2021-2022学年河南省周口市鹿邑县九年级（上）学情分析数学试卷（A卷）（Word版 含解析）

2021-2022学年河南省周口市鹿邑县九年级第一学期学情分析数学试卷（A卷）
一、选择题。（每题3分，共30分）
1．方程x（x﹣1）＝x的根是（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝0
2．抛物线y＝3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线为（　　）
A．y＝3（x+3）2﹣2 B．y＝3（x+3）2+2
C．y＝3（x﹣3）2﹣2 D．y＝3（x﹣3）2+2
3．下列一元二次方程没有实数根的是（　　）
A．9x2+6x+1＝0 B．2x2﹣4x+1＝0 C．3x2﹣4x+2＝0 D．5x2＝2x
4．一个公园有A，B，C三个入口和D，E二个出口小明进入公园游玩，从“A口进D口出”的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．已知2+是关于x的方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则c的值为（　　）
A．2﹣ B．2+ C．1 D．﹣1
6．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点P．若∠BPC＝70°，则∠ABC的度数等于（　　）
A．75° B．70° C．65° D．60°
7．一次函数y＝ax﹣a与反比例函数y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是（　　）
A． B．2 C．3 D．2
9．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB＝18，BD＝6，则CF＝（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（　　）
A．2a﹣b＝0
B．a+b+c＞0
C．3a﹣c＝0
D．当a＝时，△ABD是等腰直角三角形
二、填空题。（每题3分，共15分）
11．若关于x的一元二次方程ax2﹣bx+6＝0（a≠0）的一个根是x＝1，则2018﹣a+b的值为 　 　．
12．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x＝2，则线段AB的长为　 　．
13．如图所示，经过B（2，0）、C（6，0）两点的⊙H与y轴的负半轴相切于点A，双曲线y＝经过圆心H，则反比例函数的解析式为　 　．
14．如图，在 ABCD中，AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是　 　（结果保留π）．
15．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG＝2，则线段AE的长度为　 　．
三、解答题。（共75分）
16．解下列方程．
（1）3x2﹣5x+2＝0；
（2）（7x+3）2＝2（7x+3）．
17．为落实“垃圾分类”，环卫部门要求垃圾要按A、B、C三类分别装袋、投放，其中A类指废电池、过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收垃圾，甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾，乙投放的这两袋垃圾不同类．
（1）直接写出甲投放的垃圾恰好是A类的概率；
（2）请用画树状图或列表的方法求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同一类的概率．
18．如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD．
（1）求证：BD平分∠ABH；
（2）如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离．
19．如图，一次函数y＝kx+5（k为常数，且k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣的图象有一交点为A（﹣2，b）点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值．
20．某网店销售医用外科口罩，每盒售价60元，每星期可卖300盒．为了便民利民，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30盒．已知该款口罩每盒成本价为40元，设该款口罩每盒降价x元，每星期的销售量为y盒．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每盒降价多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润为多少元？
（3）若该网店某星期获得了6480元的利润，那么该网店这星期销售该款口罩多少盒？
21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．
（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．
22．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，D为△ABC内一点，连接AD，将线段AD绕点A旋转至AE，使得∠DAE＝∠BAC，F，G，H分别为BC，CD，DE的中点，连接BD，CE，GF，GH．
（1）求证：GH＝GF；
（2）试说明∠FGH与∠BAC互补．
