吉林省长春市重点高中2022届高三上学期12月第二学程考试数学（理）试题（Word版含答案）

长春市重点高中2022届高三上学期12月第二学程考试
理科数学试题
第Ⅰ卷（共60 分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．记全集，设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．已知空间中的两个不同的平面，，直线平面，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
4．一个正棱柱的正视图和俯视图如图所示（单位：），则该三棱柱侧视图的面积（单位：）是（ ）
A． B．2 C． D．
5.已知向量，，若，则向量与的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
6．曲线在处的切线的倾斜角为，则（ ）
A． B． C． D．
7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S15>0，S16<0，则数列的前15项中最大的项是（ ）
A．第1项 B．第8项 C．第9项 D．第15项
8．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵中，，且.下列说法错误的是（ ）
A．四棱锥为“阳马”
B．四面体为“鳖臑”
C．四棱锥体积最大为
D．过A点分别作于点E，于点F，则
9.在△中，，，，，且点是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数实数a，b满足不等式，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，下列结论中正确的个数是（ ）
①的图象关于中心对称；②的图象关于对称；③的最大值为；④既是奇函数，又是周期函数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12.用符号表示不超过的最大整数，例如：，，．设函数有三个零点，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D． QUOTE QUOTE
第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿正北方向航行（如图）．若A船的航行速度为40nmile/h，1h后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船相距________nmile．
14.如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，分别为和的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为_____．
15.十九世纪丹麦数学家琴生对数学分析做出卓越贡献，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，定义：函数f(x)在(a，b)上的导函数为，在(a，b)上的导函数为，若在(a，b)上<0恒成立，则称函数f(x)在(a，b)上为“严格凸函数”．若函数f(x)=在(1，4)上为“严格凸函数”，则m的取值范围为_____．
16.数列已知数列满足：，（）.正项数列满足：对于每个，，且，，成等比数列，则的前n项和为_____．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤．第17-21为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23为选考题，考生根据要求作答.
（一）必做题：17-21，每题12分,共60分.
17. 已知的角A、B、C所对边分别为、、，，．
（1）求A；
（2）若角A的平分线与交于点，，求、．
18．如图1，在矩形ABCD中，AB= 4，AD=2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1﹣ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE.
（1）设F为CD1的中点，试在AB上找一点M，使得MF∥平面D1AE；
（2）求直线BD1与平面CD1E所成角的正弦值.
19．已知正项数列满足，，，成等比数列，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求及数列的通项公式；
（3）若，求数列的前n项和
20.已知点在抛物线上，过点的直线与抛物线C有两个不同的交点A、B，且直线PA交轴于M，直线PB交轴于N.
（1）求直线的斜率的取值范围；
（2）设O为原点，，试判断是否为定值，若是，求值；若不是，求的取值范围.
21.已知函数，.
（1）当时，设，求证：；
（2）若恰有两个零点，求的最小整数值.
（二）选做题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为.
（1）求的直角坐标方程；
（2）与相交于不同两点、，线段中点为，点，若，求参数方程中的值.
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知函数.
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若的解集为，且，求的最小值.
长春市重点高中2022届高三上学期12月第二学程考试
数学试卷答案
一、单选题
1．A 2．C 3．B 4．D 5.A 6．B 7．B 8．C 9．A 10．C 11．C12.B
二、填空题
13．【答案】 14．【答案】
15．【答案】 16．【答案】
3、解答题
17.（1）（2）
（1）由正弦定理及得，，
，即，所以，，
所以，，
，所以，．
（2）解：是角的平分线，，
，即，
，①，由（1）知，②
由①②解得．
18．【答案】（1）AM=；（2）.
【详解】
（1）取D1E的中点N，连AN、NF，则，
∵，当AM=时，，
则且，则AMFN是平行四边形，AN∥MF.
又平面D1AE，平面D1AE，则MF∥平面D1AE.
（2）分别取AE、AB、BC的中点O、G、K，连OD1、OM、OK、EG，
∵AD1=ED1=2，∴OD1⊥AE，又平面D1AE⊥平面ABCE且交于AE，
∴OD1⊥平面ABCE.易知OK∥AB，OM∥EG∥BC，又AB⊥BC，∴OM⊥OK，
故如图建系O﹣xyz.
设平面CD1E的法向量 =（x， y， z），
∵EC∥y轴，∴，
∵，
∴D1为（0， 0，），又E为（﹣1， 1， 0），则，
由，取，则=（， 0， 1）.
又B为（1， 3， 0），则，
记直线BD1与平面CD1E所成角的大小为，
则.
19．【答案】（1）证明见解析（2）；（3）；【分析】
小问1：由题意得，两边取对数可得，即可证明；
小问2：由（1）知，所以，即可求解；
小问3：由可化为，所以，结合小问2即可求证明．
（1）
因为，，成等比数列，所以，
所以因为，所以，
将式两边取对数，得，即，
所以，数列是首项为，公比为2的等比数列
（2）由（1）知，所以，所以
所以
（3）因为，即①；
又因为，所以，即②；
①式代入②式消去，可得
所以
因为，，则，所以
20．【答案】
（1）（3）定值为2
（1）
因点在抛物线上，则，解得，
所以抛物线C的方程为.
令直线的斜率为k，则直线方程为：，
由消去y并整理得：，
因直线与抛物线C有两个不同的交点A、B，则，解得且，
又直线PA，PB与相交，而点(1，-2)在抛物线C上，则直线不能过点(1，-2)，
否则PA或PB之一平行于y轴，矛盾，因此，
综上得：，且，
所以直线的斜率的取值范围.
（2）设点，，，而，则，同理，
设，由(2)知，
直线方程：，即，则，
令，得，同理，
于是得
，
所以为定值2.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
21.【答案】（1）证明见解析；（2）2.
（1）当时，，
则，
因为， 所以，
所以，所以函数在上为增函数，
所以；
（2）当时，，设，
因为，所以，
所以，所以函数无零点，
当时，设， 因为，
所以， 即，
，
所以函数无零点
当时，，
设，，
所以函数在上为减函数，
又，，
所以在上存在零点，使，
当时，，当时，，
函数在上为增函数，在上为减函数，
因为，，
，
所以函数在，各一个零点，
综上所述：当时，恰有两个零点，当时，，
所以时，是恰有两个零点的最小整数值 .
22．【答案】（1）（2）或
（1）
解：由得，所以，
将代入得，即，
所以的直角坐标方程为；
（2）
解：将代入整理得
设、对应的参数分别为、，则、是方程的两根，
所以，因为，所以，所以，此时，
所以，所以，所以或.
23．【答案】（1）6 （2）【分析】
（1）解：当时，，所以，当时等号成立
∴函数的最小值为6.
（2）解：由得，
因为的解集为，∴，解得，∴，
（当且仅当时取等号），
（当且仅当时取等号），的最小值为.