2021-2022学年沪科版九年级上学期数学期末练习试卷(word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年沪科版九年级上学期数学期末练习试卷(word版含解析） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 527.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-07 00:00:00 | ||
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文档简介
2021-2022学年沪科新版九年级上学期数学期末练习试卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而减小的是（ ）
A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝2x D．y＝﹣2x
3．下列表述不正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④半圆是弧；⑤圆内接四边形对角互补．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．在同一平面直角坐标系中，函数y＝﹣kx+k与y＝（k≠0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍然不能使△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ACB＝∠ADC B．∠ACD＝∠ABC C． D．
7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若|ax2+bx+c|＝k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣3 B．k＞﹣3 C．k＜3 D．k＞3
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B，D分别在x轴，y轴的正半轴上，A（4，﹣2），sin∠ADO＝，若反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象经过对角线BD的中点M，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，经过点（﹣1，2）和（1，0）．下列结论中，正确的是（ ）
A．a＞1
B．2a+b＜0
C．a+b≤m（am+b）（m为任意实数）
D．（a+b）2＜c2
10．如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，CA＝CB，AD为BC边上的中线，CG⊥AD于G，交AB于F，过点B作BC的垂线交CG于E．现有下列结论：①△ADC≌△CEB；②DF＝CD；③∠ADC＝∠BDF；④F为EG中点．其中结论正确的为（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①③
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n＝0的根，则m+n＝ ．
12．如图，是一个半径为6cm，面积为12πcm2的扇形纸片，现需要一个半径为R的圆形纸片，使两张纸片刚好能组合成圆锥体，则R等于 cm．
13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点C是弧BD的中点，∠A＝50°，则∠CBD的度数为 ．
14．在平面直角坐标系中，A点坐标为（﹣1，4），B点坐标为（5，4）．已知抛物线y＝x2﹣2x+c与线段AB有公共点，则c的取值范围是 ．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．计算：6sin45°+|2﹣7|﹣（）﹣3+（2020﹣）0．
16．先化简，再求值：（x﹣2+）÷，其中x＝﹣．
17．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度．在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为：A（0，﹣2）、B（3，﹣1）、C（1，1）
（1）在甲图中画出△ABC关于y轴对称再向上平移2个单位后的△A1B1C1；
（2）在乙图中画出△ABC绕点O顺时针旋转90度后的△A2B2C2；
（3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积．（结果保留π）
18．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，过点B作BC⊥x轴，垂足为C，已知A点的坐标是（2，3），BC＝2．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b﹣≥0的解集；
（3）求△ABC的面积．
