河南省名校2022届高三上学期一轮复习质量检测
数学（理）试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设集合P＝{x｜x2＋2x－3≤0}，Q＝{x｜y＝lnx}，则P∩Q＝
A．（0，1] B．（0，3] C．[－1，4] D．[－3，4]
2．命题“∈（－1，3），x2－2x－3＜0”的否定为
A．∈（－1，3），x02－2x0－3≥0 B．∈（－1，3），x2－2x－3≥0
C．（－1，3），x2－2x－3≤0 D．（－1，3），x02－2x0－3＞0
3．已知i2021·z＝1＋2i，则复数z的共轭复数是
A．2－i B．－2－i C．2＋i D．－2＋i
4．在等比数列{}中，是2和4的等差中项，则·＝
A．3 B．6
C．8 D．9
5．已知｜a｜＝1，｜b｜＝3，且｜a－b｜＝，则向量a与b
的夹角为
A． B．
C． D．
6．执行如图所示的程序框图，若输入的a＝1，b＝10，则输出的
i＝
A．3 B．4
C．5 D．6
7．已知0．5a＝3，b＝log25，3c＝5，则实数a，b，c的大小关系
为
A．a＜b＜c B．c＜a＜b
C．a＜c＜b D．c＜b＜a
8．函数的最小正周期是
A． B．
C． D．不是周期函数，不存在最小正周期
9．铜钱外圆内方的文化寓意在于古人认为圆为天之形、方为地之态，天地产生了万物自然也产生了人类，圆象征着平等、包容、和谐的道，方象征着尊卑有序、松紧有度、远近有别的理，铜钱博大精深文化内涵所表现出来的对世人行事的规范和要求，将永远伴随着人类的存在而存在，小龙从小就对铜钱有着浓厚的兴趣，他收集了9枚铜钱，其中4枚是明朝的，5枚是清朝的．现从9枚铜钱中任取3枚，则其中至少有两枚是明朝的概率为
A． B． C． D．
10．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线C上不重合的两点，若｜AF｜＋
｜BF｜＝6，则线段AB的中点到x轴的距离为
A． B．2 C．3 D．6
11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x＋2）＝f（2－x），f（－2）＞2，f（2018）＝t2＋t－4，则实数t的取值范围为
A．（－∞，－1）∪（2，＋∞） B．（－∞，－2）∪（1，＋∞）
C．（－1，2） D．（－2，1）
12．已知1是函数的极大值点，且f（1）＝1，则函数
y＝（f（x））2－（a＋1）f（x）＋a的零点个数是
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．）
13．双曲线的右焦点到其渐近线的距离为__________．
14．已知的展开式中各项系数之和为729，则展开式中x的系数为__________．
15．已知M（x）表示整数x的个位数字．在首项为3的正项数列{}中，，则M（a2021）＝__________．
16．已知正四棱锥P—ABCD的侧面积为，高为，则该四棱锥的外接球的体积为__________．
三、解答题（本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分12分）
某高校为培养身心健康全面发展的人才，要求每位学生每学年至少选择“体育”、“美术”、
“音乐”三门课程中的一门课程．下表为数学1班的50名大一学生的选课统计．
（1）从数学1班任选两名学生，求他们选课数目不相等的概率；
（2）从该班中任选两名学生，用X表示这两人选课数目之差的绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）．
18．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csinB＝b（1－cosC）．
（1）求角C的大小；
（2）若c＋3b＝3a，求sinA．
19．（本小题满分12分）
如图所示，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，AB＝
PA＝2，E，F分别为PB，PC的中点．
（1）证明：PD∥平面AEC；
（2）求PD与平面AEF所成角的大小．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），点P为椭圆C上一点，
｜PF｜的最大值为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点M为直线l：x＝2上一点，直线m过点F交椭圆C于A、B两点，若BM∥x轴，判断：直线AM是否恒过定点．若是，求出定点；若否，说明理由．
21．（本小题满分12分）
已知函数f（x）＝x－1＋（a－1－ax）lnx．
（1）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）当a＞0时，
（i）对任意x∈[1，＋∞）恒成立，f（x）≤0，求a的取值范围；
（ii）求证：任意，都有ln（n＋1）＞．
【选考题】请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为，（为参数）．以原点为极点，
x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．
（1）写出曲线C1的标准方程与曲线C2的直角坐标方程；
（2）已知点M（2，0），设曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求｜MA｜·｜MB｜．
23．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】
已知函数f（x）＝｜x－1｜－｜x－2a｜．
（1）当a＝－1时，求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若f（x）≤a恒成立，求实数a的取值范围．高三数学（理）参考答案
1．A【解析】因为P = [ 3,1] Q = (0,+∞)，所以P∩Q = (0,1]，故选 A.,
2 A A A.
． 【解析】由题易知 选项正确．故选
1+2i
3．C 2021 = = + = z， 的共扼复数是 【解析】因为 i z = i z=1+2i，所以 z (1 2i) i 2 i
i
z = 2 + i，故选 C.
