3
友好学校第七十二届联考 A．2 B． 3 C． 2 D． 2
2 2
高二数学 x y7．设椭圆 2 ＋ 2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，上顶点为 B， a b
本试卷共 22 题，满分 150 分，共 4 页。考试用时 120 分钟。
若|BF2|＝|F1F2|＝2，则该椭圆的方程为( )
注意事项：
2 2 2 2 2
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码粘贴到条形码区域内。 x y x 2 x 2 xA． 2 ＋ ＝1 B． ＋y ＝1 C． ＋y ＝1 D． ＋y ＝1
4 3 3 2 4
2.选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色中性笔书写，字体工整，笔迹清
楚。 8. 在等差数列{an}中，a3＋a5＝12－a7，则 a1＋a9＝( )
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草
A.8 B.12 C.16 D.20
纸、试题卷上答题无效。
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个
4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个 选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错
选项中，只有一项是符合题目要求． 的得 0 分．
1. 已知 a＝(－3，2，5)，b＝(1，5，－1)，则 a·(a＋3b)＝( ) 9. 等差数列{an}是递增数列，满足 a7＝3a5，前 n 项和为 Sn，下列选项正确的是
A．(0，34，10) B．(－3，19，7) C．44 D．23 ( )
2. 在直三棱柱 ABC-A B C 中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA ，则异面直线 BA A.d>0 B.a1<0 C.当 n＝5 时 Sn 最小 D.Sn>0 时 n 的最小值为 8 1 1 1 1 1
与 AC1 所成的角为( ) 10.下列说法中，正确的有( )
A．30° B．45° C．60° D．90° A．直线 y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点(3，2)
1 B．直线 y＝3x－2 在 y 轴上的截距为 2
3．已知过点 M(－2，a)，N(a，4)的直线的斜率为－ ，则|MN|＝ ( )
2
C．直线 x－√3y＋1＝0 的倾斜角为 30°
A．10 B．180 C．6 3 D．6 5
D．点(5，－3)到直线 x＋2＝0 的距离为 7
4．已知圆 C： 2 2x ＋y －4x－5＝0，则过点 P(1，2)的最短弦所在直线 l 的方程
11．如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则( )
是( )
A．3x＋2y－7＝0 B．2x＋y－4＝0 C．x－2y－3＝0 D．x－2y＋3＝0 A．BC1∥平面 AB1D1
5．抛物线 y＝ 22x 的焦点坐标是( ) B．DC⊥BC1
1 1 1 1
A． 0， B． ，0 C． 0， D． ，0 C．B1D1 与 BC1 所成角为 60°
2 2 8 8
2 2 10
x y D．BC1 与平面 BB1D1D 所成的角的正弦值为 6．已知双曲线 2 － 2 ＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离 5
a b
心率是( )
高二数学试题 第 1 页 （共 4 页） 高二数学试题 第 2 页 （共 4 页）
12. 设圆 2 2x ＋y －2x－2y－2＝0 的圆心为 C，直线 l 过(0，3)，且与圆 C 交于 19．（本小题 12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PD⊥底面 ABCD，底面 ABCD
A，B 两点，若|AB|＝2 3 ，则直线 l 的方程为( ) 为正方形，PD＝DC，E，F 分别是 AB，PB 的中点．
A．3x＋4y－12＝0 B．4x－3y＋9＝0 (1)求证：EF⊥CD；
C．x＝0 D．4x＋3y＋9＝0 (2)求 DB 与平面 DEF 所成角的正弦值．
三 、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分 ，共 20 分。
13．点 P(4，－ 2 22)与圆 x ＋y ＝4 上任一点连线的中点的轨迹方程为__________．
14．已知等比数列{an}是递增数列，Sn 是{an}的前 n 项和.若 1， 3是方程
20．（本小题 12 分）已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆 24x ＋ 29y ＝36 有相同的焦
2
x －5x＋4＝0 的两个根，则 S6＝________.
