11.3角的平分线的性质第1课时
文档属性
| 名称 | 11.3角的平分线的性质第1课时 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-11-06 14:44:13 | ||
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文档简介
课件25张PPT。§11.3.1
角平分线的性质 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？ 再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？ （对折）1、如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC。
将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?ADBCE 如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？2、证明：
在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 对应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）ONOMCE如何用尺规作角的平分线？AＢ作法： １．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢＮ于．３．作射线OC．则射线ＯＣ即为所求． 尺规作角的平分线AＢ为什么OC是角平分线呢？ O想一想：已知：OM=ON，MC=NC。求证：OC平分∠AOB。证明：在△OMC和△ONC中，
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌ △ONC（SSS）
∴∠MOC=∠NOC
即：OC平分∠AOB探究角平分线的性质 (1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？ (2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.探究角平分线的性质证明：∵OC平分∠ AOB （已知）
∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义）
∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知）
∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
∠PDO= ∠PEO（已证）
∠1= ∠2 （已证）
OP=OP （公共边）
∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等） 已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E
求证: PD=PE(3)验证猜想角平分线上的点到角两边的距离相等。
(4)得到角平分线的性质： 利用此性质怎样书写推理过程?思考：
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）ＳＯ公路铁路 如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB实践应用(2) 分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF ≌ Rt△EDB. 现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找什么条件DC=DE (因为角的平分线的性质)
再用HL证明.试试自己写证明。你一定行！角平分线性质:
角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
已知:(如图)ＯC平分∠ＡＯＢ, P是OC上一点, PD⊥OA,PE⊥OB
求证:PD=PE
证明:∵ ＯC平分∠ＡＯＢ, P是OC上一点（已知）
∴∠DＯP=∠BＯP（角平分线定义）
∵PD⊥OA,PE⊥OB （已知）
∴∠ODP=∠OEP=90°（垂直的定义）
在△OPD和△OPE 中
∠DOP=∠BOP （已证）
∠ODP=∠OEP （已证）
OP=OP （已知）
∴ △ADC≌△ABC (ＡＡS)
∴ＰＤ＝ＰＥ（全等三角形对应边相等）
几何语言:
∵OC是∠AOB的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，
PE⊥OB于E求证: PD=PEPC例1：结论：在角平分线上的点到角的两边的距离相等题设：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E.
求证：PD=PE. 操作 测量:
OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点， 1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，
写出结论：____________COBAPD=PE验证 结论已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.
求证:PD=PE.而△OPD≌△OPE的条件由已知易知它满足定理 (AAS). 故结论可证.老师期望:你能写出规范的证明过程.分析:要证明PD=PE,只要证明它们所在的△OPD≌△OPE，角平分线上的点到这个角的两边距离相等.能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．请填下表：PD=PEOC平分∠AOB，PD⊥OA, PE⊥OB, D、E为垂足．
角的平分线的性质： 在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．B如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意一点,问PE=PD?为什么?PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等思考？ 1. 要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）跟踪训练2.如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线的距离相等．ＡＢＣＤＥＰFGHＢＰ回味无穷定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
用尺规作角的平分线.已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，
求证：CF=EB。应用与提高证明：
∵ AD平分∠CAB
DE⊥AB，∠C＝90°（已知）
∴ CD＝DE (角平分线的性质)
在Ｒt△CDF和Rt△EDB中,
CD=DE （已证）
DF=DB （已知）
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL)
∴ CF=EB （全等三角形对应边相等）已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
求证:EB=FC. 回味无穷定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
∵OC是∠AOB的平分线,
P是OC上任意一点PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
用尺规作角的平分线.
角平分线的性质 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？ 再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？ （对折）1、如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC。
将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?ADBCE 如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？2、证明：
在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 对应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）ONOMCE如何用尺规作角的平分线？AＢ作法： １．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢＮ于．３．作射线OC．则射线ＯＣ即为所求． 尺规作角的平分线AＢ为什么OC是角平分线呢？ O想一想：已知：OM=ON，MC=NC。求证：OC平分∠AOB。证明：在△OMC和△ONC中，
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌ △ONC（SSS）
∴∠MOC=∠NOC
即：OC平分∠AOB探究角平分线的性质 (1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？ (2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.探究角平分线的性质证明：∵OC平分∠ AOB （已知）
∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义）
∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知）
∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
∠PDO= ∠PEO（已证）
∠1= ∠2 （已证）
OP=OP （公共边）
∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等） 已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E
求证: PD=PE(3)验证猜想角平分线上的点到角两边的距离相等。
(4)得到角平分线的性质： 利用此性质怎样书写推理过程?思考：
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）ＳＯ公路铁路 如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB实践应用(2) 分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF ≌ Rt△EDB. 现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找什么条件DC=DE (因为角的平分线的性质)
再用HL证明.试试自己写证明。你一定行！角平分线性质:
角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
已知:(如图)ＯC平分∠ＡＯＢ, P是OC上一点, PD⊥OA,PE⊥OB
求证:PD=PE
证明:∵ ＯC平分∠ＡＯＢ, P是OC上一点（已知）
∴∠DＯP=∠BＯP（角平分线定义）
∵PD⊥OA,PE⊥OB （已知）
∴∠ODP=∠OEP=90°（垂直的定义）
在△OPD和△OPE 中
∠DOP=∠BOP （已证）
∠ODP=∠OEP （已证）
OP=OP （已知）
∴ △ADC≌△ABC (ＡＡS)
∴ＰＤ＝ＰＥ（全等三角形对应边相等）
几何语言:
∵OC是∠AOB的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，
PE⊥OB于E求证: PD=PEPC例1：结论：在角平分线上的点到角的两边的距离相等题设：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E.
求证：PD=PE. 操作 测量:
OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点， 1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，
写出结论：____________COBAPD=PE验证 结论已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.
求证:PD=PE.而△OPD≌△OPE的条件由已知易知它满足定理 (AAS). 故结论可证.老师期望:你能写出规范的证明过程.分析:要证明PD=PE,只要证明它们所在的△OPD≌△OPE，角平分线上的点到这个角的两边距离相等.能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．请填下表：PD=PEOC平分∠AOB，PD⊥OA, PE⊥OB, D、E为垂足．
角的平分线的性质： 在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．B如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意一点,问PE=PD?为什么?PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等思考？ 1. 要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）跟踪训练2.如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线的距离相等．ＡＢＣＤＥＰFGHＢＰ回味无穷定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
用尺规作角的平分线.已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，
求证：CF=EB。应用与提高证明：
∵ AD平分∠CAB
DE⊥AB，∠C＝90°（已知）
∴ CD＝DE (角平分线的性质)
在Ｒt△CDF和Rt△EDB中,
CD=DE （已证）
DF=DB （已知）
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL)
∴ CF=EB （全等三角形对应边相等）已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
求证:EB=FC. 回味无穷定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
∵OC是∠AOB的平分线,
P是OC上任意一点PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
用尺规作角的平分线.