2022版新教材高中数学第二章直线和圆的方程本章达标检测含解析新人教A版选择性必修第一册(Word含答案解析)

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名称 2022版新教材高中数学第二章直线和圆的方程本章达标检测含解析新人教A版选择性必修第一册(Word含答案解析)
格式 zip
文件大小 119.7KB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-01-06 19:52:45

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文档简介

本章达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)                  
1.直线x-y-1=0的倾斜角α= (  )
A.30° B.60° C.120° D.150°
2.方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示的图形是 (  )
A.一个点 B.一个圆
C.一条直线 D.不存在
3.已知圆C1:x2+y2-6x+4y+12=0与圆C2:x2+y2-14x-2y+a=0,若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点,则实数a等于 (  )
A.14 B.34 C.14或45 D.34或14
4.已知直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,若l1∥l2,则实数a= (  )
A.-1或1 B.0或1 C.1 D.-1
5.已知a>0,b>0,直线l1:(a-1)x+y-1=0,l2:x+2by+1=0,且l1⊥l2,则的最小值为 (  )
A.2 B.4 C.8 D.9
6.直线l:x-2y-1=0与圆M:x2+y2-4x-6y+k=0相交于A,B两点,且|AB|=4,则实数k的值为 (  )
A. D.4
7.已知圆O:x2+y2=r2,点P(a,b)(ab≠0)是圆O内一点,过点P的圆O的最短弦所在的直线为l1,直线l2的方程为ax+by+r2=0,那么 (  )
A.l1∥l2,且l2与圆O相离
B.l1⊥l2,且l2与圆O相切
C.l1∥l2,且l2与圆O相交
D.l1⊥l2,且l2与圆O相离
8.已知圆C的圆心为原点O,且与直线x+y+4=0相切.点P在直线x=8上,过点P引圆C的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,如图所示,则直线AB恒过的定点坐标为 (  )
A.(2,0) B.(0,2) C.(1,0) D.(0,1)
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.
在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.下列说法错误的是 (  )
A.“a=-1”是“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”的充要条件
B.直线xsin α+y+2=0的倾斜角θ的取值范围是∪
C.过(x1,y1),(x2,y2)两点的所有直线的方程为
D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为x+y-2=0
10.已知圆O:x2+y2=4和圆C:(x-2)2+(y-3)2=1.现给出如下结论,其中正确的是 (  )
A.圆O与圆C有四条公切线
B.过点C(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为x+y=5或x-y+1=0
C.过点C且与圆O相切的直线方程为9x-16y+30=0
D.P、Q分别为圆O和圆C上的动点,则|PQ|的最大值为-3
11.已知直线l1:2x+3y-1=0和l2:4x+6y-9=0,若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2,则直线的方程可能为 (  )
A.2x+3y-8=0 B.4x+6y+5=0
C.2x+3y-5=0 D.12x+18y-13=0
12.设有一组圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),下列命题正确的是 (  )
A.不论k如何变化,圆心Ck始终在一条直线上
B.所有圆Ck均经过点(3,0)
C.存在一条直线始终与圆Ck相切
D.若k∈,则圆Ck上总存在两点到原点的距离为1
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答
案填在题中横线上)
13.圆心在直线x-2y+7=0上的圆C与x轴交于A(-2,0)、B(-4,0)两点,则圆C的方程为    .
14.在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是    .
15.若曲线C1:y=2+与曲线C2:(y-2)(y-kx+k)=0有四个不同的交点,则实数k的取值范围是    .
16.已知直线l:y=k(x+4)与圆(x+2)2+y2=4相交于A、B两点,M是线段AB的中点,则M的轨迹方程为       ; M到直线3x-4y-6=0的距离的最小值为    .(本题第一空3分,第二空2分)
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知直线l过点P(-1,2).
(1)若直线l在两坐标轴上的截距和为零,求l的方程;
(2)设直线l的斜率k>0,直线l与两坐标轴的交点分别为A、B,求△AOB面积的最小值.
18.(本小题满分12分)等腰直角△ABC的直角为角C,且点C(0,-1),斜边AB所在的直线方程为x+2y-8=0.
(1)求△ABC的面积;
(2)求斜边AB中点D的坐标.
19.(本小题满分12分)在平面直角坐标系Oxy中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4与圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4.