2 2 点．
x y 1
15. 已知双曲线 2 － 22 ＝1(a>0，b>0)的一个焦点与抛物线 x＝ y 的焦点重合．
a b 4 (1)求双曲线的标准方程；
若双曲线的离心率等于 5 ，则该双曲线的方程为________． (2)若点 M 在双曲线上，F1，F2 为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6 3 ，
16．如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2， 试判断△MF1F2 的形状．
D 为 AA1 上一点．若二面角 B1-DC-C1 的大小为 60°，则 AD 的长为________．
21．（本小题 12 分）已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)证明数列{an＋1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)令 bn＝3n·(an＋1)，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分,解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤。
17．(本小题 10 分)已知 a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)， 2 2x y 2
22．（本小题 12 分）已知椭圆 C： 2 ＋ 2 ＝1(a＞b＞0)的离心率为 ，且以两
a b 2
c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：
焦点为直径的圆的内接正方形面积为 2.
(1)a，b，c；
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)a＋c 与 b＋c 夹角的余弦值．
(2)若直线 l：y＝kx＋2 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，在 y 轴上是否存在点 D，
使直线 AD 与 BD 的斜率之和 kAD＋kBD 为定值？若存在，求出点 D 坐标及该
18．（本小题 12 分）记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，已知 1＝－7， 3＝－15. 定值，若不存在，试说明理由．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求 Sn，并求 Sn 的最小值.
高二数学试题 第 3 页 （共 4 页） 高二数学试题 第 4 页 （共 4 页）本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
辽源市友好学校2021-2022学年高二上学期期末考试
数学
本试卷共22题，满分150分，共6页。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码粘贴到条形码区域内。
2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色中性笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1.已知a＝(－3，2，5)，b＝(1，5，－1)，则a·(a＋3b)＝( )
A．(0，34，10) B．(－3，19，7)
C．44 D．23
解析：选C.a＋3b＝(－3，2，5)＋3(1，5，－1)＝(0，17，2)，则a·(a＋3b)＝(－3，2，5)·(0，17，2)＝0＋34＋10＝44.
2.在直三棱柱ABC A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选C.
以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，A1(0，0，1)，C1(0，1，1)，所以＝(－1，0，1)，＝(0，1，1).所以cos 〈，〉＝＝＝.所以〈，〉＝60°，即异面直线BA1与AC1所成角为60°.
3．已知过点M(－2，a)，N(a，4)的直线的斜率为－，则|MN|＝ ( )
A．10 B．180
C．6 D．6
解析：选D.kMN＝＝－，解得a＝10，即M(－2，10)，N(10，4)，所以|MN|＝＝6，故选D.
4．已知圆C：x2＋y2－4x－5＝0，则过点P(1，2)的最短弦所在直线l的方程是( )
A．3x＋2y－7＝0 B．2x＋y－4＝0
C．x－2y－3＝0 D．x－2y＋3＝0
解析：选D.将圆C的一般方程化成标准方程为(x－2)2＋y2＝9，所以C(2，0).
由题意知，过点P(1，2)的最短弦所在的直线l应与PC垂直，故有kl·kPC＝－1.
由kPC＝＝－2，得kl＝.
所以直线l的方程为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0.
5．抛物线y＝2x2的焦点坐标是( )
A． B．
C． D．
解析：选C.抛物线的标准方程为x2＝y，焦点在y轴上，所以焦点坐标为.
6．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是( )
A．2 B．
C． D．
解析：选C.由题可知y＝x与y＝－x互相垂直，可得－·＝－1，则a＝b.由离心率的计算公式，可得e2＝＝＝2，e＝.
7．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若|BF2|＝|F1F2|＝2，则该椭圆的方程为( )
A．＋＝1 B．＋y2＝1
C．＋y2＝1 D．＋y2＝1
解析：选A.因为|BF2|＝|F1F2|＝2，所以a＝2c＝2，所以a＝2，c＝1，所以b＝.所以椭圆的方程为＋＝1.
