2021-2022学年苏科版九年级下册第五章二次函数解答题期末专项复习

九年级下册二次函数解答题期末专项复习
1.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … －2 －1 0 1 2 …
y … 5 0 －3 －4 －3 …
（1）求该二次函数的表达式；
（2）该二次函数图像关于x轴对称的图像所对应的函数表达式 ；
2.已知二次函数y＝(x－m)(x＋m＋4)，其中m为常数．
（1）求证：不论m为何值，该二次函数的图像与x轴有公共点．
（2）若A(－1，a)和B(n，b)是该二次函数图像上的两个点，请判断a、b的大小关系．
3.如图，已知抛物线与x轴交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与轴交于点B(0，3).
(1)求抛物线的解析式; (2)设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积;
(3)△AOB与△DBE是否相似 如果相似，请给以证明:如果不相似，请说明理由.
4.若二次函数的图像经过点(1，0)和(2，1)
(1)求a，b的值; (2)写出该二次函数的对称轴和顶点坐标.
5.如图，二次函数y＝ax－8ax＋c（a＜0）的图像与x、y轴的正半轴分别交于A、B两点，顶点为D，一次函数y＝－mx+c的图像过 A、B两点，且sin∠OAB＝，BD平分∠ABY（Y在点B上方）．
（1）求m的值；
（2）求二次函数的表达式．
6.二次函数y = ax2 + bx + c的图象的一部分如图所示.已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）
（1）试求a，b所满足的关系式；
（2）设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，求a的值:（3）是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形 若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由.
7.（1）已知二次函数的图像经过点（-2，8）和点（-1，5），求该二次函数表达式．
（2）已知某二次函数的图像与x轴交于点（1，0）和点（-3，0），且经过点（0，3），求该二次函数表达式．
8.已知二次函数的图像以为顶点，且过点.
(1)求该函数的关系式;
(2)求该函数图像与坐标轴的交点坐标;
(3)将函数图像向左平移几个单位，该函数图像恰好经过原点.
9.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴、y轴的交点分别为（1，0）和（0，－3）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）结合函数图象，直接写出当y＞－3时，x的取值范围．
10.有这样一个问题：探究函数的性质．
（1）先从简单情况开始探究：
① 当函数为时，随增大而 （填“增大”或“减小”）；
② 当函数为时，它的图象与直线的交点坐标为 ；
（2）当函数为时，下表为其y与x的几组对应值．
x … 0 1 2 3 4 …
y … 1 2 3 7 …
①如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象；
②根据画出的函数图象，写出该函数的一条性质：
．
11.在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A．
（1）求点A的坐标；
（2）将线段沿轴向右平移2个单位得到线段．
①直接写出点和的坐标；
②若抛物线与四边形有且只有两个公共点，结合函数的图象，求的取值范围．
12.某商品的进价为每个3元、已知该商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系，其图像如图所示.
(1)求a、c的值;
(2)销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大 最大利润为多少元
(3)销售单价在什么范围时，该商品每天的销售利润不低于16元
13.如图，二次函数的图像与x轴相交于A（－3，0）、B(1，0)两点，与y轴相交于点C (0，3)，点C、D是二次函数图像上的一对对称点，一次函数的图像过点B、D．
(1)D点坐标（ ， ）；
(2)求二次函数的解析式；
(3)若把二次函数向左平移2个单位，再向下平移3个单位，
直接写出平移后的解析式；
(4)根据图像直接写出使一次函数值小于二次函数值
的x的取值范围．
14.对于二次函数和一次函数，我们把
称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图像记作抛物线E．现有点A（1，0）和抛物线E上的点B（2，n），请完成下列任务：
【尝试】⑴判断点A是否在抛物线E上；
⑵求n的值．
【发现】通过（1）和（2）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，请你求出定点的坐标．
【应用】二次函数是二次函数和一次函数的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．
15.已知：关于x的一元二次方程：x2-6x+m=0
（1）当m=0时，求原方程的解：
（2）若方程有一个实数根为3-，求方程另一根及m的值。
16.已知二次函数y=ax2+bx+c中x与y的部分对应值如下表;
x -3 -2 0 1 2 3 5
y 7 0 -8 -9 m -5 7
（1）表中m=________。
（2）求该二次函数的解析式。
（3）试判断P(4，1)是否在该函数图像上。
17.如图，若二次函数的图像与轴交于两点(点在点的左侧)，与轴交于点.
