点：相似多边形的主要特征与识别．
2．难点：运用相似多边形的特征进行相关的计算．
三、复习和预习案：
C1、观察图片，体会相似图形性质：
(1) 图 (1)中的△A1B1C1是由正△ABC放大后得到的,它们的对应角 ，对应边的比 。
图27.1-4
(2)图(2)中两个正六边形是相似的，它们的对应角 ，对应边的比 。
C2、、左图的格点图中有一个四边形，在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形．
C3、（1）相似多边形的特征：相似多边形的对应角______，对应边的比___ ____．
反之，如果两个多边形的对应角______，对应边的比_______，那么这两个多边形_______．
C4、相似比：相似多边形______ __的比称为相似比．相似比为1的两个相似图形是 。因此___ _____形是一种特殊的相似形．
C5、相似比是有顺序的．△ABC与△A＇B＇C＇的相似比为k，则△A＇B＇C＇与△ABC的相似比为．
四、讨论与展示、点评、质疑：
C1、下列说法正确的是（ ）
A．所有的平行四边形都相似 B．所有的矩形都相似
C．所有的菱形都相似 D．所有的正方形都相似
C2、如图：四边形ABCD和EFGH相似，则 ， ， ．
C3、如上图所示的两个直角三角形相似吗？
C4、如图所示的两个五边形相似，则 = 、
= 、 = 、 = ．
B5、已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，
且A1B1:B1C1:C1D1:D1A1=7:8:11:14，若四边形ABCD的周长为40，求四边形ABCD的各边的长．
五、自我检测案：
C1、△ABC与△DEF相似，且相似比是，则△DEF 与△ABC与的相似比是（ ）．
A． B． C． D．
C2、下列所给的条件中，能确定相似的有（ ）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
（1）两个半径不相等的圆； （2）所有的正方形； （3）所有的等腰三角形；（4）所有的等边三角形； （5）所有的等腰梯形； （6）所有的正六边形．
C3、已知四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相 B4、如图，AB∥EF∥CD，CD=4，AB=9，若
似，四边形ABCD的最长边和最短边的长分 梯形CDEF与梯形EFAB相似，求EF的长．
别是10cm和4cm，如果四边形A1B1C1D1的
最短边的长是6cm，那么四边形A1B1C1D1
中最长的边长是多少？
B5、如图，一个矩形ABCD的长AD= a cm，宽AB= b cm，E、F分别是AD、BC的中点，连接E、F，所得新矩形ABFE与原矩形ABCD相似，求a:b的值． （:1）
27.2.1相似三角形的判定（一）（总第三课时）计划上课时间
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一、学习目标:1、会用符号“∽”表示相似三角形如△ABC ∽ △;
2、知道当△ABC与△的相似比为k时，△与△ABC的相似比为1/k．
3、理解掌握平行线分线段成比例定理
二、重点、难点： （1）重点: 理解掌握平行线分线段成比例定理及应用．
三、复习和预习案： （2）难点: 掌握平行线分线段成比例定理应用．
C1、相似多边形的对应角______，对应边的比___ ____．
C2、相似三角形的对应角______，对应边的比___ ____．
C3、（1）相似三角形的定义几何语言： （2）相似三角形的性质几何语言：
∵∠A ∠A′, ∠B ∠B′, ∠C ∠C′ ∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠A=___, ∠B=___, ∠C=___,
∴△ABC △A′B′C′ ．
（3）两个相似三角形的相似比k=1时，这两个三角形是 。
C4、（1）如图27.2-1,已知三条直线l3 , l4, l5.互相平行，量得线段AB = , BC = ， DE = , EF = 。计算 AB︰BC = ，DE︰EF = 。发现 （或记作AB：BC DE：EF）。
（2）同理：AB︰AC=（ ）︰（ ），BC︰AC=（ ）︰（ ）．
（3）平行线分线段成比例定理： 三条__ _ 截两条直线，所得的__ ___线段的比___ ___。
平行线分线段成比例定理几何语言： 平行线分线段成比例定理推论几何语言：
∵ ∵
∴ ∴
C5、如图27.2-2（1）中，AD：DB = ： ，AD：AB = ： ，DB：AB = ： 。
C6、如图27.2-2（2）中，AD：DB = ： ，AD：AB = ： ，DB：AB = ： 。
C7、平行线分线段成比例定理推论： 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的_______线段的比_________.
四、讨论与展示、点评、质疑：
C1、如图，△ABC∽△AED, 其中DE∥BC，找出对应角并写出对应边的比例式．
C2、如图，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，找出对应角并写出对应边的比例式．
C3、 如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4 ，AB=3，EC=1.求AD和BD.