8.在等差数列{an}中，a3＋a5＝12－a7，则a1＋a9＝( )
A.8 B.12
C.16 D.20
答案 A
解析 由a3＋a5＝12－a7，得a3＋a5＋a7＝12＝3a5，即a5＝4，
故a1＋a9＝2a5＝8.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9. 等差数列{an}是递增数列，满足a7＝3a5，前n项和为Sn，下列选项正确的是( )
A.d>0 B.a1<0
C.当n＝5时Sn最小 D.Sn>0时n的最小值为8
答案 ABD
解析 由题意，设等差数列{an}的公差为d，
因为a7＝3a5，可得a1＋6d＝3(a1＋4d)，解得a1＝－3d，
又由等差数列{an}是递增数列，可知d>0，则a1<0，故A，B正确；
因为Sn＝n2＋n＝n2－n＝－，
由n∈N*可知，当n＝3或4时Sn最小，故C错误，
令Sn＝n2－n>0，解得n<0或n>7，即Sn>0时n的最小值为8，故D正确.
10.下列说法中，正确的有( )
A．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点(3，2)
B．直线y＝3x－2在y轴上的截距为2
C．直线x－y＋1＝0的倾斜角为30°
D．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离为7
解析：选ACD.对于A，化简得直线y＝a(x－3)＋2，故直线必过定点(3，2)，故A正确；
对于B，直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2，故B错误；
对于C，直线x－y＋1＝0的斜率为，故倾斜角θ满足tan θ＝(0°≤θ＜180°)，所以θ＝30°，故C正确；
对于D，因为直线x＝－2垂直于x轴，故点(5，－3)到直线x＝－2的距离为5－(－2)＝7，故D正确．故选ACD.
11．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则( )
A．BC1∥平面AB1D1
B．DC⊥BC1
C．B1D1与BC1所成角为60°
D．BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为
解析：选ABD.连接AD1，因为BC1∥AD1，BC 平面AB1D1，AD1 平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1，A正确；因为DC⊥平面BCC1B1，所以DC⊥BC1，B正确；因为BD∥B1D1，所以∠DBC1即为异面直线B1D1与BC1所成角，由题意可知∠DBC1≠60°，C错误；以D点为坐标原点，以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，1).
所以＝(－2，0，1)，＝(－2，2，0)，且为平面BB1D1D的一个法向量．
所以cos 〈，〉＝＝＝.
所以BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为，D正确．
12. 设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0，3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为( )
A．3x＋4y－12＝0 B．4x－3y＋9＝0
C．x＝0 D．4x＋3y＋9＝0
解析：选AC.当直线l的斜率不存在时， 直线l的方程为x＝0，
由
得或此时|AB|＝2，符合题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋3，因为圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心C(1，1)，半径r＝2，
所以圆心C到直线l的距离d＝＝.
因为d2＋＝r2，
所以＋3＝4，解得k＝－，
所以直线l的方程为y＝－x＋3，
即3x＋4y－12＝0，综上直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0.故选AC.
三 、填空题：本题共4小题，每小题5分 ，共20分。
13．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程为______________．
解析：设点P(4，－2)与圆上任一点连线的中点坐标为(x，y)，则由题意可知圆上的点的坐标为(2x－4，2y＋2)，所以(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，整理得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝1
14．已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和.若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.
答案 63
解析 ∵a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两根，且q＞1，∴a1＝1，a3＝4，则公比q＝2，因此S6＝＝63.
15.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点与抛物线x＝y2的焦点重合．若双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为________．
解析：抛物线x＝y2的方程化为标准形式为y2＝4x，焦点坐标为(1，0)，则得a2＋b2＝1.又e＝＝，易求得a2＝，b2＝，所以该双曲线的方程为5x2－y2＝1.
答案：5x2－y2＝1
16．如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2，D为AA1上一点．若二面角B1 DC C1的大小为60°，则AD的长为________．
解析：如图，
以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Cxyz，则C(0，0，0)，B1(0，2，2).设AD＝a(0≤a≤2)，则点D的坐标为(1，0，a)，＝(1，0，a)，＝(0，2，2).
