人教版数学九年级上册《第二十四章 圆》单元测试（word版含解析）

人教版数学九年级上册《第二十四章 圆》单元测试
一 、单选题（本大题共15小题，共45分）
1.在半径为圆中，两条平行弦分别长为，，则这两条平行弦之间的距离为
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
2.下列说法：①直径是弦；②弧是半圆；③经过圆内一点可以作无数条直径；④圆心相同的两个圆是同心圆．其中，不正确的个数是
A. B. C. D.
3.如图，已知的半径为，弦，是上任意一点，则线段的长可能是

A. B. C. D.
4.如图，是的弦，半径于点，下列判断中错误的是
A. B. C. D.
5.如图，为的直径，弦于点，连接，，，若，则的度数为
A. B. C. D.
6.如图，、是上的两点，，交于点，则等于
A. B. C. D.
7.如图，在中，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接若，则为
A. B. C. D.
8.如图，的半径为，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为
A. B. C. D.
9.如图，点为的内心，，，，则的面积是
A. B. C. D.
10.如图1，正六边形ABCDEF的一个顶点F落在和它大小相同的另一个正六边形GHLSPQ的中心上，若六边形ABCDEF绕着它的中心F自转到某个位置，如图2，则这两个图中阴影部分面积S1，S2之间的大小关系是（ ）
A. S1＞S2 B. S1＜S2 C. S1=S2 D. 无法确定
11.一个正八边形中最长的对角线等于a，最短的对角线等b，则这个正八边形的面积为（ ）
A. a2+b2 B. a2-b2 C. a+b D. ab
12.正五边形ABCDE内有一个正三角形PQR，QR与AB重合，将△PQR在五边形内沿着它的边AB、BC、CD、DE、EA、AB、…连续地翻转n次，使点P、Q、R同时回到原来的起始位置，那么n的最小值为（ ）
A. 5 B. 9 C. 10 D. 15
13.已知一个扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的弧长为
A. B. C. D.
14.如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若，则莱洛三角形的面积即阴影部分面积为
A. B. C. D.
15.如图，在 中，，的半径为，则图中阴影部分的面积是

A. B. C. D.
二 、填空题（本大题共5小题，共15分）
16.往水平放置的半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度，则水的最大深度是 ______
17.如图，点为外一点，为的切线，为切点，交于点，，，则线段的长为 ______.
18.如图，是的外接圆，连接并延长交于点，若，则的度数为 ______ .
19.如图，边长为的正六边形内有一边长为的正三角形，则 ______ ．
20.如图，将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，点的对应点落在边上，若，，则长为 ______.
三 、解答题（本大题共5小题，共40分）
21.如图，A、B、C、D是☉O上四点，且AD=CB，求证：AB=CD
22.如图，已知、切于、两点，，，求阴影部分的周长．
23.如图，内接于，为直径，延长至点使，连接，，作平分交于点，交于点
求证：为的切线；
连接，求证：
24.如图，四边形ABCD内接于大圆O，且各边与小圆相切于点E，F，G，H．求证：四边形ABCD是正方形．
25.如图，分别以的顶点，，为圆心，以为半径画圆，求图中绿色部分的面积.
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】解：有两种情况：①如图，当和在的两旁时，
过作于，交于，连接，，
，
，
由垂径定理得：，，
，
由勾股定理得：，
同理，
，
②当和在的同旁时，，
故选：
过作于，交于，连接，，有两种情况：①当和在的两旁时，根据垂径定理求出，，根据勾股定理求出，，相加即可；②当和在的同旁时，即可．
此题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是理解题意，能得出两种情况，题目比较典型，难度适中．注意要进行分类讨论．
2.【答案】C;
【解析】【试题解析】

该题考查圆的基本知识，理解圆中的一些概念：弦、直径、弧、半圆、等弧．根据弦、弧、等弧的定义即可求解．

解：①根据直径的概念，知直径是特殊的弦，故正确；
②根据弧的概念，知半圆是弧，但弧不一定是半圆，故错误；
③根据直径必须过圆心，若该点与圆心不重合，则根据两点确定一条直线可知此时只能作一条直径，故错误；
④圆心相同且半径不相等的两个圆是同心圆，故错误；
故选C．