(1)求两点的坐标;
(2)若为二次函数图像上一点，求的值.
18.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点，点，与轴交于点.
(1)求的值;
(2)若点为直线上一点，点到两点的距离相等，将该抛物线向左(或向右)平移，得到一条新抛物线，并且新抛物线经过点，求新抛物线的顶点坐标.
19.已知二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 10 5 2 1 2 5 …
（1）求该二次函数的解析式；
（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？
（3）若A（n﹣1，y1），B（n，y2）两点都在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小．
20.如图，抛物线的顶点为，与轴的负半轴交于点，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点在该抛物线上，求的值．
21.已知二次函数y=2x2+m．
（1）若点（-2，y1）与（3，y2）在此二次函数的图象上，则y1____y2；（填“＞”“＜”或“=”）
（2）如图，此二次函数的图象经过点（0，-4），正方形ABCD的顶点C、D在x轴上，A、B恰好在二次函数的图象上，求图中阴影部分的面积．
22.已知二次函数y=x2+bx-3（b是常数）．
（1）若抛物线经过点A（-1,0），求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）P（m，n）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P′，当点P′落在该抛物线上时，求m的值；
（3）在-1≤x≤2范围内，二次函数有最小值是-6，求b的值．
参考答案
1.（1）根据题意，二次函数图像的顶点坐标为（1，－4），设二次函数的表达式为y＝a(x－1)2－4
把（0，－3）代入y＝a(x－1)2－4得，a＝1
∴y＝(x－1)2－4或y＝x2－2x－3
（2）y＝－(x－1)2＋4
2.（1）方法一：
令y＝0，(x－m)(x＋m＋4)=0，解得x1＝m；x2＝－m－4．
当m＝－m－4，即m＝－2，方程有两个相等的实数根，故二次函数与x轴有一个公共点；
当m≠－m－4，即m≠－2，方程有两个不相等的实数根，故二次函数与x轴有两个公共点．
综上不论m为何值，该二次函数的图像与x轴有公共点．
方法二：
化简得y＝x2＋4x－m2－4m．
令y＝0，b2－4ac＝4m2＋16m＋16＝4(m＋2)2≥0，方程有两个实数根．
∴不论m为何值，该二次函数的图像与x轴有公共点．
（2）由题意知，函数的图像的对称轴为直线x＝－2
①当n＝－3时，a＝b；
②当－3＜n＜－1时，a＞b
③当n＜－3或n＞－1时，a＜b
3.解：（1）∵抛物线与y轴交于点（0，3），
∴设抛物线解析式为y＝ax2+bx+3（a≠0）
根据题意，得，
解得．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图，设该抛物线对称轴是DF，连接DE、BD．过点B作BG⊥DF于点G．
由顶点坐标公式得顶点坐标为D（1，4）
设对称轴与x轴的交点为F
∴四边形ABDE的面积＝S△ABO+S梯形BOFD+S△DFE
＝AO BO+（BO+DF） OF+EF DF
＝×1×3+×（3+4）×1+×2×4
＝9；
（3）相似，如图，
BD＝；
∴BE＝
DE＝
∴BD2+BE2＝20，DE2＝20
即：BD2+BE2＝DE2，
所以△BDE是直角三角形
∴∠AOB＝∠DBE＝90°，且，
∴△AOB∽△DBE．
4.