设平面B1CD的法向量为m＝(x，y，z)，则 令z＝－1，得m＝(a，1，－1).又平面C1DC的一个法向量为(0，1，0)，记为n，则由cos 60°＝，得＝，即a＝，故AD＝.
答案：
四、解答题：本大题共6小题，共70分。其中第17题10分，18、19、20、21、22题各12分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分10分)已知a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：
(1)a，b，c；
(2)a＋c与b＋c夹角的余弦值．
解：(1)因为a∥b，
所以＝＝，
解得x＝2，y＝－4，
则a＝(2，4，1)，b＝(－2，－4，－1).
又b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，
解得z＝2，于是c＝(3，－2，2).
(2)由(1)得a＋c＝(5，2，3)，b＋c＝(1，－6，1)，设a＋c与b＋c夹角为θ，
因此cos θ＝＝－.
18．（本小题12分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并求Sn的最小值.
解 (1)设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.
由a1＝－7得d＝2.
所以{an}的通项公式为an＝2n－9.
(2)由(1)得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16.
所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.
19．（本小题12分）如图，在四棱锥P ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)求DB与平面DEF所成角的正弦值．
(1)证明：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图．
设AD＝a，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，P(0，0，a)，F.
因为·＝·(0，a，0)＝0.
所以⊥，所以EF⊥CD.
(2)解：设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则
即
即
取x＝1，则y＝－2，z＝1，
所以n＝(1，－2，1).
所以cos 〈，n〉＝＝＝.
设DB与平面DEF所成角为θ，
则sin θ＝.
所以DB与平面DEF所成角的正弦值为.
20．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判断△MF1F2的形状．
解：(1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上且c＝＝，
故可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0).
依题意得解得a2＝3，b2＝2，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)不妨设点M在双曲线的右支上，
则有|MF1|－|MF2|＝2.
因为|MF1|＋|MF2|＝6，
所以|MF1|＝4，|MF2|＝2.
又|F1F2|＝2，
因此在△MF1F2中，边MF1最长，
而cos ∠MF2F1＝<0，
所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2为钝角三角形．
21．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)证明数列{an＋1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝3n·(an＋1)，求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)由an＋1＝2an＋1可得an＋1＋1＝2(an＋1).
∵a1＋1＝2≠0，∴{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列.
∴an＋1＝2×2n－1＝2n，∴an＝2n－1.
(2)由(1)知bn＝3n·2n，
∴Tn＝3×21＋6×22＋9×23＋…＋3(n－1)·2n－1＋3n·2n，
∴2Tn＝3×22＋6×23＋9×24＋…＋3(n－1)·2n＋3n·2n＋1，
∴－Tn＝3×(21＋22＋23＋…＋2n)－3n·2n＋1
＝3×－3n·2n＋1
＝(3－3n)2n＋1－6.
∴Tn＝(3n－3)·2n＋1＋6.
22．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l：y＝kx＋2与椭圆C相交于A，B两点，在y轴上是否存在点D，使直线AD与BD的斜率之和kAD＋kBD为定值？若存在，求出点D坐标及该定值，若不存在，试说明理由．
解：(1)由已知可得
解得a2＝2，b2＝c2＝1，
所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)存在．由
得(1＋2k2)x2＋8kx＋6＝0，
由Δ＝64k2－24(1＋2k2)＝16k2－24＞0，
解得k＜－或k＞.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
设存在点D(0，m)，
则kAD＝，kBD＝，
所以kAD＋kBD＝
＝
＝.
要使kAD＋kBD为定值，只需6k－4k(2－m)＝6k－8k＋4km＝2(2m－1)k的值与参数k无关，故2m－1＝0，解得m＝，
当m＝时，kAD＋kBD＝0.
综上所述，存在点D，使得kAD＋kBD为定值，且定值为0.
答案第10页，总11页
答案第11页，总11页