19．如图，在某建筑物AC上挂着一幅宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测得仰角为30°；再往条幅方向前行20m到达点E处，看条幅顶端B，测得仰角为60°，求宣传条幅BC的长．（小明的身高忽略不计，结果保留根号）
20．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC．
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）若DE＝6，BC＝6，求阴影部分的面积．
21．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠BDE＝∠BAD＝90°．
（1）求证：BD2＝BA BE；
（2）若AB＝6，BE＝8，求CD的长．
22．春节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为30元/件，物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于120%．分析往年同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）近似的满足一次函数关系，数据如下表：
销售单价x（元/件） … 40 50 60 …
每天销售量y（件） … 300 250 200 …
（1）直接写出y与x的函数关系式： ；
（2）试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润；
（3）为了确保今年每天销售此鲜花礼盒获得的利润不低于5000元，请预测今年销售单价的范围是多少？
（4）花店承诺：今年每销售一件鲜花礼盒就捐赠n元（n＜5）给“爱心基金”．若扣除捐赠后的日利润随着日销量的减小而增大，则n的取值范围是多少？
23．【概念认识】
若以三角形某边上任意一点为圆心，所作的半圆上的所有点都在该三角形的内部或边上，则将符合条件且半径最大的半圆称为该边关联的极限内半圆．
如图①，点P是锐角△ABC的边BC上一点，以P为圆心的半圆上的所有点都在△ABC的内部或边上．当半径最大时，半圆P为边BC关联的极限内半圆．
【初步思考】
若等边△ABC的边长为1，则边BC关联的极限内半圆的半径长为 ．
如图②，在钝角△ABC中，用直尺和圆规作出边BC关联的极限内半圆（保留作图痕迹，不写作法）．
【深入研究】
如图③，∠AOB＝30°，点C在射线OB上，OC＝6，点Q是射线OA上一动点．在△QOC中，若边OC关联的极限内半圆的半径为r，当1≤r≤2时，求OQ的长的取值范围．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
2．解：A、函数y＝，在x＞0时y随自变量x的值增大而减小，或x＜0时y随自变量x的值增大而减小，故A不符合题意，
B、函数y＝﹣，在x＞0时y随自变量x的值增大而增大，或x＜0时y随自变量x的值增大而增大，故B不符合题意，
C、函数y＝2x，y随自变量x的值增大而增大，故C不符合题意，
D、函数y＝﹣2x，y随自变量x的值增大而减小，故D符合题意，
故选：D．
3．解：①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故①表述不正确；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故②表述不正确；
③圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故③表述不正确；
④半圆是弧，故④表述正确；
⑤圆内接四边形对角互补，故⑤表述正确．
故选：C．
4．解：在Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
AC＝＝＝4，
∴sinA＝＝，cosB＝＝，tanA＝＝，sinB＝＝，
故选：D．
5．解：①当k＞0时，
一次函数y＝﹣kx+k经过一、二、四象限，
反比例函数的y＝（k≠0）的图象经过一、三象限，
故A选项的图象符合要求，
②当k＜0时，
一次函数y＝kx﹣k经过一、三、四象限，
反比例函数的y＝（k≠0）的图象经过二、四象限，
没有符合条件的选项．
故选：A．
6．解：A、当∠ACB＝∠ADC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
B、当∠ACD＝∠ABC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
C、当＝时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
D、当＝时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意；
故选：D．
7．解：∵当ax2+bx+c≥0，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象在x轴上方，
∴此时y＝|ax2+bx+c|＝ax2+bx+c，
∴此时y＝|ax2+bx+c|的图象是函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x轴上方部分的图象，
