湖南省涟源市第二中学2021-2022学年高二上学期12月月考数学试题（Word版含答案）

涟源市第二中学2021-2022学年高二上学期12月月考
数学试卷
考试时间：100分钟；总分：150分
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．直线的方向向量，平面α的法向量为，若直线平面，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
3．若直线与直线垂直，则（ ）
A．或 B． C．或 D．
4．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(1，0)，B(0，2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为（ ）
A．4x＋2y＋3＝0 B．2x－4y＋3＝0 C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0
5．过点，，且圆心在上的圆的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
6．已知直线过定点,且为其一个方向向量,则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
7．如图，圆锥的底面直径，其侧面展开图为半圆，底面圆的弦，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方体的棱长为a，E是DD1的中点，则（ ）
A．直线B1E平面A1BD
B．
C．三棱锥C1-B1CE的体积为
D．直线B1E与平面CDD1C1所成的角正切值为
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．已知两点到直线的距离相等，则实数的值可以是（ ）
A． B．3 C． D．1
10．给出下列命题，其中为假命题的是（ ）
A．已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，若，则
B．已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，若，则与所成角为
C．若三个向量，，两两共面，则向量，，共面
D．已知空间的三个向量，，，则对于空间的任意一个向量，总存在实数使得
11．已知圆，直线．则下列选项正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．直线与圆C的位置可能相交、相切和相离
C．直线被圆C截得的最短弦长为12
D．直线被圆C截得的最短弦长对应的k值为
12．如图，已知P是棱长为1的正方体对角线上的一点，且，下面结论中正确结论的有（ ）
A．；
B．当取最小值时，；
C．若，则；
D．若P为的中点，四棱锥的外接球表面积为．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）
13．若，，且，则实数______________.
14．已知圆与圆内切,则= _____.
15．已知点，点 分别是轴和直线上的两个动点，则的最小值等于_________.
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动（无滑动滚动），点D恰好经过坐标原点，设顶点的轨迹方程是，则_______.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）
17．（本小题10分）已知直线与直线．
（1）若，求m的值；
（2）若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程．
18．（本小题12分）如图在四棱锥中，底面是矩形，，，，为的中点，面面.
（1）证明：面
（2）求二面角的余弦值.
19．（本小题12分）已知圆：.
（1）求过点且与圆相切的直线的方程；
（2）已知点，，是圆上的动点，求面积的最大值.
20．（本小题12分）已知的内角的对应边分别为，且.
（1）求角；
（2）若，的面积为，求的值．
21．（本小题12分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，二面角的大小为.
（1）求证：平面；
（2）若，点为线段上的点，若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度.
22．（本小题12分）已知点，曲线C上任意一点P满足．
（1）求曲线C的方程；
（2）设点，问是否存在过定点Q的直线l与曲线C相交于不同两点E，F，无论直线l如何运动，x轴都平分∠EDF，若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由．
涟源市第二中学2021-2022学年高二上学期12月月考
数学试卷参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.单选题每题5分；多选题全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D D B B A A C D AB ACD AD ABD
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）
13． 14．1
15．【详解】作点关于轴的对称点，
则，最小值即为到直线的距离，
，所以的最小值为.
16．【详解】由题意，当时，顶点的轨迹是以点为圆心，以2为半径的圆；
当时，顶点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆；
当时，顶点的轨迹是以点为圆心，以2为半径的圆；
当，顶点的轨迹是以点为圆心，以2为半径的圆，
与的形状相同，
因此函数的图象在恰好为一个周期的图象；
所以函数的周期是8；
∴，其图象如图：
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）
17．（1），（2）或
【详解】解：（1）因为，所以，且，
由，得，解得或（舍去） 所以，----5分
（2）因为点在直线上，所以，得，所以点的坐标为，
所以设直线的方程为（），
令，则，令，则，
因为直线在两坐标轴上的截距之和为0，所以，解得或，
所以直线的方程为或 --------10分
18．（1）证明见解析；（2）.
【详解】（1），，为的中点
，，.
又为矩形且，，-
又，， 面. --------6分
（2）取得中点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系
，，，，，.
显然，面的一个法向量为.
设面的一个法向量为，
则有：，，
不妨设则，，则.由图示，二面角为锐角，
.
∴二面角的余弦值为.---------------12分
19．（1）；（2）.
【详解】（1）当直线的斜率不存在时：符合-----------2分
当直线的斜率存在时，设直线方程为：，圆：，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，
即， 所以直线方程为：.-----------6分
（2），直线的方程为：，
圆心到到直线AB的距离为：，
所以点P到直线AB的距离的最大值为，
所以.-------------12分
20．（1）；（2）.
【详解】（1），
由正弦定理得：，
即，
在中，，，所以，
因为，所以， --------------6分
（2）
由余弦定理可得，即
.---------12分
21．（1）证明见解析；（2）.
【详解】（1）在四棱锥中，
因为平面平面，平面平面，，
平面，所以平面；又平面，所以，，所以为二面角的平面角，所以，
又，所以.又平面，平面，
所以平面. -------6分
（2）取的中点，连结，则，又，所以，
又平面，平面，所以，所以，，两两垂直.
以为坐标原点，，，所在的直线为轴建立的空间直角坐标系，
则，，，，则，，，设，所以
设平面的法向量为，
则，即，
令，可得，，
所以，
设直线与平面所成的角为，
则，解得，
所以的长为. -----------12分
22．（1）；（2）存在，.
【详解】（1）设点的坐标为，因为，可得，整理得，
即曲线的方程为.---------------5分
（2）①设存在定点Q满足条件，设直线的方程为，
设，联立方程组，整理得，可得，
无论直线如何运动，轴都平分∠EDF，可得，
所以，可得，
所以，所以，整理得，可得，
所以，可得直线经过定点，
②如果斜率不存在，直线垂直于x轴，此时与圆交于两点，故DE与DF关于x轴对称，符合题意。
所以存在过定点的直线与曲线C相交于不同两点E，F，无论直线l如何运动，轴都平分∠EDF．---------------12分