长春市重点高中2021-2022学年度高二上学期第二学程考试
数 学 试 题
第Ⅰ卷（共60分）
一、单项选择题：本题共小题，每小题5分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 直线与圆的位置关系是
A. 相切 B. 相交但直线不过圆心
C. 直线过圆心 D. 相离
2. 已知椭圆的短轴长为6，离心率为，，为椭圆的左右焦点，为椭圆上的动点，则面积的最大值为
A. 9 B. 12 C. 15 D. 20
3. 已知，，若，则与的值可以是
A. ， B. ， C. ， D. ，
4. 设，则“”是“直线l1：与直线l2：平行”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 如图是抛物线形拱桥，现拱顶离水面，水面宽. 若水面下降，则水面宽是
A. B.
C. D.
6. 如图所示，在平行六面体中，为与的交点. 若，，，则下列向量中与相等的向量是
A. B.
C. D.
7. 设，是椭圆：（）的左，右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为
A. B. C. D.
8. 光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出. 如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆和双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒. 若，则与的离心率之比为
A. B. C. D.
9. 已知点、动点满足，则点的轨迹为
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
10. 抛物线（）的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为
A. B. 1 C. D. 2
二、多项选择题：本题共小题，每小题5分. 在每小题给出的四个选项中，可以有多个选项是符合题目要求的. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
11. 某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆（地球看作是球体），测得近地点A距离地面m km，远地点B距离地面n km，地球半径为R km，关于这个椭圆有下列说法，正确的有
A. 长轴长为 B. 焦距为
C. 短轴长为 D. 离心率
12. 已知F为抛物线C：（）的焦点，下列结论正确的是
A. 抛物线的焦点到其准线的距离为.
B. 已知抛物线C与直线l：在第一、四象限分别交于A，B两点，若，则.
C. 过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，则四边形面积的最小值为.
D. 若过焦点F的直线l与抛物线C相交于M，N两点，过点M，N分别作抛物线C的切线，，切线与相交于点P，则点P在定直线上.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 点是圆上的动点，则的最大值是____________.
14. 如图，等腰梯形中，，. 一双曲线经过三点，且以为焦点，则该双曲线离心率是_________.
15. 若向量，，且与的夹角的余弦值为，则________.
16. 过双曲线的左焦点作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于两点，若，则双曲线的离心率为__________.
三、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （10分）
已知圆：. 问在圆上是否存在两点、关于直线对称，且以为直径的圆经过原点？若存在，写出直线的方程；若不存在，说明理由.
18. （12分）
某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米. 要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状（如图）.
（1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少米？
（2）若最大拱高不小于6米，则应如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小，并求出最小土方量？（已知：椭圆的面积公式为，本题结果拱高和拱宽精确到0.01米，土方量精确到1米3，，）
19. （12分）
过双曲线的右焦点，倾斜角为30°的直线交双曲线于，两点，为坐标原点，为左焦点.
（1）求；
（2）求的面积.
20. （12分）
如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱中点.
（1）求证：平面；
（2）若为中点，，试确定的值，使二面角的余弦值为.
21. （12分）
已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）已知圆过定点，圆心在轨迹上运动，且圆与轴交于、
两点，设，，求的最大值.
22. （12分）
椭圆的左右焦点分别为，且离心率为，点为椭圆上一动点，内切圆面积的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左顶点为，过右焦点的直线与椭圆相交于两点，连结、并延长交直线分别于两点，以为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.参考答案
1. B 2. B 3. A 4. A 5. D 6. A 7. C 8. A 9. D 10. A
11. ABD 12. BCD
2 2 3
13. 2 6 14. 7 15. 2或 16.
55 3
17. 解 圆 C 的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心为 C(1，－2)．
假设在圆 C 上存在两点 A、B，则圆心 C(1，－2)在直线 y＝kx－1 上，即 k＝－1.
于是可知，kAB＝1.
设 lAB：y＝x＋b，代入圆 C 的方程，
整理得 2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，
Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)>0，b2＋6b－9<0，
解得－3－3 2设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
1
则 x1＋x2＝－b－1，x1x2＝ b
2
2 ＋2b－2.
由 OA⊥ OB，知 x1x2＋y1y2＝0，
也就是 x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝0，
∴ 2x1x2＋b(x1＋x2)＋b
2＝0，
∴ b2＋4b－4－b2－b＋b2＝0，化简得 b2＋3b－4＝0，
解得 b＝－4 或 b＝1，均满足 Δ>0.
即直线 AB 的方程为 x－y－4＝0，或 x－y＋1＝0. （10分）
x2 y2
18. （1）如图建立直角坐标系，则点 P(11,4.5)，椭圆方程为 1．
a2 b2
44 7 88 7
将b h 6 与点 P坐标代入椭圆方程，得 a ，此时 l 2a 33.26
7 7
因此隧道的拱宽约为 33.26 米；（4 分）
x2 y2 2 2
（2）由椭圆方程 1，根据题意，将 (11,4.5)
11 4.5
代入方程可得 1．
a2 b2 a
2 b2
112 4.52 2 11 4.5 ab 99
因为 ，即 ab 99且 l 2a， h b，所以 S 2 2 . a b ab 2 2
112 4.52 1
当S取最小值时，有
9 2
2 2 ，得 a 11 2 ，b . a b 2 2
此时 l 2a 22 2 31.11， h b 6.36
故当拱高约为 6.36 米、拱宽约为 31.11 米时，土方工程量最小．
99
最小土方量为 2500 389立方米. （12 分）
2
19. (1)解 由双曲线的方程得 a＝ 3，b＝ 6，∴ c＝ a2＋b2＝3，F1(－3,0)，F2(3,0)．
3
直线 AB的方程为 y＝ 3 (x－3)．
3 y＝ 3 x－3 ，
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 2 2 得 5x2＋6x－27＝0. x y 3－6＝1，
6 27
∴ x1＋x2＝－5，x1x2＝－ 5 .