3.【答案】C;
【解析】
该题考查了垂径定理，勾股定理的用法，要注意先估算，再选择．
根据求出的取值范围，再进行估算．

解：作交于点，连接，

根据垂径定理，，
根据勾股定理，，
则，，
只有符合条件．
故选C．

4.【答案】A;
【解析】解：是的弦，半径，
，，，、、D正确，不符合题意，
与不一定相等，A错误，符合题意，
故选：．
根据垂径定理、圆心角、弧、弦的关系判断即可．
该题考查的是垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，掌握在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及垂径定理是解答该题的关键．
5.【答案】A;
【解析】解：是直径，，
，
，
，
故选：
利用垂径定理证明，推出，
此题主要考查圆周角定理，垂径定理等知识，解答该题的关键是利用垂径定理解决问题．
6.【答案】C;
【解析】解：，
，
，

故选：
先根据垂径定理得到，则，然后根据圆周角定理得到的度数．
此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和圆心角、弧、弦的关系．
7.【答案】B;
【解析】解：连接，如图，
切于点，
，
，
，
，
，
，

故选：
连接，如图，根据切线的性质得到，则利用互余可计算出，再利用圆周角定理得到，然后根据平行线的性质得到的度数．
此题主要考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
8.【答案】D;
【解析】如图，，是直线与的公共点，当线段的长度最大时，
线段是的直径，
，
，
，，
，
故选：
根据已知条件得到线段是的直径，根据勾股定理即可得到结论．
此题主要考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，正确的作出图形是解答该题的关键．
9.【答案】B;
【解析】解：如图，过点作的延长线于点，

点为的内心，，
，
，
，，

，
的面积
故选：
过点作的延长线于点，根据点为的内心，，可得，所以，利用含度角的直角三角形可得的长，进而可得的面积．
此题主要考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握三角形的内心定义．
10.【答案】C;
【解析】解：ABCDEF是正六边形，且点P位于正六边形ABCDEF的中心，PQRSTU与ABCDEF全等，
∴题中阴影的面积为正六边形面积的
1
3
，
∴S1=S2．
故选C．
11.【答案】D;
【解析】解：如图所示，在正八边形中，最长的对角线为AE=BF=CG=DH=a，
最短得对角线为AC=BD=CE=DF=EG=FH=GA=HB=b，
按图所示进行割补得，
S正八边形ABCDEFGH=S四边形PQMN=ab．
故选D．
12.【答案】D;
【解析】解：如图所示，当正三角形PQR沿AB、BC、CD、DE、EA、AB、…翻转第一圈时所落的大致位置是C、E、B，当翻第二圈时A落的大致位置是如图（二），D、A，
故此三角形翻转两圈时点P、Q、R同时回到原来的起始位置，即n=15．
故选D．
13.【答案】B;
【解析】解：一个扇形的圆心角为，半径为，
该扇形的弧长为：，
故选：
根据弧长公式进行计算即可．
此题主要考查了弧长的计算，熟记弧长公式：弧长为，圆心角度数为，圆的半径为是解答该题的关键．注意：在弧长的计算公式中，是表示的圆心角的倍数，和都不要带单位．
14.【答案】D;
【解析】
图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．
该题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．

解：过作于，
是等边三角形，

，，
，
，，
的面积为，
，
莱洛三角形的面积，
故选：．
15.【答案】C;
【解析】
该题考查扇形面积的计算、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用扇形面积的计算公式解答．
根据平行四边形的性质可以求得的度数，然后根据扇形面积公式即可求得阴影部分的面积．

解：在 中，，的半径为，
，
图中阴影部分的面积是：，
故选：．

16.【答案】8;
【解析】解：连接，过点作于点，交于点，如图所示：
，
，
，
在中，，
，
即水的最大深度为，
故答案为：
连接，过点作于点，交于点，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可．
此题主要考查了垂径定理的应用、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答该题的关键．
17.【答案】3;
【解析】解：连接，
为的切线，
，
，，
，则，
故
故答案为：
直接利用切线的性质得出，进而利用直角三角形的性质得出的长．
此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确作出辅助线是解题关键．
18.【答案】40°;
【解析】解：连接，如图．
为直径，
，
与所对的弧为，