∵当ax2+bx+c＜0时，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象在x轴下方，
∴此时y＝|ax2+bx+c|＝﹣（ax2+bx+c）
∴此时y＝|ax2+bx+c|的图象是函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x轴下方部分与x轴对称的图象，
∵y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点纵坐标是﹣3，
∴函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x轴下方部分与x轴对称的图象的顶点纵坐标是3，
∴y＝|ax2+bx+c|的图象如右图，
∵观察图象可得当k≠0时，
函数图象在直线y＝3的上方时，纵坐标相同的点有两个，
函数图象在直线y＝3上时，纵坐标相同的点有三个，
函数图象在直线y＝3的下方时且在x轴上方时，纵坐标相同的点有四个，
∴若|ax2+bx+c|＝k（k≠0）有两个不相等的实数根，
则函数图象应该在y＝3的上边，
故k＞3，
故选：D．
8．解：如图，过A点作AE⊥y轴于E，过B点作y轴的平行线，交AE于F，
∵A（4，﹣2），sin∠ADO＝，
∴AE＝4，OE＝BF＝2，
∴AD＝5，
∴DE＝＝3，
∴OD＝3﹣2＝1，
∴D（0，1），
∵∠DAE+∠BAF＝90°＝∠DAE+∠ADE，
∴∠ADE＝∠BAF，
∵∠AED＝∠BFA＝90°，
∴△ADE∽△BAF，
∴＝，即＝，
∴AF＝，
∴EF＝AE+AF＝4+＝，
∴B（，0），
∵点M是BD的中点，
∴M（，），
∵反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象经过点M，
∴k＝×＝，
故选：C．
9．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，2）和（1，0）．
∵a﹣b+c＝2，a+b+c＝0，
∴2a+2c＝2，即a+c＝1，
又∵c＜0，
∴a＞1，因此选项A正确；
∵对称轴x＝﹣＜1，a＞0，
∴2a+b＞0，因此选项B不正确；
当x＝m时，y＝am2+bm+c，当0＜x＜1时，y有最小值，有am2+bm+c＜a+b+c，因此选项C不正确；
∵（a+b+c）（a+b﹣c）＝0，即（a+b）2﹣c2＝0，因此选项D不正确；
故选：A．
10．解：∵∠BCA＝90°，CG⊥AD，
∴∠ECD+∠ADC＝∠E+∠ECD＝90°，
∴∠E＝∠ADC，
∵BE⊥BC，
∴∠EBC＝∠ACD，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴①正确；
∵AD为BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∵AG⊥CE，
∴∠AFB≠90°，
∴DF≠CB，
∴DF≠CD，
∴②不正确；
∵△ADC≌△CEB，且D为BC中点，
∴BE＝CD＝BD，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠DBF＝∠EBF＝45°，
在△BEF和△BDF中，
，
∴△BEF≌△BDF（SAS），
∴∠E＝∠BDF，又∠E＝∠ADC，
∴∠ADC＝∠BDF，
∴③正确；
∵△BEF≌△BDF，
∴EF＝DF，
在Rt△DFG中，DF＞FG，
∴EF＞FG，
∴F不是EG的中点，
∴④不正确；
综上可知正确的有①③共两个，
故选：D．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．解：∵n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n＝0的根，
代入得：n2+mn+2n＝0，
∵n≠0，
∴方程两边都除以n得：n+m+2＝0，
∴m+n＝﹣2．
故答案是：﹣2．
12．解：∵圆锥的弧长＝2×12π÷6＝4π，
∴圆锥的底面半径＝4π÷2π＝2cm，
故答案为2．
13．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝50°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，
∵点C是的中点，
∴＝，
∴CD＝CB，
∴∠CDB＝∠CBD＝×（180°﹣130°）＝25°，
故答案为：25°．
14．解：∵y＝x2﹣2x+c＝（x﹣1）2+c﹣1，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（1，c﹣1）对称轴为直线x＝1，
如图，当c﹣1＝4时，c＝5，抛物线顶点落在线段AB上，满足题意，
c减小，图象向下移动，当抛物线经过点B时，如图，
把（5，4）代入y＝x2﹣2x+c得：
4＝25﹣10+c，
解得c＝﹣11，
∴﹣11≤c≤5满足题意．
故答案为：﹣11≤c≤5．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．解：原式＝6×+7﹣2﹣8+1，
＝3+7﹣2﹣8+1，
＝．
16．解：原式＝（+）
＝
＝2（x+2）
＝2x+4，
当x＝﹣时，
