沪科版数学八年级上册 12.2 一次函数的应用 教案
文档属性
| 名称 | 沪科版数学八年级上册 12.2 一次函数的应用 教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 61.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-06 11:51:56 | ||
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文档简介
一次函数的应用
教学目标
【知识与技能】
学会用一次函数的性质求一次函数的解析式来解决实际问题,建立实际问题的函数模型.
【过程与方法】
经历对实际问题建立数学模型的过程,体验待定系数法的作用和一次函数模型的价值.
【情感、态度与价值观】
1.通过让学生经历用一次函数来解决实际问题、建立实际问题的函数模型的过程,使他们感受到数学的用途和与生活的紧密联系.
2.让学生参与到教学活动中,提高学习数学及运用数学的积极性.
重点难点
【重点】
用一次函数知识来解决实际问题.
【难点】
建立实际问题的数学模型.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:我们在前几节课学习了函数的图象与性质，大家还记得是什么吗
生1:函数图象.就是一条直线y＝kx＋b(k≠0).
生2:设出解析式,然后把已知点的坐标代入,解方程或方程组,解得系数值,进而得到解析式.
生3:一次函数的单调性.根据k的正负，来确定函数的增减性. 当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小.
师:很好!我们这节课就用它来解决一些实际问题.
二、共同探究,获取新知
教师多媒体出示.
【例】1 .春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元．
(1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
(2)商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共100件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．
师:你能求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
学生讨论后回答.利用方程（组）解决问题．
生1（口述）: 用方程组解决问题．
设甲种商品每件的进价为x元，乙种商品每件的进价为y元，
依题意得：，解得：，
∴甲种商品每件的进价为30元，乙种商品每件的进价为70元；
生2:用方程解决问题．设一个未知数解决问题．
师:如何解决第二个问题呢
学生思考,讨论．
师:用不等式解决“甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍” 来确定其中一个量的取值范围．
生: 设该商场购进甲种商品m件，则购进乙种商品(100－m)件，
由已知得：m≥4(100－m)，
解得：m≥80.
师:用一次函数的单调性（增减性）解决实际问题最值问题．
教师巡视.
学生举手.
教师找一名学生板演:
生（板演）: 设卖完A、B两种商品商场的利润为w元，
则w＝(40－30)m＋(90－70)(100－m)＝－10m＋2000，
∵k＝－10<0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝80时，w取最大值，最大利润为1200元．
∴100－m＝20，
∴该商场获利最大的进货方案为购进甲商品80件，乙商品20件，最大利润为1200元．
师:在这一题中体现出了函数、方程、不等式三者的联系，是一个不错的综合性题目．
一次函数最优化问题需要先确定影响问题的关键量，再列出函数解析式，然后分析解析式或者图象从而确定最优化方案．解这类题的关键是分析数量关系并建立一次函数模型，利用一次函数图象递增(或递减)的性质以及函数图象的变化规律解决实际问题．
【例】2.小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发．家到公园的距离为2500 m，如图是小明和爸爸所走路程s(m)与步行时间t(min)的函数图象．
(1)直接写出小明所走路程s与时间t的函数关系式；
(2)小明出发多少时间与爸爸第三次相遇？
(3)在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早20 min到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需作怎样的调整？
师:你能写出s与t的函数关系式吗
学生讨论后回答
生:在不同的取值范围内，计算方法是不同的,所以要分类讨论.要分三段进行讨论
教师提示:应分段表示,我们把这样的函数叫做分段函数,各个函数要注明取值范围.
师:在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数.
分段函数的出现是实际生活中的一种需要，对自变量的不同取值，用不同的表达式表示同一函数关系，所以分段函数是一个函数而不是几个函数.
师:应该怎样分情况讨论呢
学生思考,讨论.
师:是应怎样分段呢
生:分为0≤t≤20, 20师:哪位同学能写出这三种情况下的函数解析式
学生举手.
教师找一名学生板演,然后集体订正得到:
小明所走路程s与时间t的函数关系式为：
师:如何小明出发多少时间与爸爸第三次相遇？
生1:从图中可以看到他们两次的相遇，可以得出，第三次相遇应该是第三段处，所以需求出爸爸匀速行走的解析式，然后联立方程求出t的取值，就是第三次相遇的时间.
师:对,现在请大家具体算一下.
教师巡视.
学生计算后回答.
生2:设爸爸走的路程s与时间t的函数关系式为s＝kt＋b，
由图象得，
解得，
则爸爸所走的路程s与时间t的函数关系式为s＝30t＋250.
