第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,,若,且,则的值为( )
A.2 B.3 C.5 D.6
2.已知平面向量的夹角为,且,则( )
A.2 B.4 C.1 D.
3.设正项等比数列的前n项和为,若,,则公比q等于( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
4.曲线在处的切线斜率为( )
A. B. C.1 D.
5.已知一个几何体的三视图如图所示,
则该几何体的体积为( )
A. B.
C. D.
6.函数的一个零点是( )
A. B. C. D.
7.已知向量,,则( )
A. B. C. D.
8.已知函数为奇函数, 则( )
A. B. C. D.
9.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,,△ABC的面积,则等于( )
A. B. C. D.
10.△中,点为上的点,且,若,则的值是( )
A.1 B. C. D.
11.已知数列满足,(且),数列的前n项和为Sn,则( )
A. B. C. D.
12.已知函数,若且满足,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知直棱柱的底面周长为12,高为4,则这个棱柱的侧面积等于___________.
14.若,,则________.
15.设函数,若,则实数的取值范围是___________.
16.若关于的不等式在有解,则实数的取值范围是__.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.设等差数列的公差不为,,且成等比数列.
(1)求的通项公式;
(2)设数列的前项和为,求使成立的的最小值.
18.如图,在四棱锥中,底面为菱形,
且,为等边三角形.
(1)求证:;
(2)若,,求点到平面的距离.
19.某果园新采摘了一批苹果,从中随机抽取个作为样本,称出它们的重量(单位:克),将重量按照,,,进行分组,得到频率分布直方图如图所示(同一组中的数据以该组区间的中点值为代表).
(1)估计这批苹果的重量的平均数.
(2)该果园准备把这批苹果销售给一家超市,据市场行情,有两种销售方案:
方案一:所有苹果混在一起,价格为元/千克;
方案二:将不同重量的苹果分开,重量不小于
克的苹果的价格为元/千克,重量小于克的苹果的价格为元/千克,但果园需支付每个苹果元的分拣费.
分别估计并比较两种方案下果园销售个苹果的收入.
20.已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆C的长半轴长为2,且经过点;过点的直线l与椭圆C相交于不同的两点A,B.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在直线l,满足向量,若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
21.已知函数.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)若函数的最小值为,求参数a的值.
(二)选做题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(为参数),以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.直线l的极坐标方程是.
(1)求圆C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程;
(2)射线()与圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求的面积.
23.已知函数.
(1)当时,求函数的最小值;
(2)若的解集为,且,求的最小值.
长春市重点高中2022届高三上学期12月第二学程考试
数学(文科)试题参考答案
一、选择题
CABDC BDCBC AC
二、填空题
13. 48 14. 15. 16.
三、解答题
17. 解:(1)设等差数列的公差为,
因为成等比数列,所以,即 ,
解得,或(舍去), …………3分
所以的通项公式为;
所以 …………6分
(2)因为,
所以, …………9分
依题意有,解得,
使成立的的最小值为8. …………12分
18. (1)证明:取中点,连结,,
为菱形,,为等边三角形,, …………2分
为等边三角形, …………4分
,面,面,
面, …………6分
(2)由题意,可得,
,,
,平面 平面 …………8分
, …………10分
,
, …………11分
设点到平面的距离为,则,.…………12分
19.解:(1)由题意,得,解得. …………2分
个苹果重量的平均数为,
故估计这批苹果的重量的平均数约为. …………4分
(2)若采用方案一,估计销售收入约为(元).……6分
若采用方案二,重量小于克的苹果的总重量约为
(千克), …………8分
重量不小于克的苹果的总重量约为
(千克), …………10分
估计销售收入约为(元) …………11分
因此,方案一的销售收入更高. …………12分
20.(1)∵中心在原点,焦点在x轴上的椭圆C的长半轴长为2,且经过点,
∴设椭圆C的方程为,由题意得,…………2分
解得,∴椭圆C的方程为. …………4分
(2)∵过点的直线l与椭圆C相交于不同的两点A,B,
∴若存在直线l满足题意,则直线l的斜率必存在 …………5分
设直线l的方程为:,
由,得,
∵直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B,
设A、B两点的坐标分别为,
∴,
整理,得,解得, …………7分
又, …………8分
∵,即,
∴,
∴, …………10分
∴,
解得, …………11分
∵,∴,∴存在直线l满足条件,其方程为. …………12分
21解:(1)当时,
,求导 …………1分
令,即,则(舍);.
∴当,,在区间单调递减; …………3分
当,,在区间单调递增;
∴函数的单调减区间为,单调增区间为;…………5分
(2),求导得:,
令,则,且开口向上,,
∴存在,使得,即 …………6分
当,,在区间单调递减;
当,,在区间单调递增;
,即, …………8分
又,两式相减得:, …………10分
令,求导,
∴函数在区间单调递增,且
∴函数有唯一解,
∴,解得. …………12分
解:(1)利用,把圆的参数方程(为参数),
化为,∴,即.
由化简得:,
则直线的直角坐标方程为: ,即. …………5分
(2)设为点的极坐标,由解得,即.
设为点的极坐标,由解得,即
∵,∴.∴,点C到OM的距离为,
所以的面积为. …………10分
8.(1)解:当时,,
所以,
当时等号成立,∴函数的最小值为6. …………5分
(2)解:由得,
因为的解集为,∴,解得,∴,
(当且仅当时取等号),
(当且仅当时取等号),
的最小值为. …………10分
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