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北师版八年级下册数学1.1.3等腰三角形的判定教学设计
课题 1.1.3 等腰三角形的判定 单元 第一单元 学科 数学 年级 八
学习目标 1. 掌握等腰三角形的判定定理；会用等腰三角形的判定进行简单的推理判断及应用。2.培养学生对命题抽象概括能力，加强发散思维训练。培养大胆分析，敢于求异，勇于探索的精神和能力，形成良好的思维品质。3.通过对等腰三角形的判定定理的探索，让学生体会探索学习的乐趣，并通过等腰三角形的判定定理的简单应用，加深对定理的理解，从而培养学生利用已有知识解决实际问题的能力。
重点 等腰三角形的判定方法及应用。
难点 1.性质与判定的综合应用。2.将实际问题抽象成数学问题，并用数学知识解决。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 等腰三角形有哪些性质？①等腰三角形是轴对称图形.②等腰三角形的两个底角相等(简写成 “等边对等角”) .③等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称为“三线合一”).你能画一个等腰三角形吗？在前两节课，我们学习了等腰三角形的相关性质. 怎样的一个三角形才是等腰三角形呢？前面我们学习了等腰三角形的两底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？ 教师回顾前面等腰三角形的性质和判定定理的基础上,直接提出问题:如何判别一个三角形是等腰三角形呢 从而引入新课。 在老师的引导下，一般学生都能得出等腰三角形的性质；对于等腰三角形的判别，学生可能会出现多种情况。
讲授新课 证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形.已知：如图，在△ABC 中， ∠B= ∠C.求证：AB=AC .分析：如图，在△ABC中，∠B=∠C，要想证明 AB=AC，只要能构造两个全等的三角形，使AB与AC 成为对应边就可以了. 证明： 作AD⊥BC于点D，∴ ∠ADB= ∠ADC=90°.又∵ ∠B= ∠C ， AD=AD，∴ △ABD≌△ACD.∴ AB=AC.【总结归纳】等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.简述为：“等角对等边”应用格式：在△ABC中，∵∠B=∠C, ∴AB=AC(等角对等边). 要判定一个三角形是等腰三角形，除用定义外，还可以用判定定理判定.只要发现一个三角形中有两个角相等，可断定这个三角形是等腰三角形.【例】已知：如图，AB= DC，BD=CA. BD与CA相交于点E.求证：△AED 是等腰三角形.证明： ∵ AB=DC， BD=CA， AD=DA， ∴ △ABD≌△DCA（SSS），∴ ∠ADB= ∠DAC（全等三角形的对应角相等） .∴ AE=DE （等角对等边）.∴ △AED 是等腰三角形.【想一想】在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等. 你能证明这个结论吗？在△ABC 中， 如果 ∠B≠∠C，那么AB≠AC.证明：在△ABC 中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等.假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠B=∠C，这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因此AB≠AC.【总结归纳】证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.你能总结反证法的证明步骤吗？反证法的证明步骤：（1）反设：假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立.（2）归谬：从这个命题出发，经过推理证明得出矛盾.（3）结论：由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论正确.【例】 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.已知：△ABC.求证：∠A，∠B， ∠C 中不能有两个角是直角.证明： 假设∠A，∠B， ∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°， 则∠A+∠B +∠C=90 °+90°+∠C=180 °+∠C >180°.这与三角形内角和定理矛盾，所以∠A=∠B=90°不成立.所以一个三角形中不能有两个角是直角.【总结归纳】适宜用反证法证明的命题：反证法主要用于直接证明比较困难的命题，例如下面几种常见类型的命题就适宜用反证法：(1)结论以否定形式出现的命题，如钝角三角形中不能有两个钝角；(2)唯一性命题，如两条直线相交只有一个交点；(3)命题的结论以“至多”“至少”等形式叙述的命题，如一个凸多边形中至多有3个锐角． 学生自主探究三角形成为等腰三角形的条件,并交流汇报各自的结论,教师适时要求学生给出相对规范的证明,概括出等腰三角形的判别条件。学生在教师的引导下总结归纳。通过所学知识做练习，整理步骤，加深印象。学生思考回答问题，尝试证明问题。学生在教师的引导下总结归纳。总结反证法的证明步骤。学生做例题。总结归纳适宜用反证法证明的命题。 经历定理的探究过程,即明确有关定理,同时提高学生的自主探究能力。培养学生的探究精神，进一步提升学生的想象力空间，培养学生的探究发现能力。培养学生应用所学知识解决问题的能力与意识，鼓励创新与多角度多方法思考问题，活跃学生的思维，发展创造性.总结回顾学习内容，帮助学生归纳.巩固学生的所学知识，总结反思。培养学生应用所学知识解决问题的能力与意识，鼓励创新与多角度多方法思考问题，活跃学生的思维，发展创造性.总结回顾学习内容，帮助学生归纳.巩固学生的所学知识，总结反思。
