2021-2022学年鲁教版（五四制）六年级数学下册第七章第3节 平行线的性质 专题训练(word版含解析）

平行线的性质专题训练
一、探究学习 （问题导引探究）
探究 平行线的性质
素养探究：如果两条直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角各有什么关系？
知识导引：
平等线的性质
直线平行与性质之间的关系
例1 【基础题】 如图，AB∥CD，∠ADC=∠ABC．求证：∠E=∠F
【分析】平行 角相等 （等量代换）角相等
平行线的性质是由“性质关系”得到“数量关系”，直线平行的条件是由“数量关系”得到“位置关系”。直接利用平行线的性质得出∠ABC=∠DCF，再利用已知得出∠E=∠F．
【证明】∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠DCF．
又∵∠ADC=∠ABC
∴∠ADC=∠DCF．
∴DE∥BF．
∴∠E=∠F．
小结：此题主要考查了平行线的判定与性质，正确得出∠ADC=∠DCF是解题关键．
例2 【基础题】
【分析】 三个小题都是已知两线段平行和∠1的度数，求∠2的度数。在应用两直线平行的条件和平行线的性质时，一般使用同位角、内错角相等和同旁内角互补，如果已知不是的时候，可以借助对顶角等特殊角的性质将其转化为上述三种类型的角。
二、解题指导 （思路决定成败）
类型一、利用平行线的性质进行角的度数计算
例3 【中难题】如图，直线a∥b，直线AB与直线a，b分别相交于点A、B，AC交直线b于点C．（1）若AC⊥AB，∠1=54°49′．求∠2的度数；2）请说明∠ABC+∠BCA+∠CAB=180°．
【分析】（1）依据直线a∥b，AC⊥AB，即可得到∠2=90°-∠3=35°11′；
（2）利用平行线的性质定理可得结论。
【解答】（1）如图，
∵直线a∥b，
∴∠3=∠1=54°49′，
又∵AC⊥AB，
∴∠2=90°-∠3=35°11′；
（2）∵a∥b，
∴∠ACB=∠3，
∠ABC=∠4，
∵∠4+∠3+∠BAC=180°，
∴∠ABC+∠BCA+∠CAB=180°．
小结：本题主要考查平行线的性质了平行线的性质定理，解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．解题过程还需准确掌握度分秒的换算和垂线的定义。
例4【中难题】如图，AB∥CD，EF⊥AB于O，∠FGD=140°，求∠EFG的度数．
【分析】过点F作FM∥AB，则FM∥CD，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出∠MFG的度数，由EF⊥AB可得出∠BOF=90°，结合FM∥AB可求出∠OFM的度数，再利用∠EFG=∠OFM+∠MFG即可求出∠EFG的度数．
【解答】过点F作FM∥AB，如图所示.