23．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣x+m相交于第一象限内不同的两点A（4，n），B（1，4），
（1）求此抛物线的解析式．
（2）抛物线上是否存在点P，使直线OP将线段AB平分？若存在直接求出P点坐标；若不存在说明理由．
参考答案
一、选择题。（每题3分，共30分）
1．方程x（x﹣1）＝x的根是（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝0
【分析】先将原方程整理为一般形式，然后利用因式分解法解方程．
解：由原方程，得
x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，
∴x﹣2＝0或x＝0，
解得，x1＝2，x2＝0；
故选：D．
2．抛物线y＝3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线为（　　）
A．y＝3（x+3）2﹣2 B．y＝3（x+3）2+2
C．y＝3（x﹣3）2﹣2 D．y＝3（x﹣3）2+2
【分析】先得到抛物线y＝3x2的顶点坐标为（0，0），然后分别确定每次平移后得顶点坐标，再根据顶点式写出最后抛物线的解析式．
解：抛物线y＝3x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y＝3x2向上平移2个单位，再向右平移3个单位后顶点坐标为（3，2），此时解析式为y＝3（x﹣3）2+2．
故选：D．
3．下列一元二次方程没有实数根的是（　　）
A．9x2+6x+1＝0 B．2x2﹣4x+1＝0 C．3x2﹣4x+2＝0 D．5x2＝2x
【分析】分别找出每一个方程中a，b及c的值，计算出根的判别式的值小于0，即为正确的选项．
解：A、9x2+6x+1＝0，
∵a＝9，b＝6，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝36﹣36＝0，
则方程有两个相等的实数根，本选项不合题意；
B、2x2﹣4x+1＝0，
∵a＝2，b＝﹣4，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝16﹣8＝8＞0，
则方程有两个不相等的实数根，本选项不合题意；
C、3x2﹣4x+2＝0，
∵a＝3，b＝﹣4，c＝2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝16﹣24＝﹣8＜0，
则方程没有实数根，本选项符号题意；
D、方程化为：5x2﹣2x＝0，
∵a＝5，b＝﹣2，c＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝4﹣0＝4＞0，
则方程有两个不相等的实数根，本选项不合题意，
故选：C．
4．一个公园有A，B，C三个入口和D，E二个出口小明进入公园游玩，从“A口进D口出”的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
解：根据题意画树形图：
共有6种等情况数，其中“A口进D口出”有一种情况，
从“A口进D口出”的概率为；
故选：D．
5．已知2+是关于x的方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则c的值为（　　）
A．2﹣ B．2+ C．1 D．﹣1
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝2+代入关于x的方程x2﹣4x+c＝0，列出关于c的新方程，通过解新方程来求c的值．
解：∵2+是关于x的方程x2﹣4x+c＝0的一个根，
∴2+满足方程x2﹣4x+c＝0，
∴（2+）2﹣4（2+）+c＝0，
解得c＝1．
故选：C．
6．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点P．若∠BPC＝70°，则∠ABC的度数等于（　　）
A．75° B．70° C．65° D．60°
【分析】先利用对顶角相等和互余得到∠A＝20°，再利用等腰三角形的性质得到∠OBA＝∠A＝20°，然后根据切线的性质得到OB⊥BC，从而利用互余计算出∠ABC的度数．
解：∵OC⊥OA，
∴∠AOC＝90°，
∵∠APO＝∠BPC＝70°，
∴∠A＝90°﹣70°＝20°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠A＝20°，
∵BC为⊙O的切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°．
故选：B．
7．一次函数y＝ax﹣a与反比例函数y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先根据一次函数的性质判断出a取值，再根据反比例函数的性质判断出a的取值，二者一致的即为正确答案．
解：A、由函数y＝ax﹣a的图象可知a＞0，﹣a＞0，由函数y＝（a≠0）的图象可知a＞0，矛盾，错误；
B、由函数y＝ax﹣a的图象可知a＜0，由函数y＝（a≠0）的图象可知a＞0，相矛盾，故错误；
C、由函数y＝ax﹣a的图象可知a＞0，由函数y＝（a≠0）的图象可知a＜0，故错误；
D、由函数y＝ax﹣a的图象可知a＜0，﹣a＞0，由函数y＝（a≠0）的图象可知a＜0，故正确；
故选：D．
8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是（　　）
A． B．2 C．3 D．2
【分析】首先证明△ACA1，△BCB1是等边三角形，推出△A1BD是直角三角形即可解决问题．