(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为2,求直线l的方程;
(2)设P为平面上的点,且满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.
20.(本小题满分12分)已知△ABC中,BC边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0,∠A的平分线所在的直线方程为y=0,点C的坐标为(1,2).
(1)求点A和点B的坐标;
(2)过点C作直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于点M、N,求△MON(O为坐标原点)面积的最小值及此时直线l的方程.
21.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:
(1)能否出现AC⊥BC的情况 说明理由;
(2)证明y轴被过A,B,C三点的圆截得的弦长为定值.
22.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中,直线l:x-y-4=0交x轴于点M,以O为圆心的圆与直线l相切.
(1)求圆O的方程;
(2)设点N(x0,y0)为直线y=-x+3上一动点,若在圆O上存在点P,使得∠ONP=45°,求x0的取值范围;
(3)是否存在定点S,对于经过点S的直线a,当a与圆O交于A,B两点时,恒有∠AMO=∠BMO 若存在,求出点S的坐标;若不存在,请说明理由.
答案全解全析
一、单项选择题
1.A 直线x-,
由斜率和倾斜角的关系可得tan α=,
∵0°≤α<180°,∴α=30°,故选A.
2.A 方程可化为(x-1)2+(y+2)2=0,因此方程表示的图形是一个点(1,-2),故选A.
3.D 设圆C1、圆C2的半径分别为r1、r2.圆C1的方程可化为(x-3)2+(y+2)2=1,
圆C2的方程可化为(x-7)2+(y-1)2=50-a.
由两圆相切得,|C1C2|=r1+r2或|C1C2|=|r1-r2|,
∵|C1C2|==5,
∴r2+1=5或|1-r2|=5 r2=4或r2=6或r2=-4(舍去).
因此,50-a=16或50-a=36 a=34或a=14,故选D.
4.D 当a=0时,l2的斜率不存在,l1的斜率为0,此时l1⊥l2,不合题意;
当a≠0时,由l1∥l2可得≠,解得a=-1,故选D.
5.C 因为l1⊥l2,所以(a-1)×1+1×2b=0,即a+2b=1,
因为a>0,b>0,所以≥4+2的最小值为8.故选C.
6.D 由题意知,(x-2)2+(y-3)2=13-k,则圆心为(2,3),半径r为,
所以圆心到直线的距离d=,由d2+=r2,得5+22=13-k,
解得k=4,故选D.
7.A ∵点P(a,b)在圆O内部,∴<|r|.由题意知,当l1⊥OP时,过点P的弦最短,此时.而l2的斜率,∴l1∥l2.∵圆心(0,0)到直线l2的距离d==|r|,∴l2与圆O相离.
8.A 依题意得圆C的半径r==4,所以圆C的方程为x2+y2=16.连接OA,OB.
因为PA,PB是圆C的两条切线,
所以OA⊥AP,OB⊥BP,所以A,B在以OP为直径的圆上,设点P的坐标为(8,b),b∈R,则线段OP的中点坐标为,所以以OP为直径的圆的方程为(x-4)2+=42+,b∈R,化简得x2+y2-8x-by=0,b∈R,因为AB为两圆的公共弦,所以直线AB的方程为8x+by=16,b∈R,即8(x-2)+by=0,所以直线AB恒过定点(2,0).
二、多项选择题
9.ACD 当a=0时,两直线方程分别为y=1和x=2,此时也满足直线相互垂直,故A说法错误;直线的斜率k=-sin α,则-1≤k≤1,即-1≤tan θ≤1,∴θ∈∪不成立,故C说法错误;若直线过原点,则直线方程为y=x,此时也满足条件,故D说法错误,故选ACD.
10.AD 设圆O的半径为r1,圆C的半径为r2.由题意得,圆心距|OC|=>r1+r2=2+1=3,所以两圆外离,有四条公切线,A正确;
与坐标轴截距相等的直线过原点或斜率为-1,故B不正确;
因为点C(2,3)在圆O的外部,所以过点C与圆O相切的直线有两条,故C不正确;
|PQ|的最大值等于|OC|+r1+r2=-3,故D正确.
故选AD.
11.BD 直线l1的方程可化为4x+6y-2=0.
设l到l1的距离为d1,l到l2的距离为d2,
l的方程为4x+6y+c=0(c≠-2且c≠-9),
则d1=.