原式＝2×（﹣）+4
＝﹣1+4
＝3．
17．解：（1）如图甲中△A1B1C1即为所求．
（2）如图乙中，△A2B2C2即为所求．
（3）线段BC扫过的面积＝S△OBC+﹣﹣＝﹣＝﹣＝2π．
18．解：（1）A点的坐标是（2，3），代入反比例函数y＝得，
m＝6，
∴反比例函数的关系式为y＝，
由BC＝2，可得点B的纵坐标y＝﹣2，代入反比例函数关系式得，x＝﹣3，
∴点B（﹣3，﹣2），
设一次函数的关系式为y＝kx+b，将A（2，3），B（﹣3，﹣2）代入得，
，解得，，
∴一次函数的关系式为y＝x+1，
答：反比例函数的关系式为y＝，一次函数的关系式为y＝x+1；
（2）根据函数图象可得，
当﹣3≤x＜0或x≥2时，不等式kx+b﹣≥0成立；
（3）如图，过点A作AM⊥BC，交BC的延长线于点M，
S△ABC＝×BC AM＝×2×（2+3）＝5，
答：△ABC的面积为5．
19．解：∵∠BFC＝30°，∠BEC＝60°，
∴∠EBF＝∠EFB＝30°，
∴BE＝EF＝20m，
在Rt△BEC中，
∵∠BEC＝60°，
∴BC＝BE sin60°＝20×＝10m．
答：宣传条幅BC的长为m．
20．（1）证明：连接OD交BC于H，连接OB、OC，如图，
∵点E是△ABC的内心
∴AD平分∠BAC，
即∠BAD＝∠CAD，
∴∠BOD＝∠COD，
∴＝，
∴OD⊥BC，BH＝CH，
∵DG∥BC，
∴OD⊥DG，
∴DG是⊙O的切线；
（2）解：∵点E是△ABC的内心，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DBC＝∠BAD，
∴∠DEB＝∠BAD+∠ABE＝∠DBC+∠CBE＝∠DBE，
∴DB＝DE＝6，
∵BH＝BC＝3，
在Rt△BDH中，sin∠BDH＝＝＝，
∴∠BDH＝45°，
∵OB＝OD，
∴△OBD为等腰直角三角形，
∴∠BOD＝90°，
∵BD＝6，
∴OB＝OD＝3，
∵∠DOC＝∠BOD＝90°，
∴阴影部分的面积＝S扇形DOC﹣S△DOC
＝﹣3×3
＝π﹣9．
21．证明：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
又∵∠BDE＝∠BAD＝90°，
∴△ABD∽△DBE，
∴，
∴BD2＝BA BE；
（2）∵AB＝6，BE＝8，BD2＝BA BE，
∴BD＝4，
∴DE＝＝＝4，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝∠BDE+∠EDC，
∴∠ABD＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠DBC，
又∵∠C＝∠C，
∴△BCD∽△DCE，
∴，
∴，
∴EC＝4，CD＝4．
方法二、∵sin∠DBE＝＝＝，
∴∠DBE＝30°，
∴∠ABD＝∠DBE＝30°，
∴∠C＝30°，
∴∠C＝∠DBC，
∴BD＝CD，
∵∠ABD＝30°，
∴cos∠ABD＝＝
∴BD＝4，
∴CD＝4．
22．解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
把x＝40，y＝300和x＝50，y＝250分别代入得：
，
解得：，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+500，
故答案为：y＝﹣5x+500；
（2）设每天获得的利润为W元，则
W＝（﹣5x+500）（x﹣30）
＝﹣5x2+650x﹣15000，
∵0≤x﹣30≤30×120%，
∴30≤x≤66，
∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝65，
∴当x＝65时，W有最大值，为6125．
∴销售单价为65元时，销售利润最大，最大利润为6125元；
（3）当W＝5000时，﹣5x2+650x﹣15000＝5000，
解得，x1＝50，x2＝80，
二次函数的开口向下，可知W≥5000时，50≤x≤80，
∵x≤66，
∴50≤x≤66；
（4）设W'表示扣除捐款后的日利润，
W'＝（﹣5x+500）（x﹣30﹣n）
＝﹣5（x﹣100）（x﹣30﹣n）
＝﹣5x2+（650+5n）x﹣15000﹣500n，
∵y随x的增大而减小，要使得W'随着y的减小而增大，
∴在x≤66范围内，W'随x的增大而增大，
∵开口向下，对称轴是直线x＝65+，
∴65+≥66，
解得n≥2，
∵n＜5，
∴2≤n＜5．
23．解：（1）如图，设边BC关联的极限内半圆与AC相切于点T，连接OT，AO．
∵OB＝OC＝，∠C＝60°，∠OTC＝90°，
∴OT＝OC sin60°＝，
故答案为．
（2）如图，半圆O即为所求．
（3）当 r＝1 时，OQ 取得最小值．
如图③中，半圆P与OQ、QC 分别相切于点 M、N，连接 PQ．设 QM＝x，则 QN＝QM＝x．
在 Rt△OPM 中，∵∠OMP＝90°，∠AOB＝30°，PM＝1，
∴OP＝2PM＝2，OM＝PM＝
在 Rt△PCN 中，∠PNC＝90°，PN＝1，PC＝4，
∴CN＝＝
∴OQ＝OM+MQ＝+x，CQ＝CN+NQ＝+x．
∵S△OPQ：S△CPQ＝OP：PC＝1：2，且 PM＝PN，
∴OQ：QC＝1：2．
∴QC＝2OQ．
