2021-2022学年青岛版九年级数学下册5.4 二次函数的图象与性质专题（word解析版）

二次函数的图象与性质 专练
一、选择题
二次函数的图象如何移动就得到的图象
A. 向左移动个单位，向上移动个单位
B. 向右移动个单位，向上移动个单位
C. 向左移动个单位，向下移动个单位
D. 向右移动个单位，向下移动个单位
关于二次函数，下列说法正确的是
A. 图象与轴的交点坐标为
B. 的最小值为
C. 当 时，的值随值的大而减小
D. 图象的对称轴在轴的右侧
二次函数的图象如图所示，正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是
A. B.
C. D.
抛物线上有三点，，，则，，从小到大是
A. B. C. D.
抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，其部分图象如图所示，则此抛物线与轴的另一个交点坐标是
A. B.
C. D.
已知二次函数中，自变量与函数之间的部分对应值如表：
在该函数的图象上有和两点，且，，与的大小关系正确的是
A. B. C. D.
如表给出了二次函数中，的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解为
A. B. C. D.
已知，，是抛物线上的点，则
A. B. C. D.
函数的图象与轴只有一个交点，则的值为
A. B. 或 C. 或或 D. 或
如图，直线与抛物线分别交于，两点，那么当时，的取值范围是
A. B.
C. 或 D.
如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是
A. B.
C. 或 D. 或
二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，与轴的交点为、，其中，有下列结论：；；；当为任意实数时，；其中，正确的结论有
A. B. C. D.
二、填空题
已知二次函数，用配方法化为的形式为________________，这个二次函数图像的顶点坐标为________．
将抛物线绕原点旋转后，再分别向下、向右平移个单位，此时该抛物线的解析式为___________
当时，二次函数有最大值，则______．
抛物线的顶点在轴上，则______．
已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是______．
如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是________．
三、解答题
已知：抛物线有经过、两点，顶点为求：
求，的值；
求的面积．
如图，已知一次函数与二次函数的图象交于、两点．
求的值和二次函数的表达式．
当时，直接写出自变量的取值范围
如图，已知抛物线经过、两点．
求抛物线的解析式和顶点坐标；
当时，求的取值范围；
点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标．
22.如图，已知二次函数的图象交轴于点，，交轴于点．
求这个二次函数的表达式；
点是直线下方抛物线上的一动点，求面积的最大值；
直线分别交直线和抛物线于点，，当是等腰三角形时，直接写出的值．
如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知点坐标为，点坐标为．
求出、的值，并写出此二次函数的解析式；
当时，求的最大值．
点在轴上，点在抛物线上，要使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，写出所有满足条件的点的坐标．
如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，对称轴为直线，已知，．
求抛物线对应的函数表达式
若点在对称轴上，求的最小值．
24.如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，点．
求抛物线的解析式；
若点是抛物线上的一动点，且在直线的上方，当取得最大值时，求点的坐标；
在直线的上方，抛物线是否存在点，使四边形的面积为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
1.【答案】
【解析】解：由的图象得到的图象，得
向右移动个单位，向上移动个单位．
故选：．
根据图象平移规律：左加右减，上加下减，可得答案．
本题考查了二次函数图象与几何变换，熟记函数图象平移规律是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：，
当时，，故选项A错误，
当时，取得最小值，此时，故选项B正确，
当时，随的增大而减小，故选项C错误，
该函数的对称轴是直线，故选项D错误，
故选：．
根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
3.【答案】
【解析】解：由图可得，
，，
正比例函数的图象经过第二、四象限，且经过原点，
反比例函数的图象在第一、三象限，
故选：．
根据二次函数的图象可以判断、的正负，从而可以判断正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的图象分别在第几象限，从而可以解答本题．
本题考查反比例函数的图象、正比例函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确它们各自的特点，利用数形结合的思想解答．
4.【答案】
【解析】解：抛物线的对称轴是，
时的函数值与时的函数值相等，当时，随的增大而减小，
，
，
故选：．
根据二次函数的性质求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性解答．
本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线与轴的交点，要知道抛物线与轴的两交点关于对称轴对称．
根据抛物线的对称性和为轴上的点，即可求出另一个点的交点坐标．
【解答】
解：设抛物线与轴交点横坐标分别为、，且，
根据两个交点关于对称轴直线对称可知：，
即，得，
抛物线与轴的另一个交点为，
故选：．
6.【答案】
【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
，，
点到直线的距离比点到直线的距离要大，
而抛物线的开口向下，
．
故选：．
观察表中数据可得到抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，然后比较点、点离直线的距离的大小，再根据二次函数的性质可得到．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
7.【答案】
【解析】解：如图：
，，，，的一个近似根是．
故选：．
根据函数值，可得一元二次方程的近似根．
本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，图象与轴的交点的横坐标就是一元二次方程的解．
8.【答案】
【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
，
时，函数值最大，
又到的距离比到的距离小，
．
故选：．
求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：函数的图象与轴只有一个交点，
当时，，此时时，，该函数与轴有一个交点，
当时，函数的图象与轴只有一个交点，则，解得，，，
由上可得，的值为或或，
故选：．
根据函数的图象与轴只有一个交点，利用分类讨论的方法可以求得的值，本题得以解决．
本题考查抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数与不等式组，正确掌握观察函数图象是解题的关键． 根据函数图象，分别讨论当，，，，时，和的大小关系，即可得到答案．
【解析】
解：根据图象可知：
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
