专题二 复数运算与平面向量运算 习题1
1.设复数的共轭复数为，若，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知复数在复平面内对应的点在直线上，且，则（ ）
A．2 B． C． D．
3.复数在复平面上对应的点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.已知,其中是实数，是虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知复数为纯虚数（虚数单位），则实数( )
A．1 B． C．2 D．
（多项选择题）
6.已知正方体,则下列各式运算结果是的为( )
A. B. C. D.
7.已知是单位向量,且,则( )
A. B. 与垂直 C.与的夹角为 D.
8.已知向量，向量，则与的夹角大小为__________.
9.已知平面向量a，b，满足，，，，记平面向量d在方向上的投影分别为x，y，在c方向上的投影为z，则的最小值是______.
10.已知平面上三个向量a，b，c，其中。
（1）若，且，求c的坐标；
（2）若，且，求a与b的夹角的余弦值。
答案以及解析
1.答案：D
解析：设，
则，
所以，
故，解得
故，故选：D
2.答案：C
解析：设，
因为复数在复平面内对应的点在直线上，
所以，
又，
所以，
解得或，
所以，故选：C
3.答案：A
解析：，在复平面上对应的点的坐标为
4.答案：C
解析：，
由于是实数，
得，
故选择C．
5.答案：B
解析：∵为纯虚数，
，
∴
故选：B.
6.答案：ABC
解析：选项A中,；
选项B中,；
选项C中,；
选项D中,.故选ABC.
7.答案：BC
解析：由两边平方，得，则，所以A选项错误；因为是单位向量，所以，得，所以B选项正确；由，所以，所以D选项错误；设与的夹角为，则，所以与的夹角为，所以C选项正确.故选BC.
8.答案：
解析：由平面向量的数量积公式得，
则，
所以与的夹角为.
故答案为：
9.答案：
解析：本题考查平面向量的运算和投影.
第1步（确定变量间关系）：
建立平面直角坐标系.设，，则.由，可设，其中.由已知可得，，在c方向上的投影为z，可得，即，化简得.
第2步（利用柯西不等式）：
，所以，当且仅当，且时等号成立，解得，，.
10.答案：（1）因为，所以设，因为，所以，，所以或。
（2）因为，所以，
解得，所以a与b的夹角的余弦值为
。专题二 复数运算与平面向量运算 习题2
1.设，，为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的射影大小相同，则a与b满足的关系式为( )。
A. B. C. D.
2.设向量，，且a，b方向相反，则x的值是( )。
A.2 B.-2 C. D.0
3.若单位向量满足|，则向量夹角的余弦值为( )
A． B． C． D．
4.若向量，，，则( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
5.已知向量，是不平行于x轴的单位向量，且，则（ ）
A. B. C. D.
（多项选择题）
6.已知在等腰直角三角形ABC中，的面积为1，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
7.如图，已知半圆O上有一个动点C，F是AC上靠近点C的三等分点，且OC与BF交于点E，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
8.已知向量a，b的夹角为60°，，，则_________.
9.已知，向量，，若与b共线，则______.
10.设两个向量，满足.
（1）若，求的夹角；
（2）若夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
答案以及解析
1.答案：A
解析：由图知，要使与在方向上的射影大小相同，只需使，即，得。
2.答案：B
解析：由向量a，b方向相反，知存在实数使得，，解得或（舍去），则x的值是-2。
3.答案：A
解析：由题意有，可得．
解得，则向量夹角的余弦值为．
4.答案：A
解析：由，得，
故，则.
故选A.
5.答案：B
解析：设，，则依题意有，解得：，
故选：B．
6.答案：ABD
解析：在等腰直角三角形ABC中，的面积为1,则，解得则.易知，选项A正确；，选项B正确；，选项C不正确；向量在上投影的数量为，即，选项D正确.故选ABD.
7.答案：ABD
解析：如图，对于A选项，取AF的中点H，连接OH，因为O是AB的中点，所以在中，，所以.因为F是靠近C的三等分点，所以F是HC的中点，从而E是CO的中点，所以A正确；
对于B选项，B正确；
对于C选项，，C错误；
对于D选项，D正确.
8.答案：
解析：解：向量a，b的夹角为60°，，，
，
，
故答案为.
