2021-2022北师大版八上数学一次函数压轴题精选30题(Word版,附答案解析)

北师大版八上数学一次函数压轴题精选30题
1．（2020秋 金台区校级期末）（1）问题解决：如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第二象限作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，求点C的坐标．
（2）问题拓展：在图1中，点E是x轴上的一个动点，是否存在这样的点E，使得|EC﹣EB|的值最大？如果不存在，请说明理由，如果存在，求点E的坐标．
（3）类比探究：如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标（0，﹣6），点B坐标（8，0），过点B作x轴垂线l，点P是l上一动点，点D是在一次函数y＝﹣2x+2图象上一动点，若△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，求出点D与点P的坐标．
2．（2020秋 济阳区期末）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．
（1）求直线l2的解析式；
（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．
（3）在x轴上是否存在点P，使以B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2020秋 九江期末）如图，已知直线AB的解析式为y＝x+m，线段CD所在直线解析式为y＝﹣x+n，连接AD，点E为线段OA上一点，连接BE，使得∠EBO＝2∠BAD．
（1）求证：△AOD≌△BOC；
（2）求证：BE＝EC；
（3）当AD＝10，BE＝5时，求m与n的值．
4．（2021秋 兴化市月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与x轴，y轴分别交于B，C两点，与正比例函数y＝x的图象交于点A，点A的横坐标为4．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）若动点M在线段OA上运动，当三角形OMC的面积是三角形OAC的面积的时，求点M的坐标；
（3）若点P（m，1）在三角形AOB的内部（不包括边界），求m的取值范围．
5．（2021秋 市中区期中）如图1，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，直线AB：y＝kx+3与直线AC：y＝﹣2x+b交于点A（2，n），与x轴分别交于点B（﹣6，0）和点C．点D为线段BC上一动点，将△ABD沿直线AD翻折得到△ADE，线段AE交x轴于点F．
（1）填空：k＝　 　；n＝　 　；b＝　 　；
（2）求△ABC的面积；
（3）当点E落在y轴上时，求点E的坐标；
（4）若△DEF为直角三角形，求点D的坐标．
6．（2021秋 三元区期中）如图，直线l：y＝﹣x+3分别与x轴，y轴交于A，B两点，在OB上取一点C（0，2），以线段BC为直角边向右作等腰直角三角形BCD，△BCD沿直线CD的方向以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）在△BCD运动的过程中，t为何值时，顶点D落在直线l上？请说明理由；
（3）在△BCD运动的过程中，是否存在实数t，使得DO+DA有最小值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
7．（2021秋 雨城区校级期中）如图，直线AB：y＝x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，若点E在线段AB上，OE⊥OF，且OE＝OF，连接AF．
（1）直接写出点A，B的坐标，并求出线段AB的长．
（2）猜想线段AF与BE之间的数量与位置关系，并证明；
（3）过点O作OM⊥EF垂足为D，OM分别交AF、BA的延长线于点C、M若BE＝3，求CF的长．
8．（2021秋 介休市期中）在“综合与探究”课上，张老师让每名同学在练习本上画出一个长方形，随后以该长方形为基本图形，以小组为单位编制一道综合探究题．经过思考和讨论，励志小组向全班同学分享了他们编拟的试题，得到了侯老师的认可，同学们也眼前一亮，纷纷动手，开始了探究．请你也跟他们一起来完成这道试题吧．如图1，分别以长方形OABC的边OC，OA所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，已知AO＝10，AB＝6，点E在线段OC上，以直线AE为轴，把△OAE翻折，点O的对应点D恰好落在线段BC上．
（1）分别求点D，E的坐标．
（2）如图2，若直线AD与x轴相交于点F，求直线AD表达式及点F的坐标．
（3）在（2）的条件下，P是x轴上的一动点，是否存在以A，P，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）在本题的探究过程中，你感悟到哪些数学思想，请至少写出两条．
9．（2021秋 寿阳县期中）已知在平面直角坐标系中，直线y1＝k1x+4（k1≠0）与直线y2＝k2x（k2≠0）交于点C（6，12），直线y1分别与x轴，y轴交于点A和点B．
（1）求直线y1与y2的表达式及点A，点B的坐标；
（2）x轴上是否存在点P，使△ACP的面积为30，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）x轴上是否存在点Q，使△OCQ为等腰三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2021秋 通川区校级期中）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为（2，4），一次函数y＝﹣x+b的图象与边OC、AB、x轴分别交于点D、E、F，∠DFO＝30°，并且满足OD＝BE，点M是线段DF上的一个动点．
（1）求b的值；
（2）连接OM，若△ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，求点M的坐标；
（3）求OM+MF的最小值．
11．（2021秋 深圳校级期中）如图所示，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1与y＝﹣x+3分别交x轴于点B和点C，点D是直线y＝﹣x+3与y轴的交点．
（1）求点B、C、D的坐标；
（2）设M（x，y）是直线y＝x+1上一点，△BCM的面积为S，请写出S与x的函数关系式；来探究当点M运动到什么位置时，△BCM的面积为10，并说明理由．
（3）线段CD上是否存在点P，使△CBP为等腰三角形，如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．
12．（2021秋 南岸区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，经过点B的直线y＝﹣x+b交x轴于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）动点P在射线AB上运动，过点P作PH⊥x轴，垂足为点H，交直线BC于点Q，设点P的横坐标为t．线段PQ的长为d（d≠0）．求d关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当点P在线段AB上时，连接CP，若S△CPQ＝，在线段BC上取一点M．连接PM，使∠BPM+2∠ABO＝90°，问在x轴上是否存在点R，使△PMR是以∠PMR为直角的直角三角形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．
13．（2021秋 本溪期中）已知一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与直线y＝x相交于点C，过B作x轴的平行线l，点P是直线l上的一个动点．
（1）直接写出点A、B的坐标：A　 　、B　 　．
（2）若S△AOC＝S△BCP，求点P的坐标；
（3）若点E是平面内的一个动点，当△ABE是AB为直角边的等腰直角三角形，则点E的坐标为 　 　．
14．（2021秋 金牛区校级期中）如图，A（4，0），B（0，4），直线y＝x+1与x轴、y轴、直线AB分别交于点C、E、D．
（1）求直线BC的解析式及D点的坐标；
（2）求四边形OADE的面积；
（3）F是OA的中点，过点F作直线l，若l恰好将四边形OADE分成面积比为1：4的两部分，求直线l的解析式．
15．（2021秋 海珠区校级期中）如图所示，直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a、b满足，C的坐标为（﹣1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P．
（1）如图1，写出a、b的值，证明△AOP≌△BOC；
（2）如图2，连接OH，求证：∠OHP＝45°；
（3）如图3，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过D作DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，求证：S△BDM﹣S△ADN＝4．
16．（2021秋 高新区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2的解析式为y＝﹣x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C．
（1）求出点A、点B的坐标；
（2）求△COB的面积；
（3）在y轴上是否存在一点P，使得△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由．
17．（2021秋 苏家屯区期中）如图1所示，直线l：y＝k（x﹣2）（k＜0）与x轴正半轴和y轴正半轴分别交于点A、B两点．
（1）当OA＝OB时，求直线l的表达式；
（2）在（1）的条件下，如图2所示，设C为线段AB延长线上一点，作直线OC，过点A、B两点分别作AD⊥OC于点D，BE⊥OC于点E，若AD＝，求BE的长；
（3）如图3所示，当K取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，以AB为底向上作等腰直角△ABP，试问：B点运动时，点P是否始终在某一直线上运动？若是，请写出该直线对应的函数表达式并说明理由；若不是，请说明理由．