故答案为：
连接，由圆周角定理的推论可知，因为与所对的弧为，所以所以
此题主要考查了圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等．掌握这些性质是及作出合适的辅助线是解答该题的关键．
19.【答案】5;
【解析】解：边长为的正六边形的面积是边长是的等边三角形的面积的倍，
设空白，则，
．
故答案为：．
根据边长为的正六边形的面积是边长是的等边三角形的面积的倍即可得出结论．
该题考查的是正多边形和圆，熟知边长为的正六边形的面积是边长是的等边三角形的面积的倍是解答该题的关键．
20.【答案】;
【解析】解：连接、，过点作于，则，

由旋转的性质可知，，，
在中，，
在中，，
，
，
由旋转可得，，
的长为
故答案为：
连接、，过点作于，根据旋转变换的性质、弧长公式计算，得到答案．
此题主要考查的是弧长的计算、旋转变换的性质，掌握弧长公式是解答该题的关键．
21.【答案】证明：∵，∴
∴
∴
∴.
;
【解析】
22.【答案】解：连接OA、OB、OP．
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点
∴PA=PB，∠PAO=∠PBO=90°，∠APO=∠APB=30°，
∴在Rt△PAO中，OA=PO=2cm，
∴PB=AP=cm，
∵∠APB=60°，∠PAO=∠PBO=90°，
∴∠AOB=120°，
∴==πcm，
∴阴影部分的周长=PA+PB+==cm．;
【解析】
连接、，根据切线的性质定理求得的度数，然后根据弧长公式求得弧的长，根据三角形求得和的长，则阴影部分的周长即可求得．
此题主要考查了切线的性质定理以及弧长的计算公式，正确求得圆的半径的长以及圆心角的度数是关键．
23.【答案】解：（1）连接OC，
∵∠P=30°，且AP=AC，
∴∠ACP=∠P=30°，
∴∠CAO=∠ACP+∠P=30°+30°=60°，
.∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAO=60°，
∴∠PCO=∠ACP+∠ACO=90°，
又∵OC为⊙O的半径，
∴PC为⊙O的切线；
（2）连接AD，
∵CD平分∠ACB，且∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠BCD=45°．
∴AD=BD．
在Rt△ADB中，AD2+BD2=AB2．
∴AD=BD=AB．
又∵OA=OC，∠CAO=60°，
∴△ACO为等边三角形．
∴AC=CO=AO．
∴PA=AC=AO=AB，
即AB=2PA，
∴BD=AB=×2PA=PA．;
【解析】
根据圆周角定理以及等腰三角形的性质得出，进而得到，，利用切线的判定方法得出结论；
根据圆周角定理和角平分线的定义可知进而再根据等腰三角形的性质和等量代换得出，进而得出答案．
此题主要考查切线的判定和性质，圆周角定理以及等腰三角形的性质，掌握切线的判定方法，直径所对的圆周角是直角，以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
24.【答案】证明：
连结OE、OF、OG、OH．
∵四边形ABCD与小圆分别切于点E、F、G、H，
∴OE=OF=OG=OH，OE⊥AB、OF⊥BC、OG⊥CD、OH⊥AD．
∴AB=BC=CD=DA．
∴A、B、C、D是大圆O的四等分点．
∴四边形ABCD是正方形．;
【解析】连结OE、OF、OG、OH，利用切线的性质以及弦心距相等则弦相等可证明A、B、C、D是大圆O的四等分点，进而可证明四边形ABCD是正方形．
25.【答案】解：∵⊙A、⊙B、⊙C的半径都是1，扇形的三个圆心角正好构成三角形的三个内角，
∴阴影部分扇形的圆心角度数为180°，
∴S绿色==．;
【解析】
先根据三角形的内角和为求出阴影部分扇形圆心角的度数之和，再根据扇形的面积公式求解即可．
此题主要考查扇形面积的计算及三角形内角和定理的知识，解答该题的关键是沟通三角形内角与扇形的圆心角的关系，难度一般．