第二章圆锥曲线与方程-圆锥曲线的统一定义教学设计-2021-2022学年高二上学期数学人教A版选修2-1
文档属性
| 名称 | 第二章圆锥曲线与方程-圆锥曲线的统一定义教学设计-2021-2022学年高二上学期数学人教A版选修2-1 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1009.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-06 17:31:32 | ||
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文档简介
《圆锥曲线的统一定义》教学设计
一、 教学内容解析
圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性,因此它是圆锥曲线内容教学的重点,也是圆锥曲线的方程、几何性质及其应用的基础.教材中,为了便于理解,通过绘图的方式引导学生得出圆锥曲线的定义,但定义形式的不同,也妨碍了学生从整体上把握圆锥曲线的特征,而圆锥曲线的定义除了课本给出的第一定义之外,在教材的挖掘以及习题的设置中都可以看到另一定义的身影（统一定义）,而且它的探究、推导及初步应用的过程体现了数形结合、转化与化归的思想,对于学生数学思维的训练、核心素养的提升有着极大的帮助.因此,在学生学习完圆锥曲线之后,作为单元学习的提升,安排一节课让学生了解统一定义及其应用是必要的.
本节课安排在三种曲线学习之后,是一节探究课,一方面通过教材的挖掘,让学生了解圆锥曲线的统一定义,增进学生对圆锥曲线的更深层次理解,另一方面,引导学生通过类比得到统一定义,让学生经历从特殊到一般的提炼过程,有助于加深学生对概念的理解,更为重要的是培养他们自己发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力,提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养,这种以知识为载体,培养创新意识正是我们目前高中数学课堂教学所追求的目标.
本节课的主要内容包括：圆锥曲线定义的回顾,统一定义的探究与发现,统一定义的初步应用.
二、教学目标设置
1.回顾圆锥曲线的定义,经历圆锥曲线统一定义的探究与发现过程；
2.理解圆锥曲线统一定义,了解其结构特征；
3.会用统一定义初步解决与圆锥曲线有关的简单问题,体会数形结合思想.
三、学生学情分析
从学生的知识储备来看,上课的学生是市区一流学校的学生,整体素质较好,且学生刚刚学完三种曲线,对于圆锥曲线的定义、标准方程的推导、简单的几何性质相对较为熟悉,这些为本节课的探究学习提供了基础.
从学生的技能储备来看,大部分学生具备了文字语言、图形语言及符号语言之间的自由切换.
从学生现有的学习能力来看,学生已经具备了一定的抽象概括、数学运算和类比推理能力,因此在推导圆锥曲线的统一定义过程中,可以让学生在老师的引导下,由学生来类比抛物线发现统一定义.
四、重点与难点
1. 重点：圆锥曲线统一定义的探究与发现及其应用
2. 难点：圆锥曲线统一定义的探究与发现
五、教学策略分析
本节课的难点是圆锥曲线统一定义的探究与发现.
突破策略主要是：
复习椭圆、双曲线、抛物线的定义,并通过对抛物线定义的复习,初步感受圆锥曲线焦点、准线的存在,了解抛物线定义的特征.
回归课本,重温椭圆定义的推导过程,确定探究的范围和目标.
分析抛物线标准方程推导过程中等式的结构特征,有目的地对椭圆推导方程进行类似变形,得到与抛物线定义相似的椭圆的定义.
类比得到抛物线、椭圆的定义,由学生自主得出双曲线的定义,最终归纳总结出圆锥曲线的统一定义.
通过例题设置及变式,熟悉圆锥曲线统一定义的代数特征和几何特征,引导学生结合图形,尝试用统一定义解决问题,体会其便利性.
在本节课的教学中,主要以问题引领过程,通过教师引导、课堂提问、师生交流、学生合作等方式,引导学生发现、归纳出圆锥曲线的统一定义,通过习题的练习,让学生体会利用统一定义解决问题的巧妙之处.
六、教学方法与教学手段
问题引导教学法,启发式教学,小组合作学习．
七、教学过程
1.复习回顾 铺垫新知
教师：同学们,我们现在已经学习了三种圆锥曲线,你还记得是怎样绘制它们的吗？我们一起来重温一下.
教学活动：教师动画演示绘制三种圆锥曲线的过程,而后请学生回答三种圆锥曲线的定义(第一定义),提醒学生注意限制条件.
