人教版数学九年级上册 第21章 一元二次方程 单元检测试卷
一、选择题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ）
1.下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．
由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】解：A．该方程中含有两个未知数x、y，所以它不是一元二次方程．故本选项错误；
B．该方程符号一元二次方程的定义，所以它是一元二次方程．故本选项正确；
C．该方程属于分式方程，不是整式方程．故本选项错误；
D．该方程中当a=0时，它不是关于x的方程．故本选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2.方程的解的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根的判别式，求出△的值再进行判断即可．
【详解】解：∵x2=0，
∴△=02-4×1×0=0，
∴方程x2=0有两个相等的实数根．
故选C
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，当△＞0时方程有两个不相等的实数根，△=0时方程有两个相等的实数根，△＜0时方程没有实数根．
3.若，是一元二次方程的两根，则与的值分别是（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系得出x1+x2=﹣，x1 x2=，代入即可求出答案．
【详解】由根与系数的关系得：x1+x2=﹣=，x1 x2==2．
故选C．
【点睛】本题主要考查对根与系数的关系的理解和掌握，能熟练地运用根与系数的关系进行计算是解答此题的关键．
4.用配方法解方程，下列配方结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先将常数项移至等式右边，再两边配上一次项系数一半的平方即可.
【详解】，
，
即.
故选.
【点睛】本题主要考查配方法解方程，用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为（）的形式；②方程两边同除以二次项系数，是二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解.
5.已知实数、、满足，那么关于的方程一定有根（ ）
A. B. C. D. 都不对
【答案】B
【解析】
【分析】
由a﹣b+c=0得b=a+c代入方程ax2+bx+c=0中，可得方程的一个根是﹣1．
【详解】解：∵a﹣b+c=0，∴b=a+c，①
把①代入方程ax2+bx+c=0中，ax2+（a+c）x+c=0，ax2+ax+cx+c=0，ax（x+1）+c（x+1）=0，（x+1）（ax+c）=0，∴x1=﹣1，x2=﹣．
故选B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根，由题目中所给条件代入方程可以求出方程的两个根，其中有一个准确的根x=﹣1．
6.下列关于一元二次方程的四种解法叙述不正确的是（ ）
A. 公式法 B. 配方法
C. 加减法 D. 因式分解法
【答案】C
【解析】
【分析】
根据解一元二次方程的方法对各选项进行判断．
【详解】解一元二次方程的方法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法．
故选C．
【点睛】考查了解一元二次方程的方法，利用运用直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程．
7.已知：是关于的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰的两条边的边长，则的周长为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】
将x=2代入方程求得m值，继而可还原方程，因式分解法求解得出x的值，根据等腰三角形的性质分类讨论，结合三角形三边间的关系即可得出答案．
【详解】解：将x=2代入方程得：4﹣2（m+1）+m=0，解得：m=2，则方程为x2﹣3x+2=0，即（x﹣1）（x﹣2）=0，解得：x=1或x=2．
当三角形的三边为1、1、2时，1+1=2，不能构成三角形，舍去；
当三角形的三边为1、2、2时，三角形的周长为1+2+2=5．
故选C．
【点睛】本题主要考查方程的解的定义、解方程的能力、等腰三角形的性质及三角形三边间的关系，熟练掌握方程的解的定义及解方程的能力是解题的关键．
8.若是方程的一个根，则代数式的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
把x=a代入已知方程易求得（a2+a）的值，则所求代数式的值迎刃而解了．
【详解】解：∵a是方程x2+x﹣2013=0的一个根，∴a2+a﹣2013=0，则a2+a=a（a+1）=2013，即a（a+1）=2013．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
9.某次商品交易会上，所有参加会议的商家之间都签订了一份合同，共签订合同份，则参加了交易会的商家共有（ ）个．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
可设有x个商家参加了交易会，那么每个商家要签订的合同数为（x﹣1）份，有x个商家，因此理论上签订的总数应该是x（x﹣1）份，但是每两个商家签订一份合同，因此实际签订的合同数应该是 份，已知了签订的合同数位36份，那么我们可列出方程，求出未知数的值．
【详解】解：设有x个商家参加了交易会，由题意得：
=36
解得：x=9或x=﹣8（不合题意，舍去）．
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，要求学生据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
10.某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
第一个月是560，第二个月是560（1+x），第三月是560（1+x）2
，所以第一季度总计560+560（1+x）+560（1+x）2=1850，选D.