∴+x＝2（+x），解 得 x＝﹣2．
∴OQ＝﹣．
当 r＝2 时，半圆P经过点 C．
如图③﹣1，过点 C 作 OB 的垂线交 OA 于点 D．
由（2）知，当 Q 在射线 DA 上时，∵OD＝2CD＝4，
∴OQ≥4，均符合题意．
综上所述，当 1≤r≤2 时，OQ≥﹣．
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而减小的是（ ）
A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝2x D．y＝﹣2x
3．下列表述不正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④半圆是弧；⑤圆内接四边形对角互补．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．在同一平面直角坐标系中，函数y＝﹣kx+k与y＝（k≠0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍然不能使△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ACB＝∠ADC B．∠ACD＝∠ABC C． D．
7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若|ax2+bx+c|＝k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣3 B．k＞﹣3 C．k＜3 D．k＞3
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B，D分别在x轴，y轴的正半轴上，A（4，﹣2），sin∠ADO＝，若反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象经过对角线BD的中点M，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，经过点（﹣1，2）和（1，0）．下列结论中，正确的是（ ）
A．a＞1
B．2a+b＜0
C．a+b≤m（am+b）（m为任意实数）
D．（a+b）2＜c2
10．如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，CA＝CB，AD为BC边上的中线，CG⊥AD于G，交AB于F，过点B作BC的垂线交CG于E．现有下列结论：①△ADC≌△CEB；②DF＝CD；③∠ADC＝∠BDF；④F为EG中点．其中结论正确的为（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①③
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n＝0的根，则m+n＝ ．
12．如图，是一个半径为6cm，面积为12πcm2的扇形纸片，现需要一个半径为R的圆形纸片，使两张纸片刚好能组合成圆锥体，则R等于 cm．
13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点C是弧BD的中点，∠A＝50°，则∠CBD的度数为 ．
14．在平面直角坐标系中，A点坐标为（﹣1，4），B点坐标为（5，4）．已知抛物线y＝x2﹣2x+c与线段AB有公共点，则c的取值范围是 ．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．计算：6sin45°+|2﹣7|﹣（）﹣3+（2020﹣）0．
16．先化简，再求值：（x﹣2+）÷，其中x＝﹣．
17．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度．在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为：A（0，﹣2）、B（3，﹣1）、C（1，1）
（1）在甲图中画出△ABC关于y轴对称再向上平移2个单位后的△A1B1C1；
（2）在乙图中画出△ABC绕点O顺时针旋转90度后的△A2B2C2；
（3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积．（结果保留π）
18．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，过点B作BC⊥x轴，垂足为C，已知A点的坐标是（2，3），BC＝2．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b﹣≥0的解集；
（3）求△ABC的面积．
19．如图，在某建筑物AC上挂着一幅宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测得仰角为30°；再往条幅方向前行20m到达点E处，看条幅顶端B，测得仰角为60°，求宣传条幅BC的长．（小明的身高忽略不计，结果保留根号）
20．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC．
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）若DE＝6，BC＝6，求阴影部分的面积．