解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝2，
∵CA＝CA1，
∴△ACA1是等边三角形，AA1＝AC＝BA1＝2，
∴∠BCB1＝∠ACA1＝60°，
∵CB＝CB1，
∴△BCB1是等边三角形，
∴BB1＝2，BA1＝2，∠A1BB1＝90°，
∴BD＝DB1＝，
∴A1D＝＝．
故选：A．
9．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB＝18，BD＝6，则CF＝（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】通过相似三角形△ABD∽△CDF的对应边成比例进行解答．
解：如图，∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴∠B＝∠BAC＝60°，
∴∠BAD+∠ADB＝120°，∠ADB+∠FDC＝120°，
∴∠BAD＝∠FDC，
又∵∠B＝∠C＝60°，
∴△ABD∽△CDF，
∴AB：BD＝CD：CF，
即18：6＝（18﹣6）：CF，
∴CF＝4．
故选：A．
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（　　）
A．2a﹣b＝0
B．a+b+c＞0
C．3a﹣c＝0
D．当a＝时，△ABD是等腰直角三角形
【分析】由于抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，得到对称轴为直线x＝1，则﹣＝1，即2a+b＝0，得出，选项A错误；
当x＝1时，y＜0，得出a+b+c＜0，得出选项B错误；
根据a＞0，c＜0，可得到3a与c的关系，得出选项C错误；
由a＝，则b＝﹣1，c＝﹣，对称轴x＝1与x轴的交点为E，先求出顶点D的坐标，由三角形边的关系得出△ADE和△BDE都为等腰直角三角形，得出选项D正确；即可得出结论．
解：∵抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，则﹣＝1，
∴2a+b＝0，
∴选项A错误；
∴当自变量取1时，对应的函数图象在x轴下方，
∴x＝1时，y＜0，则a+b+c＜0，
∴选项B错误；
∵a＞0，c＜0，
∴3a＞0，﹣c＞0．
∴3a﹣c＞0，
∴选项C错误；
当a＝，则b＝﹣1，c＝﹣，对称轴x＝1与x轴的交点为E，如图，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣，
把x＝1代入得y＝﹣1﹣＝﹣2，
∴D点坐标为（1，﹣2），
∴AE＝2，BE＝2，DE＝2，
∴△ADE和△BDE都为等腰直角三角形，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴选项D正确．
故选：D．
二、填空题。（每题3分，共15分）
11．若关于x的一元二次方程ax2﹣bx+6＝0（a≠0）的一个根是x＝1，则2018﹣a+b的值为 　2024　．
【分析】把x＝1代入方程计算求出a﹣b的值，代入原式计算即可得到结果．
解：把x＝1代入方程得：a﹣b+6＝0，即a﹣b＝﹣6，
则原式＝2018﹣（﹣6）＝2024，
故答案为：2024．
12．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x＝2，则线段AB的长为　8　．
【分析】由抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（﹣2，0），根据二次函数的对称性，求得B点的坐标，再求出AB的长度．
解：∵对称轴为直线x＝2的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，
∴A、B两点关于直线x＝2对称，
∵点A的坐标为（﹣2，0），
∴点B的坐标为（6，0），
AB＝6﹣（﹣2）＝8．
故答案为：8．
13．如图所示，经过B（2，0）、C（6，0）两点的⊙H与y轴的负半轴相切于点A，双曲线y＝经过圆心H，则反比例函数的解析式为　y＝﹣　．
【分析】过H作HE⊥BC于点E，可求得E点坐标和圆的半径，连接BH，在Rt△BEH中，可求得HE的长，可求得H点坐标，代入双曲线解析式可求得k．
解：过H作HE⊥BC于点E，连接BH，AH，如图，
∵B（2，0），C（6，0），
∴BC＝4，
∴BE＝BC＝2，
∴OE＝OB+BE＝2+2＝4，
又⊙H与y轴切于点A，
∴AH⊥y轴，
∴AH＝OE＝4，
∴BH＝4，
在Rt△BEH中，BE＝2，BH＝4，
∴HE＝2，
∴H点坐标为（4，﹣2），
∵y＝经过圆心H，
∴k＝﹣8，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣，
故答案为：y＝﹣．
14．如图，在 ABCD中，AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是　3﹣π　（结果保留π）．
【分析】过D点作DF⊥AB于点F．可求 ABCD和△BCE的高，观察图形可知阴影部分的面积＝ ABCD的面积﹣扇形ADE的面积﹣△BCE的面积，计算即可求解．
解：过D点作DF⊥AB于点F．
∵AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，
∴DF＝AD sin30°＝1，EB＝AB﹣AE＝2，
∴阴影部分的面积：
4×1﹣﹣2×1÷2
＝4﹣π﹣1
＝3﹣π．
故答案为：3﹣π．
15．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG＝2，则线段AE的长度为　12　．