二、填空题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ）
11.已知，为方程的两个实数根，则________．
【答案】16
【解析】
【分析】
利用一元二次方程解的定义，将x=α代入已知方程求得α2=﹣4α﹣2，然后根据根与系数的关系知α+β=﹣4，最后将α2、α+β的值代入所求的代数式求值即可．
【详解】解：∵α，β为方程x2+4x+2=0的两实根，∴α2+4α+2=0，∴α2=﹣4α﹣2，α+β=﹣4，∴α2﹣4β+2=﹣4α﹣2﹣4β+2=﹣4（α+β）=﹣4×（﹣4）=16．
故答案为16．
【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解，根据韦达定理求出α+β的值和正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．
12.规定一种新运算a※b=a2﹣2b，如1※2=﹣3．若x※（﹣2）=6，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意可得：x2﹣2×（﹣2）=6，然后移项，合并同类项，再用直接开平方法可解得答案．
【详解】解：根据题意得：x2﹣2×（﹣2）=6，x2+4=6，移项得：x2=2，∴x=±．
故答案为±．
【点睛】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是根据题意列出方程．
13.已知x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根，则方程的另一个根是_____．
【答案】-2
【解析】
【分析】
设方程另一根为x2，根据根与系数的关系得出1×x2==﹣2，即可得出另一根的值．
【详解】设方程另一根为x2．
∵x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根，∴1×x2=﹣2，则方程的另一个根是：﹣2．
故答案为﹣2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解决问题的关键．
14.填上适当的数，使下列等式成立：________________．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
根据完全平方式的特点：前平方、后平方、积的2倍在中央进行配方即可．
【详解】．
故答案为；.
【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式是解题的关键，完全平方式是：前平方、后平方、积的2倍在中央．
15.若的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________.
【答案】且
【解析】
【分析】
利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△＝22+4k＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】根据题意得k≠0且△＝22+4k＞0，
所以且．
故答案为且
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
16.某商品原价元，经过连续两次降价后，售价为元．设平均每次降价的百分率为，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】
可先表示出第一次降价后的价格,那么第一次降价后的价格(1-降低的百分率)=256,把相应数值代入即可求解.
【详解】根据题意得:
解得: %或 (舍去),
答:平均增长率约为6%.
【点睛】考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为.
17.如果关于的一元二次方程没有实数根，那么的取值范围是________．
【答案】
【解析】
试题解析：∵一元二次方程x2+4x-m=0没有实数根，
∴△=16-4×（-m）＜0，
∴m＜-4.
18.已知方程的两根为、，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系得到m+n=，mn=﹣，再利用完全平方公式得到m2+n2=（m+n）2﹣2mn，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据题意得：m+n=，mn=﹣，∴m2+n2=（m+n）2﹣2mn=（）2﹣2×（﹣）=．
故答案为．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．
19.写出一个一元二次方程，使它的二次项系数、一次项系数和常数项的和为，可以是________．
【答案】
【解析】
【分析】
二次项的系数，一次项的系数和常数项的和为0的一元二次方程很多，一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），只要满足a+b+c=0就行．
【详解】解：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a≠0），a+b+c=0．
