湘 豫 名 校 联 考(2022年1月)
数学(理科)参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答 案 C B D A D B A A C A B B
1.C 【解析】M={x|-2C.
a+2=-a,
2.B 【解析】设z=a+bi(a,b∈R),则z+2=(a+2)+bi,z-+2i=a+(2-b)i,依题意得 { 解得b=2-b,
{a=-1,b=1.
∴z=-1+i,1= 1 1 i 故正确答案为z -1+i=-2-2. B.
3.D 【解析】取 AC 的 中 点 为O,连 接 OB,OD,则∠BOD= π.∵△BOD 是 等 腰 直 角 三 角 形,2 OB=OD=
2 2 2
2AB
,∴ 2
è2AB
÷ + 2 ÷ =4,解得AB=2.故正确答案为D.
è2AB
4.A 【解析】由4a+b=ab,得1+4=1,(a+b)(1+4 )=5+b+4a≥5+4=9,当且仅当b=2a,即a b a b a b a=
3,b=6时取等号,∴p q.反之不成立,∴p是q的充分不必要条件.故正确答案为 A.
5.D 【解析】易知△ABC是等腰三角形,且|AC|=|BC|,∴圆心D 在直线x=1上,设圆心D(1,b)(b<2),易
得直线AC的方程为4x+3y-2=0,直线AB 的方程为y=2,则2-b=|4+3b-2|,解得b=1,则内切圆的
42+32
半径为r=2-1=1,∴所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1.故正确答案为D.
6
6.B 【解析】令x=1,则(1+a)6×3=192,解得a=1,则(x3+2)(x2+1 ) 的展开式中的常数项为 5(x C6 x2)1·
5 4
(1 ) ·x3+C46 (x2 )2· (1 · 故正确答案为x x ) 2=6+30=36. B.
7.A 【解析】如图:
1×π×22-1×2×2
则所求的概率为P(
( )
B|A)=P ABP(A)=
4 2 =π-2=π-1.故正确答案为1 2 2 A.
2×2×2
8.A 【解析】f(x)=1-cos2ωx+sin2ωx= 22 2 2sin(2ωx-π4 )+1,则 ( ) 2 π π2 g x =2sin[2ω(x+4 )-4 ]+
数学(理科)试题参考答案- 1
ì 1 3 , ,1 2
+m=2 m=1
+m ,依题意得 í 得 { 1 ∵ω>0,∴m+ω 的最小值为5.故正确答案2 πω-π=kπ,k∈Z, ω=4+k,k∈Z. 4 4
为A.
9.C 【解析】解法一 如图,以A 为坐标原点,AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线
为y 轴建立平面直角坐标系,设AB=2AD=2,则 A(0,0),B(2,0),D(0,1),
C(2,1).
∴A→B=(2,0),A→D=(0,1),B→C=(0,1),D→C=(2,0).∴D→F=λD→C=(2λ,0),
B→E= →μBC=(0,μ).
∴A→E=A→B+B→E=(2, →μ),AF=A→D+D→F=(2λ,1).
∵AE⊥AF,∴A→E·A→F=0,即2×2λ+μ×1=0.又λ+μ=1,
所以λ=-1,=4.∴E→F=A→ →3 μ 3 F-AE= (-8,-13 3 ).
→ 8 2 2∴|EF|= (- 13 ) + (-3 ) = 653 .
∵AD=1,∴EF= 65AD 3 .
故正确答案为C.
解法二 ∵A→E=A→B+B→E=A→B+ → → → → → → →μBC=AB+(1-λ)BC,AF=AD+DF=AD+λD→C=B→C+λA→B,∴A→E·
A→F=[A→B+(1-λ)B→C]·(B→C+λA→B)=[1+λ(1-λ)]A→B·B→C+(1-λ)|B→C|2+λ|A→B|2=(1-λ)|B→C|2+
4λ|B→C|2=(1+3λ)|B→C|2.∵AE⊥AF,∴1+3λ=0,得λ=- 1.∴ = 4,|E→μ F|2=|A→E|23 3 +|A
→F|2=
2
(A→B+4B→C) + (B→C-1
2
A→B ) =|A→3 3 B|2+169|B→C|2+|B→C|2+19|A→B|2=659|A→D|2.∴EF 65AD= 9 =
65.故正确答案为3 C.