18．（2021秋 太原期中）综合与探究：
如图1，平面直角坐标系中，一次函数y＝x+3图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，并与x轴交于点C点P是直线AB上的一个动点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求直线BC的表达式，并直接写出点C的坐标；
（3）请从A，B两题中任选一题作答．我选择 　 　题．
A．试探究直线AB上是否存在点P，使以A，C，P为顶点的三角形的面积为18？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
B．如图2，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，垂足为点H．试探究直线AB上是否存在点P，使PQ＝BC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
19．（2021秋 和平区校级期中）如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与正比例函数y＝kx的图象交于点C（2，4），在x轴上有一点E（m，0），过点E作直线l⊥x轴，交直线y＝kx于点F，交直线y＝﹣x+b于点G．
（1）求这两个函数的表达式．
（2）当m＝时，点G的坐标为 　 　，F的坐标为 　 　，△CFG的面积为 　 　．
（3）当GF的长为3时，m的值为 　 　．
（4）在y轴上找一点P，使以O、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出点P的坐标 　 　．
20．（2021秋 和平区期中）已知，一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线y＝x相交于点C．过点B作x轴的平行线l．点P是直线l上的一个动点．
（1）点A的坐标 　 　，点B的坐标 　 　；
（2）若S△AOC＝S△BCP，求点P的坐标．
（3）若点E是直线y＝x上的一个动点，当△APE是以AE为斜边的等腰直角三角形时，点E的坐标为 　 　．
（4）在（3）的条件下，当点P在AE右侧时，Q为平面内一点，EQ＝2，连接OQ，将线段OQ绕着点O逆时针旋转90°，得到线段OM，连接QM，EM，直接写出EM的范围．
21．（2021秋 和平区期中）如图1，直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）直线BC的函数表达式为 　 　；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q，连接BM．
①若∠MBC＝90°，请直接写出点P的坐标 　 　；
②若△PQB的面积为，请直接写出点M的坐标 　 　；
③若点K为线段OB的中点，连接CK，如图2，若在线段OC上有一点F，满足∠CKF＝45°，请直接写出点F的坐标 　 　．
22．（2021秋 碑林区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+6交x轴于点A，交y轴于点B，交直线y＝﹣2x+9于点C．
（1）点C的坐标是 　 　．
（2）点M是直线AB上一点，点N是直线y＝﹣2x+9上一点，连接线段MN，若MN∥x轴，且MN＝6，求出所有符合条件的点M的坐标．
（3）在（2）的条件下，平面上是否存在点P，使得△BOP和△MNC全等，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
23．（2021秋 龙华区校级期中）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线DE经过点C，过A作AD⊥DE于点D．过B作BE⊥DE于点E，则△BEC≌△CDA，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明）
【模型应用】若一次函数y＝kx+4（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．
（1）如图2，当k＝﹣1时，若点B到经过原点的直线l的距离BE的长为3，求点A到直线l的距离AD的长；
（2）如图3，当k＝﹣时，点M在第一象限内，若△ABM是等腰直角三角形，求点M的坐标；
（3）当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接OQ，则OQ长的最小值是 　 　．
24．（2021秋 南海区期中）如图1，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m交x轴于点A（4，0），交y轴正半轴于点B，直线AC交y轴负半轴于点C，且BC＝AB．
（1）求△ABC的面积．
（2）P为线段AB（不含A，B两点）上一动点．
①如图2，过点P作y轴的平行线交线段AC于点Q，记四边形APOQ的面积为S，点P的横坐标为t，当S＝时，求t的值．
②M为线段BA延长线上一点，且AM＝BP，在直线AC上是否存在点N，使得△PMN是以PM为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2021秋 龙岗区校级期中）如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与x轴和y轴分别交于点A和B，再将△AOB沿直线CD对折，使点A与点B重合，直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D．
（1）点A的坐标为 　 　，点B的坐标为 　 　；
（2）求直线CD的函数解析式；
（3）在直线AB上，是否存在点P，使得S△POD＝S△OCD，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
26．（2021 古冶区一模）如图，直角坐标系xOy中，过点A（6，0）的直线l1与直线l2：y＝kx﹣1相交于点C（4，2），直线l2与x轴交于点B．
（1）k的值为 　 　；
（2）求l1的函数表达式和S△ABC的值；
（3）直线y＝a与直线l1和直线l2分别交于点M，N，（M，N不同）
①直接写出M，N都在y轴右侧时a的取值范围；
②在①的条件下，以MN为边作正方形MNDE，边DE恰好在x轴上，直接写出此时a的值．
27．（2021春 黄陂区期末）如图，直线l1：y＝kx﹣2k+1经过定点C，分别交x轴，y轴于A，B两点，直线l2经过O，C两点，点D在l2上．
（1）①直接写出点C的坐标为 　 　；②求直线l2的解析式；
（2）如图1，若S△BOC＝2S△BCD，求点D的坐标；
（3）如图2，直线l3经过D，E（0，﹣）两点，分别交x轴的正半轴、l1于点P，F，若PE＝PF，∠EDO＝45°，求k的值．
28．（2021春 任城区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴相交于A（6，0）、B（0，2）两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．
（1）求证：△BOC≌△CED；
（2）求经过A、B两点的一次函数表达式及点D的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标．（不用写过程）
29．（2021春 东港区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（12，0），（12，6），直线y＝﹣x+b（b＞0）与y轴交于点P，与边OA交于点D，与边BC交于点E．
（1）若直线y＝﹣x+b（b＞0）平分矩形OABC的面积，求b的值；
（2）在（1）的条件下，过点P的直线，与直线BC和x轴分别交于点N、M．问：是否存在ON平分∠CNM的情况？若存在，求线段DM的长，若不存在，请说明理由．
（3）将（1）中的直线沿y轴向下平移a个单位得到新直线l，矩形OABC沿平移后的直线折叠，若点O落在边BC上的F处，CF＝9，求出a的值．
30．（2021春 渝中区校级期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y＝x交于点C．
（1）若直线AB解析式为y＝﹣2x+12，求：
①求点C的坐标；
②求△OAC的面积．
（2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，OA＝4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时点P的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案与试题解析
1．（2020秋 金台区校级期末）（1）问题解决：如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第二象限作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，求点C的坐标．
（2）问题拓展：在图1中，点E是x轴上的一个动点，是否存在这样的点E，使得|EC﹣EB|的值最大？如果不存在，请说明理由，如果存在，求点E的坐标．
（3）类比探究：如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标（0，﹣6），点B坐标（8，0），过点B作x轴垂线l，点P是l上一动点，点D是在一次函数y＝﹣2x+2图象上一动点，若△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，求出点D与点P的坐标．
【解答】解：（1）对于一次函数y＝x+1，
令x＝0，y＝1，
∴B（0，1），
令y＝0，则x+1＝0，
∴x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），
∴OA＝4，OB＝1，
过点C作CD⊥x轴于D，
∴∠ADC＝∠BOA＝90°，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠CAD+∠BAO＝90°，
∴∠CAD＝∠ABO，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝AB，
在△ADC和△BOA中，
，
∴△ADC≌△BOA（AAS），
∴CD＝OA＝4，AD＝OB＝1，
