专题三 函数与导数 第三讲 导数的简单应用 习题2
1.已知函数在处的导数为12，则的值为( )
A.-4 B.4 C.-36 D.36
2.若一个物体的运动方程为，其中S的单位是m，t的单位是s，则该物体在3 s末的瞬时速度是( )
A.4 m/s B.5 m/s C.6 m/s D.8 m/s
3.若函数在区间上的平均变化率为4，则m的值为( )
A.-5 B.-3 C.3 D.5
4.在函数的图像上,横坐标在区间内变化的点处的切线斜率均大于1,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.数列为等比数列,其中为函数的导函数,则( )
A.0 B. C. D.
（多项选择题）
6.若函数，则下列说法正确的是( )
A.是奇函数 B.在R上是减函数
C.无极值 D.
7.若函数在上有最大值,则的取值可能为( )
A. B. C. D.
8.已知曲线在点处的切线过点，则_________.
9.若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是____________.
10.设函数.
(1)求的单调区间;
(2)求函数在区间上的最小值
答案以及解析
1.答案：A
解析：因为函数在处的导数为12，所以.
2.答案：B
解析：，则，即物体在3 s末的瞬时速度是5 m/s.
3.答案：C
解析：由题意，得，即，解得.
4.答案：C
解析：函数,求导得.由横坐标在区间内变化的点处的切线斜率均大于1,可得对恒成立,即对恒成立.令,对称轴方程为,且在上单调递增,则在上,则.
5.答案：D
解析：为等比数列,,则.,则.
6.答案：AC
解析：本题考查函数的奇偶性、单调性、极值.，则是奇函数，A正确；，则在R上是增函数，且无极值，故B错误，C正确；，故D错误，故选AC；
7.答案：ABC
解析：令,得,当时,,当或时,,从而在处取得极大值,为.由,得,解得或.在上有最大值,.故选ABC.
8.答案：1
解析：∵，
∴,则，
∴曲线在点处的切线方程为，
∵曲线在点处的切线过点，
∴，
解得：.
故答案为：1.
9.答案：
解析：由题意，得.由，得或，则在区间和上单调递增，由，得，则在区间上单调递减，所以解得.
10.答案：(1).定义域为,,
由得,
的单调递减区间为,单调递增区间为；
(2). ,由得,
在上单调递减,在上单调递增,
的最小值为.专题三 函数与导数 第三讲 导数的简单应用 习题1
1.已知函数在区间上有极值，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
2.已知函数，过点可作曲线的三条切线，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.如图，将周长为4的矩形ABCD绕AB旋转一周所得柱体积最大时，AB的长为( )
A. B. C. D.1
4.定义在R上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
5.已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
（多项选择题）
6.若直线l与曲线C满足下列两个条件：①直线l在点处与曲线C相切；
②曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C，则下列命题中正确的是( )
A.直线在点处“切过”曲线
B.直线在点处“切过”曲线
C.直线在点处“切过”曲线
D.直线在点处“切过”曲线
7.若将一边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，则下列说法中正确的是( )
A.当时，方盒的容积最大 B.当时，方盒的容积最小
C.方盒容积的最大值为 D.方盒容积的最小值为
8.已知实数a与b是函数的两个极值点，且，则的最小值为_____________.
9.函数的单调减区间是__________.
10.已知函数，．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间上有唯一的极值点，求的取值范围，并证明：．
答案以及解析
1.答案：B
解析：由题意，得，设.因为函数在区间上有极值，所以在上有变号零点，即在上有解，令，由，得，即，得到，解得.
2.答案：D
解析：设切点坐标为.因为，所以，所以曲线在点处的切线斜率为.又因为切线过点，所以切线斜率为，所以，即①.因为过点可作曲线的三条切线，所以方程①有3解.令，则的图象与x轴有3个交点，所以的极大值与极小值异号.又，令，得或，所以，即，解得，故m的取值范围是.
3.答案：B
解析：设，则，所以，，则，由，得，解得；由，得，解得，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当，即，时，取得最大值.
4.答案：D
解析：令，则，所以函数在R上单调递增.因为，所以不等式，可变形为，即，所以，解得.
5.答案：A
解析：由题意，得在区间上恒成立，则，所以.
6.答案：AC
解析：的导数为，得切线方程为，即x轴.当时，；当时，，所以直线在点处“切过”曲线，故A正确；由的导数为，得切线方程为，且的导数为，则当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以，则，故B错误；的导数为，可得在点处切线方程为.由和直线可得切线穿过曲线，则直线在点处“切过”曲线，故C正确；的导数为，可得在点处切线方程为，令，则，当时，，当时，，即在区间上单调递減，在区间上单调递增，所以当时，，所以，故D错误.故选AC.
