河南省郑州106中学2022届高三上学期12月月考数学（文）试题（Word版含答案）

郑州106中学2022届高三上学期12月月考
数学（文）试题
说明：1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），满分150分，考试时间120
分钟．
2．将第I卷的答案代表字母和第II卷的答案填涂在答题表（答题卡）中．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设已知集合 ， ，则= ( )
A. B. C. D.
2．已知，为虚数单位，且，则的值为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 命题“对任意的 ， ”的否定是( )
A. 不存在， B. 存在，
C. 存在， D. 对任意的，
4. 如图八面体中，有公共边的两个面称为相邻的面，若从上半部分的4个面和下半部分的4个面中各随机选取1个面，这两个面相邻的概率为（ ）
A. B. . C. D.
5. 一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为，则判断框中应填入的条件是（ ）
A. B. C. D.
6．函数 其中>0，
的图象如图所示，为了得到的图象只要将的图象 （　　）
A.向右平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位　　D．向左平移个单位
7. 如右图为某几何体的三视图，则该几何体的的表面积为（ ）
A. B. C. 28 D．30
8．已知函数则（ ）
A. 1 B.6 C.3 D．4
9．偶函数f (x)在[0，＋∞)上为增函数，若不等式 f (ax－1)< f (2＋x2)恒成立，
则实数a的取值范围是(　　)
A. (－2，2) B． (－2,2)
C. (－2，2) D． (－2,2)
10. 已知等差数列 和等差数列 的前n项和分别为， 且 ，则使为整数的正整数n的个数是（　　）
A. 2 B.6 C. 4 D. 5
11．已知 ,是两个定点，点P是以和为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且⊥ ，和分别是椭圆和双曲线的离心率，则有( )
A. B. C. D.
12.若曲线与曲线存在公共切线，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本题共有4小题，每小题5分，共20分）
13. 函数的导函数是 ___________.
14. 已知向量 若向量 和向量共线，则实数
15.已知圆：，圆：，若圆平分圆的圆周，则正数的值为 .
16. 在三棱锥中，平面平面，，，，若三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.(12分) 在 △ABC中，分别为角的对边，已知.
（1）求角； （2）若为锐角三角形，求的取值范围.
18.(12分)某校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三学年进行了一次网络模拟考试．全学年共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩绘制成频率分布直方图,如图所示,已知这100人中 分数段的人数比 分数段的人数多6人．
（1）根据频率分布直方图，求 的值:
（2）现用分层抽样的方法从分数在, 的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数不在同一组内的概率．
19.（12分）在三棱锥中，，分别是棱，上点，且平面．
（1）求证：平面；
（2）若平面，，，记三棱锥与三棱锥的体积分别为，，且，求三棱锥的体积．
20.（12分）已知椭圆 ，A是椭圆右顶点，B是椭圆的上顶点，直线与椭圆交于M、N两点，且M点位于第一象限．
（1）若，证明：直线和的斜率之积为定值；
（2）若,求四边形的面积的最大值.
21.(12分)已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性
（2）当 时，证明不等式成立.
(求导公式 )
请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（10分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知圆和圆的极坐标方程分别是和．
（1）求圆和圆的公共弦所在直线的直角坐标方程；
（2）若射线：与圆的交点为O P，与圆的交点为O Q，求的值．
23.（10分）已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）正数满足，证明：.
郑州106中学2022届高三上学期12月月考
文科数学答案
一、单项选择题：本题共12小题，每题5分，共60分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D C A D A B D B C D A
二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分．
13． ． 14． 2_
15．__ __3________． 16．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17解
=---------------------------2分
----------------------------------------------------------------------4分
-----------------------------------6分
（2） --------------8分
, ,, 的取值范围是 ----12分
18． 解：(1)依题意有，，
即 ----------------------------------------2分
又∵ ， 解得 ，--------------------6分
(2)设“抽取的2名同学的分数不在同一组内”为事件A
由题意知，在分数为的同学中抽取4人，分别用 表示，
在分数为 的同学中抽取2人，分别用 表示，
从这6名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：共15种，
抽取的2名同学的分数不在同一组内的结果有：共8种，
所以，故抽取的2名同学的分数不在同一组内的概率．----12分
19解：
（1）∵∥平面 ,平面 , 平面平面= ∴ ∥ 又∵平面 , 平面 ∴∥平面--------6分
（2）∵ , , ∴ ∴,∴
由（1）知 ∥ ∴
=4, ⊥平面
= -----------------------------12分
20.解: ,∴ ,
∵在椭圆上， ，
∴= = = ----------------------6分
(2)设直线 的方程为 ,依题意: ,M在第一象限，.
联立得，
，设到得距离为，到得距离为。
，
。又，----8分
当b=0时取等号，。
的面积的最大值为---------------------12分
21解： 函数的定义域为， ，
当时，，在上单调递减，
当时，令， 时，，单调递减，
时，，单调递增，
综上所述，当时，在上单调递减，
当时，在区间上单调递减，在区间 上单调递增．---6分
将欲证明结论变形为 ，
题目转化为由时，证明，
构造函数 ，故只需要证明函数 在上单调递减即可．
，令，则，
当时，很显然；故函数在上单调递减，
故，故导函数在上恒成立，
故函数在上单调递减，
∴时， ．------------------------12分
选作题 22（1）圆：即，则，
圆：即，则，
两式相减得到两圆公共弦所在直线的直角坐标方程为：.-------------5分
（2）将代入圆和圆的极坐标方程得：
.------------------------------10分
23解：（1）当
当 时
当 时 则
∴不等式解集为 ----------------------------------5分
（2） =4 ∴
等号取到的条件是
又 ()
等号取到的条件是
----------------------------------------------------------------10分