五、自我检测案：
1、如果△ABC∽△ADE,则∠ = ∠ ，∠ = ∠ ， ---- = ---- = ----。
2、如图△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA．
（1）写出对应边的比例式；
（2）写出所有相等的角；
（3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD、DC的长．
C3、如图16，在矩形中，点分别在边上，，，求的长．
27.2.1相似三角形的判定（二）（总第四课时）计划上课时间
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一、学习目标：1、经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程．
2、会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题．
二、重点、难点：1、重点：相似三角形的定义与三角形相似的预备定理．
2、难点：三角形相似的预备定理的应用．
三、复习和预习案：
C1、在相似多边形中，最简单的就是就是边数最少的相似 ．
C2、现阶段判定三角形相似的方法有 种，就是相似三角形的定义：
（1）相似三角形的定义的几何语言： （2）相似三角形的性质的几何语言：
∵△ABC与△A′B′C′中： ∵
= ， = ， = ， ∴ = ， = ， = ，
= = = =
∴
B3、如图27.2-3，在△ABC中，DE∥BC，△ADE与△ABC相似吗？
分析：（1）找三组对应 分别相等。即 = ， = ， =
（2）找三组对应 的比相等。即 = =
证明：
C4、判定三角形相似的（预备）定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所成的三角形与原来三角形相似。
判定三角形相似的（预备）定理几何语言：
∵
∴
C5、现阶段判定三角形相似的方法有 种，一是用 ，二是用
四、讨论与展示、点评、质疑：
C1、如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的长．
解：∵ ∥ 又∵DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm
∴ ∽ ∴
∴ = ∴DE =
五、自我检测案：（一）填空：
C1、如图，△ABC∽△AED, 其中DE∥BC，则 = ， = ，
= ， = =
C2、如图，AB∥EF∥CD，图中共有 对相似三角形。
C3、如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．
C4、如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有 对
C5、下列各组三角形一定相似的是（ ）
A．两个直角三角形 B．两个钝角三角形 C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形
C6、如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相似三角形 对。
C2、如图，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，则 = =
B3、如图，DE∥BC，（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；
（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长．
解：（1）∵ ∥ （2）∵AB = + = + =
∴ ∽ ∽
∴ = ∴ = =
又∵AD=2，DB=3 ∴ = =
∴DE:BC = ∴AE = BC =
B4、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h．(设网球是直线运动)
解：由题可得： = 5米， = 0.8米，
= 10米。 ∥
∵ ∥
∴ ∽
∴ =
∴ =
∴h = = 米。
27.2.1相似三角形的判定（三）（总第五课时）计划上课时间
主备 审阅 审批
一、学习目标:
1、 初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法，以及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法．
二、重点、难点（1）重点: 掌握两种判定方法，会运用两种判定方法判定两个三角形相似。
（2）难点:准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似．
三、复习和预习案：
C1、现阶段判定三角形相似的方法有 种，一是用 ，二是用
C2、两个相似三角形的相似比k=1时，这两个三角形是 。
C3、三角形全等的判定方法有 种：
C4、类似于三角形全等的（SSS，SAS）判定方法，讨论：
（1）三边的比都相等两个三角形相似。（2）两组边的比和夹角都相等的两个三角形相似。
几何语言： 几何语言：
四、讨论与展示、点评、质疑： C1、判断⊿ABC和⊿是否相似。
（1）已知∠A = 120 AB = 7 ，AC = 14 （2）AB = 4 AC = 8 BC = 6
∠= 120 = 3 =6 = 12 =21 =18
解： ∵ = ， = 解：∵
∴ = ∴
∵ ∴
∴ ∽
C2、已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD的长．
解：∵—— = ，—— =
∴ = ∴ =
∵ 既： =
∴ ∽ ∴ AD =
B3、如果在△ABC中∠B=30°，AB=5㎝，AC=4㎝，在△A’B’C’中，∠B’=30°A’B’=10㎝，A’C’=8㎝，这两个三角形一定相似吗？ 。
C4、特别注意： 两边的比和一个角相等时，如果角是两边和夹角，两个三角形相似；如果这个角不是夹角，两个三角形不一定相似。
五、自我检测案：
C1、如图，AB?AC=AD?AE，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△AED．
证明：∵ =
∴——— = ———
∵ ∠ = ∠
∴ ∠ = ∠
∴ ∽
C2、已知：如图，P为△ABC中线AD上的一点，且BD2=PD?AD，求证：△ADC∽△CDP． 证明：∵ =
∴——— = ———
∵ ∠ = ∠
∴ ∠ = ∠
∴ ∽
C3、如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD?AB，求证：△ACD∽△ABC。
C4、已知零件的外径为25cm，要求它的厚度x，需先求出它的内孔直径AB，现用一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）去量（如图），若OA：OC=OB：OD=3，CD=7cm。求此零件的厚度x。