【分析】根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出＝＝2，结合FG＝2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB＝2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABF＝∠GDF，∠BAF＝∠DGF，
∴△ABF∽△GDF，
∴＝＝2，
∴AF＝2GF＝4，
∴AG＝6．
∵CG∥AB，AB＝2CG，
∴CG为△EAB的中位线，
∴AE＝2AG＝12．
故答案是：12．
三、解答题。（共75分）
16．解下列方程．
（1）3x2﹣5x+2＝0；
（2）（7x+3）2＝2（7x+3）．
【分析】（1）利用因式分解法把方程转化为3x﹣2＝0或x﹣1＝0，然后解两个一次方程即可；
（2）先移项得到（7x+3）2﹣2（7x+3）＝0，然后利用因式分解法解方程．
解：（1）（3x﹣2）（x﹣1）＝0，
3x﹣2＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝，x2＝1；
（2）（7x+3）2﹣2（7x+3）＝0，
（7x+3）（7x+3﹣2）＝0，
7x+3＝0或7x+3﹣2＝0，
所以x1＝﹣，x2＝﹣．
17．为落实“垃圾分类”，环卫部门要求垃圾要按A、B、C三类分别装袋、投放，其中A类指废电池、过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收垃圾，甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾，乙投放的这两袋垃圾不同类．
（1）直接写出甲投放的垃圾恰好是A类的概率；
（2）请用画树状图或列表的方法求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同一类的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求出甲投放的垃圾恰好是A类的概率；
（2）首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．
解：（1）∵垃圾要按A，B，C三类分别装袋，甲投放了一袋垃圾，
∴甲投放的垃圾恰好是A类的概率为：；
（2）如图所示：
，
由图可知，共有18种可能结果，其中乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的结果有12种，
所以，P（乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类）＝＝．
18．如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD．
（1）求证：BD平分∠ABH；
（2）如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离．
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质以及BH⊥EF，即可证得OD∥BC，然后根据等边对等角即可证得；
（2）过点O作OG⊥BC于点G，则利用垂径定理即可求得BG的长，然后在直角△OBG中利用勾股定理即可求解．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵EF是⊙O的切线，
∴OD⊥EF，
又∵BH⊥EF，
∴OD∥BH，
∴∠ODB＝∠DBH，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD
∴∠OBD＝∠DBH，
即BD平分∠ABH．
（2）解：过点O作OG⊥BC于点G，则BG＝CG＝4，
在Rt△OBG中，OG＝＝＝．
19．如图，一次函数y＝kx+5（k为常数，且k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣的图象有一交点为A（﹣2，b）点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值．
【分析】（1）先利用反比例函数解析式求出b，得到A点坐标为（﹣2，4），然后把A点坐标代入y＝kx+5中求出k，从而得到一次函数解析式；
（2）由于将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得直线解析式为y＝kx+5﹣m，则直线y＝kx+5﹣m与反比例函数有且只有一个公共点，即方程组，只有一组解，然后消去y得到关于x的二次函数，再根据判别式的意义得到关于m的方程，最后解方程求出m的值．
解：（1）把A（﹣2，b）代入y＝﹣得b＝﹣＝4，
所以A点坐标为（﹣2，4），
把A（﹣2，4）代入y＝kx+5得﹣2k+5＝4，解得k＝，
所以一次函数解析式为y＝x+5；
（2）令直线AB向下平移m个单位得到的解析式为y＝x+5﹣m
由得消去y得﹣＝x+5﹣m，
整理得x2﹣（m﹣5）x+8＝0，
∵图象只有一个公共点，
∴△＝（m﹣5）2﹣4××8＝0，解得m＝9或m＝1．
20．某网店销售医用外科口罩，每盒售价60元，每星期可卖300盒．为了便民利民，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30盒．已知该款口罩每盒成本价为40元，设该款口罩每盒降价x元，每星期的销售量为y盒．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每盒降价多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润为多少元？