4．D【解析】由题可知a6 = 3，所以a3 a9 = a
2
6 = 9 .故选 D.
3 1
5．B 2 2【解析】a b = a 2a b+ b = 10 2a b = 7，即a b = = a b cosθ ，所以cosθ = ，
2 2
π
即θ = .故选 B.
3
6．A【解析】第一次循环：a=2，b=9；第二次循环：a=4，b=7；第三次循环：a=7，b=4；满
足条件，结束循环，此时，i=3.故选 A.
7．C【解析】由题a = log0.5 3 < 0，b = log2 5 > 2,c = log3 5∈ (1,2) a < c < b，所以 .故选 C．
π π 2π
8．C【解析】 f (x) = 4cos(x + )sin(x + ) 1= 2sin(2x + ) 1，故最小正周期 T=π，
3 3 3
故选 C.
9 3．B【解析】从 9枚铜钱中选择 3枚，所有可能事件的数量为C9 =84，因为“至少有两枚明
2 1 3 34 17
朝铜钱”包含C C +C =34，所以概率P = = ，故选 B. 4 5 4
84 42
AF + BF
10．B【解析】由抛物线的基本性质易得线段 AB的中点到 x轴的距离为 1= 2，
2
故选 B.
11．D【解析】由 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f (x + 2) = f (2 x),所以函数 f(x)是周期
为 8 的周期函数，所以 f (2018) = f (2) = f ( 2) < 2 2， t + t 4 < 2，解得 t∈ ( 2,1) .
故选 D.
2
12．B【解析】 f ' (x) = x (a +1)x + a = (x 1)(x a)，因为 1是函数
高三数学（理）参考答案 第 1 页（共 8 页）
1 3 a +1f (x) = x x2 + ax + b的一个极大值点，所以a >1，又由 f (1) =1，所以函数 f (x)
3 2
的大致图象为
函数 y = ( f (x))2 (a +1) f (x) + a 2的零点即为方程 ( f (x)) (a +1) f (x) + a = 0的根，而
( f (x))2 (a +1) f (x) + a = ( f (x) a)( f (x) 1) = 0，即 f (x) = a或 f (x) =1 .如图可知共
2
3个根，所以函数 y = ( f (x)) (a +1) f (x) + a有 3个零点.故选 B.
13．1【解析】双曲线的焦点到其渐近线的距离为b =1.
n
1 n
14．240【解析】由 2x + 的展开式中各项系数之和为 729，令 x＝1得 (2 +1) = 729，
2 x3
解得 n＝6；
r
5
6 r 1 6 r 5
所以T = C r (2x) = 26 rC r x 2 ，令6 r =1得 r＝2，从而得展开式中 x项的系r+1 6 6
2 x3 2
24 C 2数为 6 = 240 .
15 2．3 【解析】因为an+1+(n 3)an+1an 3na
2 = 0，整理得n (a + 3a )(a ，因为数列n 1 n n+1 + nan ) = 0
{a }各项均为正数，所以a + + na > 0，则有a + 3a = 0，所以n n 1 n n 1 n an+1=3a ，所以数列n {a }的n
n 2021 1 2 3 4 5
通项公式为 a = 3 ，所以 a = 3 .又3 = 3,3 = 9,3 = 27,3 = 81,3 = 243...，个位数字依次n 2021
为 3，9，7，1，...所以数列的项的个位数字构成一个周期为 4的循环，所以a 与a 的个位2021 1
数字相同，所以M (a ) = 3 . 2021
8 2
16． π 【解析】如图设底面四边形的中心为Q，设外接球球心为 O，CD中点为 H.设底
3
高三数学（理）参考答案 第 2 页（共 8 页）
1 3 2 2 a
面四边形边长为a，正四棱锥 P-ABCD 的侧面积为4× ×a× ( ) + ( )2 = 3 7 ，解
2 2 2
3 2 6
得 a = 3 .在直角三角形 ODQ中，( r)2 + ( )2 = r 2，解得 r = 2，所以四棱锥的
2 2
4 3 8 2
外接球的体积为 πr = π .