B5、如图18，⊙中，弦相交于的中点，
连接并延长至点，使，连接BC、．
（1）求证：；
（2）当时，求的值
27.2.1 相似三角形的判定（四）（总第六课时）计划上课时间
主备 审阅 审批
一、学习目标：1、掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法．
二、重点、难点：1、重点：三角形相似的判定方法3——“两角对应相等，两个三角形相似”。2、难点：三角形相似的判定方法3的运用．
三、复习和预习案：C1、观察两副三角尺，其中同样角度（300与600，或450与450）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是 三角形。
C2、类似于相似三角形的判定（一）、判定（二）研究判定（三）
（1）三边的比都相等两个 （2）两组边的比和夹角都 （3）两组角分别相等的
三角形相似。 相等的两个三角形相似。 两个三角形相似。
几何语言： 几何语言： 几何语言：
C3、有一个锐角相等的两直角三角形相似吗？ ；有一个角相等的两等腰三角形相似吗？ ；在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝80°，∠C＝60°，∠A′＝80°，∠B′＝40°，这两个三角形相似吗？ 。
四、讨论与展示、点评、质疑：
C1、△ABC中，点D在AB上，如果∠ACD= C2、弦AB和CD相交于⊙o内一点P,
∠B，AD = 4cm ，BD =2 cm,求AC的长。 求证:PA·PB=PC·PD
解：∵ ∠ = ∠ ， 证明：连结 、
∠ = ∠ ∵ = 、 =
∴ ∽ ∴ ∠ =∠ ，∠ =∠
∴——— = ——— ∴ ∽
既： = ∴——— = ———
∴ AC = ∴ 。
C3、如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，DF⊥AE于F。 ∴
∴∠ = ∠ =90 ∴——— = ———
∥ 既： =
∴ ∴DF =
C4、如图3，点D在AB上，当∠ ＝∠ 时， △ACD∽△ABC。
C5、如图4，点E在AC上，点D在AB上，则满足条件 ，就可以使△ADE与原△ABC相似。
五、自我检测案：
C1、如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、 C2、已知：如图，∠1=∠2=∠3，
BC、CA的中点，求证：△ABC∽△DEF． 求证：△ABC∽△ADE．
证明： 证明：
C3、已知：如图，△ABC 的高AD、BE C4、已知：如图，BE是△ABC的外接圆O的直径，
交于点F．求证：． CD是△ABC的高．（1）求证：AC?BC=BE?CD；
（2）若CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的直径BE的长．
27.2.2相似三角形应用举例（一）（总第七课时）计划上课时间
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一、学习目标:1、进一步巩固相似三角形的知识． 2、能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题． 3、通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．
二、学习重点、难点：1、重点：运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度．2、难点：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题。
三、复习和预习案：
C1、相似三角形的判定：
（1）三边的比都相等两个 （2）两组边的比和夹角都 （3）两组角分别相等的
三角形相似。 相等的两个三角形相似。 两个三角形相似。
几何语言： 几何语言： 几何语言：
四、讨论与展示、点评、质疑：
C1、据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾
经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一
根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量
金字塔的高度．如图，如果木杆EF长2 m，它的影长
FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO．
解：
C2、在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为90米，那么高楼的高度是多少米?
解：
C3、如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，求河的宽度PQ．
五、自我检测案：
C1、如图，这是圆桌正上方的灯泡（当成一个点）发出的光线照射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面为1米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为多少？
C2、为了测量一池塘的宽AB,在岸边找到了一点C,
使AC⊥AB，在AC上找到一点D，在BC上找到一点E,使DE⊥AC，测出AD=35m，DC=35m，DE =30m,那么你能算出池塘的宽AB吗?
C3、如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸
边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线
杆．小丽站在离南岸边15米的点处看北岸，发现北岸
相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这
两棵树之间还有三棵树，求河宽多少米？
27.2.3相似三角形的周长与面积（总第八课时）计划上课时间
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学习目标：1、相似三角形的一切对应线段的比都等于相似比。
2、理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
3、能用三角形的性质解决简单的问题．
二、学习重点、难点1、重点：相似三角形的性质与运用．2、难点：相似三角形性质的灵活运用，及对“相似三角形面积的比等于相似比的平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相似比”的理解．
三、复习和预习案：
C1、相似三角形性质一：相似三角形的 相等.