【设计意图】一方面,动态演示三种圆锥曲线的绘制过程,让学生在亲身体会定义中各要素的相互关系,这样学生就有了对有关定义的直观感受,解题时回忆再现圆锥曲线的概念就变得轻而易举,这种在理解基础上记住的定义印象更深刻,保持记忆更持久.另一方面,为下一步抛物线、椭圆、双曲线标准方程的推导最好铺垫.
2.回归教材 二次开发
（1）引导探究
教师教学引导：有了抛物线的定义,我们来回顾一下推导其标准方程的过程,首先建立平面直角坐标系（教师课件演示）,设动点M(x,y),根据,代入各点坐标,得到一个等式（教师板书）,化简得（教师板书）,加上限制条件.这个过程其实也是求动点轨迹方程的一般步骤：“建设限代化”.
【设计意图】了解求曲线轨迹（方程）的一般步骤,掌握通性通法,同时为后面的问题探究做好进一步的铺垫.
（2）自主探究
教师：请大家仔细阅读人教A版选修2-1教材中椭圆标准方程的推导过程（课件展示教材内容）
教师：上述推导过程中出现了一个式子与抛物线中很相似,能否变形成类似的结构呢？下面我们来探究一下这两个等式的关联.
变形如下：
上式两边同时除以a,得 ①
对①式继续变形得:
即 ②
若作直线,
如图,则②式有什么几何意义吗？
【设计意图】通过类比抛物线的表达式,得到,而后变成两个相同的结构：与,目的是引导学生观察两个等式的左边都是动点到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比,而右边分别是椭圆与抛物线的离心率,此时可以追问,这是巧合吗？两次变形的过程,给学生直观的感受,在进行解析几何的学习时要注意数形结合,认识到式子的几何意义,这对学生在解析几何中解题意识的培养有着重要的作用.
（3）自发探究
教师：类比上述推导过程,在双曲线中是否也有类似的结论呢？（课件展示教材内容）
通过化简上式,你是否能得到刚才抛物线与椭圆两种曲线（,）相同结构的表达式,请尝试一下.
【设计意图】在前面两个问题研究的基础上,激发学生自发探究双曲线中的类似规律的结构式：,让学生自己观察得出：等式的左边依然是动点到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比,而等式的右边是离心率,这些不是巧合,引导学生发现这一规律,从而归纳总结出圆锥曲线的统一定义,体验到成功的喜悦.同时,让学生自发的写出化简过程,锻炼学生的数学运算能力、逻辑推理能力等核心素养.
3.抽象概括 形成概念
师生一起总结,形成概念：
(1)文字语言
平面上到一定点F的距离和到一条定直线l的距离之比为一个常数e的点的轨迹是圆锥曲线.其中定点F在直线l外,此时点F是焦点,l是相应的准线,e是离心率.
(2)符号语言
设动点为M,符号表示为：,也可以表示为.
其中：椭圆的焦点为时,相应的准线是；
焦点为时,相应的准线是；
焦点为时,相应的准线是；
焦点为时,相应的准线是.
双曲线的情况类似,这里就不再赘述了.
【设计意图】通过对三种圆锥曲线标准方程的推导过程中的一个式子变形,首先让学生意识到,在进行复习时,要回归教材,敢于探究课本表象下隐含的东西.让学生经历上述探究活动,教会学生研究规律的一般方法（例如从特殊到一般等）,有助于加深学生对概念的理解,更为重要的是培养了他们自己发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力,这种以知识为载体、培养创新意识正是我们目前高中数学课堂教学所追求的目标.
4.辨析概念 例题互动
例1.(1)在平面直角坐标系下,动点M(x,y) 满足关系式,则动点M(x,y)的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
学生口述,教师点评.
变式训练：关系式如果改为呢？
学生口述,教师点评.
(2)已知动点M(x,y)到N(1,0)的距离是它到直线l:x=4的距离的,则动点M的轨迹C的标准方程为( )
学生板书,教师点评.
【设计意图】以方程判断曲线类型的时候,最常见的方法就是直接法和定义法,直接法思路清晰,但计算较为麻烦,学生通过对比,发现定义法解题的计算量较小,初步体验定义法可以减少计算量.通过对例题的变式,训练学生的发散思维,增强思维的灵活性,由此提升思维能力,让学生获得知识、方法、思维上的最大收益.