∴OD＝OA+AD＝5，
∴C（﹣5，4）；
（2）存在点E，使得|EC﹣EB|的值最大．
延长CB交x轴于E，
∵BC＝|CE﹣EB|，BC＞＝|CE′﹣E′B|，
∴点E即为所求，
设直线CB的解析式为y＝kx+b，
∵B（0，1），C（﹣5，4），
∴，
解得：，
∴直线CB的解析式为y＝﹣x+1，
当y＝0时，﹣x+1＝0，解得：x＝，
∴E（，0）；
（3）如图，过点D作DF⊥y轴于F，延长FD交BP于G，
∵点A坐标（0，﹣6），点B坐标（8，0），
∴DF+DG＝OB＝8，
∵点D在直线y＝﹣2x+2上，
∴设点D（m，﹣2m+2），
∴F（0，﹣2m+2），OF＝|2m﹣2|，AF＝|2m﹣2﹣6|＝|2m﹣8|，
∵BP⊥x轴，B（8，0），
∴G（8，﹣2m+2），
同（1）的方法得，△AFD≌△DGP（AAS），
∴AF＝DG，DF＝PG，
∵DF+DG＝DF+AF＝8，
∴m+|2m﹣8|＝8，
∴m＝或m＝0，
∴D（0，2）或（，﹣），
当m＝0时，G（8，2），DF＝0，
∴PG＝0，
∴P（8，2），
当m＝时，﹣2m+2＝﹣2×+2＝﹣，
∴G（8，﹣），DF＝m＝，
∴BG＝，
∴P（8，），
即：D（0，2），P（8，2）或D（，﹣），P（8，）．
2．（2020秋 济阳区期末）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．
（1）求直线l2的解析式；
（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．
（3）在x轴上是否存在点P，使以B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把（1，m）代入y＝x+3得m＝4，
∴C（1，4），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，把C（1，4），A（3，0）代入得：
∴，解得，
∴直线l2的解析式为y＝﹣2x+6；
（2）如图：
在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
∴AB＝3﹣（﹣3）＝6，
设M（a，a+3），由MN∥y轴，得N（a，﹣2a+6），
MN＝|a+3﹣（﹣2a+6）|＝|3a﹣3|，
∵MN＝AB，
∴|3a﹣3|＝6，
解得a＝3或a＝﹣1，
∴M（3，6）或（﹣1，2）；
（3）存在，设P（t，0），则CP2＝（t﹣1）2+16，BP2＝（t+3）2，
而BC2＝（1+3）2+（4﹣0）2＝32，
①当BP＝CP时，如图：
∴（t+3）2＝（t﹣1）2+16，
解得t＝1，
∴P（1，0）；
②当BC＝BP时，如图：
∴（t+3）2＝32，
解得t＝﹣3+4或t＝﹣3﹣4，
∴P（﹣3+4，0）或（﹣3﹣4，0），
③当BC＝CP时，如图：
∴（t﹣1）2+16＝32，
解得t＝5或t＝﹣3（与B重合，舍去），
∴P（5，0），
综上所述，P的坐标为：（1，0）或（﹣3+4，0）或（﹣3﹣4，0）或（5，0）．
3．（2020秋 九江期末）如图，已知直线AB的解析式为y＝x+m，线段CD所在直线解析式为y＝﹣x+n，连接AD，点E为线段OA上一点，连接BE，使得∠EBO＝2∠BAD．
（1）求证：△AOD≌△BOC；
（2）求证：BE＝EC；
（3）当AD＝10，BE＝5时，求m与n的值．
【解答】（1）证明：在y＝x+m中，令x＝0，则y＝m，令y＝0，则x＝﹣m，
∴A（﹣m，0），B（0，m），
∴OA＝OB＝m，
在y＝﹣x+n中，令x＝0，则y＝n，令y＝0，则x＝n，
∴C（n，0），D（0，n），
∴OC＝OD＝n，
在△AOD与△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS）；
（2）证明：由（1）知，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠ODC＝∠CDO＝45°，
∵△AOD≌△BOC，
∴∠ADB＝∠BCO，
∵∠ADO＝∠ABO+∠BAD＝45°+∠BAD，
∠BCO＝∠DCO+∠BCD，
∴∠BAD＝∠BCD，
设∠BAD＝∠DCB＝α，则∠EBO＝2∠BAD＝2α，
∴∠DBC＝45°﹣α，
∵∠ECB＝∠DCO+∠BCD＝45°+α，
∠EBC＝∠EBO+∠CBO＝2α+45°﹣α＝45°+α，
∴∠ECB＝∠EBC，
∴BE＝EC；
（3）解：由（1）知OA＝OB＝m，OC＝OD＝n，
∵∠AOD＝∠BOE＝90°，
∴AO2+OD2＝AD2，OB2+OE2＝BE2，
∵AD＝10，BE＝CE＝5，
∴m2+n2＝102，m2+（5﹣n）2＝（5）2，
∴m＝4，n＝2．
4．（2021秋 兴化市月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与x轴，y轴分别交于B，C两点，与正比例函数y＝x的图象交于点A，点A的横坐标为4．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）若动点M在线段OA上运动，当三角形OMC的面积是三角形OAC的面积的时，求点M的坐标；
（3）若点P（m，1）在三角形AOB的内部（不包括边界），求m的取值范围．
【解答】解：（1）∵点A在正比例函数y＝x的图象上，且点A的横坐标为4．
∴点A（4，2），
∵一次函数y＝﹣x+b的图象与正比例函数y＝x的图象交于点A，
∴2＝﹣4+b，
∴b＝6，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+6，
∵一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴，y轴分别交于B，C两点，
∴点B（6，0），点C（0，6）；
（2）由（1）可知：OC＝6，xA＝4，
∴S△OAC＝×OC×xA＝×6×4＝12，
∵S△OMC＝S△OAC＝4，
∴S△OMC＝×OC×|xM|＝4，
∴|xM|＝，
∴xM＝±，
当动点M在线段OA上时，x＞0，则当x＝时，y＝×＝，
∴此时M点的坐标为（，）；
（3）∵点P（m，1）在△AOB的内部（不包括边界），
∴当y＝1时，代入正比例函数中得：1＝x，
解得：x＝2，
当y＝1时，代入一次函数中得：1＝﹣x+6，
解得：x＝5，
∴2＜m＜5．
故答案为：2＜m＜5．
5．（2021秋 市中区期中）如图1，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，直线AB：y＝kx+3与直线AC：y＝﹣2x+b交于点A（2，n），与x轴分别交于点B（﹣6，0）和点C．点D为线段BC上一动点，将△ABD沿直线AD翻折得到△ADE，线段AE交x轴于点F．
（1）填空：k＝　　；n＝　4　；b＝　8　；
（2）求△ABC的面积；
（3）当点E落在y轴上时，求点E的坐标；
（4）若△DEF为直角三角形，求点D的坐标．
【解答】解：（1）把B（﹣6，0）代入kx+3，
∴﹣6k+3＝0，
∴k＝，
∴直线AB解析式：y＝x+3，
把点A（2，n）代入y＝x+3，
∴n＝4，
∴A（2，4），
把（2，4）代入y＝﹣2x+b得，
﹣4+b＝4，
∴b＝8，
故答案为：；4；8；
（2）∵直线AC：y＝﹣2x+8，
∴点C（4，0），
∵点A（2，4），点B（﹣6，0）和点C（4，0），
∴BC＝10，△ABC的BC边上的高为4，
∴S△ABC＝×10×4＝20；
（3）如图，过点A作AH⊥y轴于点H，
∴AH＝2，AE2＝AB2＝（﹣6﹣2）2+42＝80，
∴HE＝＝2，
∴OE＝HE﹣OH＝2﹣4，
∴E点的坐标为（0，4﹣2）；
（4）△DEF为直角三角形，分两种情况讨论：
当∠EDF＝90°时，
如图，由对折可得，∠ADB＝∠ADE＝＝135°，
∴∠ADO＝135°﹣90°＝45°，
过点A作AG⊥BC于G，
∴AG＝DG＝4，
∵OG＝2，
∴OD＝2，
∴D（﹣2，0）；
当∠DFE＝90°时，
由对折得，AE＝AB＝＝4，BD＝DE，
∴EF＝4﹣4，
由A、B两点坐标可得：BF＝2﹣（﹣6）＝8，
设DF＝m，则BD＝8﹣m，
∴DE＝8﹣m，
∴（8﹣m）2＝m2+（4﹣4）2，
∴m＝2﹣2，
∴OD＝DF﹣OF＝2﹣2﹣2＝2﹣4，
∴D（4﹣2，0），
综上，D（﹣2，0）或（4﹣2，0）．
6．（2021秋 三元区期中）如图，直线l：y＝﹣x+3分别与x轴，y轴交于A，B两点，在OB上取一点C（0，2），以线段BC为直角边向右作等腰直角三角形BCD，△BCD沿直线CD的方向以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）在△BCD运动的过程中，t为何值时，顶点D落在直线l上？请说明理由；
（3）在△BCD运动的过程中，是否存在实数t，使得DO+DA有最小值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x+3分别与x轴，y轴交于A，B两点，
∴当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝6，
∴点A（6，0），点B（0，3）；
（2）∵点C（0，2），点B（0，3），
∴BC＝1，
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴CD＝BC＝1，∠BCD＝90°，
∴点D（1，2），
若顶点D落在直线l上，
∴当y＝2时，则2＝﹣x+3，
∴x＝2，
∴t＝＝1；
（3）如图，作点O关于直线CD的对称点O'，连接O'A交直线CD于点D'，此时，D'O+D'A有最小值；
∵点O与点O'关于直线CD对称，
∴O'（0，4），
设直线O'A的解析式为y＝kx+4，
∴0＝6k+4，
∴k＝﹣，
∴直线O'A的解析式为y＝﹣x+4，
当y＝2时，2＝﹣x+4，
∴x＝3，
∴t＝＝2，
当t＝2时，使得DO+DA有最小值．
7．（2021秋 雨城区校级期中）如图，直线AB：y＝x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，若点E在线段AB上，OE⊥OF，且OE＝OF，连接AF．
（1）直接写出点A，B的坐标，并求出线段AB的长．
（2）猜想线段AF与BE之间的数量与位置关系，并证明；
（3）过点O作OM⊥EF垂足为D，OM分别交AF、BA的延长线于点C、M若BE＝3，求CF的长．
【解答】解：（1）直线AB：y＝x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令x＝0，则y＝﹣4，
∴B（0，﹣4），