9.答案：
解析：解：向量，，
所以；
又与b共线，
所以，
解得．
故答案为：．
根据平面向量的坐标运算和共线定理，列方程求出m的值．
本题考查了平面向量的坐标运算和共线定理应用问题，是基础题．
10.答案：(1)，，
即，
（2），且与不共线，
且(共34张PPT)
专题二 复数运算与平面向量运算
高考考点 考点解读
复数的概念及运算 1.复数的概念、纯虚数、复数相等、共轭复数等
2.复数的几何意义及四则运算，重点考查复数的乘除运算
平面向量的运算及应用 1.以平面图形为载体，借助向量考查数量关系与位置关系、向量的线性运算及几何意义
2，以平面向量基本定理为出发点，与向量的坐标运算、数量积交汇命题
3，直接利用数量积运算公式进行运算，求向量的夹角、模或判断向量的垂直关系
（一）考点解读
（二）核心知识整合
考点1：复数的概念及运算
[典型例题]
D
[解析]
[典型例题]
C
[解析]
『规律总结』
提醒：
[跟踪训练]
D
[解析]
[跟踪训练]
C
[解析]
考点2：平面向量的运算及应用
[典型例题]
C
[解析]
[典型例题]
B
[解析]
『规律总结』
提醒：
[跟踪训练]
A
[解析]
[跟踪训练]
C
[解析]
[解析]
Thanks专题二 复数运算与平面向量运算
（一）考点解读
高考考点 考点解读
复数的概念及运算 1.复数的概念、纯虚数、复数相等、共轭复数等2.复数的几何意义及四则运算，重点考查复数的乘除运算
平面向量的运算及应用 1.以平面图形为载体，借助向量考查数量关系与位置关系、向量的线性运算及几何意义2，以平面向量基本定理为出发点，与向量的坐标运算、数量积交汇命题3，直接利用数量积运算公式进行运算，求向量的夹角、模或判断向量的垂直关系
（二）核心知识整合
考点1：复数的概念及运算
1.复数的乘法
复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类项，不含i的看作另一类项，分别合并同类项即可.
2. 复数的除法
除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式.复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实数化”.
3.复数的四则运算法则
（1）(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i (a，b，c，d∈R)．
（2）(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i (a，b，c，d∈R)．
（3）(a＋bi)÷(c＋di)＝ (a，b，c，d∈R，c＋di≠0)．
4.复数运算中常用的结论：
①(1±i)2＝±2i；
②＝i；
③＝－i；
④－b＋ai＝i(a＋bi)；
⑤i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，其中n∈N*.
[典型例题]
1.设复数的共轭复数为 ，若，则（ ）
A． B． C． D．
[答案]：D
[解析] 设，
则，
所以，
故，解得
故，故选：D
2.已知复数在复平面内对应的点在直线上，且，则（ ）
A．2 B． C． D．
[答案]：C
[解析] 设，
因为复数在复平面内对应的点在直线上，
所以，
又，
所以，
解得或，
所以，故选：C
『规律总结』
解决复数的概念与运算问题，一般都是直接用运算法则求或用复数相等的条件求解．一般是先变形分离出实部和虚部，把复数的非代数形式化为代数形式．然后再根据条件，列方程或方程组．
提醒：熟记复数表示实数、纯虚数的条件，复数相等的条件、共轭复数及复数的几何意义是解决复数问题的关键．
[跟踪训练]
1.设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则a的值为( )
A.－3 B.－1 C.1 D.3
[答案]：D
[解析] 复数为纯虚数,则,即.
2. 设，则( )
A.0 B. C.1 D.
[答案]：C
[解析] ，，则.故选C.
考点2：平面向量的运算及应用
1.平面向量的概念及线性运算
（1）在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化.
（2）在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量.
2.平面向量的数量积
（1）平面向量的数量积有两种运算形式：
a.数量积的定义：a·b =∣a∣∣b∣（其中为向量a，b的夹角）.
b.坐标运算：a=, b=时，a·b =.
（2）投影
向量a在向量b方向上的投影为（其中为向量a，b的夹角）.
3.平面向量的重要性质及结论
（1）若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
（2）已知＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1．
（3）若a＝(x，y)，则|a|＝＝．
（4）若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝．
（5）设θ为a与b(a≠0，b≠0)的夹角，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝＝.
4. 平面向量的重要公式
两个非零向量平行、垂直的充要条件：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
①a∥b λb(b≠0，λ∈R) x1y2－x2y1＝0.
②a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
5.平面向量在几何中的应用
用向量法解决平面（解析）几何问题的两种方法：
（1）基向量法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；
（2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.
一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法.
[典型例题]
1.已知，，，若，则( )
A. B. C. D.
[答案]：C
[解析] 由，有，得.故选C.
2.已知，，且，则( )
A.， B.， C.， D.，
[答案]：B
[解析] 由题意可得，，.
，
，使，
得解得故选B.
『规律总结』
1．平面向量的线性运算要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现．
2．正确理解并掌握向量的概念及运算，强化“坐标化”的解题意识，注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用．
提醒：运算两平面向量的数量积时，务必要注意两向量的方向．
