2021-2022学年苏科版九年级数学上册1.3一元二次方程的根与系数的关系-同步练习（Word版含答案）

1.3一元二次方程的根与系数的关系
一、单选题
1．已知方程的两个根是、，那么这两个根与方程中系数的关系是（ ）
A． B． C． D．
A．﹣ B． C． D．
3．一元二次方程（x﹣1）（x+3）＝5x﹣5的根的情况是（　　）
A．无实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．有一个正根，一个负根
4．已知矩形的长和宽是方程x2﹣7x+8＝0的两个实数根，则矩形的对角线的长为（　　）
A．6 B．7 C． D．
5．已知方程，下列判断正确的是（ ）
A．方程两实数根的和等于3 B．方程两实数根的积等于
C．方程有两个不相等的实数根 D．方程无实数根
6. 已知x1，x2是关于x的方程x2＋bx－3＝0的两根，且满足x1＋x2－3x1x2＝5，那么b的值为(　　)
A．4 B．－4
C．3 D．－3
7．已知m，n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个根，若(m－1)(n－1)＝－6，则a＝(　　)
A．－10 B．4 C．－4 D．10
8．关于x的一元二次方程x2－(k－1)x－k＋2＝0有两个实数根x1、x2，若(x1－x2＋2)(x1－x2－2)＋2x1x2＝－3，则k的值为(　　)
A．0或2 　 B．－2或2
C．－2　　 D．2
二、填空题
9．如果、是方程的两个根，那么__________，__________．
10．设方程x2﹣2021x﹣1＝0的两个根分别为x1、x2，则x1＋x2﹣x1x2的值是___．
11．已知关于x的方程，若有一个根为0，则________；若两根之和为0，则___________．
12．已知x1，x2为方程x2﹣3x﹣7＝0的两个根，则＝___．
13．已知a、b是方程x2 -4x+m = 0的两个根，b、c是方程x2 -8x + 5m = 0的两个根，则m =______．
14．若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于_____．
15．已知，是方程的两个实数根，则的值等于________．
16．设、是方程的两个不相等的实数根，则的值为______.
三、解答题
17．求下列方程两个根的和与积：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
18．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．
19．若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，则x1+x2＝﹣，x1 x2＝．现已知一元二次方程px2+2x+q＝0的两根分别为m，n．
（1）若m＝2，n＝﹣4，求p，q的值；
（2）若p＝3，q＝﹣1，求m+mn+n的值．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0．
（1）求证：不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）若此一元二次方程的两根是Rt△ABC两直角边AB、AC的长，斜边BC的长为10，求k的值．
22．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0．
（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2＝21，求m的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．D
【解析】解：∵方程的两个根是、，
则，
∴，，
故选：D．
2．解：∵α+β＝1，α β＝﹣，
∴（α+1）（β+1）
＝α+β+α β+1
＝1﹣+1
＝．
故选：B．
3．解：方程化为x2﹣3x+2＝0，
∵Δ＝（﹣3）2﹣4×2＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
设方程两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝3＞0，x1x2＝2＞0，
∴方程有两个正的实数根．
故选：B．
4．解：设矩形的长和宽分别为m、n，
根据题意知m+n＝7，mn＝8，
则矩形对角线的长为
＝
＝
＝，
故选：D．
5．D
【解析】解：∵一元二次方程为，
∴，，，
∴，
∴此方程无实数根，
故选D．
6 A
7 C
8D
9．
【解析】解：∵、是方程的两个根，
∴；．
故答案为：；．
10．
【解析】根据题意，方程的另一个根为，
∴这个方程可以是：，
即：，
故答案是：，
11．7 -3
解：当有一个根为0，
把x=0代入x2-（m+3）x+m-7=0得m-7=0，解得m=7，
当两根之和为0，x1+x2=，
根据题意得m+3=0，解得m=-3．
故答案为：7；-3．
12．
解：∵x1，x2是方程x2-3x-7=0的根，
∴x1+x2=3，x1 x2=-7，
∴==，故答案为：．
13．0或3．
解：依题意得： +b=4①，
b=m②，
b+c=8③，
bc=5m④，
由③-①得到c-=4⑤，
把②代入④得到bc=5b ⑥，
当b=0时，m=0
当b≠0时， ⑥变为c=5⑦，
由⑤⑦组成方程组，
解得，
b=8-c=8-5=3，
m=b=3，
因此m=0或3．
故答案：0或3．
14．5
解：∵是一元二次方程的两个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5．
15．10
【解析】解：∵x1、x2是方程x2+6x+3=0的两个实数根，
∴x1+x2= 6，x1 x2=3．
∴．
故答案为：10．
16．2018
【解析】∵设a，b是方程x2+x 2019=0的两个实数根，
∴a+b= 1，a2+a 2019=0，
∴a2+a=2019，
∴a2+2a+b=(a2+a)+(a+b)=2019+( 1)=2018，
故答案为：2018．
17．（1），；（2），；（3），；（4），
【解析】解：（1）设方程的两根为，，则， ．
（2）设方程的两根为，，则，．
（3）原方程化为，设方程的两根为，，则，．
（4）原方程化为，设方程的两根为，，则，．
18．解：（1）根据题意得Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，
解得m≤0．
故m的取值范围是m≤0；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，
∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1 x2＝12，
∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，即m2﹣m﹣6＝0，
解得m1＝﹣2，m2＝3（舍去）．
故m的值为﹣2．
19．解：（1）根据题意得2﹣4＝﹣，2×（﹣4）＝，
所以p＝1，q＝﹣8；
（2）根据m+n＝﹣＝﹣，mn＝﹣，
所以m+mn+n＝m+n+mn＝﹣﹣＝﹣1．
20．解：（1）根据题意得△＝（﹣4）2﹣4（﹣2m+5）＞0，
解得m＞；
（2）设x1，x2是方程的两根，
根据题意得x1+x2＝4＞0，x1x2＝﹣2m+5＞0，解得m＜，
所以m的范围为＜m＜，
因为m为整数，
所以m＝1或m＝2，
当m＝1时，方程两根都是整数；当m＝2时，方程两根都不是整数；
所以整数m的值为1．
21．（1）证明：∵△＝[﹣（2k+4）]2﹣4（k2+4k+3）
＝4＞0，
∴不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0，
（x﹣k﹣1）（x﹣k﹣3）＝0，
∴x1＝k+1＞0，x2＝k+3＞0，
∴Rt△ABC两直角边的长为k+1和k+3，斜边BC的长为10，
∴（k+1）2+（k+3）2＝102，
解得k1＝﹣9（舍去），k2＝5，
∴k的值为5．
22．（1）-2；（2）2．
【解析】解：（1）根据题意得△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，
解得m≥﹣，
所以m的最小整数值为﹣2；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣2，
∵（x1﹣x2）2+m2＝21，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2＝21，
∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2＝21，
整理得m2+4m﹣12＝0，解得m1＝2，m2＝﹣6，
∵m≥﹣，
∴m的值为2．
答案第1页，共2页
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