例2.设,分别是椭圆：的左、右焦点,过点 的直线l交椭圆于两点,其中点在x轴的下方,且满足,则直线l的方程为 .
教师展示学生解答过程.师生互评.
【设计意图】事实上,解析几何是用代数方法研究几何问题的一门学科．而解析几何研究问题的基本思想方法是坐标法,运算量大应该算是这块知识的一个特色．在解决此处问题的过程中,抓不住问题的本质也是造成运算过多的一个直接原因．例2学生很可能会使用韦达定理解决此问题,计算量较大,此时告诫学生,要小题小做,逐步引导学生利用圆锥曲线的统一定义解决问题,让学生体会到这样做可以大大简化运算,达到事半功倍的效果,进一步培养学生从“数”与“形”两个维度去思考问题的意识.
5.提炼心得 布置作业
教师：通过本节课的学习,请你从知识、方法、数学思想方面谈谈有哪些收获？
学生板书,教师点评.
教师：事实上,处理圆锥曲线的很多问题时,首先要注意从数与形两个角度思考问题,其次要重视定义的灵活运用,有时可以简化运算,收到事半功倍的效果,这也与新课标高考所倡导的淡化特殊技巧、回归教材、回归基础、回归通性通法相吻合.
作业：
已知点P是椭圆上的一个动点,点F是左焦点,定点A(-2,2),求的最小值．你能编制一道与双曲线有关的类似问题吗？
【设计意图】培养学生自我总结反思的习惯,同时作业中让学生主动参与编制试题,激发其参与教学的兴趣,在更深的层次理解圆锥曲线的定义.
八、板书设计
圆锥曲线定义的应用 文字语言 符号语言 三种圆锥曲线的定义 例题
课后反思
1.动态生成,促进学生的深度理解
作为高中数学重要内容之一的圆锥曲线,涉及数形结合、函数与方程、分类讨论、等价转化等多种数学思想方法的应用,圆锥曲线的复习往往始于其定义．教学观察发现,多数学生对此内容的学习困境是:抓不住圆锥曲线的结构特征,或者因忽视对定义中关键条件的检验而出现错误．实际教学中,教师迫于教学进度的紧张,对圆锥曲线定义的复习,一般是依次呈现定义的文字语言、符号语言、图形语言,再给出几道有针对性的例题,所用课时非常有限．这样的教学安排会导致学生对定义的理解只是停留在表面,缺乏对其内涵的深度挖掘．于是会引起学生死记硬背、机械训练,最终导致“记不住或记不准确”的现象产生,并进而影响到后续知识点的落实．针对这一现象,本堂课的伊始,进行动态演示三种圆锥曲线的绘制过程,让学生在亲身体会定义中各要素的相互关系．解题时回忆再现圆锥曲线的概念就变得轻而易举;而且实践证明,这种在理解基础上记住的定义印象更深刻,保持记忆更持久．
2.挖掘教材,深度剖析数学知识的发现过程
在复习中,师生普遍存在的一种问题就是对教材置之不理、束之高阁,很多试题恰恰是以教材中的素材为蓝本进行编制的,这就需要学生回归教材,对其中的知识做一个系统的梳理与归纳,理解每个知识点的内涵、延伸与联系,对前后知识进行纵向、横向比较,加深对各部分知识间的理解,使之建立一个完整的知识体系．其实,圆锥曲线的两种定义是等价的,它们分别从不同的角度刻画了圆锥曲线的内涵与外延,确定了圆锥曲线的本质特征,揭示了曲线存在的条件及其所包含的几何性质.两种定义不仅是推导标准方程的依据,也是研究几何性质、解决相关问题的重要工具.因此,我在本节课中复习了绘制三种曲线的过程后,回归教材,带领学生复习了三种圆锥曲线标准方程的推导过程,一方面复习了求解动点轨迹方程的一般步骤,另一方面以此作为铺垫,研究标准方程推导过程中的一些等量关系,通过问题指引,帮助学生确定等式变形的方向,同时引导学生发现其中存在相同的结构特征（如：,,）,总结出相应的规律,顺势引出了圆锥曲线的统一定义,从而建立起了两种定义中的联系,加强了各部分知识的连贯性,使之浑然一体.
