华东师大版数学九年级上册 23.3.4 相似三角形的应用教案

相似三角形的应用
【教学目标】
1．会应用相似三角形的有关性质，测量简单的物体的高度或宽度。
2．自己设计方案测量高度体会相似三角形在解决问题中的广泛应用。
3．通过利用相似解决实际问题，进一步提高学生应用数学知识的能力。
【教学重难点】
1．构建相似三角形解决实际问题。
2．把实际问题抽象为数学问题，利用相似三角形解决。
【教学过程】
一、复习
1．相似三角形有哪些性质？
2．B、C、E、F是在同一直线上，AB⊥BF，DE⊥BF，AC∥DF，
（1）△DEF与△ABC相似吗？为什么？
（2）若DE＝1，EF＝2，BC＝10，那么AB等于多少？
二、例题讲解
第二题我们根据两个三角形相似，对应边成比例，列出比例式计算出AB的长。人们从很早开始，就懂得应用这种方法来计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度。
例1：古代的数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较棒子的影长A′B′与金字塔
的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB，如果O′B′＝l，
A′B′＝2，AB＝274，求金字塔的高度OB。
这实际上与上述问题是一样的。
例2．我军一小分队到达某河岸，为了测量河宽，只用简单的工具，就可以很快计算河的宽度，在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一岸上选点B和C，使AB⊥BC，然后选点E，使EC⊥BC，用眼睛测视确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，就能算出两岸间的大致距离AB。
例2：为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D。此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离AB。
解：∵∠ADB＝∠EDC，
∠ABC＝∠ECD＝90°，
∴△ABD∽△ECD（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似），
∴，
解得：（米）。
答：两岸间的大致距离为100米。
这些例题向我们提供了一些利用相似三角形进行测量的方法。
例3：
已知：D、E是△ABC的边AB、AC上的点，且∠ADE＝∠C。
求证：AD·AB＝AE·AC；
证明：∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）。
∴，
∴AD·AB＝AE·AC。
三、课堂练习
1．到操场上用例1的方法测量旗杆的高，并与同伙交流看看计算结果是否大致上一样。
2．在同一时刻物体的高度与它的影长成正比，在某一时刻，有人测得高为1．8米的竹竿的影长为3米，此时某高楼影长为60米，那么高楼的高度为多少米？
四、小结
本节课学习应用相似三角形的性质，测量计算物体的高度，在应用时要分清转到数学上是哪两个三角形会相似，它们对应的边是哪一边，利用比例的性质求证答案。
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