吉林省长春市重点高中2021-2022学年高一上学期12月第二学程考试数学试题（Word版含答案）

长春市重点高中2021-2022学年度高一上学期第二学程考试
数 学 试 题
第Ⅰ卷（共 60分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项
是符合题目要求的.
1．已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．角的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．2 B． C． D．
4．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
5．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过分钟后物体的温度可由公式求得.其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于的常数.现有的物体，放在的空气中冷却，分钟以后物体的温度是，则约等于（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
6．已知函效，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
7．设，则（ ）
A． B． C． D．
8．若是偶函数，且、都有，若，则不等式的解集为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
二、多选题.本题共4小题，每小题5分.共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9．下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（ ）
A．所有的正方形都是矩形 B．有些梯形是平行四边形
C．， D．至少有一个整数，使得
10．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x>0时，f（x），mR，那么函数g（x）=f（x）﹣2在定义域内的零点个数可能是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
11．已知函数，则下面几个结论正确的有（ ）
A．的图象关于原点对称
B．的图象关于轴对称
C．的值域为
D．，且，恒成立
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名了“高斯函数”．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的有（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．的值域是 D．是上的减函数
第Ⅱ卷（共 90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
14．已知正实数，满足，则的最小值为______．
15．已知函数，若，，，互不相等，且，则的取值范围是_______.
16．若正数，满足，，则=________
四、解答题（本大题共6小题，17题10分，18-22题每题2分，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（本题满分10分）已知函数满足.
（1）求常数的值；
（2）解不等式.
18．（本题满分12分）已知函数且)的图像过点.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在区间上的最大值是最小值的4倍，求实数的值.
19．（本题满分12分）已知.
（1）解不等式：；
（2）若在区间上的最小值为，求实数a的值.
20．（本题满分12分）已知函数.
（1）若函数在区间与内各有一个零点，求实数的取值范围；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
21．（本题满分12分）定义在上的函数是单调函数，满足，且，.
（1）判断的奇偶性，并证明；
（2）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围.
22．（本题满分12分）已知函数
（1）当时，求满足的值；
（2）当时，
①存在，不等式有解，求的取值范围；
②若函数满足，若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值；
参考答案
1．B 因为，故， 故选：B.
2．D 因为，所以角与角是终边相同的角，又，所以角的终边在第四象限.故选：D
3．A 因为幂函数的图象经过点，设，，，所以幂函数的解析式为：，则.故选：A.
4．C函数有意义，则，即且，
所以函数的定义域为.故选：C.
5．A 由题意得，，，两边取自然对数得，，
所以，故选：A
6．B 由题意知，，. 故选：B
7．B 由题意，
，且
，故 故选：B
8．D 、都有，不妨设，则，
故函数在上为增函数，因为函数为偶函数，故，
由可得，可得，解得.
9．因此，不等式的解集为. 故选：D.
9．CD
对于A选项，命题“所有的正方形都是矩形”是全称量词命题，该命题为真命题，A不满足要求；
对于B选项，命题“有些梯形是平行四边形”为存在量词命题，该命题为假命题，B不满足要求；
对于C选项，命题“，”为存在量词命题，取，则，该命题为真命题，C满足要求；
对于D选项，命题“至少有一个整数，使得”为存在量词命题，取，则，该命题为真命题，D满足要求.故选：CD.
10．BC
解：由得，，不是方程的根．
当x>0时，f（x），
当0当x>2时，令，即（m﹣2）x=2m，
当m=2时，方程无解，
当m>2时，方程有解x2，符合题意，
当m<2时， x2，不符合题意，方程无解．
所以当x>0时，f（x）=2有2个或3个根，
而函数f（x）是定义在R上的偶函数，
所以函数g（x）=f（x）﹣2在定义域内的零点个数可能是4或6，故选：BC.
11．AD
对于A，，则，
则为奇函数，故图象关于原点对称，故A正确.
对于B，计算，，故的图象不关于y轴对称，故B错误.
对于C，，，
故，易知：，故的值域为,故C错误.
对于D，，
因为在上为增函数，为上的减函数，
由复合函数的单调性的判断法则可得在上单调递减，
故，且，恒成立，故D正确.
故选：AD.
12．AC
显然，是偶函数，
由，
当，即或时，，，
当，即时，，，
∴，
∴为偶函数，的值域为．故选：．
13．
因为，即，由于“”是“”的充分不必要条件，则，但不能推出，所以，
故答案为：.
14．
【详解】
因为，，，
所以，即，
当且仅当，即时取等号.
故答案为：
15．
【详解】
由解析式知：在上递减且值域为，在上递增且值域为，在上递减且值域为，在上递增且值域为.
∴的草图如下，令且，则，，，为与的交点横坐标，
由图知：，且，
∴(注意基本不等式的等号不能取)，又，
∴：由对勾函数的单调性知，在上递增，
∴，即.
综上，的范围为.
故答案为：
16．
【详解】因为，所以，
即 ①
因为，所以，则，
即 ②
观察①②两式，构造函数，
因为在上单调递增，所以 ③
由①、③，得：，即.
故答案为：.
17．（1）；（2）.
【详解】
（1）因为，所以；
由，，可得，解得：；
（2）由（1）得，
由得，
当时，，解得，则；
当时，，解得，则；
所以的解集为.
18．（1）（2）
【详解】
（1）因为函数且)的图像过点，
所以，解得，所以
（2）由（1）知，所以函数为递减函数.
故函数在区间上的最大值，最小值分别为，，
所以，即，解得.
19．（1）或；（2）或.
【详解】
（1）或；
（2）令，则
在区间上的最小值，在上的最大值为4，
当时，，；
当，，.
综上，或
20．（1）；（2）.
【详解】
（1）由于的图象开口向上，
且在区间与内各有一零点，故，即，
解得，即实数的取值范围为.
（2）不等式在上恒成立，
，
令，其对称轴为，
当时，对称轴，
∴在上单调递增，∴，故满足题意.
当时，对称轴，
又在上恒成立，故，
解得，故，综上，实数的取值范围为.
21．（1）取，得，即，，
取，得，移项得
函数是奇函数；
（2）
，又，
得，得；可得；
是奇函数，
且；在上是增函数，
在上恒成立，即
在上恒成立，
令.由于，.
，，即实数的取值范围为.
22．（1）；（2）①；②6．
【详解】
（1）当时，，化简得，
解得：或（舍），所以
（2）当时，
①对任意，且有：
，
因为，所以，所以，因此在上递减．
∵，∴
即在时有解，所以，解得
所以的取值范围为
②∵，∴．
∴，．
不等式恒成立，即恒成立
令，则在时恒成立
令，根据对勾函数图像得在上单调递减，在上单调递增，
∴，∴．所以，实数的最大值是6．