河南省郑州106中学2022届高三上学期12月月考数学（理）试题（Word版含答案）

郑州106中学2022届高三上学期12月月考
数学（理）试题
说明：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）满分150分，考试时间120分钟．
2. 将第Ⅰ卷的答案代表字母填(涂)在第Ⅱ卷答题表 (答题卡)中.
第Ⅰ卷 （选择题，共60分）
一、选择题： 本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．若，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝58，a2＋a5＋a8＝44，则a3＋a6＋a9的值为（ ）
A．30 B．27 C．24 D．21
5．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
6．右图是一算法的程序框图，若输出结果为，则在判断框中应填入的条件是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数f(x)＝若f(4－a)>f(a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)
8．我国古代为了进行复杂的计算，曾经使用“算筹”表示数，后渐渐发展为算盘.算筹有纵式和横式两种排列方式，0~9各个数字及其算筹表示的对应关系如下表：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
纵式 〇
横式
排列数字时，个位采用纵式，十位采用横式，百位采用纵式，千位采用横式……纵式和横式依次交替出现.如“”表示21，“〇”表示609.在“〇”、“”、“”、“”、“”中选三个按照一定顺序排列成的三位数中任取一个，取到偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．已知的一段图象如图所示，则（ ）
A．
B．的图象的一个对称中心为
C．的单调递增区间是
D．函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象
10．已知点P是双曲线（a 0，b 0）右支上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，M是△PF1F2的内心，若成立，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
11．函数满足，在上存在导函数，且在上，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，在棱长为1的正方体中，点P为线段上的动点（点P与，不重合），则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．三棱锥的体积为定值
C．过P，，三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形
D．过四点的球的半径为定值
第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）
二、填空题： 本大题共4小题，每小题5分．
13．若，则与同方向的单位向量是_______.
14．已知样本数据为，，，，，该样本平均数为5，方差为2，现加入一个数5，得到新样本的方差为______.
15．已知抛物线：的焦点和准线，过点的直线交于点，与抛物线的一个交点为，且，则__________.
16．已知等差数列，对任意都有成立，则数列的前项和__________．
三、解答题：本大题共6小题. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角B；
（2）若，，点D在边AC上，且，求BD的长.
18．（12分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝AA1＝3，AC＝2，，面A1BC1⊥面BB1C1C．
（1）证明：A1B⊥B1C；
（2）求直线B1C与平面ABC所成角的正弦值．
19．（12分）已知有五个大小相同的小球，其中3个红色，2个黑色.现在对五个小球随机编为1，2，3，4，5号，红色小球的编号之和为A，黑色小球的编号之和为B，记随机变量.
（1）求时的概率；
（2）求随机变量X的概率分布列及数学期望.
20．（12分）椭圆长轴左右端点分别为，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于两点，问：是否存在直线l，使点F恰为的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
21．（12分）已知函数.
（1）若和直线相切，求的值；
（2）令，，当时，判断零点的个数并证明.
请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （10分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知圆和圆的极坐标方程分别是和．
（1）求圆和圆的公共弦所在直线的直角坐标方程；
（2）若射线：与圆的交点为O，P，与圆的交点为O，Q，求的值．
23．（10分）已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）正数满足，证明：.
郑州106中学2022届高三上学期12月月考
数学（理）试题参考答案
第Ⅰ卷 （选择题，共60分）
一、选择题： 本大题共12小题，每小题5分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C B A B B A D C D D D
第Ⅱ卷 （ 非选择题，共90分）
二、填空题： 本大题共4小题，每小题5分．
13． 14． 15． 16.
三、解答题： 本大题共6小题. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（1）---------------------2分
---------------------4分
∵，∴，∵，∴. ---------------------6分
（2）设，，则
在中，.-------------8分
在中：①
在中：②
①+②×2：，综上. ---------------------12分
18．（1）证明：∵BC＝B1B＝AA1＝3，∴四边形BB1C1C2是菱形．
∴B1C⊥BC1． ---------------------2分
又面A1BC1⊥面BB1C1C，面A1BC1∩面BB1C1C＝BC1．
∴B1C⊥面A1BC1． ---------------------4分
又∵A1B 面A1BC1，∴B1C⊥A1B，即A1B⊥B1C． ---------------------6分
（2）解：B1C∩BC1＝O，连接A1O．由（1）的结论B1C⊥面A1BC1，得B1C⊥A1O，
∴，
又，
而A1C1＝2，∴A1O⊥C1O，∴A1O⊥面BCC1B1． ---------------------8分
以OA，OB，OA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，
∴，．
设面A1B1C1的法向量为，
所以有令，
得． ---------------------10分
记直线B1C与面ABC（即面A1B1C1）所成角为θ．
∵，∴．
直线B1C与面ABC所成角的正弦值为． ---------------------12分
19．（1）因为，所以当时，或
所以或或，
所以. ---------------------5分
（2）因为为奇数，所以A，B必然一奇一偶，所以X为奇数，
所以，，
即X所有可能的取值为， ---------------------7分
当时，或或，所以；
由（1）知，；
当时，或，所以；
当时，，所以；
当时，，所以. ---------------------10分
所以随机变量X的概率分布列如下表：
P 1 3 5 7 9
X
随机变量X的数学期望.----------------12分
20．（1）设椭圆的方程为，
因为，所以. ---------------------2分
因为，所以，即，即，---------------------4分
所以，
所以椭圆方程为. ---------------------5分
（2）假设存在直线l交椭圆于两点，使点F恰为的垂心.
设，因为，所以， ---------------------6分
所以设直线的方程为，
由，得，
所以，. ---------------------8分
因为F为的垂心，所以，
即，
所以， ---------------------10分
所以，解得或(舍)，
经检验满足.
所以存在直线l交椭圆于两点，使点F恰为的垂心，且直线l的方程为. ---------------------12分
21．解：（1）由题意，函数，可得， ---------------------1分
设切点坐标为，可得切线的斜率，
可得， ---------------------3分
所以，即切点坐标为，
将点代入，可得，解得. ---------------------5分
（2）由，可得，
当时，，所以是的一个零点， ---------------------6分
设，可得，
当时，，
所以在上时单调递增函数，所以，
所以在上单调递增，所以，
所以在上没有零点； ---------------------8分
当时，，可得，
所以在上单调递增，
又由，，
所以在内存在唯一，使得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为，，
所以在内有一个零点， ---------------------11分
综上可得，函数有两个零点. ---------------------12分
22（1）圆：即，则，-----------------2分
圆：即，则， ---------------------4分
两式相减得到两圆公共弦所在直线的直角坐标方程为：.---------------------5分
（2）将代入圆和圆的极坐标方程得
. ---------------------10分
23.解：（1）当时，，得，---------------------1分
当时，，解集为， ---------------------2分
当时，则， ---------------------3分
所以不等式的解集为. ---------------------5分
（2） =4，
等号成立条件为，∴ ---------------------7分
又，等号成立的条件为
所以. ---------------------9分
所以. ---------------------10分