∴OB＝4，
令y＝0，则x﹣4＝0，
∴x＝4，
∴A（4，0），
∴OA＝4，
∴AB＝＝4；
（2）猜想：AF＝BE，AF⊥BE，
证明：∵OE⊥OF，OA⊥OB，
∴∠FOA＝∠EOB，
∵点A（4，0），点B（0，﹣4），
∴OA＝OB，
在△FOA和△EOB中，
，
∴△FOA≌△EOB（SAS），
∴AF＝BE，∠FAO＝∠EBO，
∵∠EBO+∠OAB＝90°，
∴∠FAO+∠OAB＝90°，即∠FAB＝90°，
∴AF⊥BE，
∴AF＝BE，AF⊥BE；
（3）连接CE，
∵OA＝OB＝4，AB＝4，BE＝3，
∴AF＝BE＝3，AE＝，
∵OE＝OF，OM⊥EF，
∴OM是线段EF的垂直平分线，
∴CF＝CE，
设CF＝x，则CE＝x，AC＝3﹣x，
在Rt△ACE中，CE2＝AE2+AC2，即x2＝（）2+（3﹣x）2，
解得，x＝，即CF＝．
8．（2021秋 介休市期中）在“综合与探究”课上，张老师让每名同学在练习本上画出一个长方形，随后以该长方形为基本图形，以小组为单位编制一道综合探究题．经过思考和讨论，励志小组向全班同学分享了他们编拟的试题，得到了侯老师的认可，同学们也眼前一亮，纷纷动手，开始了探究．请你也跟他们一起来完成这道试题吧．如图1，分别以长方形OABC的边OC，OA所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，已知AO＝10，AB＝6，点E在线段OC上，以直线AE为轴，把△OAE翻折，点O的对应点D恰好落在线段BC上．
（1）分别求点D，E的坐标．
（2）如图2，若直线AD与x轴相交于点F，求直线AD表达式及点F的坐标．
（3）在（2）的条件下，P是x轴上的一动点，是否存在以A，P，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）在本题的探究过程中，你感悟到哪些数学思想，请至少写出两条．
【解答】解：（1）如图1，由折叠得：AD＝AO＝10，OE＝DE，
Rt△ABD中，AB＝6，
∴BD＝＝＝8，
∵OA＝BC＝10，
∴CD＝10﹣8＝2，
∴D（6，2），
设OE＝x，则EC＝6﹣x，
由勾股定理得：DE2＝EC2+CD2，
∴x2＝（6﹣x）2+22，
解得：x＝，
∴E（，0）；
（2）设AD的解析式为：y＝kx+b，
把A（0，10）和D（6，2）代入得：
，
解得：，
∴AD的解析式为：y＝﹣x+10，
当y＝0时，﹣x+10＝0，
∴x＝，
∴F（，0）；
（3）①当AP＝AF时，
∵AO⊥x轴，F（，0），
∴OP＝OF＝，
∴P（﹣，0）；
②当AF＝FP时，
由勾股定理得：AF＝＝，
∴OP′＝﹣＝5，OP＝+＝20，
∴P′（﹣5，0），P（20，0）；
③当AP＝FP时，
由勾股定理得：FP2＝AP2＝OP2+OA2，
∴（OP+）2＝OP2+102，
解得：OP＝，
∴P（﹣，0），
综上，点P的坐标为（﹣，0）或（﹣5，0）或（20，0）或（﹣，0）；
（4）在本题的探究过程中，由（1）可知利用数形结合的思想，由（2）和（1）列方程可解答，利用了方程思想，由（3）运用了分类讨论的思想．
9．（2021秋 寿阳县期中）已知在平面直角坐标系中，直线y1＝k1x+4（k1≠0）与直线y2＝k2x（k2≠0）交于点C（6，12），直线y1分别与x轴，y轴交于点A和点B．
（1）求直线y1与y2的表达式及点A，点B的坐标；
（2）x轴上是否存在点P，使△ACP的面积为30，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）x轴上是否存在点Q，使△OCQ为等腰三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵直线y1＝k1x+4（k1≠0）与直线y2＝k2x（k2≠0）交于点C（6，12），
∴12＝6k1+4，12＝6k2，
解得：k1＝，k2＝2，
∴y1＝x+4，y2＝2x，
在y1＝x+4中，当y1＝0时，x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
当x＝0时，当y1＝4，
∴B（0，4）；
（2）存在，理由如下：
设P（m，0），
∵A（﹣3，0），C（6，12），
∴AP＝|m+3|，
∵△ACP的面积为30，
∴×12×|m+3|＝30
解得：m＝2或﹣8，
∴P（2，0）或P（﹣8，0）；
（3）∵点C（6，12），
∴OC＝＝＝6，
当OC＝OQ时，如图：
OC＝OQ＝6，
∵点Q的坐标为（﹣6，0）或（6，0）；
当CO＝CQ时，如图：作CD⊥x轴于D，
∵CO＝CQ，
∴DQ＝OD＝6，
∴OQ＝12，
∴点Q的坐标为（12，0）；
当CQ＝OQ时，如图：
∵CQ＝OQ，CQ2＝122+（OQ﹣6）2，
∴OQ2＝122+（OQ﹣6）2，解得OQ＝15，
∴点Q的坐标为（15，0）．
综上所述，存在点Q，使△OCQ为等腰三角形，点Q的坐标为（﹣6，0）或（6，0）或（12，0）或（15，0）．
10．（2021秋 通川区校级期中）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为（2，4），一次函数y＝﹣x+b的图象与边OC、AB、x轴分别交于点D、E、F，∠DFO＝30°，并且满足OD＝BE，点M是线段DF上的一个动点．
（1）求b的值；
（2）连接OM，若△ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，求点M的坐标；
（3）求OM+MF的最小值．
【解答】解：（1）y＝﹣x+b中，令x＝0，解得y＝b，则点D的坐标是（0，b），OD＝b，
∵OD＝BE，
∴BE＝b，
∵点B的坐标为（2，4），
∴点E的坐标为（2，4﹣b），
把E点坐标代入y＝﹣x+b得4﹣b＝﹣2+b，
解得b＝3；
（2）∵b＝3，点D的坐标是（0，b），点E的坐标为（2，4﹣b），
∴点D的坐标是（0，3），点E的坐标为（2，1），
∴OD＝3，AE＝1，OA＝2，
∵S四边形OAED＝（OD+AE） OA＝×（3+1）×2＝4，
∵△ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，
∴△ODM的面积与四边形OAED的面积之比为1：4，
∴S△ODM＝S四边形OAED＝，
设点M的横坐标是a，则 3a＝，解得a＝，
把x＝a＝代入y＝﹣x+3得y＝﹣×+3＝，
∴点M的坐标是（，）；
（3）过点M作MN⊥x轴交于点N，
∵∠DFO＝30°，
∴MN＝MF，
∴OM+MF＝OM+MN，
作点O关于一次函数的对称点O'，过点O'作x轴的垂线交x轴于点N'，交一次函数于点M′，
∴OM′＝O′M′，
∴OM+MN的最小值＝OM′+M′N′，
当O′、M′、N′在同一直线时，OM′+M′N′的值最小，为O'N'，
∵∠DFO＝30°，
∴∠ODF＝60°，∠DOM＝30°，∠O'ON'＝90°﹣30°＝60°，
在Rt△ODM中，OM＝OD ＝3×＝，
∴OO′＝2OM＝3，
在Rt△ON'O'中，
N'＝OO′ ＝3×＝．
∴OM+MF的最小值为．
11．（2021秋 深圳校级期中）如图所示，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1与y＝﹣x+3分别交x轴于点B和点C，点D是直线y＝﹣x+3与y轴的交点．
（1）求点B、C、D的坐标；
（2）设M（x，y）是直线y＝x+1上一点，△BCM的面积为S，请写出S与x的函数关系式；来探究当点M运动到什么位置时，△BCM的面积为10，并说明理由．
（3）线段CD上是否存在点P，使△CBP为等腰三角形，如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【解答】（1）解：把y＝0代入y＝x+1得：0＝x+1，
∴x＝﹣1，
∴B（﹣1，0），
当x＝0时，y＝﹣x+3＝0，
∴D（0，3），
把y＝0代入y＝﹣x+3得：0＝﹣x+3，
∴x＝4，
∴C（4，0），
即B（﹣1，0），C（4，0），D（0，3）；
（2）解：BC＝4﹣（﹣1）＝5，∵M（x，y）在y＝x+1上，
∴M（x，x+1），
过M作MN⊥x轴于N，
①当M在x轴的上方时，MN＝x+1，
∴S＝BC MN＝×5×（x+1）＝x+；
②当M在x轴的下方时，MN＝|x+1|＝﹣x﹣1，
∴S＝BC MN＝×5×（﹣x﹣1）＝﹣x﹣；
把S＝10代入得：10＝x+得：x＝3，x+1＝4；
把S＝10代入y＝﹣x﹣得：x＝5＝﹣5，x+1＝﹣4；
∴M（3，4）或（﹣5，﹣4）时，s＝10；
即S与x的函数关系式是，点M运动到（3，4）或（﹣5，﹣4）时，△BCM的面积为10；
（3）解：∵C（4，0），D（0，3），
∴OC＝4，OD＝3，
在Rt△OCD中，
由勾股定理得：CD＝＝＝5，
有三种情况：
①CB＝CP＝5时，此时P与D重合，P的坐标是（0，3）；
②BP＝PC时，此时P在BC的垂直平分线上，P的横坐标是x＝＝，
代入y＝﹣x+3得：y＝，
∴P的坐标是（，）；
③BC＝BP时，设P（x，﹣x+3），
根据勾股定理得：（x+1）2+（﹣x+3﹣0）2＝52，
解得：x＝﹣或x＝4，
∵P在线段CD上，
∴x＝﹣（舍去），
当x＝4时，与C重合，（舍去）；
∴存在点P，使△CBP为等腰三角形，P点的坐标是（0，3）或（，）．
12．（2021秋 南岸区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，经过点B的直线y＝﹣x+b交x轴于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）动点P在射线AB上运动，过点P作PH⊥x轴，垂足为点H，交直线BC于点Q，设点P的横坐标为t．线段PQ的长为d（d≠0）．求d关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当点P在线段AB上时，连接CP，若S△CPQ＝，在线段BC上取一点M．连接PM，使∠BPM+2∠ABO＝90°，问在x轴上是否存在点R，使△PMR是以∠PMR为直角的直角三角形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）直线y＝2x+4，当x＝0时，y＝4；
当y＝0时，则2x+4＝0，
解得x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（0，4），
∵直线y＝﹣x+b经过点B（0，4），
∴b＝4，
∴直线y＝﹣x+b的解析式为y＝﹣x+4，
当y＝0时，则﹣x+4＝0，
解得x＝4，
∴C（4，0）.
