1.6正余弦型函数的综合性质课件-2021-2022学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册(共31张PPT)

(共31张PPT)
§ 1.6　正余弦型函数的综合性质
北师大（2019）必修2
聚焦知识目标
1.进一步熟悉五点法作图及A, , 对函数图象的影响。
2.会研究正余弦型函数的周期性、奇偶性、对称性、最值、增减性.
数学素养
1.通过识别三角函数的图象，培养直观想象素养．
2．通过求研究函数的综合性质，培养数学运算和建模素养.
环节一
静态函数
综合性质
静态函数
1.对于函数 (其中ω>0)，下列结论正确的有( )
A.若 ()恒成立，则ω的最小值为2
B.当 时、(x)的图象关于点(、0)中心对称
C.当ω=2时、f(x)在区间 上为单调函数
D.当ω=1时f(x)的图象可由g(x)=sin x的图象向左平移个单位长度得到
综合性质
静态函数
【解析】对于A，若 （）恒成立，则f1,所以= 所以ω的最小值为2，故A正确：对于B，当 时，f(x) =所以 所以图象关于点(、0)中心对称，故B正确；对于C，当ω=2时 当 时，此时函数 上先增后减，故C不正确：对于D，当ω=1时 将g(x)=sinx的图象向左平移个单位长度，得到 的图象，故D正确.故选ABD
解后心得
静态函数
对称轴 对称中心
y＝Asin(ωx＋φ) 令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z) 令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求对称中心横坐标
y＝Acos(ωx＋φ) 令ωx＋φ＝kπ(k∈Z) 令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求对称中心横坐标
y＝Atan(ωx＋φ) 无 令ωx＋φ＝(k∈Z)求对称中心横坐标
　三角函数对称轴、对称中心的求法
综合性质
静态函数
2.函数 ω>0, 的部分图象如图，则（ ）
A.f(x)的一个对称中心为
B.f(x)的图象关于直线 对称
C.f(x)在| 上是增函数
D.f(x)的周期为
综合性质
静态函数
综合性质
静态函数
综合性质
静态函数
练习1.下列说法中正确的是()
A.函数f 的图象关于点（，0）中心对称
B.直线 是函数 图象的一条对称轴
C.若α，β都是第一象限角，且α>β，则sinα>sinβ
D.函数f(x)=sin|x|是周期为π的偶函数
AD
综合性质
静态函数
练习2.函数 (其中ω>0)，下列结论正确的有()
A.若 恒成立，则ω的最小值为2
B.当 时，f(x)的图象关于点 中心对称
C.当ω=2时，f(x)在区间 上为单调函数
D.当ω=3时，若 则 的最小值为
ABD
解后心得
静态函数
与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧
(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间．

环节二
动（图象变换）静结合
综合性质
动静结合函数
1.已知函数 从①②③这三个条件中选择一个作为已知条件，回答下列问题：
①点 为f(x)的图象的一个对称中心；
②当 时，f(x)取得最大值；
(1)求f(x)的解析式；
(2)将y=f(x)的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再将得到的图象向右平移个单位长度，得到y=g(x)的图象，求函数y=g(x在(0，π)上的单调递减区间
(1)根据所选条件分别求解，结合余弦函数的性质，用含k的式子表示出φ，根据它的取值范围，求出φ，从而得到解析式
(2)根据余弦型函数的图象变换规则求出g(x)的解析式，再根据余弦函数的性质，求出g(x)在R上的单调递减区间，最后与所给区间取交集即可
综合性质
(1)若选①：因为点(，0)为的图象的一个对称中心，所以 k∈ Z，解得 又 所以φ=，所以 f(x)= cos(2x+)
若选②：因为