∵AB∥CD，FM∥AB，
∴FM∥CD，
∴∠MFG=180°-∠FGD=180°-140°=40°．
∵EF⊥AB，
∴∠BOF=90°，
又∵FM∥AB，
∴∠OFM=180°-∠BOF=180°-90°=90°，
∴∠EFG=∠OFM+∠MFG=90°+40°=130°．
小结：本题考查了平行线的性质以及垂线，牢记“两直线平行，同旁内角互补”是解题关键
例5【中难题】 如图把一个含有30°角的直角三角板的直角顶点A放在直线a上，a∥b，B、C两点在平面上移动，请根据如下条件解答：
（1）如图1，若点C在直线b上，点B在直线b的下方，∠2=20°，则∠1=40°；
（2）如图2，若点C在平行直线a，b内部，点B在直线b的下方，∠2=n°，求∠1度数．
【分析】由含有30°的直角三角板可知∠ACB=60°．
（1）根据平行线的性质可得∠1=∠3，由∠2+∠3=∠ACB=60°，∠2=20°，可求解∠1的度数；
（2）过点C作直线c∥a，根据平行线的性质可得∠1=∠4，再判定c∥b，可得∠2=∠5，由∠ACB=60°，可求解∠1+∠2=60°，利用∠2=n°，即可求出∠1的度数
【解答】由题意可知：∠BAC=90°，∠B=30°，则∠ACB=60°．
（1）如图1，∵a∥b，
∴∠1=∠3，
∵∠2+∠3=∠ACB=60°， ∠2=20°，
∴∠3=40°，
（2）如图2，过C作c∥a，
∴∠1=∠4，
∵a∥b，
∴c∥b，
∴∠2=∠5，
∵∠4+∠5=∠ACB=60°，
∴∠1+∠2=60°，
∵∠2=n°，
∴∠1=（60-n）°．
【小结】本题主要考查平行线的性质与判定，三角形的内角和定理，要能从直角三角板求解∠ACB=60°，关注此类题辅助线的画法
例6【中难题】把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG=49°，则∠2-∠1=16°
【分析】先利用平行线的性质得∠2=∠DEG，∠EFG=∠DEF=49°，再根据折叠的性质得∠DEF=∠GEF=49°，所以∠2=98°，接着利用互补计算出∠1，然后计算∠2-∠1
【解答】∵AD∥BC，
∴∠2=∠DEG，∠EFG=∠DEF=49°，
∵长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，
∴∠DEF=∠GEF=49°，
∴∠2=2×49°=98°，
∴∠1=180°-98°=82°，
∴∠2-∠1=98°-82°=16°
【小结】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了折叠的性质
类型二、利用平行线的性质探究角的关系
例7【中难题】如图，已知AB∥CD，AE∥CF，求证：∠BAE=∠DCF
【分析】根据两直线平行，内错角相等的性质以及角的和差关系可证明
【证明】：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA．（两直线平行，内错角相等）
∵AE∥CF，
∴∠EAC=∠FCA．（两直线平行，内错角相等）
∵∠BAC=∠BAE+∠EAC，∠DCA=∠DCF+∠FCA，
∴∠BAE=∠DCF
小结：重点考查了两直线平行，内错角相等的这一性质
例8【中难题】如图，AM∥BN，∠A=60°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC平分∠ABP交AM于点C，BD平分∠PBN交AM于点D．
（1）求∠ABN的度数．
（2）求∠CBD的度数．
（3）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若变化，请写出变化规律；若不变化，请写出它们之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）由AM∥BN，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出∠ABN的度数；
（2）由BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，利用角平分线的定义可得出∠CBP=∠ABP，∠PBD=∠PBN，再结合∠CBD=∠CBP+∠PBD即可求出∠CBD的度数；
（3）由AM∥BN，利用“两直线平行，内错角相等”可得出 ∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，结合角平分线的定义可得出∠APB=2∠ADB．
【解答】（1）∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN=180°，
∴∠ABN=180°-∠A=180°-60°=120°.