3.运用定义,深入挖掘数学思想
数和形是数学中两个最古老、最基本的研究对象,它们是有联系的．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数助形”,即通过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而达到优化解题的目的．在教师深度的教的过程中,要依据学情,深入挖掘教材当中隐含的数学思想,再把挖掘出的数学思想逐步渗透到相应的教学内容之中,以便学生能更好地理解数学知识,有效地提升数学素养.在解析几何的教学中,我认为在教学中不仅要指导学生学会数形结合的解题方法,更要养成数形结合的思维习惯．由于人类对事物的认知呈螺旋上升趋势,因此,在本节课中我对圆锥曲线定义例题的安排循序渐进,呈现顺序是由易到难,而且配有一定的变式训练,希望学生能够做一题得一法,会一类通一片,以达到掌握数学思想、提高学生兴趣、增强学习信心的目的.
4.问题引领,开展有深度的探究活动
在以问题为导向的课堂教学中,教师不仅要把问题问到“点子上”,而且要把问题问到“关键处”.教学过程中的问题设计具有明确的导向性,才能使学生的思维具有方向性,从而才能让他们顺利地解决学习过程中的问题.对于问题的设计,要在总问题中设立层层的导向性明确的子问题,使学生的思维具有连贯性.在教学过程中我非常注重创设有效的问题情境,循循善诱,由浅入深,教学活动总是基于问题引导学生积极开展合作式的学习、体验式的学习和建构式的学习,改变学生的思维方式,提升探究问题的能力,促进学生的理性思维逐渐成熟.本节课我首先通过问题探究,力求帮助学生理解圆锥曲线统一定义的内涵.其次,通过问题探究,掌握解决与圆锥曲线定义相关问题的基本方法,作业中我还让学生参与试题的编制,进一步提高学生在教学中的参与度,激发其学习的主动性.
5.探究活动的设计沿着主线,紧扣教学主体
目前以自主、合作、探究为主的教学方式已成为课堂教学中一道亮丽的“景致”,学生开展自主探究是以问题为载体,以探究为方式,在探究活动中充分发挥学生的自主性和能动性,让学生经历感悟、体验、反思和矫正的过程,从而实现学生自主能力的提高． 当然在这个过程中,教师要全面关注学生的认知基础、关注学生的瞬时表现、关注学生的展示欲望,及时捕捉课堂信息、及时调控教学方向、及时引导学生参与,尽力扮演组织者、引导者、合作者等不同角色,学生们才会在“欲罢不能”的参与状态中,主动探索新知、主动实践操作、主动尝试创新.
一、 教学内容解析
圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性,因此它是圆锥曲线内容教学的重点,也是圆锥曲线的方程、几何性质及其应用的基础.教材中,为了便于理解,通过绘图的方式引导学生得出圆锥曲线的定义,但定义形式的不同,也妨碍了学生从整体上把握圆锥曲线的特征,而圆锥曲线的定义除了课本给出的第一定义之外,在教材的挖掘以及习题的设置中都可以看到另一定义的身影（统一定义）,而且它的探究、推导及初步应用的过程体现了数形结合、转化与化归的思想,对于学生数学思维的训练、核心素养的提升有着极大的帮助.因此,在学生学习完圆锥曲线之后,作为单元学习的提升,安排一节课让学生了解统一定义及其应用是必要的.
本节课安排在三种曲线学习之后,是一节探究课,一方面通过教材的挖掘,让学生了解圆锥曲线的统一定义,增进学生对圆锥曲线的更深层次理解,另一方面,引导学生通过类比得到统一定义,让学生经历从特殊到一般的提炼过程,有助于加深学生对概念的理解,更为重要的是培养他们自己发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力,提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养,这种以知识为载体,培养创新意识正是我们目前高中数学课堂教学所追求的目标.
本节课的主要内容包括：圆锥曲线定义的回顾,统一定义的探究与发现,统一定义的初步应用.
二、教学目标设置
1.回顾圆锥曲线的定义,经历圆锥曲线统一定义的探究与发现过程；
2.理解圆锥曲线统一定义,了解其结构特征；
3.会用统一定义初步解决与圆锥曲线有关的简单问题,体会数形结合思想.
三、学生学情分析
从学生的知识储备来看,上课的学生是市区一流学校的学生,整体素质较好,且学生刚刚学完三种曲线,对于圆锥曲线的定义、标准方程的推导、简单的几何性质相对较为熟悉,这些为本节课的探究学习提供了基础.
从学生的技能储备来看,大部分学生具备了文字语言、图形语言及符号语言之间的自由切换.