2 2 2 2 2 2
10.A 【解析】∵accosB=ac·a +c-b =a +c-b2ac 2 =8
,又∵b=23,∴a2+c2=28.
2
∴ac≤a +c
2
=14(当且仅当2 a=c= 14
时取等号).
1 a2+c2-b2 2∴S 2 2△ABC= 4 [ac- ( 2 ) ] = 1(4 a2c2-82)≤ 1 ( 2 2)4× 14-8 = 33.
∴△ABC面积的最大值为 33.故正确答案为A.
11.B 【解析】令f(x)=0,则ex-1=1-(x+1)2,且x≠0,且x≠-2.令y =ex1 -1(x≠0,且x≠-2),y2=
1-(x+1)2(x≠0,且x≠-2),在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象(图略),易得这两个函数
的图象只有一个交点.故正确答案为B.
12.B 【解析】解法一 ∵ln7>0,ln6>0,ln5>0,∴a>1,b>1,c>1.∵lna=ln2ln7,lnb=ln3ln6,lnc=
ln4ln5,∴lna=ln2ln7lnb ln3ln6=log37
·log62.又0·
4
log62<1,即0,∴lna3
0故正确答案
为B.
解法二 对a,b,c取对数,即比较lna=ln2·ln7,lnb=ln3·ln6,lnc=ln4·ln5三个数的大小.构造函
( )
数f(x)=lnx·ln(9-x),易知此函数的图象关于直线x=9对称2 .
当2≤x≤4时,f'(x)=ln9-xx -
数学(理科)试题参考答案- 2
lnx (= 9-x
)ln(9-x)-x·lnx
9-x x(9-x) .
由2≤x≤4,可得x(9-x)>0,9-x∈[5,7],由y=x·lnx的图象(如图),
结合9-x>x>1,可得(9-x)ln(9-x)>x·lnx.
∴f'(x)>0.∴f(x)在[2,4]上单调递增.∴f(2)ln6二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.7 【解析】易知2x1-1,2x2-1,2x3-1,…,2xn-1的中位数为3,方差为22×1=4,∴2x1-1,2x2-1,
2x3-1,…,2xn-1的中位数与方差的和为7.故正确答案为7.
14.73-42 【解析】设α-π=β∈ ( π,π) ,则 1,18 3 2 sinβ=3 cos =-22β ,3 sin2 42 7β=- ,9 cos2β=9.
所以sin(2α-π3 )=sin(2+π )=-42×1+7× 3 73-42β 3 9 2 9 2= 18 .
15.287π3
【解析】如图,∵DA= 3,DC=3,AC=23,∴∠ADC=90°.
∴球心O 在过AC 的中点M 与平面DAC 垂直的直线上,同时也在过△ABC的中心G 与平面ABC 垂直的
直线上,且这两条直线在同一个平面内(过 M 与AC 垂直的平面).
∴这两条直线必相交于球心O.
∵二面角D-AC-B 的大小为150°,二面角D-AC-O 的大小为90°,
∴二面角O-AC-B 的大小为60°.易知∠OMG=60°.
∵MG=1MB=1× 33 3 2×23=1
,∴MO=2.
∴三棱锥D-ABC的外接球的半径为R=OA= MO2+MA2= 22+(3)2= 7.
∴三棱锥D-ABC的外接球的体积为V=43πR
3=4 ( )3 2873π× 7 = 3 π.