（2）∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠CBP=∠ABP，∠PBD=∠PBN
∴∠CBD=∠CBP+∠PBD=∠ABP+∠PBN=∠ABN=60°．
（3）不变，∠APB=2∠ADB，理由如下：
∵AM∥BN，
∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，
又∵BD平分∠PDN， ∴∠PBN=2∠DBN，
∴∠APB=2∠ADB．
小结：本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义，解题的关键是：（1）牢记“两直线平行，同旁内角互补”；（2）利用角平分线的定义，找出∠CBP=∠ABP，∠PBD=
∠PBN；（3）牢记“两直线平行，内错角相等”．
类型三、利用平行线的性质解决实际问题
例9【基础题】 如图，某人骑自行车自A沿正东方向前进，至B处后，行使方向改为东偏南15°，行驶到C处仍按正东方向行驶，画出继续行驶的路线
【分析】对于生活中的问题，要能够抽象出相应的几何图形，并转化成数学问题，然后利用所学两直线平行，同旁内角互补的知识来解决，以C为顶点作165°的角即可
【小结】本题主要考查了两直线平行，同旁内角互补的性质．
例10【中难题】如图，是我们生活中经常接触的小刀，由刀片和刀柄组成，在刀柄ABCD中，∠A和∠B都是直角，在刀片EFGH中，EF∥GH．转动刀片时会形成∠1、∠2，试判断∠1与∠2的度数和是一个定值吗？若是，请求出∠1与∠2的度数和；若不是，请说明理由
【分析】过点B作BP∥EF，则∠1=∠ABP．依据平行线的性质，即可得到∠ABP+∠PBC=∠1+∠2=90°
【解答】∠1与∠2的度数和是一个定值，∠1+∠2=90°
如图，过点B作BP∥EF，则∠1=∠ABP．
∵EF∥GH，
∴BP∥GH，
∴∠2=∠PBC，
∵∠ABP+∠PBC=90°，
∴∠1+∠2=90°
类型四、利用平行线的性质与直线平行的条件综合运用
例11【中难题】
如图所示，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并对结论进行说理
【分析】由题意可先猜测∠AED=∠C，那么需证明DE∥BC．题中说∠1+∠2=180°，而∠1+∠4=180°所以∠2=∠4，那么可得到BD∥EF，题中有∠3=∠B，所以应根据平行得到∠3与∠ADE之间的关系为相等．就得到∠B与∠ADE之间的关系为相等，那么DE∥BC
【解答】∠AED=∠C．
证明：∵∠1+∠4=180°（邻补角定义）
∠1+∠2=180°（已知）
∴∠2=∠4（同角的补角相等）
∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）
∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等）
又∵∠B=∠3（已知），
∴∠ADE=∠B（等量代换），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）
∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）．
小结：本题是先从结论出发得到需证明的条件，又从所给条件入手，得到需证明的条件．属于典型的从两头往中间证明
例12【中难题】如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别是D、F．∠1=∠2，∠3=100°，试求∠BAC的度数
【分析】根据平行线的判定与性质可求得∠CGD=80°，∠B=∠GDC，再结合三角形的内角和定理可求解∠BAC的度数
【解答】∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴AD∥EF，
∴∠1=∠BAD，∠1+∠B=90°，∠2+∠GDC=90°，
∵∠1=∠2，∠3=100°，
∴∠CGD=80°，∠B=∠GDC，
∵∠DGC+∠C+∠GDC=180°，
∴∠B+∠C=100°，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠BAC=180°-（∠B+∠C）=180°-100°=80°，
故∠BAC的度数为80°
小结：本题主要考查三角形的内角和定理，垂线的定义，平行线的性质等知识的综合运用
【综合法与分析法】几何推理的方法主要有两种：一种是综合法，即由“因”导“果”，由已知条件逐步推到出结论，；另一种是分析法，即执“果”索“因”，根据要推出的结论，找到所需的条件，一步一步倒推，逐渐靠近已知条件。解答时一般用综合法，分析问题市一般用分析法，有时也可以综合应用两种方法。
类型五、分类讨论
例13【基础题】如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以说明．
解：如图：
（1）∠APC=∠PAB+∠PCD；
证明：过点P作PF∥AB，则AB∥CD∥PF，
∴∠APC=∠PAB+∠PCD（两直线平行，内错角相等）．