（3）若该网店某星期获得了6480元的利润，那么该网店这星期销售该款口罩多少盒？
【分析】（1）根据每降价1元，每星期可多卖30盒，列出函数关系式即可；
（2））设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题；
（3）根据该网店某星期获得了6480元的利润列出方程求出每盒降价，再求出销售量．
解：（1）根据题意可得：y＝300+30x；
（2）设每星期利润为W元，根据题意可得：
W＝（60﹣x﹣40）（30x+300）＝﹣30x2+300x+6000＝﹣30（x﹣5）2+6750，
∵﹣30＜0，
∴x＝5时，W最大值＝6750．
答：每盒降5元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元；
（3）当w＝6480时，即﹣30（x﹣5）2+6750＝6480，
解得：x1＝8，x2＝2，
则销售量为：300+30×8＝540（盒），或300+30×2＝360（盒），
答：该网店某星期获得了6480元的利润时，销售该款口罩540盒或360盒．
21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．
（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．
【分析】根据勾股定理求得AB＝5cm．
（1）分类讨论：△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC两种情况．利用相似三角形的对应边成比例来求t的值；
（2）如图，过点P作PH⊥BC于点H，构造平行线PH∥AC，由平行线分线段成比例求得以t表示的PH的值；然后根据“S＝S△ABC﹣S△BPH”列出S与t的关系式S＝（t﹣）2+（0＜t＜2.5），则由二次函数最值的求法即可得到S的最小值．
解：∵如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．
∴根据勾股定理，得＝5cm．
（1）以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：
①当△AMP∽△ABC时，＝，即＝，
解得t＝；
②当△APM∽△ABC时，＝，即＝，
解得t＝0（不合题意，舍去）；
综上所述，当t＝时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似；
（2）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．理由如下：
假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．
如图，过点P作PH⊥BC于点H．则PH∥AC，
∴＝，即＝，
∴PH＝t，
∴S＝S△ABC﹣S△BPN，
＝×3×4﹣×（3﹣t） t，
＝（t﹣）2+（0＜t＜2.5）．
∵＞0，
∴S有最小值．
当t＝时，S最小值＝．
答：当t＝时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是．
22．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，D为△ABC内一点，连接AD，将线段AD绕点A旋转至AE，使得∠DAE＝∠BAC，F，G，H分别为BC，CD，DE的中点，连接BD，CE，GF，GH．
（1）求证：GH＝GF；
（2）试说明∠FGH与∠BAC互补．
【分析】（1）首先得出△ABD≌△ACE（SAS），进而利用三角形中位线定理得出GH＝GF；
（2）利用全等三角形的性质结合平行线的性质得出∠FGH＝∠DGF+∠HGD进而得出答案．
【解答】证明：（1）∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∵F，G，H分别为BC，CD，DE的中点，
∴HG∥CE，GF∥BD，且GH＝CE，GF＝BD，
∴GH＝GF；
（2）∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵HG∥CE，GF∥BD，
∴∠HGD＝∠ECD，∠GFC＝∠DBC，
∴∠HGD＝∠ACD+∠ECA＝∠ACD+∠ABD，
∠DGF＝∠GFC+∠GCF＝∠DBC+∠GCF，
∴∠FGH＝∠DGF+∠HGD
＝∠DBC+∠GCF+∠ACD+∠ABD
＝∠ABC+∠ACB
＝180°﹣∠BAC，
∴∠FGH与∠BAC互补．
23．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣x+m相交于第一象限内不同的两点A（4，n），B（1，4），
（1）求此抛物线的解析式．
（2）抛物线上是否存在点P，使直线OP将线段AB平分？若存在直接求出P点坐标；若不存在说明理由．
【分析】（1）把B（1，4）代入y＝﹣x+m得到m＝5，求得A（4，1），把A（4，1），B（1，4）代入y＝﹣x2+bx+c即可得到结论；
（2）设P点坐标为（m，﹣m2+4m+1），求得线段AB的中点E的坐标为（，），得到直线OP的解析式为：y＝x，列方程即可得到结论．
解：（1）把B（1，4）代入y＝﹣x+m得，m＝5，
∴直线的解析式为：y＝﹣x+5，
∴A（4，1），
把A（4，1），B（1，4）代入y＝﹣x2+bx+c得，，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+4x+1；
（2）存在，
设P点坐标为（m，﹣m2+4m+1），
∵线段AB的中点E的坐标为（，），
∴直线OP的解析式为：y＝x，
∴m＝﹣m2+4m+1，
解得：m＝或m＝，
∴P点坐标为（，）（，）．