7.答案：AC
解析：方盒的容积为，则，令，则或，则当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以.故选AC.
8.答案：
解析：，定义域是，
，
∴方程的两根正根分别是，
则，解得：，且，，
则，，
则，，
令，，
则，
当时，恒成立，
在上单调递增，，
则的最小值是，
故答案为：
9.答案：
解析：由题意，得，其中，令，得，故函数的单调减区间为.
10.答案：（1）当时，，，
则，又，
曲线在点处的切线方程为，即．
（2），
令，
在区间上有唯一的极值点，
又，所以只需，解得，
由，得，即，
，．
令，，
，即在上单调递增，且，
，
．(共51张PPT)
专题三 函数与导数
第三讲 导数的简单应用
高考考点 考点解读
导数的几何意义 1.确定或应用过某点的切线的斜率（方程）
利用导数研究函数的单调性 1.利用函数的单调性与导数的关系，讨论含有参数的较复杂基本函数的单调性（区间）
2.根据函数的单调性，利用导数求某些参数的取值范围.
（一）考点解读
高考考点 考点解读
利用导数研究函数的极值和最值 1.利用函数的极值与导数的关系，求某些含有参数的较复杂基本函数的极值的大小、个数或最值
2.根据函数极值的存在情况，利用导数求某些参数的取值范围
（一）考点解读
（二）核心知识整合
考点1：导数的几何意义
[典型例题]
C
[解析]
[典型例题]
A
[解析]
『规律总结』
『规律总结』
提醒：
[跟踪训练]
D
[解析]
[跟踪训练]
C
[解析]
考点2：利用导数研究函数的单调性
[典型例题]
C
[解析]
[典型例题]
D
[解析]
『规律总结』
提醒：
[跟踪训练]
C
[解析]
[跟踪训练]
D
[解析]
考点3：利用导数研究函数的极值和最值
[典型例题]
A
[解析]
[解析]
[典型例题]
A
[解析]
『规律总结』
提醒：
[跟踪训练]
A
[解析]
[跟踪训练]
C
[解析]
[解析]
Thanks专题三 函数与导数
第三讲 导数的简单应用
（一）考点解读
高考考点 考点解读
导数的几何意义 1.确定或应用过某点的切线的斜率（方程）
利用导数研究函数的单调性 1.利用函数的单调性与导数的关系，讨论含有参数的较复杂基本函数的单调性（区间）2.根据函数的单调性，利用导数求某些参数的取值范围.
利用导数研究函数的极值和最值 1.利用函数的极值与导数的关系，求某些含有参数的较复杂基本函数的极值的大小、个数或最值2.根据函数极值的存在情况，利用导数求某些参数的取值范围
（二）核心知识整合
考点1：导数的几何意义
1.基本初等函数的八个导数公式
原函数 导函数
αxα－1
2. 导数的四则运算法则
（1）；
（2）；
（3）.
3.复合函数的求导公式
设函数均可导，则复合函数也可导，且.
即：因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导.（链式法则）.
4.切线的斜率
函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，因此曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).
[典型例题]
1.已知函数，则( )
A. B.1 C. D.
[答案]：C
[解析] ，，，当时，.
故选C.
2.已知函数，其导函数记为，则( )
A.2 B.-2 C.3 D.-3
[答案]：A
[解析] 由已知得，则，显然为偶函数.令，显然为奇函数，又为偶函数，所以，，所以.故选A.
『规律总结』
1．求曲线y＝f(x)的切线方程的三种类型及方法
(1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)在点P处的切线方程：求出切线的斜率f ′(x0)，由点斜式写出方程．
(2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程：
设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f ′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程．
(3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程：
设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程．
2．根据过某点切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直等求参数问题的解法：利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解．
提醒：求曲线的切线方程时，务必分清点P处的切线还是过点P的切线，前者点P为切点，后者点P不一定为切点，求解时应先求出切点坐标．
[跟踪训练]
1.已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
[答案]：D
[解析] ，.由题意，知曲线在点P处的切线的斜率存在，设，则切线的斜率，.，，故选D.
2.设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
[答案]：C
[解析] 由题意，得的定义域是R，因为是奇函数，所以，即，所以，则，所以，则，所以.又，所以切线方程是，即.故选C.
考点2：利用导数研究函数的单调性
在某个区间(a，b)内，如果f′(x0)>0那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x0)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.
.[典型例题]
[典型例题]
1.已知函数.若存在，使得成立，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
[答案]：C
[解析] 由成立，可得.设，则存在，使得成立，即.又，当且仅当，即时取等号，所以.故选C.