16.42或22 【解析】设直线l的方程为5 y=kx-b
(k>0),与双曲线方程联立,消去y并化简得(b2-a2k2)x2+
2a2bkx-2a2b2=0.(*)
由题意得Δ=4a4b2k2+8a2b2(b2-a2k2)=0,即a2k2=2b2.
代入方程(*)并化简得x2-22ax+2a2=0.所以xA= 2a.代入双曲线方程可得yA=b,即A(2a,b),
2
F(c,0),依题意得 b = 14,即 e-1 =7,化简得5e2-142e+16=0,即(5e-42)(e-22)
2a-c 2 2-22e+e2 2
=0,解得e=42或e=22.故正确答案为42或5 5 22.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.【解析】(Ⅰ)x-=165+170+175+170+170 ,5 =170
∵样本点的中心(x-,-y)满足线性回归方程,
∴-y=0.9×170-90=63.………………………………………………………………………………… (3分)
数学(理科)试题参考答案- 3
∴58+62+Z+65+635 =63
,
解得Z=67.………………………………………………………………………………………………… (5分)
(Ⅱ)
学生编号 1 2 3 4 5
身高x/cm 165 170 175 170 170
体重y/kg 58 62 67 65 63
残差e -0.5 -1 -0.5 2 0
5
∴∑(yi-y )2i =(-0.5)2+(-1)2+(-0.5)2+22+02=5.5,
i=1
5
∑( -y-y)2=(-5)2i +(-1)2+42+22+02=46.……………………………………………………… (9分)
i=1
5
∑(y -y )2i i
∴R2=1-i=1 5.55 =1- ≈0.88.
∑( --yi y)2 46
i=1
∴学生的体重差异约有88%是由身高引起的.………………………………………………………… (12分)
18.【解析】(Ⅰ)如图,连接BD.
∵四边形ABCD 是正方形,
∴BD⊥AC.
∵DG⊥平面ABCD,
又AC 平面ABCD,∴DG⊥AC.
又BD∩DG=D,
∴AC⊥平面BDG.
又BG 平面BDG,∴BG⊥AC. ………………………………………………………………………… (4分)
(Ⅱ)如图,连接EF,∵AE∥CF,且AE=CF,∴四边形ACFE 是平行四边形.
∴AC∥EF.又由(1)可知AC⊥平面BDG,
∴EF⊥平面BDG.
∴平面BDG⊥平面BEGF.
过点D 作BG 的垂线DH,交BG 于H,则DH 为点D 到平面BEGF 的距离.
设AB=x,则BD= 2x,BG= 2x2+4,
根据等积思想得DH= 22x = 2,
2x2+4
解得x= 2.………………………………………………………… (8分)
以D 为坐标原点,DA,DC,DG 所在直线分别为x 轴,y轴,z轴建立如图
所示的空间直角坐标系D-xyz,
易得平面ADGE 的一个法向量为D→C=(0,2,0),设平面BEGF 的法向
量为n=(x,y,z),
由E(2,0,1),F(0,2,1),G(0,0,2),得
G→E=(2,0,-1),G→F=(0,2,-1),
n⊥G→{ E, { 2x-z=0,∵ n⊥G→ ∴F, 2y-z=0.
不妨令x= 2,则y= 2,z=2,
数学(理科)试题参考答案- 4
∴平面BEGF 的一个法向量为n=(2,2,2).
∴cos= 2 =1.
2×22 2
设平面BEGF 与平面ADGE 所成的角为θ,则|cosθ|=1.由图可知,θ为锐角2 .
∴θ=π3.
故平面BEGF 与平面ADGE 所成的角为π. ………………………………………………………… (12分)3
19.【解析】(Ⅰ)∵2Sn·Sn+1=-an+1=Sn-Sn+1,
∴ 1S -
1
n+1 S =2.n
∴{1 }是等差数列,且首项1=1S S a =2,公差为2.n 1 1
∴1S =2+2
(n-1)=2n.
n
∴Sn=1. ………………………………………………………………………………………………… (2n 5
分)
(Ⅱ)当n≥2,n∈N*时,a =S -S =1- 1 1 1 1n n n-1 2n 2(n-1)=-2 ( - ) ,………………………… (n-1 n 7分)
∵a 11= ,2 ∴b1=
1
2.