21．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠BDE＝∠BAD＝90°．
（1）求证：BD2＝BA BE；
（2）若AB＝6，BE＝8，求CD的长．
22．春节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为30元/件，物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于120%．分析往年同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）近似的满足一次函数关系，数据如下表：
销售单价x（元/件） … 40 50 60 …
每天销售量y（件） … 300 250 200 …
（1）直接写出y与x的函数关系式： ；
（2）试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润；
（3）为了确保今年每天销售此鲜花礼盒获得的利润不低于5000元，请预测今年销售单价的范围是多少？
（4）花店承诺：今年每销售一件鲜花礼盒就捐赠n元（n＜5）给“爱心基金”．若扣除捐赠后的日利润随着日销量的减小而增大，则n的取值范围是多少？
23．【概念认识】
若以三角形某边上任意一点为圆心，所作的半圆上的所有点都在该三角形的内部或边上，则将符合条件且半径最大的半圆称为该边关联的极限内半圆．
如图①，点P是锐角△ABC的边BC上一点，以P为圆心的半圆上的所有点都在△ABC的内部或边上．当半径最大时，半圆P为边BC关联的极限内半圆．
【初步思考】
若等边△ABC的边长为1，则边BC关联的极限内半圆的半径长为 ．
如图②，在钝角△ABC中，用直尺和圆规作出边BC关联的极限内半圆（保留作图痕迹，不写作法）．
【深入研究】
如图③，∠AOB＝30°，点C在射线OB上，OC＝6，点Q是射线OA上一动点．在△QOC中，若边OC关联的极限内半圆的半径为r，当1≤r≤2时，求OQ的长的取值范围．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
2．解：A、函数y＝，在x＞0时y随自变量x的值增大而减小，或x＜0时y随自变量x的值增大而减小，故A不符合题意，
B、函数y＝﹣，在x＞0时y随自变量x的值增大而增大，或x＜0时y随自变量x的值增大而增大，故B不符合题意，
C、函数y＝2x，y随自变量x的值增大而增大，故C不符合题意，
D、函数y＝﹣2x，y随自变量x的值增大而减小，故D符合题意，
故选：D．
3．解：①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故①表述不正确；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故②表述不正确；
③圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故③表述不正确；
④半圆是弧，故④表述正确；
⑤圆内接四边形对角互补，故⑤表述正确．
故选：C．
4．解：在Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
AC＝＝＝4，
∴sinA＝＝，cosB＝＝，tanA＝＝，sinB＝＝，
故选：D．
5．解：①当k＞0时，
一次函数y＝﹣kx+k经过一、二、四象限，
反比例函数的y＝（k≠0）的图象经过一、三象限，
故A选项的图象符合要求，
②当k＜0时，
一次函数y＝kx﹣k经过一、三、四象限，
反比例函数的y＝（k≠0）的图象经过二、四象限，
没有符合条件的选项．
故选：A．
6．解：A、当∠ACB＝∠ADC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
B、当∠ACD＝∠ABC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
C、当＝时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
D、当＝时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意；
故选：D．
7．解：∵当ax2+bx+c≥0，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象在x轴上方，
∴此时y＝|ax2+bx+c|＝ax2+bx+c，
∴此时y＝|ax2+bx+c|的图象是函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x轴上方部分的图象，
∵当ax2+bx+c＜0时，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象在x轴下方，
∴此时y＝|ax2+bx+c|＝﹣（ax2+bx+c）
∴此时y＝|ax2+bx+c|的图象是函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x轴下方部分与x轴对称的图象，