（2）∵PH⊥x轴于点H，交直线BC于点Q，且点P的横坐标为t，
∴P（t，2t+4），Q（t，﹣t+4），
如图1，点P在y轴的左侧，则﹣2≤t＜0，
∵PQ＝﹣t+4﹣（2t+4）＝﹣3t，
∴d＝﹣3t（﹣2≤t＜0）；
如图2，点P在y轴的右侧，则t＞0，
∵PQ＝2t+4﹣（﹣t+4）＝3t，
∴d＝3t（t＞0），
综上所述，d关于t的函数解析式为．
（3）存在，
如图3，连接OP，PM交y轴于点F，∠PMR＝90°，作PE⊥y轴于点E，
∵点P在线段AB上，且S△CPQ＝，
∴×（﹣3t）（4﹣t）＝，
整理得t＝﹣1或t＝5（不符合题意，舍去），
∴P（﹣1，2），E（0，2），
∴点P为AB的中点，
∵∠AOB＝90°，
∴OP＝AB＝PB，
∴∠ABO＝∠POB，
∴∠APO＝∠ABO+∠POB＝2∠ABO，
∵∠BPM+2∠ABO＝90°，
∴∠BPM+∠APO＝90°，
∴∠OPF＝90°，
∵∠OEP＝90°，OE＝2，PE＝1，
∴OP＝＝，
∵S△POF＝OF PE＝PF OP，
∴PF＝OF＝OF＝OF，
∵PF2+OP2＝OF2，
∴（OF）2+（）2＝OF2，
解得OF＝，
∴F（0，），
设直线PF的解析式为y＝kx+，则﹣k+＝2，
解得k＝，
∴直线PF的解析式为y＝x+，
由得，
∴M（1，3），
设直线OP的解析式为y＝mx，则﹣m＝2，
解得m＝﹣2，
∴直线OP的解析式为y＝﹣2x，
∵∠PMR+∠OPF＝180°，
∴MR∥OP，
设直线MR的解析式为y＝﹣2x+n，则﹣2+n＝3，
解得n＝5，
∴直线MR的解析式为y＝﹣2x+5，
当y＝0时，则﹣2x+5＝0，
解得x＝，
∴点R的坐标为（，0）．
13．（2021秋 本溪期中）已知一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与直线y＝x相交于点C，过B作x轴的平行线l，点P是直线l上的一个动点．
（1）直接写出点A、B的坐标：A　（8，0）　、B　（0，6）　．
（2）若S△AOC＝S△BCP，求点P的坐标；
（3）若点E是平面内的一个动点，当△ABE是AB为直角边的等腰直角三角形，则点E的坐标为 　（6，14）或（﹣6，﹣2）或（14，8）或（2，﹣8）　．
【解答】解：（1）对于y＝﹣x+6，
当x＝0时，y＝6；
当y＝0时，则﹣x+6＝0，解得x＝8，
∴A（8，0），B（0，6）．
（2）如图1，过点C作CD⊥x轴于点D，交直线l于点E，
由得，
∴C（3，），
∴D（3，0），E（3，6），
∴CD＝，CE＝6＝，
设P（x，6），
∵S△AOC＝S△BCP，且BP＝|x|
∴×8×＝×|x|，
解得x＝或x＝，
∴P（，6）或P′（，6），
∴点P的坐标为（，6）或（，6）．
（3）如图2，EB＝BA，且∠ABE＝90°，点E在y轴右侧，
作EG⊥y轴于点G，则∠BGE＝∠AOB＝90°，
∴∠EBG＝90°﹣∠ABO＝∠BAO，
∴△BGE≌△AOB（ASA），
∴GB＝OA＝8，GE＝OB＝6，
∴OG＝OB+GB＝6+8＝14，
∴E（6，14）；
如图2，E′B＝BA，且∠ABE′＝90°，点E′在y轴左侧，
∵E′B＝EB，
∴点E′与点E关于点B成中心对称，
∴E′（﹣6，﹣2）；
如图3，AE＝BA，且∠BAE＝90°，点E在x轴上方，
作EH⊥x轴于点H，则∠EHA＝∠AOB＝90°，
∴∠EAH＝90°﹣∠OAB＝∠ABO，
∴△EHA≌△AOB（ASA），
∴HE＝OA＝8，HA＝OB＝6，
∴OH＝OA+HA＝8+6＝14，
∴E（14，8）；
如图3，AE′＝BA，且∠BAE′＝90°，点E′在x轴下方，
∵E′A＝EA，
∴点E′与点E关于点A成中心对称，
∴E′（2，﹣8），
综上所述，点E的坐标为（6，14）或（﹣6，﹣2）或（14，8）或（2，﹣8）．
14．（2021秋 金牛区校级期中）如图，A（4，0），B（0，4），直线y＝x+1与x轴、y轴、直线AB分别交于点C、E、D．
（1）求直线BC的解析式及D点的坐标；
（2）求四边形OADE的面积；
（3）F是OA的中点，过点F作直线l，若l恰好将四边形OADE分成面积比为1：4的两部分，求直线l的解析式．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+1与x轴、y轴分别交于点C、E，
∴C（﹣2，0），E（0，1），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
根据题意得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝2x+4；
∵A（4，0），B（0，4），
设直线AB的解析式为y＝ax+4，
∴4a+4＝0，解得a＝﹣1，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4，
∵直线y＝x+1与线AB交于点D．
联立得，解得，
∴D（2，2）；
（2）过点D作DH⊥x轴于H，
∵D（2，2），E（0，1），A（4，0），
∴DH＝2，OH＝2，OE＝1，OA＝4，AH＝4﹣2＝2，
∴S四边形OADE＝S梯形OHDE+S△ADH＝×2×（1+2）+×2×2＝5；
（3）∵F是OA的中点，A（4，0），
∴F（2，0），
∴AF＝OF＝2，
设直线l与四边形OADE的另一交点为M，M的纵坐标为y，直线l恰好将四边形OADE分成面积比为1：4的两部分，即直线MF恰好将四边形OADE分成面积比为1：4的两部分，
分两种情况：
①当点M在点F右侧时，S△AMF：S五边形OFMDE＝1：4，如图：
∵S四边形OADE＝5，
∴S△AMF＝1，
∴AF y＝1，即×2y＝1，解得y＝1，
∵点M在直线AB：y＝﹣x+4上，
∴1＝﹣x+4，解得x＝3，
∴点M（3，1），
由F，M两点坐标可求得直线FM的解析式为y＝x﹣2，即直线l的解析式为y＝x﹣2；
②当点M在点F右左侧时，S△OMF：S五边形MFADE＝1：4，如图：
∵S四边形OADE＝5，
∴S△OMF＝1，
∴AF y＝1，即×2y＝1，解得y＝1，
∴点M与点E重合，
∴点M（0，1），
由F，M两点坐标可求得直线FM的解析式为y＝﹣x+1，即直线l的解析式为y＝﹣x+1；
综上可知，直线l的解析式为y＝x﹣2或y＝﹣x+1．
15．（2021秋 海珠区校级期中）如图所示，直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a、b满足，C的坐标为（﹣1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P．
（1）如图1，写出a、b的值，证明△AOP≌△BOC；
（2）如图2，连接OH，求证：∠OHP＝45°；
（3）如图3，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过D作DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，求证：S△BDM﹣S△ADN＝4．
【解答】（1）解：∵+（a﹣4）2＝0，
∴a+b＝0，a﹣4＝0，
∴a＝4，b＝﹣4，
则OA＝OB＝4．
∵AH⊥BC即∠AHC＝90°，∠COB＝90°，
∴∠HAC+∠ACH＝∠OBC+∠OCB＝90°，
∴∠HAC＝∠OBC．
在△OAP与△OBC中，
，
∴△OAP≌△OBC（ASA）；
（2）证明：过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点．
在四边形OMHN中，∠MON＝360°﹣3×90°＝90°，
∴∠COM＝∠PON＝90°﹣∠MOP．
∵△OAP≌△OBC，
∴OC＝OP，
在△COM与△PON中，
，
∴△COM≌△PON（AAS），
∴OM＝ON．
∵OM⊥CB，ON⊥HA，
∴HO平分∠CHA，
∴∠OHP＝∠CHA＝45°；
（3）证明：如图：连接OD．
∵∠AOB＝90°，OA＝OB，D为AB的中点，
∴OD⊥AB，∠BOD＝∠AOD＝45°，OD＝DA＝BD，
∴∠OAD＝45°，∠MOD＝90°+45°＝135°，
∴∠DAN＝135°＝∠MOD．
∵MD⊥ND即∠MDN＝90°，
∴∠MDO＝∠NDA＝90°﹣∠MDA．
在△ODM与△ADN中，
，
∴△ODM≌△ADN（ASA），
∴S△ODM＝S△ADN．
∴S△BDM﹣S△ADN＝S△BDM﹣S△ODM＝S△BOD＝S△AOB＝×AO BO＝××4×4＝4．
16．（2021秋 高新区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2的解析式为y＝﹣x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C．
（1）求出点A、点B的坐标；
（2）求△COB的面积；
（3）在y轴上是否存在一点P，使得△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）对于直线l2的解析式为y＝﹣x+3，令x＝0，得到y＝3，
∴B（0，3），
令y＝0，得到x＝6，
∴A（6，0）．
∴点A是坐标为（6，0），点B的坐标为（0，3）；
（2）联立y＝x，y＝﹣x+3并解得：x＝2，
∴点C（2，2），
∴S△COB＝OB xC＝×3×2＝3；
（3）存在．
∵点B（0，3），点C（2，2），
∴BC＝＝，
设P（0，y），
①当PC＝BC＝时，如图，
又∵点C（2，2），