（2）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；
（3）∠APC=∠PAB-∠PCD；
（4）∵AB∥CD，
∴∠POB=∠PCD，
∵∠POB是△AOP的外角，
∴∠APC+∠PAB=∠POB，
∴∠APC=∠POB-∠PAB，
∴∠APC=∠PCD-∠PAB
【分析—辅助线法】两条平行线之间存在拐点时，通常过拐点作平行线，构造出同位角、内错角、同旁内角，为应用平行线的性质创造条件。
例14【拓展题】已知直线AB∥CD，点E在AB、CD之间，点P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ．
（1）如图1，过点E作EH∥AB，运用上述结论，探究∠PEQ、∠APE、∠CQE之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，类比（1）中的方法，运用上述结论，探究∠PEQ、∠APE、∠CQE之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，当∠PEQ=140°时，直接写出∠PFQ度数．
【分析】从拐点作出平行线（1）证出AB∥EH∥CD，由平行线的性质∠APE=∠PEH，∠CQE=∠QEH．进而得出结论；
（2）证出AB∥EG∥CD，由平行线的性质得∠APE+∠PEG=180°，∠CQE+∠QEG=180°，进而得出结论；
（3）由（2）得∠PEQ+∠BPE+∠EQD=360°，求出∠BPE+∠EQD=220°，由角平分线定义得∠BPF+∠DQF=∠BPE+∠EQD）=110°，由（1）得∠PFQ=∠BPF+∠DQF=110°
解：（1）∠PEQ=∠APE+∠CQE，理由如下：
∵AB∥CD，EH∥AB，
∴AB∥EH∥CD，
∴∠APE=∠PEH，∠CQE=∠QEH．
∵∠PEQ=∠PEH+∠QEH，
∴∠PEQ=∠APE+∠CQE．
（2）∠APE+∠CQE+∠PEQ=360°；理由如下：
过点E作EG∥AB，如图2所示：
∵AB∥CD，EG∥AB，
∴AB∥EG∥CD，
∴∠APE+∠PEG=180°，∠CQE+∠QEG=180°，
∴∠APE+∠PEG+∠CQE+∠QEG=360°，
即∠APE+∠CQE+∠PEQ=360°；
小结：在拐点作已知平行线的平行线就本节常见题型，掌握技巧，才能更好解决问题。
细观察，找规律．
例15 、下列各图中的MA1与NAn平行．
①图①中的∠A1+∠A2=180度．
②图②中的∠A1+∠A2+∠A3=360度．
③图③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540度．
④图④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=720度．
⑤第⑩个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A11=1800度．
⑥第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An+1=180n度．
下列各图中AB∥CD．
①图甲中∠B、∠C、∠BEC的数量关系是∠B+∠C=∠BEC．
②图乙中∠B，∠E，∠G，∠F，∠C的数量关系是∠B+∠EGF+∠C=∠E+∠F．
③图丙中∠B，∠E，∠F，∠G，∠H，∠M，∠C的数量关系是
∠B+∠EFG+∠GHM+∠C=∠E+∠G+∠M．
【分析】（1）通过作平行线，由平行线的性质可逐题求解，注意找规律；
【解答】解：（1）∵MA1∥NA2， ∴∠A1+∠A2=180°；
过A2作A2P∥MA1，
∵MA1∥NA3， ∴A2P∥NA3，
∴∠A1+∠A2+∠A3=2×180°=360°；
过A2作A2P∥MA1，过A3作A3Q∥MA1，
∵MA1∥NA4， ∴A2P∥MA1∥A3Q∥NA4，
∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=3×180°=540°；
过A2作A2P∥MA1，过A3作A3Q∥MA1，过A4作A4B∥MA1，
∵MA1∥NA5， ∴A2P∥MA1∥A3Q∥A4B∥NA5，
∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=4×180°=720°；
…
同理：∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A11=10×180°=1800°；
∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An+1=180n°；
（2）①∵AB∥EF∥CD，
∴∠B=∠BEF，
∠C=∠CEF，
∴∠B+∠C=∠BEC；
②过G作GN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥GN∥CD，
∴∠B+∠EGN=∠E，∠NGF+∠C=∠F，
∴∠B+∠EGF+∠C=∠E+∠F；
③过F作FP∥AB，过H作HQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥FP∥HQ∥CD，