∴ |AB|＝ 1＋k2|x1－x2|
3
＝ 1＋
2· x1＋x
2
2 －4x1x2 3
4 36 108 16 3
＝ 3· 25＋ 5 ＝ 5 . （6分）
(2)解 直线 AB的方程变形为 3x－3y－3 3＝0.
∴ 原点 O到直线 AB的距离为
|－3 3| 3
d＝ ＝2. 3 2＋ －3 2
1 1 16 3 3 12 3
∴ S△ AOB＝2|AB|·d＝2× 5 ×2＝ 5 . （12分）
20. （Ⅰ） PA 平面 ABCD , AB 平面 ABCD , PA AB ,
平面 ABCD为矩形， AB AD , PA AD A , AB 平面PAD ,
PD 平面PAD , AB PD , PA AD , E为PD中点
PD AE, AE AB A PD 平面 ADE （6 分）
（Ⅱ）以 A为原点，以 AB, AD, AP为 x, y, z轴正方向，
建立空间直角坐标系 A BDP，令 | AB | 2，
则 A(0,0,0) ，B(2,0,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0) ，E(0,1,1)，F (1,0,0) ，
PF (1,0, 2) ，PM (2 ,2 , 2 )，M (2 ,2 ,2 2 )
m PF=0
设平面PFM 的法向量m (x1, y1, z1) ， ，
m PM =0
x 2z 0
即 ，m (2, 1,1)
2 x 2 y 2 z 0
n BF=0
设平面BFM 的法向量n (x2 , y2 , z2)， ，即
n FM =0
x 0
， n (0, 1, )
2 1 x 2 y 2 2 z 0
m n 1 3 1
| cos m,n | ，解得 . （12 分）
| m || n | 6 2 1 2 3 2
21. （1）设P x, y ，则Q x, 1 ，
∵ QP QF FP FQ，
∴ 0, y 1 x, 2 x, y 1 x, 2 ．
即2 y 1 x2 2 y 1 x2，即 4y，
2
所以动点P的轨迹C的方程 x 4y． （4分）
2
（2）解：设圆M 的圆心坐标为M a,b ，则a 4b． ①
2 2
圆M 的半径为 MD a b 2 ．
2
圆M 的方程为 x a y 2b a2 b 2 2 ．
令 y 0 x a 2 b2 a2，则 b 2 2 ，
x2整理得， 2ax 4b 4 0． ②
由①、②解得， x a 2．
不妨设 A a 2,0 ，B a 2,0 ，
2 2∴ l1 a 2 4 ， l2 a 2 4 ．
l1 l2 l
2
1 l
2 2
2 2a 16∴
l l l 42 1 1l2 a 64
a2 8 2 16a2
2 2 1 ， ③
a4 64 a4 64
l1 l2 16 16 当a 0时，由③得， 2 1 ≤2 1 2 2 ．
l 642 l1 a2 2 8
a2
当且仅当a 2 2 时，等号成立．
当a l l0时，由③得， 1 2 2 ．
l2 l1
故当a l2 2 时， 1 l 2 的最大值为2 2 ．（12 分）
l2 l1
1
22. 解：(1) 已知椭圆的离心率为 ，不妨设c t，a 2t，即b 3t，其中 t 0，
2
3 r
又△ F 1PF2 内切圆面积取最大值 时，半径取最大值为 r ，由 S C ，
3 3 F1PF2 2 F1PF2
由C F PF 为定值，因此 S F PF 也取得最大值，即点P为短轴端点，因此1 2 1 2
1 r 1 1 3
2c b (2a 2c)， 2t 3t (4t 2t) ，解得 t 1，
2 2 2 2 3
x2 y2
则椭圆的方程为 1. (4 分)
4 3
x ty 1
(2) 设直线 AB的方程为 x ty 1， A(x1, y1)，B(x2 , y2) 联立 x2 y2 可得
1 4 3
6t 9
(3t2 4)y2 6ty 9 0，则 y1 y2 ， y3 4t 2 1
y2 3 4t 2
y
直线 AA1 的方程为 y
1 (x ( 2)) ，
x1 ( 2)
y
直线BA 的方程为 y 21 (x ( 2))， x2 ( 2)
6y 6y
则P(4, 1 )，Q(4, 2 ) ，假设PQ为直径的圆是否恒过定点M (m,n)，
x1 2 x2 2
6y 6y
则MP (4 m, 1 n) ，MQ (4 m, 2 n)，
x1 2 x2 2
6y 6y
MP MQ (4 m)2 ( 1 n)( 2 n) 0
x1 2 x2 2
6y 6y
即MP MQ (4 m)2 ( 1 n)( 2 n) 0
ty1 3 ty2 3
(36 12nt)y y
即 1 2
18n(y1 y2 ) n2 (4 m)2 0
t 2y1y2 3t(y1 y2) 9
(36 12nt)( 9) 18n( 6t)
n2 (4 m)2 0 6nt 9 n2，即 (4 m)2 0
9t2 3t( 6t) 9(3t 2 4)
若PQ为直径的圆是否恒过定点M (m,n)，即不论 t为何值时，MP MQ 0恒成立，
因此，n 0 ，m 1或m 7 . 即恒过定点 (1,0) 和 (7,0) . (12 分)