3 3
17．【解析】
C2 +C 2 2
1 5 25
+C20 20
（ ）从该班任取两名学生，他们选修课程数目恰好相等的概率：P = = ，故
C 250 49
20 29
所求的概率为P =1 = ；...............................5分
49 49
（2）从该班中任选两名学生，用 X表示这两学生选课数目之差的绝对值，则 X的可能取值
分别为：0 ，1，2，
20 C1C1 +C1 C1 C1C1
P(X = 0) = P(X =1) = 5 25 20 25
25 4
于是 ， = ，P(X = 2) = 5 20 = ，
49 C 250 49 C
2
50 49
所以 X 的分布列为：
X 0 1 2
20 25 4
P
49 49 49
20 25 4 33
E(X ) = 0× +1× + 2× = ．...............................12分
49 49 49 49
18．【解析】
（1）由正弦定理及c sin B = 3b (1 cosC )，得 sin BsinC = 3 sin B 3 sin BcosC .
高三数学（理）参考答案 第 3 页（共 8 页）
因为sinB ≠ 0，所以sinC = 3 (1 cosC )，
π π 3
sinC + 3 cosC = 2sin
所以 C + = 3 sin C + = . ，所以
3 3 2
π π 4π π
0 因为 ，所以 ，所以 分
3 3 3 3
2π 2π
2 1 B = A 6 sinC + 3sin A = 3sin A （ ）由（ ）知 ，由题设及正弦定理得 ，
3 3
2 3 1 π 2
即 + cos A+ sin A = sin A sin A = . ，可得
2 2 2 3 2
2π π π π π 2
0 < A < < A < cos A =
由于 ， ，所以 ，
3 3 3 3 3 2
π π π π π π
sin A = sin A + = sin A cos + cos A sin 故
3 3 3 3 3 3
2 1 2 3 6 + 2
= × + × = ..............................12 分
2 2 2 2 4
19
．【解析】
1 BD AC O OE O （ ）证明：连接 交 于点 ，连接 ，易知 为BD中点，
O
在△PBD中， ，E分别为BD，PB中点，
∴OE
为△PBD的一条中位线，
∴OE / /PD
，
PD
∵ / ACE OE ACE 平面 ， 平面 ，
∴ PD / / ACE ...............................5
平面 分
（2）以点 A为坐标原点，分别以 AB、AD、AP为 x, y, z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
高三数学（理）参考答案 第 4 页（共 8 页）
则 A(0,0,0)，B(2,0,0),C(2, 2,0),D(0, 2,0),P(0,0, 2),E (1,0,1) ,F (1,1,1)，
PD = (0, 2, 2), AE = (1,0,1), AF = (1,1,1)
AEF
设平面 的一个法向量为m = (x, y, z)，
m AE = x + z = 0
则 ，则可取m = (1,0, 1)，
m AF = x + y + z = 0
设 PD和平面 AEF所成角为θ，
m PD 2 1 π
∴ sinθ = cos m,PD = = = ，则θ= .
m PD 2 2 × 2 2 6
π
∴PD和平面 AEF所成角为 ...............................12分
6
20
．【解析】
（1）由题意可得c =1, PF = a + c = a +1= 2 +1，解得a = 2,b =1 .
max
x2
所以椭圆 C 2的标准方程为 + y =1..............................4分
2
（2）由题意可得：直线 m的斜率不为 0，可设直线 m的方程为： x = ty +1．
设 A(x1, y1 )，B (x , y )，则M (2, y2 ) . 2 2
x = ty +1 (t 2 + 2) y2 + 2ty 1= 0联立 2 2 ，化为： ， 成立．
x + 2y = 2
> 0
2t 1
y1 + y2 = y y = x = ty +1∴
t 2
，
+ 1 2 2
，
+ 1 1
．
2 t 2
y y yAM k = 1
y2
∴直线 的斜率 ，方程为： y y2 =
1 2 ( x 2)．
x 2 x1 21
y y y (x 2)
y = 1 2 + 2 1x 2
即： ．
x1
2 y1 y2
t
y ( x 2) y y +2 (ty1 1) 2 22 1 t + 2 1
= = =
又 2t ．
y y 2y t 21 2
t2 + 22 2 + y
t 2
2
+ 2
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y1 y2 1 y1 y2 3y = x 2+
∴ y = x ，即 ．
x1 2 2 x1 2 2
3
，0
∴
直线 AM 恒过定点 ..............................12 ． 分
2
21．【解析】
a = 0 1
（1）当 时，函数 f ( x) = x 1 lnx， f '(x) =1 .