由图象知，小明与爸爸第三次相遇是t>30 min，
根据题意得，
解得，
即小明出发37.5 min时与爸爸第三次相遇；
师：在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早20 min到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需作怎样的调整？
生1：先求出爸爸到达公园的时间，然后求出他俩的时间差，由于速度不变，所以只有缩短休息的时间.
师:对,现在请大家具体算一下.
学生计算后回答.
生2：当s＝2500时，由题意得2500＝30t＋250，
解得t＝75.
爸爸到达公园时t＝75 min，小明到达公园时t＝60 min，小明比爸爸早15 min到达公园，如果小明希望比爸爸早20 min到达公园，小明在步行过程中停留的时间应该减少5 min.
三、练习新知
教师多媒体出示:
1. (2014安徽20题10分)2013年某企业按餐厨垃圾处理费25元/吨、建筑垃圾处理费16元/吨的收费标准，共支付餐厨和建筑垃圾处理费5200元．从2014年元月起，收费标准上调为：餐厨垃圾处理费100元/吨，建筑垃圾处理费30元/吨．若该企业2014年处理的这两种垃圾数量与2013年相比没有变化，就要多支付垃圾处理费8800元．
(1)该企业2013年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨？
(2)该企业计划2014年将上述两种垃圾处理总量减少到240吨，且建筑垃圾处理量不超过餐厨垃圾处理量的3倍，则2014年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元？
教师引导学生思考、交流,然后找一名学生板演,其余同学在下面做．
四、课堂小结
师:本节课我们学习了什么内容
学生回答,教师总结:
1.利用一次函数的增减性解决生活中的实际问题，实现一次函数最优化问题.
2.知道分段函数的概念与特征.
3.会作分段函数的图象.
4.对于实际问题,初步了解如何根据函数解析式和图象描出它的现实意义.
教学反思
本节课介绍了利用一次函数的图象与性质来解决一次函数的实际问题的最优化的问题，这几年是安徽中考考察的重点.同时分段函数在实际生活中经常用到,因为一个函数不是在所有的自变量可以取到的范围内可以通用,所以经常需要对自变量的范围分段讨论对应的函数.分段函数的画法就是分别画出各个适用范围的一段.通过本节课的学习让学生进一步理解自变量的取值范围的意义,在做题特别是解应用题时养成分情况讨论的习惯和意识..
教学目标
【知识与技能】
学会用一次函数的性质求一次函数的解析式来解决实际问题,建立实际问题的函数模型.
【过程与方法】
经历对实际问题建立数学模型的过程,体验待定系数法的作用和一次函数模型的价值.
【情感、态度与价值观】
1.通过让学生经历用一次函数来解决实际问题、建立实际问题的函数模型的过程,使他们感受到数学的用途和与生活的紧密联系.
2.让学生参与到教学活动中,提高学习数学及运用数学的积极性.
重点难点
【重点】
用一次函数知识来解决实际问题.
【难点】
建立实际问题的数学模型.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:我们在前几节课学习了函数的图象与性质，大家还记得是什么吗
生1:函数图象.就是一条直线y＝kx＋b(k≠0).
生2:设出解析式,然后把已知点的坐标代入,解方程或方程组,解得系数值,进而得到解析式.
生3:一次函数的单调性.根据k的正负，来确定函数的增减性. 当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小.
师:很好!我们这节课就用它来解决一些实际问题.
二、共同探究,获取新知
教师多媒体出示.
【例】1 .春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元．
(1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
(2)商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共100件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．
师:你能求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
学生讨论后回答.利用方程（组）解决问题．
生1（口述）: 用方程组解决问题．
设甲种商品每件的进价为x元，乙种商品每件的进价为y元，
依题意得：，解得：，
∴甲种商品每件的进价为30元，乙种商品每件的进价为70元；
生2:用方程解决问题．设一个未知数解决问题．
师:如何解决第二个问题呢
学生思考,讨论．
师:用不等式解决“甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍” 来确定其中一个量的取值范围．
生: 设该商场购进甲种商品m件，则购进乙种商品(100－m)件，
由已知得：m≥4(100－m)，
解得：m≥80.
师:用一次函数的单调性（增减性）解决实际问题最值问题．
教师巡视.
学生举手.
