专题三 函数与导数 第二讲 基本初等函数及函数与方程
习题1
1.若，则化简的结果是( )
A. B. C. D.
2.已知，则x等于( )
A. B. C. D.
3.函数是指数函数,则有( )
A.或 B.
C. D.且
4.设，函数，使的x的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.若函数(,且)的定义域和值域均为,则的值为( )
A.或4 B.或 C.或8 D.或16
（多项选择题）
6.下列各式正确的是( )
A. B. C. D.
7.已知函数，下列选项中有可能正确的是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，若，，使得成立，则实数m的取值范围是__________________.
9.的值是________.
10.已知函数(且)为定义在R上的奇函数.
（1）利用单调性的定义证明函数在R上单调递增；
（2）求不等式的解集.
答案以及解析
1.答案：B
解析：，，
.故选B.
2.答案：D
解析：6是偶数，故当时，，故选D.
3.答案：C
解析：由指数函数的概念,得,解得或.当时,底数是1,不符合题意,舍去;当时,符合题意.
4.答案：C
解析：.
，，即.
又，，
因此，
由得.故选C.
5.答案：B
解析：由题意知,①当时,得,得,得,所以由,解得;②当时,得,得,得,代入,解得.故选B.
6.答案：BD
解析：当n为偶数时，故A,C选项中的式子不正确；
当n为奇数时，
则，
故B,D选项中的式子正确.故选BD.
7.答案：ABC
解析：的图象如图所示，
当时，满足，故A正确；当时，满足，故B正确；当时，满足，故C正确；由图易知，的图象在和的图象下方，故D不可能正确.故选ABC.
8.答案：
解析：由，，使得，得.
，，，
在上递减，
.
因此，，解得，
故m的取值范围是.
9.答案：4
解析：.
10.答案：（1）证明：因为是定义在R上的奇函数，且，，
所以，即，解得，
所以.
任取，，不妨设，
则，
因为，
所以，
所以，即，
故函数在R上单调递增.
（2）不等式，
即，
由题意和（1）的结论，可得，
解得或，
故原不等式的解集为或.(共49张PPT)
专题三 函数与导数
第二讲 基本初等函数及函数与方程
高考考点 考点解读
指数函数与对数函数 1.指数式与对数式的公式及互化
2.指数函数与对数函数的图像与性质
3. 指数函数与对数函数的性质应用
幂函数 1.各种类型的幂函数的图像及性质
2.学会判断幂函数的类型
（一）考点解读
高考考点 考点解读
函数与方程 1.利用零点存在性定理或者数形结合法确定函数的零点个数、零点存在范围，以及应用零点求参数的值（范围）
2.常以高次式、分式、指数式、对数式、三角式结构的函数为载体考查
3.确定高次式、分式、指数式、对|数式、三角式及绝对值式结构方程解的个数或由其个数求参数的值（范用）常与函数的图家与性质的应用交汇命题.
4.常与函数的图像与性质的应用交汇命题
（一）考点解读
（二）核心知识整合
考点1：指数函数与对数函数
[典型例题]
C
[解析]
[解析]
[典型例题]
A
[解析]
『规律总结』
提醒：
[跟踪训练]
B
[解析]
[跟踪训练]
B
[解析]
考点2：幂函数的图像及其性质
[典型例题]
B
[解析]
[典型例题]
B
[解析]
『规律总结』
提醒：
[跟踪训练]
A
[解析]
[跟踪训练]
A
[解析]
考点3：函数与方程
[典型例题]
C
[解析]
[典型例题]
B
[解析]
[解析]
『规律总结』
提醒：
[跟踪训练]
B
[解析]
[跟踪训练]
C
[解析]
Thanks专题三 函数与导数 第二讲 基本初等函数及函数与方程
习题2
1.若函数是函数(，且)的反函数，其图象经过点，则等于( )
A. B. C. D.
2.若函数是指数函数，则有( )
A.或 B. C. D.，且
3.设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )
A. B.
C. D.
4.已知函数若,则( )
A. B. C. D.
5.若函数是幂函数,且其图象过点,则函数的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
（多项选择题）
6.下列各式正确的是( )
A. B. C. D.
7.已知实数满足,则下列不等式恒成立的是( )
A. B.若,则
C. D.若,则
8.己知函数,若,且,则的取值范围是____________．
9.已知幂函数的图象不经过原点，则实数m的值为_________.
10.已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，求满足的实数a的取值范围.
答案以及解析
1.答案：A
解析：由题意知，又，，，，故选A.