x
1
则 f (2) =1 ln2, f '(2) = .则曲线 f (x)在点 (2, f (2))处的切线方程为
2
1
y (1 ln 2) = (x 2)
2
化简得 x 2y 2ln 2 = 0 ...............................3分
( a 1 ax（2）（ⅰ） f ′ x) =1+ alnx，
x
1
ax 1 a a[x ( 1)]
f ′′(x) ( )= = a . 2 2
x x
1 1
①当a ≥ 时， 1< 1≤1， f ′′(x) ≤ 0 .故 f ′( x)在区间 (1,+∞)上递减，
2 a
所以 f ′(x) ≤ f ′(1) = 0，则 f (x)在区间 (1,+∞)上递减.
所以 f ( x) ≤ f (1) = 0对一切 x∈[1,+∞)恒成立.
1 1 1
②当0 < a < 时， 1> 1， f ′′ 1 = 0 .
2 a a
1
当 x∈ (1, 1)时， f ′′(x) > 0，
a
1
当 x∈
1,+∞ 时， f ′′(x) < 0 .
a
≥ ( ) 1所以 x 1 时， f ′ x = f ′ 1 .而 f ′(1) =
10 ，故 f ′ 1 > 0 . max a a
1
所以当 x∈ 1, 1
时， f ′(x) > 0， f (x)递增，
a
( ) = 1由 f 1 0 ，知 f 1 > 0，此时 f ( x) ≤ 0对一切 x∈[1,+∞)不恒成立.
a
a 1
综上，实数 的取值范围是 ,+∞ ...............................9分 2
高三数学（理）参考答案 第 6 页（共 8 页）
1 2(x 1)
（ⅱ）由（ⅰ）可知，取a = ，当 x >1时，有 lnx > .
2 x +1
k +1 k +1 2 2
取 x = ，有 ln > ，即 ln (k +1) lnk > .
k k 2k +1 2k +1
所以 ln (n + ) = 2 2 21 ln (n +1) lnn + lnn ln (n 1)+ + ln2 ln1 > + + + ，
2n +1 2n 1 3
1 1 1
所以 ln (n +1) > 2( + + + ) ...............................12分
3 5 2n +1
22．【解析】
x =1+ 2cosα
（1 2 2）曲线C 的参数方程为 （α 为参数），化为标准方程为1 (x 1) + y = 4，
y = 2sinα
曲线C 的极坐标方程为 ρ( 3 cosθ sinθ ) = 2 3，化为平面直角坐标方程为
2
y = 3 ( x 2)．化为一般式方程为 3x y 2 3 = 0 ..............................5分
l
（2）直线 过点M (2,0)，
1
x = 2+ t
l 2∴直线 的参数方程为 ( t为参数)，
3y = t
2
2
将其代入曲线C 的直角坐标方程可得 t + t 3 = 0，
1
A B
设点 ， 对应的参数分别为 t ， 1, t2
由一元二次方程的根与系数的关系知 t1+t2 = 1，t1 t2 = 3 .
∴ MA MB = t t = 3．..............................10分
1 2
23．【解析】
（1）当a = 1时，原不等式为 x 1 x+ 2 ≥1，
x < 2 2 ≤ x ≤1 x >1
∴ 或 或 ，
x +1+ x + 2 ≥1 x +1 x 2 ≥1 x 1 x 2 ≥1
∴ x < 2或 2 ≤ x ≤ 1或空集，
高三数学（理）参考答案 第 7 页（共 8 页）
∴原不等式的解集为 ( ∞, 1] ..............................5分
（2）由题意得 f ( x) ≤ a，
max
∵ f ( x) =| x 1| | x 2a |≤ x 1 (x 2a) = 2a 1 ≤ a，
1
平方得3a2 4a +1≤ 0，解得 ≤ a ≤1
3
1
a
∴ 的取值范围[ ,1] ................................10分
3
高三数学（理）参考答案 第 8 页（共 8 页）