当a=1，b=﹣2，c=1时，可以写出满足条件的方程是：x2﹣2x+1=0．
故答案可以是：x2﹣2x+1=0．
【点睛】本题考查是一元二次方程的一般形式，由一般形式确定a，b，c的值，可以写出满足条件的方程．
20.美丽的丹东吸引了许多外商投资，某外商向丹东连续投资年，年初投资亿元，年初投资亿元．设每年投资的平均增长率为，则列出关于的方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】
由于某外商向丹东连续投资3年，2012年初投资3亿元，2014年初投资5亿元．设每年投资的平均增长率为x，那么2013年初投资3（1+x），2014年初投资3（1+x）2，由2014年初投资的金额不变即可列出方程．
【详解】解：由题意得：
3（1+x）2=5．
故答案为3（1+x）2=5．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a（1+x）n=b，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，x是增长率，b是增长了n年后的数据．
三、解答题（共 6 小题 ，每小题 10 分 ，共 60 分 ）
21.解下列方程：
（1）； （2）（配方法）
（3） （4）
【答案】；（2），；（3），；，．
【解析】
【分析】
（1）用完全平方公式因式分解求出方程的根；
（2）用配方法解方程求出方程的根；
（3）用配方法解方程求出方程的根；
（4）把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解求出方程的根．
【详解】解：（1）（x﹣2）2=0，∴x1=x2=2；
（2）8y2﹣4y=2，y2﹣y=，y2﹣y+==，y﹣=±，∴y1=，y2=；
（3）x2﹣2x=2，x2﹣2x+1=3，（x﹣1）2=3，x﹣1=±，∴x1=1+，x2=1﹣；
（4），（2y﹣1）（2y﹣1+3）=0，（2y﹣1）（2y+2）=0，∴2y﹣1=0，2y+2=0，∴y1=，y2=﹣1．
【点睛】本题考查的是解一元二次方程，根据题目的结构特点和要求，选择适当的方法解方程，（1）题用完全平方公式解方程，（2）题按照题目的要求用配方法解方程，（3）用配方法解方程，（4）用提公因式法因式分解求出方程的根．
22.已知关于的一元二次方程有两个实数根．
若为正整数，求此方程的根．
设此方程的两个实数根为、，若，求的取值范围．
【答案】 ． 的取值范围为．
【解析】
【分析】
（1）一元二次方程有两个实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围后，再取正整数；
（2）由根与系数的关系可得，把b代入方程得．∴y=ab﹣2b2+2b+1=ab﹣2（b2﹣b）+1==．再由m的取值范围确定y的取值范围．
【详解】解：（1）∵一元二次方程有两个实数根，∴△=≥0，∴m≤1．
∵m为正整数，∴m=1．
当m=1时，此方程为，∴此方程的根为．
（2）∵此方程的两个实数根为a、b，∴，∴y=ab﹣2b2+2b+1=ab﹣2（b2﹣b）+1==．
解法一：∵m=（y﹣1）．
又∵m≤1，∴m=（y﹣1）≤1，∴y的取值范围为y≤．
解法二：
∵m≤1，∴≤，∴≤，∴y的取值范围为y≤．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．
23.要建一个如图所示的面积为的长方形围栏，围栏总长，一边靠墙（墙长）．
求围栏的长和宽；
能否围成面积为的长方形围栏？如果能，求出该长方形的长和宽，如果不能请说明理由．
【答案】（1）围栏的长为米，围栏的宽为米；（2）不能围成面积为的长方形围栏．
【解析】
试题分析：（1）设围栏的长xm，根据面积等于300，列方程，解方程并检验即可；（2）类比（1）中做法得出方程，判断方程是否有解即可.
试题解析：（1）设围栏的长xm，则宽为m，由题意得：.x=300，解得x=20，x=30，因为靠墙墙长25m，所以x=30，不合题意舍去，所以x=20，当x=20时，=15，
答：围栏的长和宽分别为20m和15m；
（2）当.x=400时，，因为＜0，所以方程无解，所以不能围成面积为400的长方形围栏.
考点：一元二次方程的应用.
24.如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮四个角各剪去一个边长为米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多米，求该长方体的底面宽，若该长方体的底面宽为米：
(1)用含的代数式分别表示出该长方体的底面长和容积．
(2)请列出关于方程．
【答案】（1）x2+2x；（2）x2+2x=15．
【解析】
【分析】
（1）长方体运输箱底面的宽为x m，则长为（x+2）m；容积=长×宽×高；
（2）令（1）代数式表示出的容积=15即可.
【详解】（1）长方体运输箱底面的宽为x m，则长为（x+2）m．
容积为x（x+2）×1=x2+2x；
（2）x2+2x=15．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用---几何问题，仔细审题，找出题目中的等量关系是解答本题的关键.