2.答案：C
解析：由指数函数的概念，得，解得或.当时，底数是1，不符合题意，舍去；当时，符合题意，故选C.
3.答案：B
解析：由，故A错；
由.故B正确；
对选项C，D，由对数的运算法则，容易知，其显然不成立.故选：B.
4.答案：B
解析：本题考查分段函数的单调性，指数式、对数式的大小比较.因为当时,为增函数，且；当时，为增函数，且，所以在R上为增函数.又因为，即，所以，故.故选B.
5.答案：A
解析：因为是幂函数,所以,即.又其图象过点,所以,即,则,由复合函数的单调性知求的单调递增区间,即求的单调递减区间.又的单调递减区间为,所以函数的单调递增区间为.
6.答案：BD
解析：当n为偶数时，故A,C选项中的式子不正确；
当n为奇数时，
则，
故B,D选项中的式子正确.故选BD.
7.答案：BCD
解析：因为为上的增函数,所以.因为函数在上有增有减,所以A中的不等式不恒成立,故A错误.因为函数在上单调递减,所以当时,,故B正确.因为在上单调递增,所以当时,,故C正确.因为函数在上单调递增,所以当时,,故D正确.
8.答案：
解析：∵,
∴,
又由得,,
∴,且,
∴,
∴,且在上递减,
∴,
∴的取值范围是
故答案为：
9.答案：3
解析：依题意得，解得或.当时，，其图象经过原点，不符合题意；当时，，其图象不经过原点，符合题意，因此实数m的值为3.
10.答案：
因为函数在上单调递减，
所以,解得.
又，所以.
又函数的图象关于y轴对称，所以为偶数，
所以.
因为函数在和上单调递减，
所以由，得或
或，解得或，
所以实数a的取值范围是.专题三 函数与导数
第二讲 基本初等函数及函数与方程
（一）考点解读
高考考点 考点解读
指数函数与对数函数 1.指数式与对数式的公式及互化2.指数函数与对数函数的图像与性质3. 指数函数与对数函数的性质应用
幂函数 1.各种类型的幂函数的图像及性质2.学会判断幂函数的类型
函数与方程 利用零点存在性定理或者数形结合法确定函数的零点个数、零点存在范围，以及应用零点求参数的值（范围）常以高次式、分式、指数式、对数式、三角式结构的函数为载体考查3.确定高次式、分式、指数式、对|数式、三角式及绝对值式结构方程解的个数或由其个数求参数的值（范用）常与函数的图家与性质的应用交汇命题.4.常与函数的图像与性质的应用交汇命题
（1） 核心知识整合
考点1：指数函数与对数函数
1.指数与对数的七个运算公式
（1），
（2），
（3），
（4）loga＝logaM－logaN (a>0且a≠1，M>0，N>0)．
（5）logaMn＝nlogaM (a>0且a≠1，M>0)．
（6）alogaN＝N (a>0且a≠1，N>0)．
（7）logaN＝ (a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0)
2. 指数函数与对数函数的图像与性质
指数函数 对数函数
图象
单调性 0
1时，在R上单调递增. 01时，在(0，＋∞)上单调递增.
指数函数 对数函数
函数值性质 00时，01 01时，y<0；当00
a>1，当x>0时，y>1；当x<0时，01，当x>1时，y>0；当0[典型例题]
1.已知函数，若对任意的，恒成立，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
[答案]：C
[解析] 函数，即，定义域为R，
，为R上的奇函数，
当时，函数在上单调递增，在上单调递增，
且当时，，，
所以在上单调递增，则在R上单调递增，
对任意的，恒成立，
即在上恒成立，
即，即对恒成立，
设，，
可得，且，解得，
故选C.
2.若在区间上单调递减，则a的取值范围为( )
A. B. C. D.
[答案]：A
[解析] 令，其图象的对称轴为直线，如图所示：
由图象可知，当时，在区间上单调递减.
又真数，二次函数在上单调递减，
故只需当时，，即，所以a的取值范围是，故选A.
『规律总结』
1.指数函数与对数函数比较大小问题，要注意化成同底数比较，如若无法化成同底数，要巧用常数0或1.
2.指数函数与对数函数的图像识别与性质，要熟记指数与对数相关性质.
提醒：在对数运算和指数运算过程中，必须牢记公式，防止记混.
[跟踪训练]
1.将化成分数指数幂为( )
A. B. C. D.
[答案]：B
[解析] 选B.原式.
2.已知函数,则的值域是( )
A. B. C. D.
[答案]：B
[解析] 因为,所以,,则,即.则的值域为,故选B.