所以 解得

又,所以 所以
动静结合函数
综合性质
若选③：因为 所以
所以 或
解得φ kπ，k∈Z或φ
又 所以 所以(2)将
动静结合函数
综合性质
(2)将 f(x)=1/2 cos(2x+π/6)的图象上各点的横坐标变为原来个单位长度1/2，得 y=1/2 cos(4x+π/6)的图象，再将 y=1/2 cos(4x+π/6)的图象向右平移π/12个单位,得 y=1/2 cos(4(x-π/12)+π/6]=1/2 cos(4x-π/6)的图象，即g(x)= 1/2 cos(4x-π/6)
2 4 /6 2 + , ∈ ,解得 /2+ /24≤ ≤ /2+7 /24, ∈
即函数g(x)的单调递减区间为 [kπ/2+π/24,kπ/2+7π/24],k∈Z.
因为x∈(0，π)，所以函数 g(x)=1/2 cos(4x-π/6)在(0，π)上的单调递减区间为 [π/24 ,7π/24],[13π/24,19π/24]
动静结合函数
解后心得
动静结合函数
三角函数的最值与单调性之间的联系
如图所示.由函数y=4sin(ωx+φ)(A>0)的图象可知相邻两个最大值对应的横坐标之间的距离为一个周期，两个最大值之间有一个最小值，从左至右第一个最大值对应的横坐标x0与最小值对应的横坐标 之间的区间为单调递减区间，最小值对应的横坐标 与第二个最大值对应的横坐标 之间的区间为单调递增区间，从而函数y=Asin(ωx+φ)(A>0)的单调递减区间为 单调递增区间为
综合性质
动静结合函数
2.将函数f(x)=cos2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的()
A.最小正周期为π，最大值为2，图象关于直线 对称，为偶函数
B.最小正周期为2π，最大值为2，图象关于点， 对称，为奇函数
C.最小正周期为2π，最大值为1，在 上单调递减，为偶函数
D.最小正周期为π，最大值为1，在上单调递增，为奇函数
综合性质
动静结合函数
函数f(x)=cos2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)= 的图象，则函数g(x)的最小正周期为π，最大值为1，函数g(x)在 上单调递增，且为奇函数.D
解后心得
三角函数的周期与对称性之间的联系
(1)函数y=Asin(ωx+φ)相邻两个最大值对应的横坐标之间的距离为周期了，相邻最大值与最小值对应的横坐标之间的距离为＇，相邻两个对称中心对应的横坐标之间的距离为，对称中心与相邻的对称轴对应的横坐标之间的距离为
(2)函数y=Asin(ωx+φ)的图象关于直线x=x (其中x。满足 对称，也就是说，过函数y=Asin(ωx+φ)的图象的最高点或最低点且与x轴垂直的直线均为其对称轴.
(3)函数y=Asin(ωx+φ)的图象关于点(x1，0)(其中x1满足x1+φ k∈Z)成中心对称，也就是说，函数y=Asin(ωx+φ)的图象与x轴的交点均为其对称中心，
动静结合函数
综合性质
动静结合函数
3.已知函数 给出下列结论：
①f(x)的最小正周期为2π；
②f()是f(x)的最大值;
③把函数y=sinx的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象.其中所有正确结论的序号是
A.① B. ①③C. ②③D. ①②③
综合性质
动静结合函数
解题由已知结合正弦型函数的周期公式可判断①，结合正弦型函数最值取得的思路件可判断②，结合函数图象的平移规则可判断③
解析 故①正确.
当
即 时，f(x)取得最大值，故②错误.y=sinx的图象的左平移个单位长度 的图象，故③正确.答案B
环节三
与五点法结合
综合性质
与五点法结合
1.某同学用“五点法”画函数f(x)=4sin(ωx+φ) (在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据如下：
ωx+φ 0 T 2π
x ①
f(x) 0 2 0 -2 0
(1)请将表格中①处的数据写出来，并求出函数f(x)的解析式.
(2)将函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求当x∈[0，2π]时，函数g(x)的单调递增区间.
综合性质
与五点法结合
解(1)依题意得 故表格中①处应填
由表格中数据可知 .ω=2,
由 得 又 ·.f(x)的解析式为
综合性质
与五点法结合
2(多选)已知函数 x)=Asin(ωx+φ) 0，0<φ<π)的部分自变量、函数值如下表所示，下列结论正确的是()
x
+ 0 2π
f(x) 2 5
A.函数的解析式为f(x)= 3sin
B.函数f(x)的图象的一条对称轴为
是函数f(x)的图象的一个对称中心

D.函数f(x)的图象向左平移π/12个单位长度，再向下平移2个单位长度所得的函数为奇函数
综合性质
与五点法结合
综合性质
与五点法结合