民勤县第四中学2021-2022学年高二上学期12月月考
数 学（理）答案
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D D C A B C A D B A C B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 14.
15. 18 16. (1)(3)或(1)(5)或(1)(3)(4)或(1)(4)(5)
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
17.（本小题10分）已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线方程.
解:由于椭圆焦点为F(0,4),离心率为e=,----------- 4分.
所以双曲线的焦点为F(0,4),离心率为2,------------------------ 6分.
从而c=4,a=2,b=2.所以求双曲线方程为: .----------- 10分.
18．（本小题12分）如图,在正方体中,, 求异面直线与所成角的余弦值.
解:
,连结 2分
则////且==，
//.又AM//且AM=, 4分
.//.且=.//. 6分
. 7分
设正方体的棱长为4，则MB=2, 9分
在, 11分
12分
19. （本小题12分）若直线与抛物线交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程．
解法一：设、，则由：得：
．--------------------------------------------------------------------- 4分.
∵直线与抛物线相交，且，则．--------------------------------- 6分.
∵AB中点横坐标为：，----------------------------------------- 8分.
解得：或（舍去）．------------------------------------------------------------ 10分.
故所求直线方程为：．---------------------------------------------------------- 12分.
解法二：设、，则有．
两式作差解：，即．-------------- 5分.
，----------- 8分
故或（舍）．---------------------------------------------------- 10分
则所求直线方程为：．------------------------------------------------------ 12分.
20. （本小题12分）已知：，：，其中.
（1）若且为真，求的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【解】由，解得，所以：，
又，且，解得，所以：.
（1）当时，：，
因为为真，所以都为真，所以.------------------------------- 6分.
（2）因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，
因为：，：，所以，解得.------- 12分.
21.（本小题12分）如图，是平面外一点，四边形是矩形，⊥平面， ，.是的中点.
（1）求证：PB∥平面
（2）求证：平面⊥平面；
（3）求与平面所成角的正弦值.
解：（1）证明：如图，连接BD交AC于点O,连接OE.
四边形是矩形O为BD的中点,
又E是的中点. PB∥OE.-------------- 2分
又,,
PB∥平面-------------------------------------- 4分
(2)证明: ⊥平面,且四边形是矩形
,,又,⊥平面；--------------------- 6分
CD∥AB,⊥平面；又,
平面⊥平面------------------------------------------------------------------- 8分
（3）设AD的中点为H，连结EH、CH
PA⊥平面ABCD,EH∥PA, EH⊥平面ABCD-------------------------------------9分
EC是平面ABCD的斜线，HC是EC在平面ABCD内的射影
即为斜线EC和平面ABCD所成的角.-------------------------------------10分
在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,
又,--------11分
.---------12分
22．（本小题12分）已知椭圆的离心率为，两焦点与短轴两顶点围成的四边形的面积为．
（1）若为椭圆上一点，且，求的面积；
（2）我们称圆心在椭圆上运动，半径为的圆是椭圆的“卫星圆”，过原点作椭圆的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆于，两点，若直线，的斜率存在，记为，．
①求证：为定值；
②试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
解：（1）依题意得，，，
解得，所以椭圆的标准方程为，
∴，又，
∴，
∴，∴，
∴的面积为.---------------- -4分
（2）
①直线，的方程分别为，设椭圆的“卫星圆”的圆心为
因为直线，为“卫星圆”的两条切线，则，
化简得，
所以，为方程的两根，故
又因为，所以，故为定值；-----------8分
②设，
由 ， 则
由于，所以，
得
所以为定值． ---------------------------- -12分
P
B
E
D
C
A
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数学（理）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填入答案卷内.）
1.椭圆的焦距是
A. B. C. D.
2.已知则与的夹角等于
A．30° B．60° C．90° D．150°
3.已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线，则该双曲线的离心率为
A.5或 B. 5或 C. 或 D.或
4 “”是“椭圆的离心率为”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5．如图，四面体-，是底面△的重心，，则（ ）
A． B．
C． D．
6.设是非零实数，则方程及所表示的图形可能是C
7.设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，则△BCD是
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
8．点F是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，A、B分别为C的右顶点、虚轴的上端点，O为坐标原点，若∠OBA＝∠BFA，则双曲线的离心率是（ ）
A． B．﹣1 C．﹣1 D．
9.已知，F为抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，当取最小值时，点P的坐标为
A.（0，0） B.（2，2） C. （2，0） D.（－2，－2）
10.已知，则的最小值为
A． B． C． D．
11.已知命题函数在上单调递增；命题关于的不等式
对任意恒成立．若为真命题，为假命题，则实数的取值范
围为
A. B. C. D.
12. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.
给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是
A. ①②③ B. ①②
C. ① D. ②
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分.请将正确答案填在答案卷上.）
13.已知向量错误!未找到引用源。，若错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。 ．
14.已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是 ．
15. 若双曲线 的左、右焦点是、，过的直线交左支于A、B两点，若|AB|=5，则的周长是 .
16. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
（1）焦点在轴上； （2）焦点在轴上；
（3）抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为3；
（4）焦点到准线的距离为4；
（5）由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为.
能使抛物线方程一定为的条件是 (填写合适条件的序号）
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
17.（本小题10分）已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线方程.
18．（本小题12分）如图,在正方体中,, 求异面直线与所成角的余弦值.
19. （本小题12分）若直线与抛物线交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程．
20. （本小题12分）已知：，：，其中.
（1）若且为真，求的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
21.（本小题12分）如图，是平面外一点，四边形是矩形，⊥平面， ，.是的中点.
（1）求证：PB∥平面
（2）求证：平面⊥平面；
（3）求与平面所成角的正弦值.
22．（本小题12分）已知椭圆的离心率为，两焦点与短轴两顶点围成的四边形的面积为．
（1）若为椭圆上一点，且，求的面积；
（2）我们称圆心在椭圆上运动，半径为的圆是椭圆的“卫星圆”，过原点作椭圆的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆于，两点，若直线，的斜率存在，记为，．
①求证：为定值；
②试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
P
B
E
D
C
A
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