相似三角形性质二：相似三角形的 相等。
C2、如图：∵△ABC∽△A′B′C′，且△ABC与△A′B′C′，的相似比为k，
∴ —— = —— = —— = k
∴AB = ，BC = ，CA = 。
∴
C3、相似三角形性质三：相似三角形周长的比等于 。
C4、相似三角形性质四：相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比等于 。
C5、相似三角形性质五：相似三角形面积的比等于
四、讨论与展示、点评、质疑：
C1、 已知：如图：△ABC ∽△A′B′C′， C2、如图在ΔABC 和ΔDEF中，AB=2DE，
它们的周长分别是 60 cm 和72 cm，且AB AC=2DF，∠A=∠D，ΔABC的周长是
＝15 cm，B′C′＝24 cm，求BC、 24，面积是12，求ΔDEF的周长和
AB、A′B′、A′C′的长． 面积。
五、自我检测案：
C1、填空：（1）如果两个相似三角形对应边的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为_____，面积的比为_____．
（2）如果两个相似三角形面积的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为________．
（3）连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_______．
（4）两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm和18 cm，若较大三角形的周长是42 cm ，面积是12 cm 2，则较小三角形的周长为________cm，面积为_______cm2．
（5）如果把一个三角形各边同时扩大为原来的5倍，那么它的周长也扩大为原来的 倍。
（6）如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那么它的三边也扩大为原来的 倍。
C2、如图,求证正方形网格上的△A1B1C1和△A2B2C2相似，并出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比．
B3、△ABC中，DE∥BC，EF∥AB， B4、如图，点D、E分别是△ABC边AB、
已知△ADE和△EFC的面积分别为 AC上的点，且DE∥BC，BD＝2AD，求
4和9，求△ABC的面积。 △ADE的周长︰△ABC的周长的值。
27.3位似（一）（总第九课时）计划上课时间
主备 审阅 审批
一、学习目标：1、了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质．2、掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．
二、学习重点、难点：1、重点：位似图形的有关概念、性质与作图．
2、难点：利用位似将一个图形放大或缩小．
三、复习和预习案：
C1、生活中我们经常把自己好看的照片放大或缩小，由于没有改变图形的形状，我们得到的照片是真实的.
C2、观察下图中的两个图形不仅是 多边图形，而且每组对应点的连线都相交于 ，对应边都互相 ，这样的两个图形叫做 . 这个交点叫做 。这时的相似比又称为 .（位似中心可在形上、形外、形内.)
C3、利用位似，可以将一个图形进行 或 。
四、讨论与展示、点评、质疑：
C1、把图中的四边形ABCD缩小到原来的．
作法一：（1）在四边形ABCD外任取一点O；
（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取
点A′、B′、C′、D′，使得；
（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，
作法二：（1）在四边形ABCD外任取一点O；
（2）过点O分别作射线OA， OB， OC，OD；
（3）分别在射线OA， OB， OC， OD
的反向延长线上取点A′、B′、C′、D′，
使得；
（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′。
作法三：（1）在四边形ABCD内任取一点O；
（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；
（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′，
使得；
（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，
五、自我检测案：
C1、 下列说法正确的是（ ）
A.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定全等；
B.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形不一定相似；
C.两个图形如果是相似图形，那么这两个图形一定位似；
D.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定相似。
C2、下列每组图中的两个多边形，是位似图形的是（ ）
C3、下图中四边形ABCD和四边形EFGD是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A. 点E B. 点F C.点G D.点D
C5、已知上图中，AE∶ED=3∶2，则四边形ABCD
与四边形EFGD的位似比为（ ）
A. 3∶2 B. 2∶3 C. 5∶2 D. 5∶3
C6、如上右边图，已知△ABC和点O.以O为位似中心，求作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长缩小到原来的一半.
27.3位似（二）（总第十课时）计划上课时间
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一、学习目标：1、巩固位似图形及其有关概念．2、会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．
3、了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同，并能在复杂图形中找出这些变换．
二、学习重点、难点：1、重点：用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．
2、难点：把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．
三、复习和预习案：
C1、在平面直角坐标系中，先画出以A(6,3)和B(6,0)为端点的线段AB，再以坐标原点O为位似中心，相似比为把线段AB缩小，则A点的对应点 的坐标为（ ）或（ ），B点的对应点 的坐标为（ ）或（ ）。
C2、△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，则A点的对应点 的坐标为（ ）或（ ），B点的对应点 的坐标为（ ）或（ ），A点的对应点 的坐标为（ ）或（ ）。
C3、位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比
四、讨论与展示、点评、质疑：
C1、四边形ABCD的坐标为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0) ,
D(-2,4),画出它的一个以原点O为位似中心,相似比为1/2
的位似图形.
