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名 师 课 件
2.3 等差数列的前n项和
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1.等差数列的概念．
2.等差数列的通项公式.
3.等差数列的性质.
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方法：
在这堆钢管旁，再堆放同样数量的钢管，如图2这时每层都有钢管
（4＋11）根，因此这堆钢管的总数是（4＋11）×8÷2=×8=60（根）.
●活动一
如图1堆放着一堆钢管，最上层放了4根，下面每一层比上一层多放一根，共8层，
这堆钢管共有多少根？
问题：
第n层，有多少根呢？这就变成了等差数列求前n项和了.
提示：等差数列的性质：
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●活动二
200多年前，高斯的数学老师提出下列问题：1+2+3+4+5+…+100=
你能快速解决该问题吗？
想一想：高斯的算法妙在哪里？这种方法能推广到一般等差数列的前n项和吗？
提示:（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+(50+51)=101×50=5050
高斯的算法实际上解决了等差数列：1,2,3,4,…,n, …前100项和的问题，人们从中受到启发，用下面算法算出了1,2,3,4,…,n, …前n项和
1 + 2 + 3 + … + (n-1) + n
n + (n-1) +（n-2)+…+ 2 + 1
(n+1）+（n+1）+ (n-1)+…+ (n-1)
可知 1 + 2 + 3 + … + (n-1) + n=
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一般地，我们称
表示
为数列
的前n项和，用
推导思路：（倒序相加法 ） 重点、难点知识★▲
………………(1)
再把项的顺序反过来, 又可以写成
…………………(2)
把（1）（2）两式分别相加，得
即等差数列前n项求和公式： ；
若将 代入又得：
等差数列前n项和公式的推导运用了：“倒序相加法”
比较以上两个公式，观察它们从哪些角度反映了等差数列的性质.
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例1：在小于100的正整数集合中，有多少个数是7的倍数？并求它们的和
详解：在小于100的正整数集合中，以下各数是7的倍数
7，7×2，7×3，…，7×14．
即7，14，28，…，98．
显然，这是一个等差数列．其中 ， 项数为不大于
的最大整数值，即
因此
即在小于100的正整数的集合中，有14个数是7的倍数，它们的和等
于735
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倒序相加法的运用 重点、难点知识★▲
解：这里
根据等差数列前n项和公式：
即： 解得： （舍去）
所以，n=15，即这个数列前15项和是345.
例2：在等差数列-5，-1，3，7，…中．前多少项的和是345？
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倒序相加法的运用 重点、难点知识★▲
例3： 已知等差数列 的前n项和为 ，求使得 最大的序号n的值.
分析：等差数列的前n项和公式可以写成
所以可以看成函数 ,当x=n时
的函数值.另一方面，容易知道关于n的图象是一条
抛物线上的一些点.因此，我们可以利用二次函数
来求n的值.
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倒序相加法的运用 重点、难点知识★▲
例3： 已知等差数列 的前n项和为 ，求使得 最大的序号n的值.
详解：由题意知，此等差数列的公差为 ，所以
=
于是，当n取 与最接近的整数即7或8时，取最大值 .
点拨：取最值时需特别注意取整问题，因为项数不能为负数与分数.
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（1）等差数列前n项和公式的推导运用-----倒序相加法;
（3）求等差数列前n项和最值的方法和步骤.
（2）等差数列前n项和公式的两种表达形式;会知三求二;
思维导图
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等差数列的定义
倒序相加
等差数列
等差数列前n项和公式
等差中项
等差数列的性质
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2.5 等比数列前n项和
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1.等比数列的概念
2.等比数列通项公式及性质
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问题探究一 等比数列前n项和与前（n+1）项和的关系
●活动一 引经据典,从生活出发:
重点知识★
相传古印度国王为奖赏国际象棋的发明者,问他有什么要求,发明者说: “请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒,在第2个格子里放上2颗麦粒,在第3个格子里放上4颗麦粒,依次类推,每个格子放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍,直到放完64个格子为止.请给我足够的粮食来实现上述要求.”你认为国王有能力满足发明者上述要求吗
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问题探究一 等比数列前n项和与前（n+1）项和的关系
●活动二 迎难而上,列出算式:
重点知识★
第n个格子中要放 粒麦粒, .将64个格子中放的麦粒总数记为 ,即 ,利用等比数列通项公式得
●活动三 化繁为简,简化计算
观察发现,计算式右边的每一项的2倍即是其后一项,因此
将 与 两式相减后得到:
这个数超过了 ,假定千粒麦子质量为40克,那么麦粒的总质量超过了7000亿吨,国王根本无能力满足发明者的要求.
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问题探究二 由特殊到一般,推导等比数列前n项和公式
●活动一 引桥构建,列出计算式:
重点、难点知识★ ▲
等比数列 中,前n项和记为 ,
●活动二 观察特点,类比实例:
将
与
两式相减后得到:
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问题探究三 利用等比数列前n项和公式解决相应问题
●活动一 初步运用,夯实基础:
重点、难点知识★ ▲
例1 求等比数列1,2,4,…,第五项到第十项的和.
详解:
所以从第五项到第十项的和为1008.
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问题探究三 利用等比数列前n项和公式解决相应问题
●活动二 对比提升,能力提升:
重点、难点知识★ ▲
例2 一个等比数列前n项和为 前2n项之和 ,求
详解:由题意知：
故有
知 成公比为 的等比数列,故知
,所以 .
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问题探究三 利用等比数列前n项和公式解决相应问题
●活动二 对比提升,能力提高
重点、难点知识★ ▲
例3 给出下面的数表序列:
其中表n（n=1,2,3,…）有n行,表中每一个数“两脚”的两数都是此数的2倍,记表n中所有的数之和为 ,例如
则
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问题探究三 利用等比数列前n项和公式解决相应问题
●活动二 对比提升,能力提高
重点、难点知识★ ▲
例3.详解:根据数表,可知表n中,有n行数字.
第一行有1个数字,和为
第二行有2个数字2,该行的数字之和为
第三行有3个数字 ,该行的数字之和为 ,
第n行有n个数字 ,该行数字之和为 ,
所以表n中所有数字之和为
两式相减可得:
所以
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等比数列 中共有 五个量,知道其中3个量就可以求出其余两个量.在公式
重难点突破
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1.等比数列前n项和的证明过程是在等式两边同乘以公比后作差.
3. 成公比为 的等比数列.
2.求等比数列前n项和时应注意讨论公比q是否等于1.
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配套课后作业:
《等比数列前n项和》基础型
《等比数列前n项和》能力型
《等比数列前n项和》探究型
《等比数列前n项和》自助餐