∵y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点纵坐标是﹣3，
∴函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x轴下方部分与x轴对称的图象的顶点纵坐标是3，
∴y＝|ax2+bx+c|的图象如右图，
∵观察图象可得当k≠0时，
函数图象在直线y＝3的上方时，纵坐标相同的点有两个，
函数图象在直线y＝3上时，纵坐标相同的点有三个，
函数图象在直线y＝3的下方时且在x轴上方时，纵坐标相同的点有四个，
∴若|ax2+bx+c|＝k（k≠0）有两个不相等的实数根，
则函数图象应该在y＝3的上边，
故k＞3，
故选：D．
8．解：如图，过A点作AE⊥y轴于E，过B点作y轴的平行线，交AE于F，
∵A（4，﹣2），sin∠ADO＝，
∴AE＝4，OE＝BF＝2，
∴AD＝5，
∴DE＝＝3，
∴OD＝3﹣2＝1，
∴D（0，1），
∵∠DAE+∠BAF＝90°＝∠DAE+∠ADE，
∴∠ADE＝∠BAF，
∵∠AED＝∠BFA＝90°，
∴△ADE∽△BAF，
∴＝，即＝，
∴AF＝，
∴EF＝AE+AF＝4+＝，
∴B（，0），
∵点M是BD的中点，
∴M（，），
∵反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象经过点M，
∴k＝×＝，
故选：C．
9．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，2）和（1，0）．
∵a﹣b+c＝2，a+b+c＝0，
∴2a+2c＝2，即a+c＝1，
又∵c＜0，
∴a＞1，因此选项A正确；
∵对称轴x＝﹣＜1，a＞0，
∴2a+b＞0，因此选项B不正确；
当x＝m时，y＝am2+bm+c，当0＜x＜1时，y有最小值，有am2+bm+c＜a+b+c，因此选项C不正确；
∵（a+b+c）（a+b﹣c）＝0，即（a+b）2﹣c2＝0，因此选项D不正确；
故选：A．
10．解：∵∠BCA＝90°，CG⊥AD，
∴∠ECD+∠ADC＝∠E+∠ECD＝90°，
∴∠E＝∠ADC，
∵BE⊥BC，
∴∠EBC＝∠ACD，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴①正确；
∵AD为BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∵AG⊥CE，
∴∠AFB≠90°，
∴DF≠CB，
∴DF≠CD，
∴②不正确；
∵△ADC≌△CEB，且D为BC中点，
∴BE＝CD＝BD，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠DBF＝∠EBF＝45°，
在△BEF和△BDF中，
，
∴△BEF≌△BDF（SAS），
∴∠E＝∠BDF，又∠E＝∠ADC，
∴∠ADC＝∠BDF，
∴③正确；
∵△BEF≌△BDF，
∴EF＝DF，
在Rt△DFG中，DF＞FG，
∴EF＞FG，
∴F不是EG的中点，
∴④不正确；
综上可知正确的有①③共两个，
故选：D．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．解：∵n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n＝0的根，
代入得：n2+mn+2n＝0，
∵n≠0，
∴方程两边都除以n得：n+m+2＝0，
∴m+n＝﹣2．
故答案是：﹣2．
12．解：∵圆锥的弧长＝2×12π÷6＝4π，
∴圆锥的底面半径＝4π÷2π＝2cm，
故答案为2．
13．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝50°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，
∵点C是的中点，
∴＝，
∴CD＝CB，
∴∠CDB＝∠CBD＝×（180°﹣130°）＝25°，
故答案为：25°．
14．解：∵y＝x2﹣2x+c＝（x﹣1）2+c﹣1，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（1，c﹣1）对称轴为直线x＝1，
如图，当c﹣1＝4时，c＝5，抛物线顶点落在线段AB上，满足题意，
c减小，图象向下移动，当抛物线经过点B时，如图，
把（5，4）代入y＝x2﹣2x+c得：
4＝25﹣10+c，
解得c＝﹣11，
∴﹣11≤c≤5满足题意．
故答案为：﹣11≤c≤5．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．解：原式＝6×+7﹣2﹣8+1，
＝3+7﹣2﹣8+1，
＝．
16．解：原式＝（+）
＝
＝2（x+2）
＝2x+4，
当x＝﹣时，
原式＝2×（﹣）+4
＝﹣1+4
＝3．
17．解：（1）如图甲中△A1B1C1即为所求．
（2）如图乙中，△A2B2C2即为所求．
（3）线段BC扫过的面积＝S△OBC+﹣﹣＝﹣＝﹣＝2π．
18．解：（1）A点的坐标是（2，3），代入反比例函数y＝得，
m＝6，
∴反比例函数的关系式为y＝，
由BC＝2，可得点B的纵坐标y＝﹣2，代入反比例函数关系式得，x＝﹣3，
∴点B（﹣3，﹣2），