课堂练习 1.把下列命题用反证法证明时的第一步写出来.（1）三角形中必有一个内角不小于60度；（2）一个三角形中不能有两个角是钝角；（3）同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.答案：（1）假设三角形中三个内角都小于60度（2）假设一个三角形中有两个角是钝角（3）假设在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线不平行2.已知△ABC三个内角的对边分别为a，b，c，则下列条件中，△ABC不是等腰三角形的是( B )A. a=3，b=3，c=4B. a∶b∶c=4∶5∶6C. ∠B=50°，∠C=80°D. ∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶23.已知△ABC中，AB=AC，求证:∠B<90°.下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤:①所以∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和为180°矛盾;②因此假设不成立,所以∠B<90°;③假设在△ABC中,∠B≥90°;④由AB=AC,得∠B=∠C≥90°,即∠B+∠C≥180°.这四个步骤正确的顺序应是③④①②.(填序号) 4.如图，在△ABC 中，∠ABC的平分线交 AC于点 D，DE∥BC.求证：△EBD是等腰三角形.证明：∵ DE∥BC ， ∴∠DBC=∠EDB .又∵BD是∠ABC的平分线 ，∴∠ ABD= ∠CBD. ∴∠EDB = ∠ ABD . ∴ BE=ED（等角对等边），∴ △EBD是等腰三角形.5.如图，已知∠AOB，作∠AOB的平分线OC.将直尺DEMN如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上，DN边与OC交于点P.(1)猜想△DOP是 三角形. (2)补全下面的证明过程:∵OC平分∠AOB，∴ = . ∵DN∥EM，∴ = , ∴ = , ∴ = , ∴△DOP是 三角形. 答案：等腰∠AOC；∠BOC；∠DPO；∠BOC；∠AOC；∠DPO；DO；DP；等腰6.【中考·甘孜州】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB＝3，AD＝1，则△AED的周长为( C )A．2 B．3 C．4 D．57.【中考·青岛】如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F.若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为( C )A．35° B．40° C．45° D．50° 及时巩固所学知识，了解学生的学习效果.增强学生灵活运用知识的能力，语言表达能力和对图形的分析，转化能力。
课堂小结 本节课你学到了什么？1.等腰三角形的判定是把角相等转化为边相等，但前提是在同一个三角形内．2．利用反证法解题的一般步骤： (1)假设；(2)归谬：从假设出发，经过推理论证得出与已知、定理、公理等相矛盾的结果；(3)结论：肯定命题结论正确. 总结回顾学习内容，帮助学生归纳.巩固学生的所学知识，总结反思，并通过课后的独立思考，自我评价学习效果.
板书 课题：1.1.3 等腰三角形的判定一、等角对等边二、反证法
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1.1.3 等腰三角形的判定
北师版 八年级下册
新知导入
①等腰三角形是轴对称图形.
③等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称为“三线合一”).
②等腰三角形的两个底角相等(简写成 “等边对等角”) .
等腰三角形有哪些性质？
新知导入
在前两节课，我们学习了等腰三角形的相关性质.
怎样的一个三角形才是等腰三角形呢？
你能画一个等腰三角形吗？
前面我们学习了等腰三角形的两底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？
新知讲解
分析：如图，在△ABC中，∠B=∠C，要想证明 AB=AC，
只要能构造两个全等的三角形，使AB与AC 成为对应边就可以了.
证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
已知：如图，在△ABC 中， ∠B= ∠C.
求证：AB=AC .
新知讲解
证明： 作AD⊥BC于点D，
∴ ∠ADB= ∠ADC=90°.
又∵ ∠B= ∠C ， AD=AD，
∴ △ABD≌△ACD.
∴ AB=AC.
证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
已知：如图，在△ABC 中， ∠B= ∠C.
求证：AB=AC .
D
新知讲解
【总结归纳】
等腰三角形的判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
简述为：“等角对等边”
应用格式：
∴AB=AC(等角对等边).
在△ABC中，∵∠B=∠C,
新知讲解
要判定一个三角形是等腰三角形，除用定义外，还可以用判定定理判定.
【总结归纳】
只要发现一个三角形中有两个角相等，可断定这个三角形是等腰三角形.