考点2：幂函数的图像及其性质
1.幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．
2.幂函数的图象与性质
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝
定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}
值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
单调性 在R上递增 在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增 在R上递增 在(0，＋∞)上递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上递减
图象 INCLUDEPICTURE "学58.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\学58.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\学58.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\学58.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\学58.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "学59.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\学59.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\学59.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\学59.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\学59.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "学60.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\学60.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\学60.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\学60.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\学60.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "学61.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\学61.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\学61.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\学61.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\学61.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "学62.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\学62.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\学62.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\学62.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\学62.TIF" \* MERGEFORMATINET
过定点 (0,0)，(1,1) (1,1)
幂函数在区间(0 , ＋∞)上，当α>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数．
[典型例题]
1.幂函数在时是减函数，则实数m的值为( )
A. 2或-1 B. -1 C. 2 D. -2或1
[答案]：B
[解析] 由于幂函数在时是减函数，
故有，
解得，故选B．
2.若幂函数的图象过点,则满足的实数x的取值范围是( )
A. B. C. D.
[答案]：B
[解析] 设，因为幂函数的图象过点，所以，解得，所以.又因为为偶函数，且，所以，所以，解得或.故选B.
『规律总结』
1. 幂函数的判断方法
（1）幂函数同指数函数、对数函数一样，是一种“形式定义”的函数，也就是说必须完全具备形如y＝xα(α∈R)的函数才是幂函数．
（2）如果函数解析式以根式的形式给出，则要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断．
2. 第一象限内图象类型规律：
（1）n>1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，下凸递增；
（2）n=1时，过（0，0）、（1，1）的射线；
（3）0﹤n﹤1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，上凸递增；
（4）n=0时，变形为y=1（x≠0）,平行于x轴的射线；
（5）n﹤0时，过（1，1），双曲线型，递减，与两坐标轴的正半轴无限接近.
提醒：任何幂函数在第一象限必有图象，第四象限必无图象；n=奇数/偶数时，函数非奇非偶，图象只在第一象限；n=偶数/奇数时，函数是偶函数、图象在第一、二象限并关于y轴对称；n=奇数/奇数时，函数是奇函数，图象在第一、三象限并关于原点对称.
[跟踪训练]
1.已知点在幂函数的图象上,设,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
[答案]：A
[解析] 因为函数为幂函数,所以,所以,所以.因为点在幂函数的图象上,所以,所以.因为函数在定义域R上为增函数, ,所以,即,故选A.
2.已知点在幂函数图象上，设，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
[答案]：A
[解析] 先求得的解析式，判断其单调性，再比较与0、1的大小可得,利用单调性可得结果. 故选A.
考点3：函数与方程
1.函数的零点
（1）函数的零点及函数的零点与方程根的关系
对于函数f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标.
（2）零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的一个根．
2.函数与方程及应用
（1）方程f（x）=0有实数根函数y=f（x）的图像与x轴有交点 函数y=f（x）有零点.
（2）思想方法：
数学方法：图象法、分离参数法、最值的求法．
数学思想：数形结合、转化与化归、函数与方程．
[典型例题]
1.已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
[答案]：C
[解析] 由题意，得有两个不同的零点.令，则.令，则，且，所以当时，，，则在区间上为增函数，故；当时，，，则在区间上单调递减，故.要使有两个不同的零点，则实数a的取值范围是.
故选C.
2.已知函数恰有三个零点,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
[答案]：B
[解析] 由题意可知函数的零点个数即与的图象的交点个数.结合与的图象(图略)可知在上有且只有一个交点,则与的图象在上有两个交点.又等价于,即记,则令解得,令,解得,从而故,即.
故选B.
『规律总结』
1．判断函数零点个数的方法
(1)直接求零点：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数．
(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．
(3)数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
2.应用函数思想确定方程解的个数的两种方法
(1)转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解．
(2)分离参数、转化为求函数的值域问题求解．
提醒：函数的零点不是一个“点”，而是函数图象与x轴交点的横坐标；函数零点存在性定理是说满足某条件时函数存在零点，但存在零点时不一定满足该条件．即函数y＝f(x)在(a，b)内存在零点，不一定有f(a)f(b)<0．
[跟踪训练]
1.函数的零点所在的区间为( )
A． B． C． D．
[答案]：B
[解析] ∵函数在其定义域上单调递增，
∴，
∴.
根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间是，
故选：B.
2.已知函数.若存在2个零点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
[答案]：C
[解析] 函数存在2个零点,即关于的方程有2个不同的实根,即函数的图象与直线有2个交点,作出直线与函数的图象,如图所示,由图可知,,解得,故选C.