ì1 ,2 n=1
,
∴bn= í …………………………………………………………………………………… (8分)
1 1
2n-1
-n ,n≥2.
1-1 1-1 1-1 1-1 1 -1
∴ 当 n ≥ 2 时,T = 1 · 2 2 · 22 3 · 23 4 · 24 5 · … · 2n-1 nn 2 =
-1+ (1-1 ) + ( 1 1 1 1 … 1 1 12 2-3 ) + ( 3-4 ) + + (n-1-n ) -
2 =2 n .
, 1, -
1
又当n=1时 Tn=2 ∴Tn=2
n ,n∈N*.…………………………………………………………… (10分)
-1
∵n∈N*,∴1 n ,2≤2 <1
即1≤Tn<1. …………………………………………………………………………………………… (2 12
分)
20.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2).
b2x2+a2 2-a2b2=0,
(Ⅰ)由题意可得{ 1 y1b2x22+a2y22-a2b2=0.
∴y -y b
2 2
1 2=- 2·
x1+x2=-b2·
-4
x1-x .2 a y1+y2 a 3
依题意得4b
2
3a2=1
, ………………………………………………………………………………………… (3分)
∴b
2
=3a2 4.
∵a2-b2=1,
∴a2=4,b2=3.
2 2
∴椭圆C的标准方程为x +y =1. …………………………………………………………………… (5分)4 3
数学(理科)试题参考答案- 5
(Ⅱ)根据对称性知 AB = EG ,AB∥EG,
∴四边形ABEG 是平行四边形.
又S四边形ABEG=2S△F2AB,
∴问题可转化为求S△F AB 的最大值. …………………………………………………………………… ( 分)2 7
设直线l 的方程为x=my-1,代入x
2 y2
1 ,得4+3=1
(3m2+4)y2-6my-9=0.
则y +y = 6m -91 2 3m2
, ,
+4y1y2=3m2+4
1 6m 2∴S · · ( )2 · -9 12 1+m
2
△F2AB=2 2 |y1-y2|= y1+y2 -4y1y2= (3m2+4) -4 3m2+4= 3m2+4 .
……………………………………………………………………………………………………………… (9分)
令 1+m2=t,则t≥1,且m2=t2-1,
∴S 12t 12 1△F AB= 2 记 () ( ),易知 ()在[, )上单调递增2 3t+1= 1. ht =3t+t t≥1 ht 1 +∞ .3t+t
∴h(t) 12 12min=h(1)=4.∴S△F2AB= 1≤ =3.3t+ 4t
∴四边形ABEG 的面积的最大值是6.………………………………………………………………… (12分)
21.【解析】(Ⅰ)当f(x)=0时,2a=xx ,记h(x)=
x
x ,则h'(x)=
1-x
e e ex .
故h(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,且h(1)=1e.
而当x≤0时,h(x)≤0恒成立;当x>0时,h(x)>0恒成立,
所以当0<2a<1,即a∈ (0,1 ) 时,f(x)=0有两个不相等的实数根. …………………………… (4分)e 2e
(Ⅱ)解法一 由已知得,p(x)=f(x)ex+1 2xa=2ae -xe
x+1,a
所以p'(x)=4ae2x-(x+1)ex=-ex[(x+1)-4aex].
由p(0)=2a+1,结合题意可得2a+1≤0,即a a a<0.
………………………………………………… (5分)
令g(x)=(x+1)-4aex,则g(x)在 R上单调递增.
因为当x<0时,g(x)因为g(-1)=-4ae-1>0,所以 x0∈(4a-1,-1),使得g(x0)=0,
且当x∈(-∞,x0)时,g(x)<0,则p'(x)>0;
当x∈(x0,+∞)时,g(x)>0,则p'(x)<0.