从学生现有的学习能力来看,学生已经具备了一定的抽象概括、数学运算和类比推理能力,因此在推导圆锥曲线的统一定义过程中,可以让学生在老师的引导下,由学生来类比抛物线发现统一定义.
四、重点与难点
1. 重点：圆锥曲线统一定义的探究与发现及其应用
2. 难点：圆锥曲线统一定义的探究与发现
五、教学策略分析
本节课的难点是圆锥曲线统一定义的探究与发现.
突破策略主要是：
复习椭圆、双曲线、抛物线的定义,并通过对抛物线定义的复习,初步感受圆锥曲线焦点、准线的存在,了解抛物线定义的特征.
回归课本,重温椭圆定义的推导过程,确定探究的范围和目标.
分析抛物线标准方程推导过程中等式的结构特征,有目的地对椭圆推导方程进行类似变形,得到与抛物线定义相似的椭圆的定义.
类比得到抛物线、椭圆的定义,由学生自主得出双曲线的定义,最终归纳总结出圆锥曲线的统一定义.
通过例题设置及变式,熟悉圆锥曲线统一定义的代数特征和几何特征,引导学生结合图形,尝试用统一定义解决问题,体会其便利性.
在本节课的教学中,主要以问题引领过程,通过教师引导、课堂提问、师生交流、学生合作等方式,引导学生发现、归纳出圆锥曲线的统一定义,通过习题的练习,让学生体会利用统一定义解决问题的巧妙之处.
六、教学方法与教学手段
问题引导教学法,启发式教学,小组合作学习．
七、教学过程
1.复习回顾 铺垫新知
教师：同学们,我们现在已经学习了三种圆锥曲线,你还记得是怎样绘制它们的吗？我们一起来重温一下.
教学活动：教师动画演示绘制三种圆锥曲线的过程,而后请学生回答三种圆锥曲线的定义(第一定义),提醒学生注意限制条件.
【设计意图】一方面,动态演示三种圆锥曲线的绘制过程,让学生在亲身体会定义中各要素的相互关系,这样学生就有了对有关定义的直观感受,解题时回忆再现圆锥曲线的概念就变得轻而易举,这种在理解基础上记住的定义印象更深刻,保持记忆更持久.另一方面,为下一步抛物线、椭圆、双曲线标准方程的推导最好铺垫.
2.回归教材 二次开发
（1）引导探究
教师教学引导：有了抛物线的定义,我们来回顾一下推导其标准方程的过程,首先建立平面直角坐标系（教师课件演示）,设动点M(x,y),根据,代入各点坐标,得到一个等式（教师板书）,化简得（教师板书）,加上限制条件.这个过程其实也是求动点轨迹方程的一般步骤：“建设限代化”.
【设计意图】了解求曲线轨迹（方程）的一般步骤,掌握通性通法,同时为后面的问题探究做好进一步的铺垫.
（2）自主探究
教师：请大家仔细阅读人教A版选修2-1教材中椭圆标准方程的推导过程（课件展示教材内容）
教师：上述推导过程中出现了一个式子与抛物线中很相似,能否变形成类似的结构呢？下面我们来探究一下这两个等式的关联.
变形如下：
上式两边同时除以a,得 ①
对①式继续变形得:
即 ②
若作直线,
如图,则②式有什么几何意义吗？
【设计意图】通过类比抛物线的表达式,得到,而后变成两个相同的结构：与,目的是引导学生观察两个等式的左边都是动点到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比,而右边分别是椭圆与抛物线的离心率,此时可以追问,这是巧合吗？两次变形的过程,给学生直观的感受,在进行解析几何的学习时要注意数形结合,认识到式子的几何意义,这对学生在解析几何中解题意识的培养有着重要的作用.
（3）自发探究
教师：类比上述推导过程,在双曲线中是否也有类似的结论呢？（课件展示教材内容）
通过化简上式,你是否能得到刚才抛物线与椭圆两种曲线（,）相同结构的表达式,请尝试一下.
【设计意图】在前面两个问题研究的基础上,激发学生自发探究双曲线中的类似规律的结构式：,让学生自己观察得出：等式的左边依然是动点到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比,而等式的右边是离心率,这些不是巧合,引导学生发现这一规律,从而归纳总结出圆锥曲线的统一定义,体验到成功的喜悦.同时,让学生自发的写出化简过程,锻炼学生的数学运算能力、逻辑推理能力等核心素养.