∴∠B+∠EFP=∠E，∠PFG+∠GHQ=∠G，∠QHM+∠C=∠M，
∴∠B+∠EFG+∠GHM+∠C=∠E+∠G+∠M．
【素养提升】
通过对前几个图形中的位置关系和数量关系的分析，归纳总结出所有图形隐含的一般规律。通过这种由特殊到一般的推理，考查了逻辑推理这一核心素养
确定在两条平行线间利用折线得到角之间的关系时，需要过折线的拐点作已知直线的平行线，利用平行线的传递性和平行线的性质解决问题。
三、易错辨析（把握要点真谛）
辨析点一 应用平行线的性质时忽略前提条件
例16、两条直线被第三条直线所截，若∠1与∠2是同旁内角，且∠1=70°，则（　　）
A、∠2=70° B、∠2=110° C、∠2=70°或∠2=110° D、∠2的度数无法确定
【易错分析】两直线被第三条直线所截，只有当两条被截直线平行时，内错角相等，同位角相等，同旁内角互补．不平行时以上结论不成立。 故选：D
辨析点二 混淆平行线的性质与直线平行的条件
例17、如图，A、B、C和D、E、F分别在同一条直线上，且∠1=∠2，∠C=∠D，试完成下面证明∠A=∠F的过程．
【证明】：∵∠1=∠2（已知），∠2=∠3（对顶角相等）
∴∠1=∠3（等量代换），
∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行），
∴∠D+∠DEC=180°（两直线平行，同旁内角互补），
又∵∠C=∠D（已知），
∴∠C+∠DEC=180°（等量代换），
∴DF∥AC（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠A=∠F
【易错分析】混淆平行线的性质与条件，防止的方法是要看得到什么样的结论，若要得到角的数量关系有要用平行线的性质；若要得到两直线平行，则用两直线平行的条件。
辨析点三 考虑问题不全面，分类讨论运用不熟练
例18、如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE=α，∠DCE=β．则∠AEC的度数可能是多少？
【解答】（1）如图1，由AB∥CD
可得∠AOC=∠DCE1=β
∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C
∴∠AE1C=β-α．
（2）如图2，过E2作AB平行线，
∵AB∥CD
∴∠1=∠BAE2=α ∠2=∠DCE2=β
∴∠AE2C=α+β．
如图3，∵AB∥CD，
∴∠BOE3=∠DCE3=β
∵∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C
∴∠AE3C=α-β．
（4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°，
∴∠AE4C=360°-α-β．
（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC=α-β或β-α．
综上所述，∠AEC的度数可能为β-α，α+β，α-β，360°-α-β．
【易错分析】点E有5种可能位置，因此必须分情况进行讨论。
四、链接中考（直通中考真题）
链接一 平行线的性质
（2020 南通）如图，已知AB∥CD，∠A=54°，∠E=18°，则∠C的度数是（　　）
A、36° B、34° C、32° D、30°
【分析】（方法一）过点E作EF∥AB，则EF∥CD，由EF∥AB，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠AEF的度数，结合∠CEF=∠AEF-∠AEC可得出∠CEF的度数，由EF∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠C的度数；
（方法二）设AE与CD交于点O，由AB∥CD，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠DOE的度数，再利用三角形外角的性质，即可求出∠C的度数
【解答】解：（方法一）过点E作EF∥AB，则EF∥CD，
如图1所示．
∵EF∥AB，
∴∠AEF=∠A=54°，
∵∠CEF=∠AEF-∠AEC=54°-18°=36°．
又∵EF∥CD，
∴∠C=∠CEF=36°．
（方法二）设AE与CD交于点O，如图2所示．
∵AB∥CD，
∴∠DOE=∠A=54°．
又∵∠DOE=∠C+∠E，
∴∠C=∠DOE-∠E=54°-18°=36°．
故选：A
链接二 平行线的性质与直线平行的条件的综合
如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1=∠2，∠3=125°，则∠4的度数是（　）
A、65° B、66° C、55° D、75°
【解答】解：∵∠1=∠2，
∴a∥b，
∴∠4=∠5，
∵∠5=180°-∠3=55°，
∴∠4=55°
故选：C　
【小结】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型
符号
语言
文字
叙述
素养指导：平行线性质的规律猜想题