设一次函数的关系式为y＝kx+b，将A（2，3），B（﹣3，﹣2）代入得，
，解得，，
∴一次函数的关系式为y＝x+1，
答：反比例函数的关系式为y＝，一次函数的关系式为y＝x+1；
（2）根据函数图象可得，
当﹣3≤x＜0或x≥2时，不等式kx+b﹣≥0成立；
（3）如图，过点A作AM⊥BC，交BC的延长线于点M，
S△ABC＝×BC AM＝×2×（2+3）＝5，
答：△ABC的面积为5．
19．解：∵∠BFC＝30°，∠BEC＝60°，
∴∠EBF＝∠EFB＝30°，
∴BE＝EF＝20m，
在Rt△BEC中，
∵∠BEC＝60°，
∴BC＝BE sin60°＝20×＝10m．
答：宣传条幅BC的长为m．
20．（1）证明：连接OD交BC于H，连接OB、OC，如图，
∵点E是△ABC的内心
∴AD平分∠BAC，
即∠BAD＝∠CAD，
∴∠BOD＝∠COD，
∴＝，
∴OD⊥BC，BH＝CH，
∵DG∥BC，
∴OD⊥DG，
∴DG是⊙O的切线；
（2）解：∵点E是△ABC的内心，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DBC＝∠BAD，
∴∠DEB＝∠BAD+∠ABE＝∠DBC+∠CBE＝∠DBE，
∴DB＝DE＝6，
∵BH＝BC＝3，
在Rt△BDH中，sin∠BDH＝＝＝，
∴∠BDH＝45°，
∵OB＝OD，
∴△OBD为等腰直角三角形，
∴∠BOD＝90°，
∵BD＝6，
∴OB＝OD＝3，
∵∠DOC＝∠BOD＝90°，
∴阴影部分的面积＝S扇形DOC﹣S△DOC
＝﹣3×3
＝π﹣9．
21．证明：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
又∵∠BDE＝∠BAD＝90°，
∴△ABD∽△DBE，
∴，
∴BD2＝BA BE；
（2）∵AB＝6，BE＝8，BD2＝BA BE，
∴BD＝4，
∴DE＝＝＝4，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝∠BDE+∠EDC，
∴∠ABD＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠DBC，
又∵∠C＝∠C，
∴△BCD∽△DCE，
∴，
∴，
∴EC＝4，CD＝4．
方法二、∵sin∠DBE＝＝＝，
∴∠DBE＝30°，
∴∠ABD＝∠DBE＝30°，
∴∠C＝30°，
∴∠C＝∠DBC，
∴BD＝CD，
∵∠ABD＝30°，
∴cos∠ABD＝＝
∴BD＝4，
∴CD＝4．
22．解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
把x＝40，y＝300和x＝50，y＝250分别代入得：
，
解得：，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+500，
故答案为：y＝﹣5x+500；
（2）设每天获得的利润为W元，则
W＝（﹣5x+500）（x﹣30）
＝﹣5x2+650x﹣15000，
∵0≤x﹣30≤30×120%，
∴30≤x≤66，
∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝65，
∴当x＝65时，W有最大值，为6125．
∴销售单价为65元时，销售利润最大，最大利润为6125元；
（3）当W＝5000时，﹣5x2+650x﹣15000＝5000，
解得，x1＝50，x2＝80，
二次函数的开口向下，可知W≥5000时，50≤x≤80，
∵x≤66，
∴50≤x≤66；
（4）设W'表示扣除捐款后的日利润，
W'＝（﹣5x+500）（x﹣30﹣n）
＝﹣5（x﹣100）（x﹣30﹣n）
＝﹣5x2+（650+5n）x﹣15000﹣500n，
∵y随x的增大而减小，要使得W'随着y的减小而增大，
∴在x≤66范围内，W'随x的增大而增大，
∵开口向下，对称轴是直线x＝65+，
∴65+≥66，
解得n≥2，
∵n＜5，
∴2≤n＜5．
23．解：（1）如图，设边BC关联的极限内半圆与AC相切于点T，连接OT，AO．
∵OB＝OC＝，∠C＝60°，∠OTC＝90°，
∴OT＝OC sin60°＝，
故答案为．
（2）如图，半圆O即为所求．
（3）当 r＝1 时，OQ 取得最小值．
如图③中，半圆P与OQ、QC 分别相切于点 M、N，连接 PQ．设 QM＝x，则 QN＝QM＝x．
在 Rt△OPM 中，∵∠OMP＝90°，∠AOB＝30°，PM＝1，
∴OP＝2PM＝2，OM＝PM＝
在 Rt△PCN 中，∠PNC＝90°，PN＝1，PC＝4，
∴CN＝＝
∴OQ＝OM+MQ＝+x，CQ＝CN+NQ＝+x．
∵S△OPQ：S△CPQ＝OP：PC＝1：2，且 PM＝PN，
∴OQ：QC＝1：2．
∴QC＝2OQ．
∴+x＝2（+x），解 得 x＝﹣2．
∴OQ＝﹣．
当 r＝2 时，半圆P经过点 C．
如图③﹣1，过点 C 作 OB 的垂线交 OA 于点 D．
由（2）知，当 Q 在射线 DA 上时，∵OD＝2CD＝4，
∴OQ≥4，均符合题意．
综上所述，当 1≤r≤2 时，OQ≥﹣．
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