3.抽象概括 形成概念
师生一起总结,形成概念：
(1)文字语言
平面上到一定点F的距离和到一条定直线l的距离之比为一个常数e的点的轨迹是圆锥曲线.其中定点F在直线l外,此时点F是焦点,l是相应的准线,e是离心率.
(2)符号语言
设动点为M,符号表示为：,也可以表示为.
其中：椭圆的焦点为时,相应的准线是；
焦点为时,相应的准线是；
焦点为时,相应的准线是；
焦点为时,相应的准线是.
双曲线的情况类似,这里就不再赘述了.
【设计意图】通过对三种圆锥曲线标准方程的推导过程中的一个式子变形,首先让学生意识到,在进行复习时,要回归教材,敢于探究课本表象下隐含的东西.让学生经历上述探究活动,教会学生研究规律的一般方法（例如从特殊到一般等）,有助于加深学生对概念的理解,更为重要的是培养了他们自己发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力,这种以知识为载体、培养创新意识正是我们目前高中数学课堂教学所追求的目标.
4.辨析概念 例题互动
例1.(1)在平面直角坐标系下,动点M(x,y) 满足关系式,则动点M(x,y)的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
学生口述,教师点评.
变式训练：关系式如果改为呢？
学生口述,教师点评.
(2)已知动点M(x,y)到N(1,0)的距离是它到直线l:x=4的距离的,则动点M的轨迹C的标准方程为( )
学生板书,教师点评.
【设计意图】以方程判断曲线类型的时候,最常见的方法就是直接法和定义法,直接法思路清晰,但计算较为麻烦,学生通过对比,发现定义法解题的计算量较小,初步体验定义法可以减少计算量.通过对例题的变式,训练学生的发散思维,增强思维的灵活性,由此提升思维能力,让学生获得知识、方法、思维上的最大收益.
例2.设,分别是椭圆：的左、右焦点,过点 的直线l交椭圆于两点,其中点在x轴的下方,且满足,则直线l的方程为 .
教师展示学生解答过程.师生互评.
【设计意图】事实上,解析几何是用代数方法研究几何问题的一门学科．而解析几何研究问题的基本思想方法是坐标法,运算量大应该算是这块知识的一个特色．在解决此处问题的过程中,抓不住问题的本质也是造成运算过多的一个直接原因．例2学生很可能会使用韦达定理解决此问题,计算量较大,此时告诫学生,要小题小做,逐步引导学生利用圆锥曲线的统一定义解决问题,让学生体会到这样做可以大大简化运算,达到事半功倍的效果,进一步培养学生从“数”与“形”两个维度去思考问题的意识.
5.提炼心得 布置作业
教师：通过本节课的学习,请你从知识、方法、数学思想方面谈谈有哪些收获？
学生板书,教师点评.
教师：事实上,处理圆锥曲线的很多问题时,首先要注意从数与形两个角度思考问题,其次要重视定义的灵活运用,有时可以简化运算,收到事半功倍的效果,这也与新课标高考所倡导的淡化特殊技巧、回归教材、回归基础、回归通性通法相吻合.
作业：
已知点P是椭圆上的一个动点,点F是左焦点,定点A(-2,2),求的最小值．你能编制一道与双曲线有关的类似问题吗？
【设计意图】培养学生自我总结反思的习惯,同时作业中让学生主动参与编制试题,激发其参与教学的兴趣,在更深的层次理解圆锥曲线的定义.