所以p(x)在(-∞,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减.
故p(x) 2x x 1max=p(x0)=2ae 0-x0e0+ . ……………………………………………………………… (a 8
分)
由g(x x x0+10)=(x0+1)-4ae0=0,得a=4ex .0
代入p(x) =p(x )=2ae2xmax 0 0-xex 1 x -1 40 0+a≤0
,得 0
2 ≥x0+1.
结合x0+1<0,得x20-1≤8,所以-3≤x0<-1.
令q(x)=x+1x (4e -3≤x<-1
),则q'(x)=-x ,4ex>0
数学(理科)试题参考答案- 6
3 3
所以q(x)在[-3,-1)上单调递增.所以q(x)≥q(-3)=-e,即2 a≥-
e
2.
3
故a的最小值为-e .…………………………………………………………………………………… (12分)2
解法二 由p(x)=(2aex-x)ex+1≤0,得2aexa -x+
1
aex≤0.
由p(0)=2a+1≤0,得a<0.…………………………………………………………………………… (5分)a
1 x 2 x x x() x , ( ( ) ( )( )设gx =2ae-x+ 则aex g'x
)=2aex-1- 1 =2ae -ae-1 2ae+1 ae-1aex aex = aex .
当2aex+1<0时,即x>ln(-1 ) 时,g'(x)2a <0,g(x)单调递减;
当2aex+1>0时,即x0gx .
所以当x0=ln(-1 ) ,即aex 1 102a =- 时,2 g(x)取得最大值,g(x)max=g(ln(-2a ) )=-3-x0.
…………………………………………………………………………………………………………… (10分)
由题意可知,-3-x0≤0,即x0≥-3.
3
所以a=- 12ex ≥-
e .
0 2
3
故a的最小值为-e .…………………………………………………………………………………… ( 分)2 12
22.【解析】(Ⅰ)曲线C 的直角坐标方程为(x-2)2+(y-2)2=8,即x2+y21 -4x-4y=0,其极坐标方程为ρ2-
4ρcosθ-4ρsinθ=0,即ρ=4cosθ+4sinθ.……………………………………………………………… (4分)
ì 5π ,
x= 2cos4=-1(Ⅱ)∵ í ∴点B 的直角坐标为(-1,-1),且曲线C2 恒过点B(-1,-1). …… (5分)
5π
y= 2sin4=-1
,
将曲线C2 的方程代入(x-2)2+(y-2)2=8,得(-3+tcosθ)2+(-3+tsinθ)2=8,
化简得t2-(6cosθ+6sinθ)t+10=0.…………………………………………………………………… (7分)
令Δ=(6cosθ+6sinθ)2-40=0,
则6cosθ+6sinθ=±2 10,
∴t2±2 10t+10=0,
即( 2t± 10)=0,
解得t= 10或t=- 10.
∴|AB|=|t|= 10.…………………………………………………………………………………… (10分)
23.【解析】(Ⅰ)当x≤-2时,
f(x)=-x-2-x+1+x=-x-1.
由-x-1≤5,得x≥-6,
∴不等式的解集为[-6,-2].…………………………………………………………………………… (1分)
当-2f(x)=x+2-x+1+x=x+3.
由x+3≤5,得x≤2,
∴不等式的解集为(-2,1).……………………………………………………………………………… (2分)
当x≥1时,
数学(理科)试题参考答案- 7
f(x)=x+2+x-1+x=3x+1.
由3x+1≤5,得x≤4,3
∴不等式的解集为 [1,43 ].
综上,原不等式的解集为 [-6,4 ]. …………………………………………………………………… ( 分)3 4
(Ⅱ)解法一 原不等式可化为|x+2|+|x-1|≥(m-1)x.
当x≤-2时,-x-2-x+1≥(m-1)x,即m-1≥-2-1x.
