民勤县第四中学2021-2022学年高二上学期12月月考
数学（文）试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填入答案卷内.）
1．双曲线的渐近线方程为
A． B． C． D．
2．抛物线的焦点坐标是
A． B． C． D．
3．下列有关命题的说法中错误的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”
C．若命题，使得，则，均有
D．若为假命题，则、均为假命题
4．过抛物线的焦点F作直线交抛物线于，两点，如果，那么（ ）
A． B． C． D．
5．“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知双曲线的右焦点到其渐近线的距离等于，则该双曲线的离心率等于
A． B． C． D．
7．若椭圆过点，则其焦距为（ ）
A． B． C． D．
8．抛物线方程为，动点的坐标为，若过点可以作直线与抛物线交于两点，且点是线段的中点，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
9．直线l过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，且与C交于A，B两点，|AB|=4，若AB的中点到y轴的距离为1，则p的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．设F1，F2为椭圆的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2的面积最大时，的值等于( )
A．0 B．2 C．4 D．－2
11．已知P(x0,y0)是椭圆C:+y2=1上的一点,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,若<0,则x0的取值范围是
A． B．
C． D．
12．以为焦点且与直线有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是
A． B．
C． D．
二、填空题
13．命题:“”的否定是___________．
14．圆的圆心是抛物线的焦点，则__________．
15．已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线上的一点，若，，则双曲线的离心率是__________．
16．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过椭圆的右焦点作一条直线交椭圆于点、.则面积的最大值是_________.
三、解答题
17．已知p：实数x满足不等式（x﹣a）（x﹣3a）＜0（a＞0），q：实数x满足不等式|x﹣5|＜3.
（1）当a＝1时，p∧q为真命题，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
18．设命题p：方程表示双曲线；命题：“方程表示焦点在x轴上的椭圆” ．
（1）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若为真命题，为假命题，求实数m的取值范围．
19．已知点A和B，动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与经过点（2，0）且倾斜角为的直线交于D、E两点
（1）求点C的轨迹方程；
（2）求线段DE的长
20．椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，右焦点F的坐标为（2，0），且点F到短轴的一个端点的距离是．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F作斜率为k的直线l，与椭圆C交于A、B两点，若，求k的取值范围．
21．在平面直角坐标系中，已知圆心为点Q的动圆恒过点，且与直线相切，设动圆的圆心 Q的轨迹为曲线.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）过点F的两条直线、与曲线相交于A、 B、C、D四点，且M、N分别为、的中点.设与 的斜率依次为、，若，求证：直线 MN恒过定点.
22．已知椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆上的一点，的周长为6，过焦点的弦中最短的弦长为3；椭圆的右焦点为抛物线的焦点．
（1）求椭圆与抛物线的方程；
（2）过椭圆的右顶点Q的直线l交抛物线于A、B两点，点O为原点，射线、分别交椭圆于C、D两点，的面积为，以A、C、D、B为顶点的四边形的面积为，问是否存在直线l使得？若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由．
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第1页，共4页民勤县第四中学2021-2022学年高二上学期12月月考
数学（文）参考答案
选择题.
1-5 CBDBA 6-10 CDABD 11-12 AC
13．
14．-4
15．
16．3
17．（1）2＜x＜3；（2）2≤a≤.
【详解】
p：实数x满足不等式（x﹣a）（x﹣3a）＜0（a＞0），解得：a＜x＜3a（a＞0）.
q：实数x满足不等式|x﹣5|＜3，解得2＜x＜8.
（1）当a＝1时，p：1＜x＜3.p∧q为真命题，∴，解得2＜x＜3.
∴实数x的取值范围是2＜x＜3.
（2）若p是q的充分不必要条件，则，等号不能同时成立，
解得：2≤a≤.
∴实数a的取值范围是2≤a≤.
18解：（1）若为真，则：
解得：或
（2） 为真命题，为假命题一真一假
若真假，则：
解得：或
若假真，则：解集为
综上，实数m的取值范围为：或
19．（1），（2）
详解：（1）设点C， 则，根据双曲线定义，可知C的轨迹是双曲线
由，
故点C的轨迹方程是
（2）由已知条件得直线方程为由与消y得
＞0，∴直线与双曲线有两个交点，
设
所以
20．解（I）（II）
详解：（I）由已知，；,
故椭圆C的方程为
（II）设
则A、B坐标是方程组的解．
消去，则
，
所以k的取值范围是
21．（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.
【详解】
（Ⅰ）由题意，设，
因为圆心为点Q的动圆恒过点，且与直线相切，
可得，化简得.
（Ⅱ）设，的方程分别为，，
联立方程组，整理得，
所以，则，同理
所以，
由，可得，
所以直线的方程为
整理得，所以直线恒过定点.
22．
（1）椭圆的方程，抛物线的方程为
（2）存在直线l，方程为或者．
【详解】
（1）由题意得
，解得，
所以椭圆的方程，抛物线的方程为；
（2）
由题意得
直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为，设、、、，
由，得，
∵，∴，
∵，∴直线的斜率为，即直线的方程为，
由，得，
同理可得，
，
∴，
得，
所以存在直线l，方程为或者．
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