C2、如图所示的图案中，找出平移、轴对称、旋转和位似变换。
解：观察的角度不同，答案就不同（答案不惟一）：
如：（1）它可以看作是一排鱼按照（ ）方向旋转（ ）度连续旋转（ ）次得到的旋转图形；
（2）它还可以看作位似中心是图形的（ ），相似比是 ∶ ∶ ∶ 的位似图形。
C3、如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，
（1）将△ABC向左平移三个单位得到△A1B1C1，则
A1（ ）、B1（ ）、C1（ ）。
（2）△ABC关于x轴对称的△A2B2C2三个顶点
A2（ ）、B2（ ）、C2（ ）。
（3）将△ABC绕点O旋转180°得到△A3B3C3，
A3（ ）、B3（ ）、C3（ ）。
五、自我检测案：
C1、如图，在直角坐标系中，△ABC的各个坐标为A（-1，1），B（2，3），C（0，3）。画出以坐标原点0为位似中心，位似比为0.5的⊿，则A（ ）、B（ ）、C（ ）
B2、如图△ABC中，边BC=8cm，高AD=12cm，EF∥BC。（1）若EF=4,求（2）若将EF向上平移，使=4，求的高。（3）若设，试写出与的函数解析式。
相似三角形的小结与复习课（总第十一课时）计划上课时间
主备 审阅 审批
一、学习目标：1、通过例题的讲解使学生进一步巩固相似三角形的概念、三角形相似的判定及相似三角形的性质等知识。2、培养学生把课本上所学知识应用到实践中去的认识以及提高学生解决实际问题的能力。3、培养学生将实际问题抽象成数学问题的思想方法。
二、教学重点与难点：1、通过例题的分析、研究，揭示应用相似三角形有关知识解题的规律，提高分析问题和解决问题的能力。
三、复习和预习案：C1、相似三角形的判定方法：
（1）定义：对应角 ，对应边 的两个三角形叫做相似三角形（不常用）。
（2）预备定理：如果一条直线 于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边（或其延长线）分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似。
（3）判定一：两组 相等的两个三角形相似。
（4）判定二：两组 且 相等的两个三角形相似。
（5）判定三：三组 的两个三角形相似。
（6）判定四： 和一条 的两个直角三角形相似（适用于直角三角形）。
C2、相似形的性质：（1）相似三角形的 相等、 相等。
（2） 相似三角形 的比、 的比、 的比和 的比都等于相似比。
（3）相似三角形 的比等于相似比的平方。
C3、判断题（1）所有的等边三角形都相似 ( ) （2）所有的等腰直角三角形都相似 ( )
（3）所有的直角三角形都相似 ( ) （4）所有等腰三角形都相似 ( )
（5）有一个角是100°的两个等腰三角形相似 ( )
（6）有一个角是70°的两个等腰三角形相似 ( )
（7）如果两个三角形周长之比是1∶2，那么它的面积之比为1∶4( )
（8）若两等腰三角形面积之比为9∶25，则它的底边之比为3∶5( )
C4、填空：（1）已知两个相似三角形的对应角平分线的比是1∶4，则对应高的比为_____，面积的比为_____。（2）已知两个相似三角形的面积比是1∶4，对应中线的比为_____，周长的比为______。（3）一个三角形的面积扩大为原来的100倍，而它的形状不变，则边长应扩大为原来的______倍。（4）两个相似三角形对应周长的比为2∶3，面积的比为1∶a,则a等于_____.
四、讨论与展示、点评、质疑：
A5、如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上
的一动点（P异于A、D），Q是BC边上的任意一点. 连AQ、DQ，
过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F.
(1)求证：△APE∽△ADQ；(2)设AP的长为x，试求△PEF的面积
S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？
(3)当Q在何处时，△ADQ的周长最小？
五、自我检测案：
C2、如图△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=8cm，高AD=12cm，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上（不与点B、点C重合）。求：（1）AK为何值时，矩形EFGH是正方形？
（2）AK为何值时，此矩形的邻边之比是1:2？
（3）若设，试写出与的函数解析式。
（4）为何值时，达到最大值。
第27章《相似》测试题C
时间90分钟，满分100分
一、选择题（每小题3分，共24分）
1. （08贵阳市）如果两个相似三角形的相似比是，那么它们的面积比是（ ）
A． B． C． D．
2.若两个相似三角形的面积比为4:1，那么这两个三角形的周长比为（ ）
A.4:1 B.1:4 C.2:1 D.16:1
3.在比例尺为1:5000的国家体育馆“鸟巢”的设计图上，长轴为6.646cm，短轴为5.928cm，则它们的实际长度分别为（ ）
A.332.3m，296.4m B.330m，300m C.332.5m，296.5m D.332.3m，297.3m
4.如图1，用两根等长的钢条和交叉构成一个卡钳，可以用来测量工作内槽的宽度.设，且量得，则内槽的宽等于（ ）
A. B. C. D.
5.如图2，小华在打网球时，若使球刚好能过网（网高AB为0.8m），且落在对方区域离网5m点O点处，已知她的击球高度CD是2.4m.如图2，如果认为球是直线运动的，则她站的地点离网的距离是（ ）
A.15m B.10m C.8m D.7.5m
6.某装潢公司要在如图3所示的五角星中，沿边每隔20厘米装一盏闪光灯，若BC=（-1）米，则需要安装闪光灯（ ）
A.100盏 B.101盏 C.102盏 D.103盏
7.在平面直角坐标系中，已知A（6，3），B（6，0）两点，以坐标原点O为位似中心，位似比为，把线段AB缩小到线段A/B/，则A/B/的长度等于（ ）
A.1 B.2 C.3 D.6
8.如图4，△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①∠ACP=∠B，②∠APC=∠ACB，③AC2=AP·AB，④AB·CP=AP·CB.其中能满足△APC和△ACB相似的条件是（ ）
A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①②③
二、填空题（每小题3分，共24分）
9.已知=，则=________.
