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18.2.3 正方形教案
课题 18.2.3 正方形 单元 第18单元 学科 数学 年级 八年级（下）
学习目标 1.学会运用正方形的定义计算和证明. 2.学会运用正方形的性质、判定进行计算和证明. 3.体会正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系,理解一般与特殊的关系.
重点 正方形性质和判定定理的应用.
难点 正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题1.正方形的定义前面我们学行四边形、矩形、菱形的性质和判定,小学认识过了正方形,请同学们回答下面的问题. (1)正方形与矩形有怎样的关系 (2)正方形与菱形有怎样的关系 (3)正方形、平行四边形、矩形、菱形有怎样的关系 学生观察、思考、交流. 生1:正方形是特殊的矩形,即有一组邻边相等的矩形是正方形. 生2:正方形是特殊的菱形,即有一个角是直角的菱形是正方形. 教师画图说明,正方形、平行四边形、矩形、菱形的关系如图. 总结:正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四边形.2.正方形的性质 上面认识了正方形,下面我们继续研究正方形的性质.分小组进行讨论,整理所学的性质:图形对边对角对角线对称性平行四边形平行、相等相等互相平分不是轴对称图形矩形平行、相等四个角都是直角互相平分且相等轴对称图形,有两条对称轴菱形平行、四条边都相等相等互相垂直且平分,每条对角线平分一组对角轴对称图形,有两条对称轴正方形平行、四条边都相等四个角都是直角互相垂直、平分且相等,每条对角线平分一组对角轴对称图形,有四条对称轴 思考自议体会正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系。 学会运用正方形的定义计算和证明.
讲授新课 提炼概念正方形既是矩形，又是菱形，它既有矩形的性质，又有菱形的性质。三、典例精讲例1.求证:正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.解析：学生分析题设和结论,画图,写出已知和求证.已知:如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC,BD相交于点O.求证:△ABO,△BCO,△CDO,△DAO是全等的等腰直角三角形.证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.∴△ABO,△BCO,△CDO,△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO. 教师引导学生总结、归纳得正方形的判定方法: (1)定义法:有一个角是直角,有一组邻边相等的平行四边形是正方形. (2)矩形法:有一组邻边相等的矩形是正方形.(3)菱形法:有一个角是直角的菱形是正方形. 学会运用正方形的性质、判定进行计算和证明. 正方形性质和判定定理的应用.
课堂检测 四、巩固训练1．对正方形的描述错误的是( )A．正方形的四个角都是直角 B．正方形的对角线互相垂直C．邻边相等的矩形是正方形 D．对角线相等的平行四边形是正方形D2．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等A3．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A落在BC上的点F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（ ）A．邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．两个全等的直角三角形构成正方形D．轴对称图形是正方形A4．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED为（ ）A．45° B．15° C．10° D．125°A5.在平行四边形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件。下面给出了四组条件：①AB⊥AD,且AB=AD;②AB=BD且AB⊥BD;③OB=OC,且OB⊥OC;④AB=AD且AC=BD;其中正确的是__________①③④6. 如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F。试说明：AP=EF连接PC∵ PE⊥BC ， PF⊥DC而四边形ABCD是正方形∴ ∠FCE=90°∴ 四边形PECF是矩形∴ PC=EF又∵ 四边形BAPC是以BD为轴的轴对称图形∴ AP=PC∴ AP=EF
课堂小结 师生归纳小结:
A
B
C
D
P
E
F
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人教版 八年级下
18.2.3 正方形
新知导入
情境引入
生活中常见的正方形
说一说生活中还有那些常见的正方形？
合作学习
矩形---------------有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
菱形------ 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
矩形
〃
〃
正方形
邻边相等
〃
〃
一组邻边相等的矩形是正方形
菱 形
有一个角是直角
正方形
∟
一个角为直角的菱形是正方形
提炼概念
有一个直角
一组邻边相等
一组邻边相等
有一个直角
一个角是直角且一组邻边相等
正
方
形
正方形的概念
有一组邻边相等且有一个角是直角的的平行四边形是正方形.
所以，正方形既是矩形，又是菱形，它既有矩形的性质，又有菱形的性质。
A
B
C
D
如图：在平行四边形ABCD中，
AB=BC,∠A=90°
∴四边形ABCD是正方形.
