唐尧中学 2021-2022 学年度上学期第二次月考 7. 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，D为棱 A1B1的中点，AC=2，
高二 数学 CC1=BC=1，AC⊥BC，则异面直线 CD 与 BC1所成角的余弦值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 2 D. 2
6 3 4 3
（满分：150 分，时间：120 分钟）
2 2
注意事项： 8．已知双曲线C :
x y
2 a b2
1(a 0,b 0) 的左、右焦点分别为 F1,F2 ，实轴长为 5，点 M 在 C
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号等信息填写在答题卡上。 的左支上，过点 M 作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 N，则当 MF2 |MN |取最小值 10 时，该
2．请将答案正确填写在答题卡上。 双曲线的渐近线方程为（ ）
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
A． y 1 x B． y 1 x C． y 2x D． y 4x
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中， 4 2
只有一项是符合题目要求的. 二、多项选择题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.全部选对得 5 分，选对但不全的
得 2 分，有错选的得 0 分．
1. 若直线经过两点 A(2, m),B(m,m 1)且倾斜角为135 ，则 m的值为（ ）
9. 已知直线 l 的一个方向向量为 a=（m，1，3），平面α的一个法向量为 b=（-2，n，1），则下
3 3
A.2 B. C.1 D. 列结论正确的有（ ）
2 2
A. 若 l∥α，则 2m-n=3 B. 若 l⊥α，则 2m-n=3
2 2
2. 已知直线 l将圆C : x y 2x 2y 1 0 平分，且与直线3x 2 y 3 0垂直，则直线
C. 若 l∥α，则 mn+2=0 D. 若 l⊥α，则 mn+2=0
l 的方程为（ ） 10. 等差数列 是递增数列，满足 7 = 3 5，前 n 项和为 ，下列选项正确的是（ ）
A.3x 2 y 5 0 B.2x 3y 1 0 C.2x 3y 5 0 D.3x 2 y 1 0 A. d > 0 B. a1 > 0
2
3. 已知抛物线 y 2px(p 0)上的点M (2,m)到其焦点的距离为 3，则该抛物线的准线方程 C. 当 n = 5时，Sn最小 D. 当Sn > 0，n 的最小值为 8
为（ ） 11．已知直线 + 2 1 = 0 与直线 = 1 2有且仅有一个公共点，则 m 的取值可能是
A． x 2 B． x 1 C． x 1 （ ）D． x 2
1 2 4
A. B. C.1 D.
4. 记 为等差数列 的前 n 项和．若 4 + 5 = 24， 6 = 48，则 的公差为（ ） 3 3 3
A.1 B. 2 C. 4 D. 8 5 1 5 112．一般地，我们把离心率为 的椭圆称为“黄金椭圆”．把离心率为 的双曲线称为
2 2
5. 已知空间直角坐标系中，O为坐标原点，P的坐标为 (0， 3，4)，则 P到原点O的距离与 P到
“黄金双曲线”，则下列命题正确的有（ ）
平面 xOy的距离之和为（ ） x2 y2
A．若 1是“黄金椭圆，则m 5 5 5
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 10 m
6. 等差数列的 首项为 1，公差不为 0．若 a ，a ，a 成等比数列，则 前 6项的和为（ ） B．若焦距为 4，且点 A 在以 F1,F2 为焦点的“黄金椭圆”上，则 AF1F2的周长为6 2 5 2 3 6
2 2
A -24 B. -3 C. 3 D. 8 F x y C．若 1是黄金双曲线 2 2 1的左焦点，C是右顶点， B(0,b)则 F BC a b 1 2
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2 2 19. （本小题满分 12 分）
D．若 AB x y是黄金双曲线 2 2 1的弦，离心率为 e，M是 AB的中点，若 AB和OM 的斜率a b 已知数列 的前 n 项和为 n ，在①Sn = 2an 3，②Sn = 3 × 2 3这两个条件中任选一个，
均存在，则 kOM kAB e 并作答.
三、填空题:共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. （1）求数列 的通项公式；
13.过点 P( 1，3)，与直线 x 3y 1 0 2 垂直的直线方程为___________． （2） 设 = 2 ，求数列 的前 n 项和 3 。
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
14.等差数列 的前 n项和为 ， 3 = 3， 4 = 10，则 ____________．
15.已知双曲线 C: 2 2 = 1，点 F1，F2为其两个焦点，点 P 为双曲线 C 上一点，且满足 20. （本小题满分 12 分）
PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为________． C y2已知抛物线 : 2px (p 0)过点 (4, 4) ,直线 y 2x m与抛物线C相交于不同两点
16.在空间直角坐标系Oxyz中，已知 A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,4)．过O作OH 平面 ABC A、B. (1)求实数m的取值范围；
于点H ，则点H 的坐标为___________． (2)若 AB中点的横坐标为1,求以 AB为直径的圆的方程
四、解答题:共 6 题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分 10 分） 21. （本小题满分 12 分）
已知数列 {an}为等差数列, a2 3 ,前 n项和为 Sn ,数列 {bn}为等比数列,公比为 2 ,且 如图,四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, PB BC,PD CD, 且 PA AB , E 为
b2S3 54 ,b3 S2 16． PD中点.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式； (1)求证: PA 平面 ABCD；
(2)求二面角 A BE C的余弦值．
(2)设数列{cn}满足 cn an bn ,求数列{cn}的前 n项和Tn．
18.（本小题满分 12 分） 22. （本小题满分 12分）
已知圆C : x2 ( y 2)2 4 2 2，直线 l :mx y 1 m 0(m R)． E : x y 2已知椭圆 2 2 1 ( a b 0 )的离心率为 ,其长轴长为2 2．a b 2
（1）判断直线 l 与圆 C的位置关系； (1)求椭圆 E 的方程；
（2）若直线 l与圆 C 交于 A，B 两点，且 ACB 120 ，求直线 l的方程. (2)直线 l1 : y k1x交 E于 A,C
1
两点,直线 l2 : y k2x交 E于 B,D两点,若 k1 k2 .求四边形2
ABCD的面积．
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高二 数学答案
一、选择题
1.C 2. C 3.B 4.C 5.D 6.A 7.A 8. C
9.AD 10.AD 11.ABD 12.BCD
二、填空题
13． 14． 15． 16．
三、解答题
17．解：(1)由题知,解得,所以,； ………5分
(2).
……10分
18. 解：（1）∵直线，则，
∴直线l过定点............... 2分
∵圆，∴圆心，
∴，即圆心到定点的距离小于圆的半径，即定点在圆内，
∴直线与圆相交．.....................5分
（2）∵直线l与圆C交于A、B两点，且，圆，
∴圆心到直线的距离为1，...................... 9分
∴，解得，.................................... 11分
∴直线l的方程为．........................................................12分
18.
18. 解：(1)由题意：抛物线方程为.联立,得，
因为相交于、两点,则有：，
解得． .........................6分
(2)设，，由满足，
所以直线：,从而中点为圆心，
而为直径,则，
所以以为直径的圆的方程为． ......................................12分
18. 解：(1)底面是正方形
,又,,平面,.
同理可得,又,平面. ……………5分
(2)建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设底面正方形的边长为,则,，,.
设是平面的法向量,则
又,,令,则,得.
同理可得是平面的一个法向量，
则，
二面角的余弦值为. …………………………12分
18. 解：(1)由已知得：解得．
所以椭圆的方程为． …………………………·····4分
(2)设，则
联立，则，
，………………·····6分
同理可得，
且到直线的距离……·····8分
所以 ……·····10分
又
所以 ……·····12分