10. （08荆州市）两个相似三角形周长的比为2:3，则其对应的面积比为___________.
11.如图5，电影胶片上每一个图片的规格为3．5 cm×3．5 cm，放映屏幕的规格为2 m×2 m，若放映机的光源S距胶片2 0 cm，那么光源S距屏幕 ，米时，放映的图象刚好布满整个屏幕．
12.如图6，已知等腰的面积为，点分别是边的中点，则梯形的面积为______．
13.如果两个位似图形的对应线段长分别为2cm和6cm，且两个图形的面积之差为120cm2，则较大的图形的面积为_________.
14.如图7，△ABC中，AB>AC，过AC上一点D作直线DE，交AB于E，使△ADE与△ABC相似，这样的直线可作_______条.
15.如图8，△EDC是由△ABC缩小得到的，A（-3，5），那么点E的坐标是________.
16.我们可以用下面的方法测出月球的距离：如图9，在月圆时，把一个五分的硬币（直径约为2.4cm），放在离眼O约2.6m的AB处，正好把月亮遮住，已知月球的直径约为3500km，那么月球与地球的距离约为_________.
三、解答题（共52分）
17.（8分）图9是几组三角形的组合图形，图①中，△AOB∽△DOC；图②中，△ABC∽△ADE；图③中，△ABC∽△ACD；图④中，△ACD∽△CBD.
小Q说：图①、②是位似变换，其位似中心分别是O和A.
小R说：图③、④是位似变换，其位似中心是点D.
请你观察一番，评判小Q，小R谁对谁错.
18.（8分）如图10，在一个3×5的正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C在单位正方形顶点上，请你在图中画一个△A1，B1，C1都在单位正方形的顶点上.
19.（8分）如图10，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，问：△AOB与△COD是否相似？
有一名同学解答如下：
因为AD∥BC，所以∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO，
所以△AOD∽△BOC，所以又因为∠AOB=∠DOC，所以△AOB∽△COD.
请判断这名同学的证明是否正确，说明理由.
20.（8分）如图12，AD是∠BAC的角平分线，交△ABC的边BC于点D，BH⊥AD，CK⊥AD，垂足分别为H、K，你能说明AB·DK=AC·DH吗？
21.（10分）如图13，在正方形ABCD中，P是CD上一动点（与C、D不重合），使三角板的直角顶点与P重合，并且一条直角边经过点B，另一条直角边所在的直线交于点E.
探究：（1）观察操作作结果，你发现哪个三角形与△BPC相似？为什么？
（2）当P点位于CD的中点时，（1）中两个相似三角形周长的比是多少？
22.（10分）如图14，在中，，是边上的高，是边上的一个动点（不与重合），，，垂足分别为．
（1）求证：；
（2）与是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；
（3）当时，为等腰直角三角形吗？并说明理由．
参考答案
一、1.B 2.C 3.A 4.A 5.B 6.A 7.A 8.D
二、9. 10. 4：9 11. 12.6 13.135cm2 14.2 15.（-2，2.5） 16.3.8×105km提示：2.4×10-5km，又△OAB∽△OCD.所以==，即OE=3.8×105km.
三、17.小Q对，①，②都可以看成位似变换，位似中心分别为O、A，③、④虽然都存在相似三角形，但对应顶点的连线不相交于一点，而且对应边也不平行，所以③、④不是位似变换.
18.由图可知∠ABC=135°，不妨设单位正方形的边长为1个单位，则AB:BC=1:，由此推断，所画三角形必有一角为135°，且夹该角的两边之比为1:，也可以把这一比值看作:2，2:2等，以此为突破口，在图连出和2，2和2等线段，即得△EDF∽△GDH∽△FMN∽△ABC，如图所示.即图中的△EDF、△GDH、△FMN均可视为△A1B1C1.
19.不正确，错在△AOD∽△BOC不能得到，而应得到主要原因是没有找准△AOD与△BOC的对应边.
20.由题意，可得△ABH∽△ACK，△BHD∽△CKD，则有，所以，即有AB·DK=AC·DH.
21.（1）如图（1）当另一条直角边与AD交于点E时，则有△PDE∽△BCP，说明略；
（2）如图（1），当点P是CD的中点时，则有△PDE和△BCP的周长比是1:2；如图（2），当点P是CD的中点时，则有△PCE∽△BCP的周长比是1:2或者△BPE和△BCP的周长比为
22. （1）证明：在和中，
，
，.
（2）与垂直.证明如下：
在四边形中，
四边形为矩形，
由（1）知.
为直角三角形，，，
，.
又，.
即..
（3）当时，为等腰直角三角形，
理由如下：
，，
由（2）知：..
又，为等腰直角三角形.