∴PC2＝22+（2﹣y）2，
∴（）2＝22+（2﹣y）2，
∴y＝1或3，
∵y＝3时，与点B重合，故舍去，
∴点P（0，1）；
②当BP＝BC＝时，如图，
OP＝OB+PB＝3+，OP′＝OB﹣P′B＝3﹣，
∴点P（0，3+），（0，3﹣）；
③当PB＝PC时，如图，
∵PB2＝PC2，
∴（3﹣y）2＝22+（2﹣y）2，
∴解得：y＝，
∴点P（0，），
综上所述：点P坐标为（0，3+），（0，3﹣），（0，1），（0，）．
17．（2021秋 苏家屯区期中）如图1所示，直线l：y＝k（x﹣2）（k＜0）与x轴正半轴和y轴正半轴分别交于点A、B两点．
（1）当OA＝OB时，求直线l的表达式；
（2）在（1）的条件下，如图2所示，设C为线段AB延长线上一点，作直线OC，过点A、B两点分别作AD⊥OC于点D，BE⊥OC于点E，若AD＝，求BE的长；
（3）如图3所示，当K取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，以AB为底向上作等腰直角△ABP，试问：B点运动时，点P是否始终在某一直线上运动？若是，请写出该直线对应的函数表达式并说明理由；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣2k；当y＝0时，x＝2，
∴点B坐标为（0，﹣2k），点A坐标（2，0），
∴OA＝2，OB＝﹣2k，
∵OA＝OB，
∴k＝﹣1，
∴直线l的函数表达式为y＝﹣x+2；
（2）在Rt△OAD中，AD＝，OA＝2，
∴OD＝＝1，
∵∠OEB＝∠ADO＝∠AOB＝90°，
∴∠BOE+∠OBE＝90°，∠BOE+∠AOD＝90°，
∴∠OBE＝∠AOD，
∵OB＝OA，
在Rt△OBE和Rt△AOD中，
，
∴△OBE≌△AOD（AAS），
∴BE＝OD＝1；
（3）点P始终在直线y＝x上运动，
理由：如图3，过P作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F，
则∠PFO＝∠PEO＝∠AOB＝90°，
∴∠EPF＝90°，
∵△ABP是等腰直角三角形，
∴∠APB＝90°，PA＝PB，
∴∠BPF＝∠APE，
在△PBF与△PAE中，
，
∴△PBF≌△PAE（AAS），
∴PF＝PE，
∴点P到x轴的距离等于点P到y轴的距离，
∴动点P在直线y＝x（x＞1）上运动．
18．（2021秋 太原期中）综合与探究：
如图1，平面直角坐标系中，一次函数y＝x+3图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，并与x轴交于点C点P是直线AB上的一个动点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求直线BC的表达式，并直接写出点C的坐标；
（3）请从A，B两题中任选一题作答．我选择 　A或B　题．
A．试探究直线AB上是否存在点P，使以A，C，P为顶点的三角形的面积为18？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
B．如图2，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，垂足为点H．试探究直线AB上是否存在点P，使PQ＝BC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）当y＝0时，x+3＝0，解得x＝﹣6，则A点坐标为（﹣6，0）；
当x＝0时，y＝x+3＝3，则B点坐标为（0，3）；
（2）将B点坐标（0，3）代入一次函数y＝﹣x+b得：b＝3，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3，
当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝3，则C点坐标为（3，0）；
（3）A．过点P作PH⊥x轴于H，
设点P（x，x+3），
∴PH＝|x+3|，
∵A点坐标为（﹣6，0），C点坐标（3，0），
∴AC＝9，
∵S△ACP＝AC PH＝×9 PH＝18，
∴PH＝4，
∴x+3＝±4，
当x+3＝4时，x＝2；当x+3＝﹣4时，x＝﹣14，
∴存在，点P的坐标为（2，4）或（﹣14，﹣4）；
B．如图，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，垂足为点H．
设点P（x，x+3），则Q（x，﹣x+3），
∴PQ＝|x+3﹣（﹣x+3）|＝|x|，
∵B点坐标（0，3），C点坐标（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∴BC＝3，
∵PQ＝BC，
∴|x|＝3，解得：x＝2或﹣2，
∴存在，点P的坐标为（2，+3）或（﹣2，﹣+3）．
19．（2021秋 和平区校级期中）如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与正比例函数y＝kx的图象交于点C（2，4），在x轴上有一点E（m，0），过点E作直线l⊥x轴，交直线y＝kx于点F，交直线y＝﹣x+b于点G．
（1）求这两个函数的表达式．
（2）当m＝时，点G的坐标为 　（，6﹣）　，F的坐标为 　（，2）　，△CFG的面积为 　　．
（3）当GF的长为3时，m的值为 　3或1　．
（4）在y轴上找一点P，使以O、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出点P的坐标 　（0，8）或（0，2）或p（0，﹣2）或（0，）　．
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝kx的图象过点C（2，4），
∴2k＝4，
解得k＝2，
∴正比例函数的表达式为y＝2x；
∵一次函数y＝﹣x+b的图象与正比例函数y＝kx的图象交于点C（2，4），
∴4＝﹣2+b，
∴b＝6，
∴一次函数的表达式为：y＝﹣x+6；
（2）∵点G在一次函数y＝﹣x+6上，点F在正比例函数y＝2x上，且点F．G．E在直线l上，E （m，0），m＝，
∴点F、点G横坐标都为，
分别代入一次函数y＝﹣x+6，正比例函数y＝2x，
∴点G的纵坐标为y＝﹣+6＝6﹣，点F的纵坐标为y＝2，
∴点G的坐标为（，6﹣），F的坐标为（，2），
∴FG＝2﹣（6﹣）＝3﹣6，
∴S△CFG＝×（3﹣6）×（﹣2）＝．
故答案为：（，6﹣），（，2），；
（3）①当点F在G点上方，即m＞2时，
由（2）知点G的纵坐标为y＝﹣m+6，点F的纵坐标为y＝2m，
∴GF＝2m﹣（﹣m+6）＝3m﹣6，
当GF＝3时，3m﹣6＝3，
解得：m＝3；
②当F点在G点下方，即m＜2时，
点G的纵坐标为y＝﹣m+6，点F的纵坐标为y＝2m，
∴GF＝（﹣m+6）﹣2m＝﹣3m+6，
当GF＝3时，﹣3m+6＝3，
解得：m＝1，
综上，m的值为3或1，
故答案为：3或1；
（4）①当CP＝CO时，过点C作CM⊥y轴于M，△PCO为等腰三形，
∴PM＝OM，
∵C（2，4），
∴OM＝4．
∴PM＝4，
∴P（0，8）；
②当OP＝OC时，
：C（2，4），
∴OC＝＝2，
∴OP＝2，
∴P（0，2）或p（0，﹣2）；
③当PO＝PC时，设P（0，y），
∴PO＝|y|，PC＝＝，
解得：y＝，
∴P（0，）．
故答案为：（0，8）或（0，2）或p（0，﹣2）或（0，）．
20．（2021秋 和平区期中）已知，一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线y＝x相交于点C．过点B作x轴的平行线l．点P是直线l上的一个动点．
（1）点A的坐标 　（8，0）　，点B的坐标 　（0，6）　；
（2）若S△AOC＝S△BCP，求点P的坐标．
（3）若点E是直线y＝x上的一个动点，当△APE是以AE为斜边的等腰直角三角形时，点E的坐标为 　（，）或（16，20）　．
（4）在（3）的条件下，当点P在AE右侧时，Q为平面内一点，EQ＝2，连接OQ，将线段OQ绕着点O逆时针旋转90°，得到线段OM，连接QM，EM，直接写出EM的范围．
【解答】解：（1）在y＝﹣x+6中，令y＝0，
得﹣x+6＝0，
解得：x＝8，
∴A（8，0），
令x＝0，得y＝6，
∴B（0，6），
故答案为：（8，0），（0，6）；
（2）由题意得：，
解得：，
∴C（3，），
∵直线l∥x轴，经过B（0，6），点P是直线l上的一个动点
∴P（x，6），
∴BP＝|x|，
如图①，过点C作CG⊥OA于G，延长GC交BP于H，
则∠AGC＝∠HGO＝90°＝∠BOG，
∵BP∥OA，
∴∠BHG＝∠AGC＝90°，
∴∠BHG＝∠HGO＝∠BOG＝90°，
∴四边形BOGH是矩形，
∴GH＝OB＝6，
∵CG＝，
∴CH＝GH﹣CG＝6﹣＝，
∵S△AOC＝S△BCP，
∴OA CG＝BP CH，
即×8×＝ |x| ，
∴|x|＝，
∴x＝±，
∴P（，6）或（﹣，6）；
（3）设点E（m，m）、点P（n，6），
∵△APE是以AE为斜边的等腰直角三角形，
∴PE＝PA，∠APE＝90°，
如图②，过点P作PF⊥OA于F，过点E作EK⊥PF于K，
则∠PKE＝∠AFP＝90°，
∴∠EPK+∠APF＝90°，∠APF+∠PAF＝90°，
∴∠EPK＝∠PAF，
∴△PEK≌△APF（AAS），
∴EK＝PF＝6，PK＝AF，
∵EK＝|m﹣n|，PK＝KF﹣PF＝m﹣6，AF＝|8﹣n|，