5.解：（1）∵sin∠OAB＝＝，B（0，c），
∴OB＝c， AB＝， OA＝．
∵A(,0)在直线：y＝－mx+ c 上，∴m＝．
（2）∵二次函数y＝ax－8ax＋c（a＜0）的图像顶点为D，
∴D（4，－16a＋c）．
过点D作DF⊥x轴于点F，交AB于点C，过点B作BE⊥DF于点E，
∴BE∥AF，BE＝4．∴sin∠EBC＝sin∠BAO＝＝ ．∴EC＝3，BC=5．
∵BD平分∠ABY， ∴∠YBD＝∠DBC．∵∠YBD＝∠BDC，∴∠BDC＝∠DBC．
∴DC＝BC＝5．∴DE＝2． ∵直线AB：y＝－mx+ c与y轴交于点B（0，c），
∴OB＝EF＝c，DF＝c＋2． ∴D（4，c＋2）．
∴c＋2＝－16a＋c．∴a＝－．
∴二次函数表达式为： y＝－x＋x＋c ∵二次函数图像过A(，0) ，
∴－＋＋c＝0．∴c1＝， c2＝0(舍去) ．
∴二次函数表达式为： y＝－x＋x＋．
6.
7.（1），（2）。
8.
9.（1）∵抛物线 与轴、轴的交点分别为(1,0)和(0,-3)，
∴． …………… 2分 得．
∴抛物线的表达式为：．
（2）当时，的取值范围是或．
10.（1）①增大；
②（1，1），（2，2）；
（2）①
（2）该函数的性质：
①y随x的增大而增大；
②函数的图象经过第一、三、四象限；
③函数的图象与x轴y轴各有一个交点．
……
11.（1）∵，
∴抛物线的顶点A的坐标为（2，3）．
（2）（2，0），
（4，3）．
（3）依题意，．
将（0，0）代入中，
得.
∴．
12.
13.(1)D(-2,3)
(2)
(3)
(4)-2＜x＜1
14.（1）当x＝1时，y＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1）＝0，
故点A在抛物线E上；
（2）x＝2时，n＝y＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1）＝﹣1；
【发现】
通过（1）和（2）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，
定点坐标为：（1，0）和（2，﹣1），
【应用】是，理由：
由题意得：y＝﹣3x2+8x﹣5＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1），
化简并整理得：t＝﹣3．
17.（1）
（2）
18.
19.【解答】解：（1）将（0，5）、（1，2）代入y＝x2+bx+c，
，解得：，∴该二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+5．
（2）∵y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，∴当x＝2时，y取最小值，最小值为1．
（2）∵A（n﹣1，y1）、B（n，y2）两点都在函数y＝x2﹣4x+5的图象上，
∴y1＝（n﹣1）2﹣4（n﹣1）+5＝n2﹣6n+10，y2＝n2﹣4n+5，
∴y2﹣y1＝（n2﹣4n+5）﹣（n2﹣6n+10）＝2n﹣5，
∴当2n﹣5＜0，即n＜时，y1＞y2；
当2n﹣5＝0，即n＝时，y1＝y2；
当2n﹣5＞0，即n＞时，y1＜y2．
20.（1），（2）3.
21.解：（1）∵y＝2x2+m，∴二次函数解析式可知开口向上，对称轴为x＝0，则知当x＞0时，y随x的增大而增大，∴y1＜y2，故答案为：＜；
（2）当二次函数的图象经过点（0，﹣4）时，代入可得m＝﹣4，∴二次函数解析式为y＝2x2﹣4，∵四边形ABCD为正方形，∴AB∥x轴，∴AE＝EB，∴BC＝2OC，设C点坐标为（x，0）（x＞0），则B点坐标为（x，2x），代入二次函数解析式得2x＝2x2﹣4，解得x＝﹣1（舍去）或x＝2，∴B点坐标为（2，4），∴BC＝4，又根据二次函数的对称性可知阴影部分的面积和为正方形面积的一半，∴S阴影＝S正方形ABCD＝×BC2＝×16＝8．
22.
B
y
O
A
D
x
Y