相似三角形测试题
一、选择题（40分）
1. 如图1，已知，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
图4
图3 图3
图1
2. 如图2所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中单独能够判定的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3. 如图3，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：
（1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4.其中正确的有：（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4. 若△ABC∽△DEF, △ABC与△DEF的相似比为１∶2，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．1∶4 B．1∶2 C．2∶1 D．１∶
5. 如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（ ）
A．只有1个 B．可以有2个 C．有2个以上但有限 D．有无数个
6. 美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图4，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
7. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）
8. 在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高.将△ABC按如图5所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为（ ）
A．9.5 B．10.5 C．11 D．15.5
9. 如图6，在中，的垂直平分线交的延长线于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．2
图5 图6 图7
10. 如图7，是的直径，是的切线，点在上，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（30分）
11．如图8是一种贝壳的俯视图，点分线段近似于黄金分割．已知=10，则的长约为 ．（结果精确到0.1）
图8 图9
图10
12. 如图9，与中，交于．给出下列结论：①；②；③；④．
其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）．
13. 如图10，中，直线交于点交于点交于点若则 ．
14. 如图11，锐角△ABC中，BC＝6,两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y ＞0）,当x ＝ ，公共部分面积y最大，y最大值
图11 图12 图13
15. 如图12，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是 ．
16.将三角形纸片（△ABC）按如图13所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是 ．
三、解答题（80分）
17.（本题8分）如图14，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，
求证：△ADE∽△EFC．
图14
18.（本题8分）如图15，已知是的直径，过点作弦的平行线，交过点的切线于点，连结．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
图15
19. （本题8分）如图16，在矩形中，点分别在边上，，，求的长．
图16
20（本题10分）如图17，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的
高，AE是⊙O的直径，连接BE，△ABE与△ADC相似吗？请证明你的结论．
图17
21（本题10分）如图18，⊙中，弦相交于的中点，
连接并延长至点，使，连接BC、．
（1）求证：；
（2）当时，求的值
22（本题12分）已知：如图19，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB上的
点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．
（1）求证：BC＝CD；
（2）求证：∠ADE＝∠ABD；
（3）设AD＝2，AE＝1，求⊙O直径的长．
图19
23（本题12分）正方形边长为4，、分别是、上的两个动点，当点在上运动时，保持和垂直，
（1）证明：；
（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；
当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；
（3）当点运动到什么位置时，求的值．
24（本题12分）如图，在中，点是边上的动点（点与点不重合），过动点作交于点
（1）若与相似，则是多少度？
（2）试问：当等于多少时，的面积最大？
最大面积是多少？
（3）若以线段为直径的圆和以线段为直径
的圆相外切，求线段的长．
九年级数学 相似 单元测试（1）
一.选择题(每小题3分,共30分)
1.在比例尺为1:5000的地图上,量得甲,乙两地的距离25cm,则甲,乙的实际距离是( )
A.1250km B.125km C. 12.5km D.1.25km
2.已知,则的值为 ( )
A. B. C.2 D.
3.已知⊿ABC的三边长分别为,,2,⊿A′B′C′的两边长分别是1和,如果⊿ABC与⊿A′B′C′相似,那么⊿A′B′C′的第三边长应该是 ( )
A. B. C. D.
4.在相同时刻，物高与影长成正比。如果高为1.5米的标杆影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高为 ( )
A 20米 B 18米 C 16米 D 15米
5.如图,∠ACB=∠ADC=90°,BC=a,AC=b,AB=c,要使⊿ABC∽⊿CAD,
只要CD等于 ( )
A. B. C. D.
6.一个钢筋三角架三 长分别为20cm,50cm,60cm,现要再做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为30cm和50cm的两根钢筋,要求以其中的一根为一边,从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边,则不同的截法有 ( )
A.一种 B.两种 C.三种 D.四种
7、用位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心的位置可以选在( )
A 原图形的外部 B 原图形的内部 C 原图形的边上 D 任意位置
8、如图，□ABCD中，EF∥AB，DE∶EA = 2∶3，EF = 4，则CD的长（ ）
A． B．8 C．10 D．16
9、如图，一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，测得光线与地面所成的角，窗户的高在教室地面上的影长MN=米，窗户的下檐到教室地面的距离BC=1米（点M、N、C在同一直线上），则窗户的高AB为 ( )
A．米 B．米 C．2米 D．1.5米
10、某校计划在一块三角形的空地上修建一个面积最大的正方形水池，使得水池的一边在△ABC的边BC上，△ABC中边BC=60m，高AD=30m，则水池的边长应为( )
A 10m B 20m C 30m D 40m
二.填空题(每小题3分,共30分)
11、已知,则
12、.已知点C是线段AB的黄金分割点,且AC>BC,则AC∶AB= .
13、.把一矩形纸片对折,如果对折后的矩形与原矩形相似,则原矩形纸片的长与宽之比为 .
14、如图,⊿ABC中,D,E分别是AB,AC上的点(DEBC),
当 或 或 时,⊿ADE与⊿ABC相似.