∴|m﹣n|＝6，m﹣6＝|8﹣n|，
解得：或，③
∴E（，）或（16，20）；
（4）如图③，由（3）得E（，）或（16，20），
∵点P在AE右侧，
∴E（16，20），
∵EQ＝2，
∴点Q在以E为圆心，半径为2的⊙E上运动，将OE绕点O逆时针旋转90°，得到ON，
以N为圆心，半径为2，作⊙N，连接EN交⊙N于M1，延长EN交⊙N于M2，
∵ON＝OE＝＝4，∠EON＝90°，
∴EN＝OE＝4，
∵NM1＝NM2＝2，
∴EM的最小值为EM1＝EN﹣NM1＝4﹣2，
EM的最大值为EM2＝EN+NM2＝4+2，
∴EM的范围为4﹣2≤EM≤4+2．
21．（2021秋 和平区期中）如图1，直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）直线BC的函数表达式为 　y＝﹣x+3　；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q，连接BM．
①若∠MBC＝90°，请直接写出点P的坐标 　（﹣，）　；
②若△PQB的面积为，请直接写出点M的坐标 　（，0）或（﹣，0）　；
③若点K为线段OB的中点，连接CK，如图2，若在线段OC上有一点F，满足∠CKF＝45°，请直接写出点F的坐标 　（，0）　．
【解答】解：（1）对于y＝x+3，令x＝0，y＝3，
∴B（0，3），
令y＝0，
∴x+3＝0，
∴x＝﹣6，
∴A（﹣6，0），
∵点C与点A关于y轴对称，
∴C（6，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
故答案为：y＝﹣x+3；
（2）①设点M（m，0），
∴P（m，m+3），
∵B（0，3），C（6，0），
∴BC2＝45，BM2＝OM2+OB2＝m2+9，MC2＝（6﹣m）2，
∵∠MBC＝90°，
∴△BMC是直角三角形，
∴BM2+BC2＝MC2，
∴m2+9+45＝（6﹣m）2，
∴m＝﹣，
∴P（﹣，），
故答案为：（﹣，）；
②设点M（n，0），
∵点P在直线AB：y＝x+3上，
∴P（n，n+3），
∵点Q在直线BC：y＝﹣x+3上，
∴Q（n，﹣n+3），
∴PQ＝|n+3﹣（﹣n+3）|＝|n|，
∵△PQB的面积为，
∴S△PQB＝|n| |n|＝n2＝，
∴n＝±，
∴M（，0）或（﹣，0），
故答案为：（，0）或（﹣，0）；
③过点F作FH⊥FK交CK于H，过点H作HE⊥x轴于E，
∵∠CKF＝45°，
∴△KFH是等腰直角三角形，
∴KF＝FH，∠KFO+∠HFE＝90°，
∵∠KFO+∠FKO＝90°，
∴∠HFE＝∠FKO，
∵∠KOF＝∠FEH＝90°，
∴△KOF≌△FEH（AAS），
∴EH＝OF，EF＝OK，
∵点K为线段OB的中点，OB＝6，
∴EF＝OK＝，K（0，），
设F（x，0），则OE＝x+，EH＝OF＝x，则H（x+，x），
∵C（6，0），K（0，），
设直线CK的解析式为y＝kx+b，
∴，解得：，
∴直线CK的解析式为y＝﹣x+，
∵点H在CK上，H（x+，x），
∴x＝﹣（x+）+，解得：x＝，
∴点F的坐标为（，0）．
故答案为：（，0）．
22．（2021秋 碑林区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+6交x轴于点A，交y轴于点B，交直线y＝﹣2x+9于点C．
（1）点C的坐标是 　（1，7）　．
（2）点M是直线AB上一点，点N是直线y＝﹣2x+9上一点，连接线段MN，若MN∥x轴，且MN＝6，求出所有符合条件的点M的坐标．
（3）在（2）的条件下，平面上是否存在点P，使得△BOP和△MNC全等，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）解方程组，得，
所以点C的坐标为（1，7），
故答案为：（1，7）；
（2）∵M是直线AB上一点，
设点M的坐标为（a，a+6），
∵MN∥x轴，点N是直线y＝﹣2x+9上一点，
∴a+6＝﹣2x+9，解得x＝，
∴点N的坐标是（，a+6），
∵MN＝6，
∴|﹣a|＝6，解得：a＝5或﹣3，
∴点M的坐标为（5，11）或（﹣3，3）；
（3）存在，
①点M的坐标为（﹣3，3）时，点N的坐标为（3，3），
∴MN＝6，MC＝＝，NC＝＝，
设点P的坐标为（x，y），
∵直线y＝x+6交x轴于点A，交y轴于点B，
∴B（0，6），OB＝6＝MN，
当BP＝NC，OP＝MC时；
，解得：或，
∴点P的坐标为（4，4）或（﹣4，4），
当BP＝MC，OP＝NC时，
，解得：或，
∴点P的坐标为（4，2）或（﹣4，2），
②点M的坐标为（5，11）时，点N的坐标为（﹣1，11），
∴MN＝6，MC＝＝，NC＝＝，
此时△MNC与①中的△MNC三边都对应相等，所以此时情况与①相同．
综上，点P的坐标为（4，4）或（﹣4，4）或（4，2）或（﹣4，2）．
23．（2021秋 龙华区校级期中）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线DE经过点C，过A作AD⊥DE于点D．过B作BE⊥DE于点E，则△BEC≌△CDA，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明）
【模型应用】若一次函数y＝kx+4（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．
（1）如图2，当k＝﹣1时，若点B到经过原点的直线l的距离BE的长为3，求点A到直线l的距离AD的长；
（2）如图3，当k＝﹣时，点M在第一象限内，若△ABM是等腰直角三角形，求点M的坐标；
（3）当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接OQ，则OQ长的最小值是 　4　．
【解答】解：（1）由题意知△BEO≌△AOD，
∴OE＝AD，
∵k＝﹣1，
∴y＝﹣x+4，
∴B（0，4），
∴OB＝4，
∵BE＝3，
∴OE＝，
∴；
（2）当k＝﹣时，y＝﹣，
∴当x＝3时，y＝0，
∴A（3，0），
①当BM⊥AB，且BM＝AB时，
过点M作MN⊥y轴，
∴△BMN≌△ABO（AAS），
∴MN＝OB，BN＝OA，
∴MN＝4，BN＝3，
∴M（4，7）；
②当AB⊥AM，且AM＝AB时，
过点M作x轴垂线MK，
∴△ABO≌△AMK（AAS），
∴OB＝AK，OA＝MK，
∴AK＝4，MK＝3，
∴M（7，3）；
③当AM⊥BM，且AM＝BM时，
过点M作MH⊥x轴，MG⊥y轴，
∴△BMG≌△AHM（AAS），
∴BG＝AH，GM＝MH，
∴4﹣MH＝MH﹣3，
∴MH＝，
∴M（）；
综上所述：M（7，3）或（4，7）或（）；
（3）如图，将线段OB绕点B逆时针旋转90°得BE，连接EQ，
∴∠ABO＝∠EBQ，
又∵AB＝BQ，OB＝BE，
∴△ABO≌△QBE（SAS），
∴∠BEQ＝∠BOA＝90°，
∴点Q在直线x＝4上运动，
∴OQ的最小值为4，
故答案为：4．
24．（2021秋 南海区期中）如图1，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m交x轴于点A（4，0），交y轴正半轴于点B，直线AC交y轴负半轴于点C，且BC＝AB．
（1）求△ABC的面积．
（2）P为线段AB（不含A，B两点）上一动点．
①如图2，过点P作y轴的平行线交线段AC于点Q，记四边形APOQ的面积为S，点P的横坐标为t，当S＝时，求t的值．
②M为线段BA延长线上一点，且AM＝BP，在直线AC上是否存在点N，使得△PMN是以PM为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把A（4，0）代入得：m＝3，
一次函数解析式为，
令x＝0，得y＝3，
∴B（0，3），
在Rt△AOB中，AB2＝OA2+OB2，
∴AB＝5，
∵BC＝AB＝5，
∴C（0，﹣2），
∴；
（2）①设，
∴P在线段AB上，
∴0＜t＜4，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，代入A（4，0），C（0，﹣2）得，
∴，
∴，
又∵PQ∥y轴，则，
∴，
∴S四边形APOQ＝S△AOP+S△AOQ＝AO×|yP|+AO×|yQ|＝×4×PQ＝×4×（5﹣t）＝，
又∵，
∴，解得t＝1；
②如图所示，当N点在x轴下方时，
∵BP＝AM，
∴BP+AP＝AM+AP＝AB，
∴PM＝AB＝5，
∵△PMN是以PM为直角边的等腰直角三角形，
当∠NPM＝90°时，PN＝PM＝5，，
设，
过P点作直线M'N'∥x轴，作MM'⊥M'N'，NN'⊥M'N'，
∴MM'∥OB，
∴∠ABO＝∠PMM'，
在△AOB与△PM'M中，
，
∴△AOB≌△PM'M（AAS），
∴MM'＝OB＝3，PM'＝OA＝4，
∵∠NPN'+∠MPM'＝90°，∠NPN'+∠N'NP＝90°，
∴∠MPM'＝∠N'NP，
在△PNN'与△MPM'中，
，
∴△PNN'≌△MPM'（AAS），
∴PN'＝MM'＝3，NN'＝PM'＝4，
∴M'N'＝7，作MH⊥NN'，则NH＝1，
∵，
∴，
∴M在直线AB上，
∴，
，
，
a＝﹣1，
∴，
∴．
当N点在x轴上方时，点N'与关于A（4，0）对称，
则，即，
综上：存在一点或使△PMN是以PM为直角边的等腰直角三角形．