25.某超市准备进一批季节性小家电，每个进价是元，经市场预测：销售价定为元，可售出个，定价每增加元，销售量将减少个．超市若要保证获得利润元，同时又要使顾客得到实惠，那么每个定价应该是多少元？
【答案】当定价为元时利润达到元；
【解析】
【分析】
设每个定价增加x元，根据总利润=每个的利润×销售量，销售量为400-10x，列方程求解，根据题意取舍，即可得出答案．
【详解】设每个定价增加x元，根据题意得：
（x+10）（400-10x）=6000，
整理得：x2-30x+200=0
解得x1=10，x2=20，
∵顾客要实惠，
∴x=10，
∴x+50=60．
答：当定价为60元时利润达到6000元.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程并求解.
26.如图，在中，，，，动点从点开始沿着边向点以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿着边向点以的速度移动（不与点重合）．若、两点同时移动；
当移动几秒时，面积为．
设四边形的面积为，当移动几秒时，四边形的面积为？
【答案】(1)秒或秒;(2)秒
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的面积公式列出方程（12-2t）×4t=32，解方程即可求得t值；（2）根据列出方程，解方程即可.
【详解】（1）P、Q同时出发后经过的时间为ts，的面积为，则有：
（12-2t）×4t=32，
解得：t=2或t=4.
答:当移动秒或秒时，的面积为．
，
解得：．
答：当移动秒时，四边形的面积为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，利用三角形的面积公式结合已知条件列出方程是解决问题的关键.人教版数学九年级上册 第21章 一元二次方程 单元检测试卷
一、选择题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ）
1.下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
2.方程的解的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2
3.若，是一元二次方程两根，则与的值分别是（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
4.用配方法解方程，下列配方结果正确是（ ）
A. B. C. D.
5.已知实数、、满足，那么关于的方程一定有根（ ）
A. B. C. D. 都不对
6.下列关于一元二次方程的四种解法叙述不正确的是（ ）
A. 公式法 B. 配方法
C. 加减法 D. 因式分解法
7.已知：是关于的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰的两条边的边长，则的周长为（ ）
A. B. C. D. 或
8.若是方程的一个根，则代数式的值等于（ ）
A. B. C. D.
9.某次商品交易会上，所有参加会议商家之间都签订了一份合同，共签订合同份，则参加了交易会的商家共有（ ）个．
A. B. C. D.
10.某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方程（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ）
11.已知，为方程的两个实数根，则________．
12.规定一种新运算a※b=a2﹣2b，如1※2=﹣3．若x※（﹣2）=6，则________．
13.已知x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根，则方程的另一个根是_____．
14.填上适当的数，使下列等式成立：________________．
15.若的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________.
16.某商品原价元，经过连续两次降价后，售价为元．设平均每次降价的百分率为，则的值为________．
17.如果关于的一元二次方程没有实数根，那么的取值范围是________．
18.已知方程的两根为、，则________．
19.写出一个一元二次方程，使它二次项系数、一次项系数和常数项的和为，可以是________．
20.美丽的丹东吸引了许多外商投资，某外商向丹东连续投资年，年初投资亿元，年初投资亿元．设每年投资的平均增长率为，则列出关于的方程为________．
三、解答题（共 6 小题 ，每小题 10 分 ，共 60 分 ）
21.解下列方程：
（1）； （2）（配方法）
（3） （4）
22.已知关于一元二次方程有两个实数根．
若为正整数，求此方程的根．
设此方程的两个实数根为、，若，求的取值范围．
23.要建一个如图所示的面积为的长方形围栏，围栏总长，一边靠墙（墙长）．
求围栏的长和宽；
能否围成面积为的长方形围栏？如果能，求出该长方形的长和宽，如果不能请说明理由．
24.如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多米，求该长方体的底面宽，若该长方体的底面宽为米：
(1)用含的代数式分别表示出该长方体的底面长和容积．
(2)请列出关于的方程．
25.某超市准备进一批季节性小家电，每个进价是元，经市场预测：销售价定为元，可售出个，定价每增加元，销售量将减少个．超市若要保证获得利润元，同时又要使顾客得到实惠，那么每个定价应该是多少元？
26.如图，在中，，，，动点从点开始沿着边向点以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿着边向点以的速度移动（不与点重合）．若、两点同时移动；
当移动几秒时，的面积为．
设四边形的面积为，当移动几秒时，四边形的面积为？