15、在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且
，则∠BCA的度数为____________。
16、如图，小伟在打网球时，击球点距离球网的水平距离是8米，已知网高是0.8米，要使球恰好能打过网，且落在离网4米的位置，则球拍击球的高度h为 米.
17、如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，那么△ADE与四边形DBCE的面积之比是 .
18、大矩形的周长是与它位似的小矩形的2倍,小矩形的面积是5cm2,大矩形的长为5cm,则大矩形的宽为 cm.
19、斜拉桥是利用一组组钢索，把桥面重力传递到耸立在两侧高塔上的桥梁，它不需要建造桥墩，（如图所示），其中A1B1、A2B2、A3B3、A4B4是斜拉桥上互相平行的钢索，若最长的钢索A1B1=80m，最短的钢索A4B4=20m，那么钢索A2B2= m，A3B3= m
20、已知△ABC周长为1，连结△ABC三边中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边中点构成第三个三角形，以此类推，第2006个三角形的周长为
三.解答题(60分)
21.(8分)在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点,以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.请你在如图所示的4×4的方格纸中,画出两个相似但不全等的格点三角形(要求:所画三角形为钝角三角形,标明字母,并说明理由).
22.、（5分）如图,测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为10cm，AC被分为60等份.如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处，且DE∥AB，那么小玻璃管口径DE是多大?
23、.如图, 等边⊿ABC，点D、E分别在BC、AC上,且BD=CE，AD与BE相交于点F.
(1)试说明⊿ABD≌⊿BCE. (2)⊿AEF与⊿ABE相似吗?说说你的理由.
(3)BD2=AD·DF吗?请说明理由. （9分）
24、（8分）如图:学校旗杆附近有一斜坡．小明准备测量学校旗杆AB的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长BC=20米，斜坡坡面上的影长CD=8米，太阳光线AD与水平地面成30°角，斜坡CD与水平地面BC成30°的角，求旗杆AB的高度（精确到1米）．
25、（8分）（06苏州）如图，梯形ABCD中．AB∥CD．且AB=2CD，
E,F分别是AB，BC的中点。EF与BD相交于点M．
(1)求证：△EDM∽△FBM；
(2)若DB=9，求BM．
26、（10分）(06潍坊)如图，在△ABC的外接圆O中，D是弧BC的中点，AD交BC于点E，连结BD．（1）列出图中所有相似三角形；
（2）连结，若在弧上任取一点K（点A、B、C除外），连结交于点，DC2=DF·DK是否成立？若成立，给出证明；若不成立，举例说明．
27、（12分）如图,平面直角坐标系中,直线AB与轴,轴分别交于A(3,0),B(0,)两点, ,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥轴于点D.
(1)求直线AB的解析式;
(2)若S梯形OBCD＝,求点C的坐标;
(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的三角形与△OBA相似.若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案
1、D 2、B 3、A 4、B 5、A 6、B 7、D 8、C 9、C 10、B
11、－1/4 12、(－1)/2 13、 14、略 15、65° 16、2.4米
17、1：3 18、4 19、60，40 20、1/22005
21、略 22、20/3 23、略 24、20 25、（1）略（2）3
26、（1）△ABD∽△AEC∽△BED （2）成立。证明△DFC∽△DCK
27、（1）直线AB解析式为：y=x+．
（2）方法一：设点Ｃ坐标为（x，x+），那么OD＝x，CD＝x+．
∴＝＝．
由题意： ＝，解得（舍去）∴Ｃ（２，）
方法二：∵ ,＝，∴
由OA=OB，得∠BAO＝30°，AD=CD．
∴ ＝CD×AD＝＝．可得CD＝．
∴ AD=１，OD＝２．∴C（２，）．
（３）当∠OBP＝Rt∠时，如图
①若△BOP∽△OBA，则∠BOP＝∠BAO=30°，BP=OB=3，
∴（3，）．
②若△BPO∽△OBA，则∠BPO＝∠BAO=30°,OP=OB=1．
∴（1，）．
当∠OPB＝Rt∠时
③ 过点P作OP⊥BC于点P(如图)，此时△PBO∽△OBA，∠BOP＝∠BAO＝30°
过点P作PM⊥OA于点M．
方法一： 在Rt△PBO中，BP＝OB＝，OP＝BP＝．
∵ 在Rt△PＭO中，∠OPM＝30°，
∴ OM＝OP＝；PM＝OM＝．∴（，）．
方法二：设Ｐ（x ，x+），得OM＝x ，PM＝x+
由∠BOP＝∠BAO,得∠POM＝∠ABO．
===．
∴x+＝x，解得x＝．此时，（，）．
④若△POB∽△OBA(如图)，则∠OBP=∠BAO＝30°，∠POM＝30°．
∴ PM＝OM＝．
∴ （，）（由对称性也可得到点的坐标）．
当∠OPB＝Rt∠时，点P在ｘ轴上,不符合要求.
综合得，符合条件的点有四个，分别是：
（3，），（1，），（，），（，）．