2.已知函数的导函数为，且对任意的恒成立，则( )
A.， B.，
C.， D.，
[答案]：D
[解析] 令，则，所以函数在R上单调递减，所以，，即，，故，.
故选D.
『规律总结』
1．导数与单调性之间的关系
(1)导数大(小)于0的区间是函数的单调递增(减)区间．
(2)函数f(x)在D上单调递增 x∈D，f ′(x)≥0且f ′(x)在区间D的任何子区间内都不恒为零；
函数f(x)在D上单调递减 x∈D，f ′(x)≤0且f ′(x)在区间D的任何子区间内都不恒为零．
2．根据函数的单调性求参数取值范围的思路
(1)求f ′(x)．
(2)将单调性转化为导数f ′(x)在该区间上满足的不等式恒成立问题求解．
提醒：在求函数单调区间时，要满足定义域优先原则，首先要考虑函数的定义域，以免单调区间求错.
[跟踪训练]
1.若在是减函数，则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
[答案]：C
[解析] 在是减函数，
在 恒成立，
时，在递减，符合题意，
时，只需在恒成立即可，
即，因为，则，
综上，故选C．
2.已知函数在区间上是增函数，则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.
[答案]：D
[解析] 由已知得，因为在区间上是增函数，所以在上恒成立，即，即在上恒成立，又，当且仅当时，等号成立，所以.故选D.
考点3：利用导数研究函数的极值和最值
1.函数的极值
a.函数的极值的定义
一般地，设函数f（x）在点x=x0及其附近有定义，
（1）若对于x0附近的所有点，都有f（x）（2）若对于x0附近的所有点，都有f（x）f（x0），则f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0）.
极大值与极小值统称为极值，在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.
b.求函数极值的基本步骤：
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f（x）在这个根处取得极大值；如果左正右负，则f（x）在这个根处取得极小值（最好通过列表法）.
2. 函数的最值
（1）函数的最小值与最大值定理
若函数y=f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上必有最大值和最小值；在开区间
（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值，如.
（2）通过导数求数最值的的基本步骤：
若函数y=f（x）在闭区间[a，b]有定义，在开区间（a，b）内有导数，则求函数y=f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求函数f（x）在（a，b）内的导数；
②求方程f（x）=0在（a，b）内的根；
③求在（a，b）内使f（x）=0的所有点的函数值和f（x）在闭区间端点处的函数值f（a），f（b）；
④比较上面所求的值，其中最大者为函数y=f（x）在闭区间[a，b]上的最大值，最小者为函数y=f（x）在闭区间[a，b]上的最小值.
[典型例题]
1.已知函数有且只有一个极值点，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
[答案]：A
[解析] 易知函数的导数，令，得，即.设，则，当时，；当时，或，所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增.因为函数有且只有一个极值点，所以直线与函数的图象有一个交点，作出的图象如图所示.由图得或.当时，恒成立，所以无极值，所以.
故选A.
2.已知是奇函数，当时，，当时，的最小值为1，则a的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.-1
[答案]：A
[解析] 因为是奇函数，当时，的最小值为1，所以在区间上的最大值为-1，当时，，令，得.又，所以，令，则，所以在区间上单调递增；令，则，所以在区间上单调递减，所以，所以，则.
故选A.
『规律总结』
1．利用导数研究函数极值与最值的步骤
(1)利用导数求函数极值的一般思路和步骤．
①求定义域；
②求导数f ′(x)；
③解方程f ′(x)＝0，研究极值情况；
④确定f ′(x0)＝0时x0左右的符号，定极值．
(2)若已知函数极值的大小或存在情况，求参数的取值范围，则转化为已知方程f ′(x)＝0根的大小或存在情况来讨论求解．
(3)求函数y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
提醒：(1) 求函数极值时，一定要注意分析导函数的零点是不是函数的极值点；
(2) 求函数最值时，务必将极值点与端点值比较得出最大(小)值；
(3) 对于含参数的函数解析式或区间求极值、最值问题，务必要对参数分类讨论．
[跟踪训练]
1.已知函数，过点引曲线的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A，B两点，若，则的极大值点为( )
A. B. C. D.
[答案]：A
[解析] 设切点坐标为.因为，所以，即，解得或.因为，所以，即，则，.当或时，；当时，.故的极大值点为.
故选：A.
2.已知函数的导函数的最小值为4，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
[答案]：C
[解析] 由题可知，则(当且仅当时等号成立)，，即，即，结合得，且令，则当时，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，且函数的取值范围是，函数的取值范围是，即的取值范围是，故选C.