25．（2021秋 龙岗区校级期中）如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与x轴和y轴分别交于点A和B，再将△AOB沿直线CD对折，使点A与点B重合，直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D．
（1）点A的坐标为 　（8，0）　，点B的坐标为 　（0，4）　；
（2）求直线CD的函数解析式；
（3）在直线AB上，是否存在点P，使得S△POD＝S△OCD，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝4，
∴B（0，4），
令y＝0，则0＝﹣x+4，
∴x＝8，
∴A（8，0），
故答案为：（8，0），（0，4）；
（2）设OC＝a，则AC＝8﹣a，
由折叠知，BC＝AC＝8﹣a，
在Rt△BOC中，OB＝4，
根据勾股定理得，BC2﹣OC2＝OB2，
∴（8﹣a）2﹣a2＝16，
∴a＝3，
即：OC＝3，
∴C（3，0），
∵△AOB沿直线CD对折，使点A与点B重合，直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D．
A（8，0），B（0，4），
∴D（4，2），
设CD的函数解析式为：y＝kx+b，
则，
解得，
∴直线CD的函数解析式为：y＝2x﹣6；
（3）点P在OD下方时，过点C作OD的平行线交AB于P，
∵D（4，2），
∴直线OD的解析式为：y＝x，
∴设直线CP的函数解析式为：y＝x+b，将C（3，0）代入得：b＝﹣，
∴直线CP的函数解析式为：y＝，
∴＝﹣x+4，
解得x＝，
∴y＝，
∴点P（），
当点P在OD上方时，则点D为PP'的中点，
∴P'（，），
综上：点P（）或（，）．
26．（2021 古冶区一模）如图，直角坐标系xOy中，过点A（6，0）的直线l1与直线l2：y＝kx﹣1相交于点C（4，2），直线l2与x轴交于点B．
（1）k的值为 　　；
（2）求l1的函数表达式和S△ABC的值；
（3）直线y＝a与直线l1和直线l2分别交于点M，N，（M，N不同）
①直接写出M，N都在y轴右侧时a的取值范围；
②在①的条件下，以MN为边作正方形MNDE，边DE恰好在x轴上，直接写出此时a的值．
【解答】解：（1）将点C（4，2）代入y＝kx﹣1得，
2＝4k﹣1，
解得，
故答案为：；
（2）设直线l1的表达式为y＝k1x+b
将点A（6，0），C（4，2）代入得，
，
解得，
∴直线l1的表达式为y＝﹣x+6，
当y＝0时，，
解得x＝，
∴点B的坐标为（，0），
∴AB＝6﹣＝，
∴S△ABC＝；
（3）①当x＝0时，y＝x﹣1＝﹣1，
y＝﹣x+6＝6，
∴M，N都在y轴右侧时a的取值范围是：﹣1＜a＜6且a≠2．
②当y＝a时，x﹣1＝a，则x＝，
∴点N的坐标为（，a），
当y＝a时，﹣x+6＝a，则x＝6﹣a，
∴点M的坐标为（6﹣a，a）
∴MN＝|6﹣a﹣|＝||，
∵四边形MNDE为正方形，
∴||＝|a|，
解得：或，
∴或．
27．（2021春 黄陂区期末）如图，直线l1：y＝kx﹣2k+1经过定点C，分别交x轴，y轴于A，B两点，直线l2经过O，C两点，点D在l2上．
（1）①直接写出点C的坐标为 　（2，1）　；②求直线l2的解析式；
（2）如图1，若S△BOC＝2S△BCD，求点D的坐标；
（3）如图2，直线l3经过D，E（0，﹣）两点，分别交x轴的正半轴、l1于点P，F，若PE＝PF，∠EDO＝45°，求k的值．
【解答】解（1）①∵y＝kx﹣2k+1经过定点C，
∴点C的坐标与k的取值无关，
∴x＝2时，y＝1，
∴C（2，1），
故答案为：（2，1）；
②设l2的解析式为：y＝ax，
把C（2，1）代入y＝ax得：a＝，
∴l2的解析式为y＝，
（2）如图，取OB的中点H，连接CH，
∵C（2，1），
∵S△BOC＝2S△BCD，
当点D在线段OC上时，
则点D为OC的中点，
∴D（1，）；
当点D在线段DC的延长线时，
∴S△BCD＝，
即OB＝，|xD|＝3，
∴D（3，），
综上所述，符合条件的点D坐标为（1，）或（3，）．
（3）过点C作CH∥EF，过点O作OH⊥OC，分别过点C，H作CM⊥OB于M，MN⊥OB于N，
∵∠EDO＝45°，
∴∠OCH＝45°，
∴OC＝OH，
又∵∠MOC＝∠NHO，∠OMC＝∠ONH，
∴△COM≌△OHN（AAS），
∴CM＝OH，OM＝NH，
由C（2，1）得：H（1，﹣2），
∴yCH＝3x﹣5，
由E（0，﹣）得：yEF＝3x﹣，
∴P（，0），
过点F作FK⊥OA于K，
∵PF＝PE，
∴△OPE≌△FPK（AAS），
∴F（1，），
将F（1，）代入l1：y＝kx﹣2k+1，
∴k﹣2k+1＝，
解得k＝﹣．
28．（2021春 任城区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴相交于A（6，0）、B（0，2）两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．
（1）求证：△BOC≌△CED；
（2）求经过A、B两点的一次函数表达式及点D的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标．（不用写过程）
【解答】解：（1）∵∠BOC＝∠BCD＝∠CED＝90°，
∴∠OCB+∠DCE＝90°，∠DCE+∠CDE＝90°，
∴∠BCO＝∠CDE，
在△BOC与△CED中，
，
∴Rt△BOC≌Rt△CED（AAS）；
（2）设直线AB解析式为y＝kx+b，把A（6，0），B（0，2）代入上式得：，
解得，
故直线AB的解析式为，
∵△BOC≌△CED，
∴CO＝DE，
设CO＝DE＝m，而OB＝CE＝2，
∴D（m+2，m），
∵点D在直线上，把D（m+2，m）代入上式并解得m＝1，
∴D（3，1），
（3）存在，理由如下：
设点P的坐标为（t，0），
而点C，D的坐标分别为（1，0），（3，1），
由点P，C，D的坐标得：PC2＝（t﹣1）2，PD2＝（t﹣3）2+1，CD2＝22+1＝5，
当PC＝PD时，则（t﹣1）2＝（t﹣3）2+1，
解得：t＝，
当PC＝CD时，则（t﹣1）2＝5，
解得：t＝，
当PD＝CD时，则（t﹣3）2+1＝5，
解得：t＝5或t＝1（舍去），
故P的坐标为或或或（5，0）．
29．（2021春 东港区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（12，0），（12，6），直线y＝﹣x+b（b＞0）与y轴交于点P，与边OA交于点D，与边BC交于点E．
（1）若直线y＝﹣x+b（b＞0）平分矩形OABC的面积，求b的值；
（2）在（1）的条件下，过点P的直线，与直线BC和x轴分别交于点N、M．问：是否存在ON平分∠CNM的情况？若存在，求线段DM的长，若不存在，请说明理由．
（3）将（1）中的直线沿y轴向下平移a个单位得到新直线l，矩形OABC沿平移后的直线折叠，若点O落在边BC上的F处，CF＝9，求出a的值．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+b（b＞0）平分矩形OABC的面积，
∴直线过矩形的中心，
∵B（12，6），
∴矩形中心为（6，3），
∴﹣6+b＝3，
解得b＝12；
（2）如图，假设存在ON平分∠CNM的情况，
当PM与线段BC，OA交于N，M时，
过点O作OH⊥MN于H，
∵ON平分∠CNM，OC⊥BC，OH⊥MN，
∴OH＝OC＝6，
∵OP＝12，
∴∠OPN＝30°，
∴OM＝OP ＝4，
当y＝0时，﹣，解得x＝8，
∴OD＝8，
∴DM＝OD﹣OM＝8﹣4；
当PM与直线BC，OA交于N，M时，如图，
同理可得，此时DM＝OD+OM＝8+4，
综上：存在ON平分∠CNM的情况，此时DM＝8﹣4或8+4；
（3）设平移后的直线y＝﹣与y轴交于点P'，沿此直线折叠，点O的对应点恰好落在BC边上F处，连接P'F，OF，
则有OP'＝P'F＝m，CP'＝m﹣6，
在Rt△CP'F中，由勾股定理得：
（m﹣6）2+92＝m2，
解得m＝，
∴PP'＝12﹣＝，
∴a＝．
30．（2021春 渝中区校级期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y＝x交于点C．
（1）若直线AB解析式为y＝﹣2x+12，求：
①求点C的坐标；
②求△OAC的面积．
（2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，OA＝4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时点P的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）如图1，
①联立方程组得，
解得，
∴点C的坐标为（4，4）；
②在y＝﹣2x+12中，当x＝0时y＝12，
当y＝0时，﹣2x+12＝0，解得x＝6，
∴点B（0，12），A（6，0），
则△OAC的面积为×6×4＝12；
（2）由题意，在OC上截取OM＝OP，连接MQ，
∵ON平分∠AOC，
∴∠AOQ＝∠COQ，
又OQ＝OQ．
∴△POQ≌△MOQ（SAS），
∴PQ＝MQ，
∴AQ+PQ＝AQ+MQ，
当A、Q、M在同一直线上，且AM⊥OC时，AQ+MQ最小，
即AQ+PQ存在最小值；
∵AB⊥ON，
∴∠AEO＝∠CEO，
..△AEO≌△CEO（ASA），
∴OC＝OA＝4，
在Rt△OAM中，∵∠AOM＝45°，
∴OM＝AM＝OA＝2．
此时OP＝OM＝2，故P（2，0）