∵上式恒成立,∴m-1≥-2+1,即m≥-1. ……………………………………………………… ( 分)2 2 6
当-2, {3≥m-1,∵上式恒成立 ∴ ∴-12≤m≤4.………………………………………………………… (8分)3≥2-2m.
当x≥1时,x+2+x-1≥(m-1)x,即m-1≤2+1x.
∵上式恒成立,∴m-1≤2,即m≤3.
综上所述,实数m 的取值范围为 [-1,3].…………………………………………………………… (10分)2
解法二 原不等式可化为|x+2|+|x-1|≥(m-1)x,
设g(x)=|x+2|+|x-1|,h(x)=(m-1)x,
函数g(x)的大致图象如图所示:
∵k 3-0OA= , , 3-0 3, ,1-0=3kAB=2kOC=-2-0=-2 kCD=-2
∴kOA>kAB,且kOC>kCD .………………………………………… (7分)
() (), {m-1≥0,要使gx ≥hx 则 m-1≤2
m-1<0,
或{m-1≥-32.
解得1≤m≤3或-12≤m<1
,
∴实数m 的取值范围为 [-1,3]. …………………………………………………………………… (2 10分)
数学(理科)试题参考答案- 8姓名
准考证号
绝密★启用前
湘豫名校联考(2022年1月)
数学(理科)试卷
注意事项
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷〔非选择题)两部分
分钟,满分150分
答卷前
务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡
回答第I卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效
可答第∏卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交
第Ⅰ卷(选择题共60分
选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
符合题目要求
已知集合M
1<0},N={yy
x∈M},则M∩N
是复数z的共轭复数.在复平面内,复数z+2与2+2i对应的点关于y轴对称
将正方形ABCD沿着对角线AC折成一个直二面角,此时
刂边长
4.已知a>0,b>0,条件p:4a+b=ab,条件q:a+b≥9,则p是q的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
在平面直角坐标系中,已知三点A
则△ABC的内切圆的
方程为
数学(理科)试题第1页(共6页
6.已知
项式
的展开式中所有项的系数和为192则展开式中
的常数项
D
从区间(1,5)中任取两个实数
4,事件
在事件A发生的条件下,事件B发生的概率为
8.将函数f(x
0)的图象向左平移
位长度,再向上平
移m个单位长度,得到函数
的图象若g(2的图象关于点(2)对称,则
的最小值为
9.已知四边形ABCD是矩形,AB=2AD
H=1,AE⊥AF,则
0.我国南宋著名数学家秦九韶发现
斜”求积公式,即△ABC的三个内角A,B,C所
对的边分别为a
则△ABC的面积
已知在
√3,则△ABC面积的最大值为
函数f(x)=
数为
A bsc<
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分
的中位数与方差分别为2,1,则2x1-1
1的中位数与方差的和为
14.已知a∈
知三棱锥D-ABC的底面ABC是边长为23的正三角形,DA=√3
角D-AC-B的大小为150°,则三棱锥D-ABC的外接球的体积为
数学(理科)试题第2页(共6页)
6已知双曲线C:-2=1(>0.b>0)过点M(O,-b)的直线1与双曲线c在
限切于点A,F为双曲线C的右焦点,若直线AF的斜率
刂双曲线C的离
解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考
题毎个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答
(一)必考题:共60分
题共12分
身高体重指数(BMI)的大小直接关系到人的健康状况,某高中高三(1)班班主任为了
解该班学生的身体健康状况,从该班学生中随机选取5名学生,测量其身高、体重(数
据如下表)并进行线性回归分析,得到线性回归方程为y=0.9x-90,因为某些原因
号学生的体重数据丢失
求表格中的z值
(丑)已知公式R
可以用来刻画回归的效果,请问学生的
约有百分之多少是由身高引起的(注:结果四舍五人取整数
数学(理科)试题第3页(共6页