新知讲解
证明： ∵ AB=DC， BD=CA， AD=DA，
∴ △ABD≌△DCA（SSS），
∴ ∠ADB= ∠DAC（全等三角形的对应角相等） .
∴ AE=DE （等角对等边）.
∴ △AED 是等腰三角形.
【例】已知：如图，AB= DC，BD=CA. BD与CA相交于点E.
求证：△AED 是等腰三角形.
新知讲解
【想一想】在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等. 你能证明这个结论吗？
证明：在△ABC 中，
已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等.
假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠B=∠C，这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因此AB≠AC.
在△ABC 中， 如果 ∠B≠∠C，那么AB≠AC.
新知讲解
证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.
【总结归纳】
你能总结反证法的证明步骤吗？
新知讲解
（1）反设：假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立.
（2）归谬：从这个命题出发，经过推理证明得出矛盾.
（3）结论：由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论正确.
反证法的证明步骤：
新知讲解
证明： 假设∠A，∠B， ∠C 中有两个角是直角，
不妨设∠A=∠B=90°，
则∠A+∠B +∠C=90 °+90°+∠C=180 °+∠C >180°.
这与三角形内角和定理矛盾，所以∠A=∠B=90°不成立.
所以一个三角形中不能有两个角是直角.
【例】 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
已知：△ABC.
求证：∠A，∠B，∠C 中不能有两个角是直角.
新知讲解
【总结归纳】适宜用反证法证明的命题：
反证法主要用于直接证明比较困难的命题，例如下面几种常见类型的命题就适宜用反证法：
(1)结论以否定形式出现的命题，如钝角三角形中不能有两个钝角；
(2)唯一性命题，如两条直线相交只有一个交点；
(3)命题的结论以“至多”“至少”等形式叙述的命题，如一个凸多边形中至多有3个锐角．
课堂练习
1.把下列命题用反证法证明时的第一步写出来.
（1）三角形中必有一个内角不小于60度；
（2）一个三角形中不能有两个角是钝角；
（3）同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
假设三角形中三个内角都小于60度
假设一个三角形中有两个角是钝角
假设在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线不平行
课堂练习
2.已知△ABC三个内角的对边分别为a，b，c，则下列条件中，△ABC不是等腰三角形的是( )
A. a=3，b=3，c=4
B. a∶b∶c=4∶5∶6
C. ∠B=50°，∠C=80°
D. ∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2
B
课堂练习
3.已知△ABC中，AB=AC，求证:∠B<90°.
下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤:
①所以∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和为180°矛盾;
②因此假设不成立,所以∠B<90°;
③假设在△ABC中,∠B≥90°;
④由AB=AC,得∠B=∠C≥90°,即∠B+∠C≥180°.
这四个步骤正确的顺序应是 .(填序号)
③④①②
课堂练习
证明：∵ DE∥BC ，
∴∠DBC=∠EDB .
又∵BD是∠ABC的平分线 ，
∴∠ ABD= ∠CBD. ∴∠EDB = ∠ABD .
∴ BE=ED（等角对等边），
∴ △EBD是等腰三角形.
A
B
C
E
D
4.如图，在△ABC 中，∠ABC的平分线交 AC于点 D，DE∥BC.
求证：△EBD是等腰三角形.
拓展提高
5.如图，已知∠AOB，作∠AOB的平分线OC.将直尺DEMN如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上，DN边与OC交于点P.
(1)猜想△DOP是 三角形.
(2)补全下面的证明过程:
∵OC平分∠AOB，∴ = .
∵DN∥EM，∴ = ,
∴ = ,
∴ = ,
∴△DOP是 三角形.
等腰
∠AOC
∠BOC
∠DPO
∠BOC
∠AOC
∠DPO
DO
DP
等腰
中考链接
6.【中考·甘孜州】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB＝3，AD＝1，则△AED的周长为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
C
中考链接
7.【中考·青岛】如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F.若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为( )
A．35°
B．40°
C．45°
D．50°
C
课堂总结
本节课你学到了什么？
1.等腰三角形的判定是把角相等转化为边相等，但前提是在同一个三角形内．
2．利用反证法解题的一般步骤：
(1)假设；
(2)归谬：从假设出发，经过推理论证得出与已知、定理、公理等相矛盾的结果；
(3)结论：肯定命题结论正确.
板书设计
课题：1.1.3 等腰三角形的判定
教师板演区
学生展示区
一、等角对等边
二、反证法
作业布置
课本 P10 练习题
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