故选：．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键．根据函数图象写出直线以及上方部分的的取值范围即可．
【解答】
解：由图可知，．
故选A．
12.【答案】
【解析】解：二次函数的图象与轴有两个交点，
，故正确；
该函数图象的对称轴是，当时的函数值小于，
时的函数值和时的函数值相等，都小于，
，故错误；
该函数图象的对称轴是，与轴的交点为、，其中，
，故正确；
当时，该函数取得最小值，
当为任意实数时，则，即，故正确；
，
，
时，，
，故错误；
故选：．
根据函数图象和轴的交点个数与的关系进行判断；
判断横坐标为的点的纵坐标的位置进行判断；
根据点的对称性，由，确定的取值范围；
由时，函数取最小值为，得，进而判断；
由时，，与对称轴结合进行判断．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
13.【答案】 ；
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的三种形式：一般式：是常数，；顶点式：是常数，，其中为顶点坐标； 交点式：是常数，，利用配方法把一般式变形成顶点式．
【解答】
解：
即
这个二次函数图像的顶点坐标为
故答案为 ；
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．
先把解析式化为顶点式，根据旋转的性质求出旋转后的顶点坐标，然后根据平移的性质求得平移后抛物线的顶点坐标最后根
据平移、旋转只改变图形的位置不改变图形的大小和形状利用顶点式解析式写出即可．
【解答】
解：此时，该抛物线顶点坐标是．
将该抛物线绕坐标原点旋转后的顶点坐标是，再分别向下、向右平移个单位后的顶点坐标是．
所以此时抛物线的解析式为：
故答案为：
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得的值，本题得以解决．
【解答】
解：二次函数，
该函数开口向上，对称轴为，
当时，二次函数有最大值，
当时，该函数取得最大值，此时，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：抛物线的顶点在轴上，
，
解得，，
故答案为：．
根据抛物线的顶点在轴上，可知顶点的纵坐标是，即，代入数据计算即可得到的值．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
17.【答案】
【解析】解：二次函数的对称轴是直线，
二次函数中，
函数的图象的开口向上，
当时，随的增大而减小，
当时，随的增大而减小，
，
解得：，
故答案为：．
先根据函数的解析式和二次函数的性质得出函数的对称轴和开口方向，再根据已知和对称轴得出关于的不等式，求出不等式的解集即可．
本题考查了二次函数的性质和图象和解一元一次不等式，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
18.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．解答此题结合函数图像可得结论．
【解答】
解：抛物线与直线交于，两点，
观察函数图象可知：当时，直线在抛物线的上方，
不等式的解集为，
即不等式的解集是．
故答案为．
19.【答案】解：由题可得抛物线的解析式为，
所以，所以，；
因为，则点坐标为，
所以的面积为．
【解析】本题考查了抛物线解析式的求法，顶点式及三角形面积，属于简单题．
由题得出抛物线的两根式，展开即可得到和的值；
把抛物线解析式进行配方可得到顶点式，然后写出顶点坐标即可求得面积．
20.【答案】解：将点代入，
则，
，
将点、代入，
，，
；
由图象可得，时，．
【解析】将点、代入，将点代入分别求解即可；
由图象可得，时，．
本题考查二次函数和一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数和二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．
21.【答案】解：把、分别代入中，
得：，解得：，
抛物线的解析式为．
，
顶点坐标为．
由图可得当时，．
、，
．
设，则，
，
．
当时，，解得：，，
此时点坐标为或；
当时，，方程无解；
综上所述，点坐标为或．
【解析】由点、的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线顶点坐标；
结合函数图象以及、点的坐标即可得出结论；
设，根据三角形的面积公式以及，即可算出的值，代入抛物线解析式即可得出点的坐标．
本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：利用待定系数法求出函数解析式；根据函数图象解不等式；找出关于的方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
22.【答案】解：将，代入函数解析式，得
，
解得，
这个二次函数的表达式是；
当时，，即点，
设的表达式为，将点点代入函数解析式，得
解这个方程组，得
直线的解析是为，
过点作轴，
交直线于点，
，
，
，当时，
，
，，
当时，，解得，
，解得
当时，，
，解得或舍
当时，，
，解得或舍，
当是等腰三角形时，的值为，，，．
【解析】根据待定系数法，可得函数解析式；
根据平行于轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
根据等腰三角形的定义，可得关于的方程，根据解方程，可得答案．
本题考查了二次函数综合题，解的关键是待定系数法；解的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解的关键是利用等腰三角形的定义得出关于的方程，要分类讨论，以防遗漏．
23.【答案】解：把，代入
得
解得
所以二次函数的解析式为：
由
，
抛物线的对称轴为直线，
则当时，随着的增大而减小，
当时，的最大值是
平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得，
，根据平行四边形的对边相等，可得点的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得；
，根据平行四边形的对边相等，可得点的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得点坐标．
【解析】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用勾股定理、勾股定理的逆定理求三角形的形状；利用平行四边形的性质：对角线互相平分，对边相等是求点的关键．
根据待定系数法，把，代入，可得函数解析式；
把解析式化为顶点式得抛物线的对称轴，再根据二次函数的增减性求出当时，求的最大值；
分类讨论：
平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得，
，根据平行四边形的对边相等，可得点的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得；
，根据平行四边形的对边相等，可得点的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得点坐标．
24.【答案】解：
的最小值为
【解析】见答案
25.【答案】解：抛物线的表达式为：，
故，解得：，
故抛物线的表达式为：；
过点作轴交于点，
将点、的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线的表达式为：，
设点，则点，
，
，故有最大值，此时点；
四边形的面积，
即，
解得：或，
故点或
【解析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、面积的计算等，本题是中档题，难度一般．
抛物线的表达式为：，故，即可求解；
过点作轴交于点，则，即可求解；
利用四边形的面积，即可求解．
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