正方形的性质
平行四边形 矩形 菱形 正方形
性质 边 对边平行
对边相等 对边平行
对边相等 对边平行
四条边相等
角 对角相等
邻角互补 四个角都是直角 对角相等
邻角互补
对角线 对角线互相平分 对角线互相平分
对角线相等 对角线互相平分
对角线互相垂直
一条对角线平分一组对角
对称性 不是轴对称图形 轴对称图形 轴对称图形
轴对称图形
典例精讲
例 正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。
已知: 如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O。求证: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的等腰直角三角形。
A
D
C
B
O
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO
∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都是等腰直角三角形,
并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO
归纳概念
正方形的判定：
1）有一个角是直角的菱形是正方形；
2）对角线相等的菱形是正方形；
3）一组邻边相等的矩形是正方形；
4）对角线互相垂直的矩形是正方形；
课堂练习
1．对正方形的描述错误的是( )
A．正方形的四个角都是直角 B．正方形的对角线互相垂直
C．邻边相等的矩形是正方形 D．对角线相等的平行四边形是正方形
【答案】D
【详解】
解：∵正方形的四个角都是直角，对角线互相垂直，∴A、B正确；
∵邻边相等的矩形是正方形，∴C正确；
∵对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，∴D不正确；
故选D．
2．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等
A
3．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A落在BC上的点F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（ ）
A．邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．两个全等的直角三角形构成正方形
D．轴对称图形是正方形
【解析】
∵将长方形纸片折叠，A落在BC上的F处，∴BA=BF，
∵折痕为BE，沿EF剪下，∴四边形ABFE为矩形，
∴四边形ABEF为正方形．
故用的判定定理是；邻边相等的矩形是正方形．故选A．
4．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED为（ ）
A．45° B．15° C．10° D．125°
5.在平行四边形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件。下面给出了四组条件：
①AB⊥AD,且AB=AD;
②AB=BD且AB⊥BD;
③OB=OC,且OB⊥OC;
④AB=AD且AC=BD;
其中正确的是__________
①③④
6. 如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E，
PF⊥DC于F。试说明：AP=EF
A
B
C
D
P
E
F
解:
连接PC
∵ PE⊥BC ， PF⊥DC
而四边形ABCD是正方形
∴ ∠FCE=90°
∴ 四边形PECF是矩形
∴ PC=EF
又∵ 四边形BAPC是以BD为轴的轴对称图形
∴ AP=PC
∴ AP=EF
课堂总结
三个角是直角
平行四边形
正方形
一个角是直角
作业布置
教材课后配套作业题。
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18.2.3 正方形学案
课题 18.2.3 正方形 单元 第18单元 学科 数学 年级 八年级下册
学习目标 1.学会运用正方形的定义计算和证明. 2.学会运用正方形的性质、判定进行计算和证明. 3.体会正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系,理解一般与特殊的关。
重点 正方形性质和判定定理的应用.
难点 正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系.
教学过程
导入新课 【引入思考】1.正方形的定义前面我们学行四边形、矩形、菱形的性质和判定,小学认识过了正方形,请同学们回答下面的问题. (1)正方形与矩形有怎样的关系 (2)正方形与菱形有怎样的关系 (3)正方形、平行四边形、矩形、菱形有怎样的关系 2.正方形的性质 上面认识了正方形,下面我们继续研究正方形的性质.分小组进行讨论,整理所学的性质:
新知讲解 提炼概念正方形既是矩形，又是菱形，它既有矩形的性质，又有菱形的性质。典例精讲 例1.求证:正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.解析：学生分析题设和结论,画图,写出已知和求证.已知:如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC,BD相交于点O.求证:△ABO,△BCO,△CDO,△DAO是全等的等腰直角三角形.
课堂练习 巩固训练1．对正方形的描述错误的是( )A．正方形的四个角都是直角 B．正方形的对角线互相垂直C．邻边相等的矩形是正方形 D．对角线相等的平行四边形是正方形2．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等3．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A落在BC上的点F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（ ）A．邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．两个全等的直角三角形构成正方形D．轴对称图形是正方形4．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED为（ ）A．45° B．15° C．10° D．125°5.在平行四边形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件。下面给出了四组条件：①AB⊥AD,且AB=AD;②AB=BD且AB⊥BD;③OB=OC,且OB⊥OC;④AB=AD且AC=BD;其中正确的是__________6. 如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F。试说明：AP=EF答案引入思考1.总结:正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四边形.2.正方形的性质 上面认识了正方形,下面我们继续研究正方形的性质.分小组进行讨论,整理所学的性质:图形对边对角对角线对称性平行四边形平行、相等相等互相平分不是轴对称图形矩形平行、相等四个角都是直角互相平分且相等轴对称图形,有两条对称轴菱形平行、四条边都相等相等互相垂直且平分,每条对角线平分一组对角轴对称图形,有两条对称轴正方形平行、四条边都相等四个角都是直角互相垂直、平分且相等,每条对角线平分一组对角轴对称图形,有四条对称轴提炼概念典例精讲 例：证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.∴△ABO,△BCO,△CDO,△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.巩固训练1.D2.A3.A4.A5.①③④6.连接PC∵ PE⊥BC ， PF⊥DC而四边形ABCD是正方形∴ ∠FCE=90°∴ 四边形PECF是矩形∴ PC=EF又∵ 四边形BAPC是以BD为轴的轴对称图形∴ AP=PC∴ AP=EF
课堂小结 小
A
B
C
D
P
E
F
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