八、板书设计
圆锥曲线定义的应用 文字语言 符号语言 三种圆锥曲线的定义 例题
课后反思
1.动态生成,促进学生的深度理解
作为高中数学重要内容之一的圆锥曲线,涉及数形结合、函数与方程、分类讨论、等价转化等多种数学思想方法的应用,圆锥曲线的复习往往始于其定义．教学观察发现,多数学生对此内容的学习困境是:抓不住圆锥曲线的结构特征,或者因忽视对定义中关键条件的检验而出现错误．实际教学中,教师迫于教学进度的紧张,对圆锥曲线定义的复习,一般是依次呈现定义的文字语言、符号语言、图形语言,再给出几道有针对性的例题,所用课时非常有限．这样的教学安排会导致学生对定义的理解只是停留在表面,缺乏对其内涵的深度挖掘．于是会引起学生死记硬背、机械训练,最终导致“记不住或记不准确”的现象产生,并进而影响到后续知识点的落实．针对这一现象,本堂课的伊始,进行动态演示三种圆锥曲线的绘制过程,让学生在亲身体会定义中各要素的相互关系．解题时回忆再现圆锥曲线的概念就变得轻而易举;而且实践证明,这种在理解基础上记住的定义印象更深刻,保持记忆更持久．
2.挖掘教材,深度剖析数学知识的发现过程
在复习中,师生普遍存在的一种问题就是对教材置之不理、束之高阁,很多试题恰恰是以教材中的素材为蓝本进行编制的,这就需要学生回归教材,对其中的知识做一个系统的梳理与归纳,理解每个知识点的内涵、延伸与联系,对前后知识进行纵向、横向比较,加深对各部分知识间的理解,使之建立一个完整的知识体系．其实,圆锥曲线的两种定义是等价的,它们分别从不同的角度刻画了圆锥曲线的内涵与外延,确定了圆锥曲线的本质特征,揭示了曲线存在的条件及其所包含的几何性质.两种定义不仅是推导标准方程的依据,也是研究几何性质、解决相关问题的重要工具.因此,我在本节课中复习了绘制三种曲线的过程后,回归教材,带领学生复习了三种圆锥曲线标准方程的推导过程,一方面复习了求解动点轨迹方程的一般步骤,另一方面以此作为铺垫,研究标准方程推导过程中的一些等量关系,通过问题指引,帮助学生确定等式变形的方向,同时引导学生发现其中存在相同的结构特征（如：,,）,总结出相应的规律,顺势引出了圆锥曲线的统一定义,从而建立起了两种定义中的联系,加强了各部分知识的连贯性,使之浑然一体.
3.运用定义,深入挖掘数学思想
数和形是数学中两个最古老、最基本的研究对象,它们是有联系的．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数助形”,即通过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而达到优化解题的目的．在教师深度的教的过程中,要依据学情,深入挖掘教材当中隐含的数学思想,再把挖掘出的数学思想逐步渗透到相应的教学内容之中,以便学生能更好地理解数学知识,有效地提升数学素养.在解析几何的教学中,我认为在教学中不仅要指导学生学会数形结合的解题方法,更要养成数形结合的思维习惯．由于人类对事物的认知呈螺旋上升趋势,因此,在本节课中我对圆锥曲线定义例题的安排循序渐进,呈现顺序是由易到难,而且配有一定的变式训练,希望学生能够做一题得一法,会一类通一片,以达到掌握数学思想、提高学生兴趣、增强学习信心的目的.
4.问题引领,开展有深度的探究活动
在以问题为导向的课堂教学中,教师不仅要把问题问到“点子上”,而且要把问题问到“关键处”.教学过程中的问题设计具有明确的导向性,才能使学生的思维具有方向性,从而才能让他们顺利地解决学习过程中的问题.对于问题的设计,要在总问题中设立层层的导向性明确的子问题,使学生的思维具有连贯性.在教学过程中我非常注重创设有效的问题情境,循循善诱,由浅入深,教学活动总是基于问题引导学生积极开展合作式的学习、体验式的学习和建构式的学习,改变学生的思维方式,提升探究问题的能力,促进学生的理性思维逐渐成熟.本节课我首先通过问题探究,力求帮助学生理解圆锥曲线统一定义的内涵.其次,通过问题探究,掌握解决与圆锥曲线定义相关问题的基本方法,作业中我还让学生参与试题的编制,进一步提高学生在教学中的参与度,激发其学习的主动性.
5.探究活动的设计沿着主线,紧扣教学主体
目前以自主、合作、探究为主的教学方式已成为课堂教学中一道亮丽的“景致”,学生开展自主探究是以问题为载体,以探究为方式,在探究活动中充分发挥学生的自主性和能动性,让学生经历感悟、体验、反思和矫正的过程,从而实现学生自主能力的提高． 当然在这个过程中,教师要全面关注学生的认知基础、关注学生的瞬时表现、关注学生的展示欲望,及时捕捉课堂信息、及时调控教学方向、及时引导学生参与,尽力扮演组织者、引导者、合作者等不同角色,学生们才会在“欲罢不能”的参与状态中,主动探索新知、主动实践操作、主动尝试创新.