教师找一名学生板演:
生（板演）: 设卖完A、B两种商品商场的利润为w元，
则w＝(40－30)m＋(90－70)(100－m)＝－10m＋2000，
∵k＝－10<0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝80时，w取最大值，最大利润为1200元．
∴100－m＝20，
∴该商场获利最大的进货方案为购进甲商品80件，乙商品20件，最大利润为1200元．
师:在这一题中体现出了函数、方程、不等式三者的联系，是一个不错的综合性题目．
一次函数最优化问题需要先确定影响问题的关键量，再列出函数解析式，然后分析解析式或者图象从而确定最优化方案．解这类题的关键是分析数量关系并建立一次函数模型，利用一次函数图象递增(或递减)的性质以及函数图象的变化规律解决实际问题．
【例】2.小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发．家到公园的距离为2500 m，如图是小明和爸爸所走路程s(m)与步行时间t(min)的函数图象．
(1)直接写出小明所走路程s与时间t的函数关系式；
(2)小明出发多少时间与爸爸第三次相遇？
(3)在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早20 min到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需作怎样的调整？
师:你能写出s与t的函数关系式吗
学生讨论后回答
生:在不同的取值范围内，计算方法是不同的,所以要分类讨论.要分三段进行讨论
教师提示:应分段表示,我们把这样的函数叫做分段函数,各个函数要注明取值范围.
师:在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数.
分段函数的出现是实际生活中的一种需要，对自变量的不同取值，用不同的表达式表示同一函数关系，所以分段函数是一个函数而不是几个函数.
师:应该怎样分情况讨论呢
学生思考,讨论.
师:是应怎样分段呢
生:分为0≤t≤20, 20
学生举手.
教师找一名学生板演,然后集体订正得到:
小明所走路程s与时间t的函数关系式为：
师:如何小明出发多少时间与爸爸第三次相遇？
生1:从图中可以看到他们两次的相遇，可以得出，第三次相遇应该是第三段处，所以需求出爸爸匀速行走的解析式，然后联立方程求出t的取值，就是第三次相遇的时间.
师:对,现在请大家具体算一下.
教师巡视.
学生计算后回答.
生2:设爸爸走的路程s与时间t的函数关系式为s＝kt＋b，
由图象得，
解得，
则爸爸所走的路程s与时间t的函数关系式为s＝30t＋250.
由图象知，小明与爸爸第三次相遇是t>30 min，
根据题意得，
解得，
即小明出发37.5 min时与爸爸第三次相遇；
师：在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早20 min到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需作怎样的调整？
生1：先求出爸爸到达公园的时间，然后求出他俩的时间差，由于速度不变，所以只有缩短休息的时间.
师:对,现在请大家具体算一下.
学生计算后回答.
生2：当s＝2500时，由题意得2500＝30t＋250，
解得t＝75.
爸爸到达公园时t＝75 min，小明到达公园时t＝60 min，小明比爸爸早15 min到达公园，如果小明希望比爸爸早20 min到达公园，小明在步行过程中停留的时间应该减少5 min.
三、练习新知
教师多媒体出示:
1. (2014安徽20题10分)2013年某企业按餐厨垃圾处理费25元/吨、建筑垃圾处理费16元/吨的收费标准，共支付餐厨和建筑垃圾处理费5200元．从2014年元月起，收费标准上调为：餐厨垃圾处理费100元/吨，建筑垃圾处理费30元/吨．若该企业2014年处理的这两种垃圾数量与2013年相比没有变化，就要多支付垃圾处理费8800元．
(1)该企业2013年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨？
(2)该企业计划2014年将上述两种垃圾处理总量减少到240吨，且建筑垃圾处理量不超过餐厨垃圾处理量的3倍，则2014年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元？
教师引导学生思考、交流,然后找一名学生板演,其余同学在下面做．
四、课堂小结
师:本节课我们学习了什么内容
学生回答,教师总结:
1.利用一次函数的增减性解决生活中的实际问题，实现一次函数最优化问题.
2.知道分段函数的概念与特征.
3.会作分段函数的图象.
4.对于实际问题,初步了解如何根据函数解析式和图象描出它的现实意义.
教学反思
本节课介绍了利用一次函数的图象与性质来解决一次函数的实际问题的最优化的问题，这几年是安徽中考考察的重点.同时分段函数在实际生活中经常用到,因为一个函数不是在所有的自变量可以取到的范围内可以通用,所以经常需要对自变量的范围分段讨论对应的函数.分段函数的画法就是分别画出各个适用范围的一段.通过本节课的学习让学生进一步理解自变量的取值范围的意义,在做题特别是解应用题时养成分情况讨论的习惯和意识..