依题意得,即d2=2d1,
∴|c+9|=2|c+2|,化简得c+9=2c+4或c+9=-2c-4,解得c=5或c=-.
因此,直线l的方程为4x+6y+5=0或12x+18y-13=0.
故选BD.
12.ACD 对于A,圆心的坐标为(k,k),满足x=y,所以圆心在直线y=x上,故A正确;
对于B,(3-k)2+(0-k)2=4,化简得2k2-6k+5=0,Δ=-4<0,无解,故B错误;
对于C,易知与直线y=x平行且距离为2的直线始终与圆Ck相切,即定直线y=x±2始终与圆Ck相切,故C正确;
对于D,圆Ck上总存在两点到原点的距离为1,可转化为圆x2+y2=1与圆Ck有2个交点,则1<|k|<3,解得k∈∪,故D正确.
故选ACD.
三、填空题
13.答案 (x+3)2+(y-2)2=5
解析 线段AB的中垂线方程为x=-3,代入直线x-2y+7=0,得y=2,
故圆心C(-3,2),再由两点间的距离公式求得半径r=|AC|=,
∴圆C的方程为(x+3)2+(y-2)2=5.
14.答案 (2,4)
解析 如图,设平面直角坐标系中任一点P,P到A,B,C,D的距离之和为PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC,故四边形ABCD的对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点.
易知直线AC的方程为y=2x,
直线BD的方程为x+y-6=0,
解方程组故填(2,4).
15.答案 
解析 由C1:y=2+得(x+1)2+(y-2)2=1(y≥2),
曲线C1表示以(-1,2)为圆心,1为半径的上半圆,
显然直线y=2与曲线C1有两个交点,交点为半圆的两个端点,
∴直线y=kx-k=k(x-1)与半圆有2个除端点外的交点,
当直线y=k(x-1)经过点(0,2)时,k=(舍),
所以当故答案为.
16.答案 (x+3)2+y2=1(x≠-4);2
解析 圆(x+2)2+y2=4的圆心C(-2,0),半径r=2,则圆心C到直线y=k(x+4)的距离d=<2,
直线l:y=k(x+4)过定点A(-4,0),
设M(x0,y0),B(x1,y1),

代入(x+2)2+y2=4,可得(x0+3)2+=1,
所以M的轨迹是以(-3,0)为圆心,1为半径的圆,故M的轨迹方程为(x+3)2+y2=1(x≠-4).
则M到直线3x-4y-6=0的距离的最小值为-1=2.
四、解答题
17.解析 (1)由题意得直线l的斜率存在且不为0.
设直线l的方程为y-2=k(x+1)(k≠0),即kx-y+2+k=0, (2分)
则它在两坐标轴上的截距分别为-1-和k+2, (3分)
由题意,得-1-+k+2=0,∴k=-2或k=1,∴直线l的方程为2x+y=0或x-y+3=0. (5分)
(2)不妨设A,B(0,k+2),
∴△AOB的面积S=·|k+2|=≥2+2=4,当且仅当k=2时,等号成立, (8分)
故△AOB面积的最小值为4. (10分)
18.解析 (1)顶点C到斜边AB的距离
d=, (3分)
所以斜边|AB|=2d=4, (4分)
故△ABC的面积S==20. (6分)
(2)由题意知,CD⊥AB,
又kAB=-,所以kCD=2, (7分)
所以直线CD的方程为y=2x-1,即2x-y-1=0, (9分)
由 (11分)
所以点D的坐标为(2,3). (12分)
19.解析 (1)由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0,所以圆心C1(-3,1)到直线l的距离d==1, (2分)
化简得24k2+7k=0,解得k=0或k=-. (3分)
所以直线l的方程为y=0或y=-(x-4),即y=0或7x+24y-28=0. (5分)
(2)设点P的坐标为(m,n),不妨设直线l1,l2的方程分别为y-n=k'(x-m),y-n=-=0. (6分)
因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,两圆的半径也相等,所以圆心C1(-3,1)到直线l1的距离与圆心C2(4,5)到直线l2的距离相等,即, (8分)
化简得(2-m-n)k'=m-n-3或(m-n+8)k'=m+n-5,关于k'的方程有无穷多解,则 (10分)
解得. (12分)
20.解析 (1)因为点A在BC边上的高所在的直线x-2y+1=0上,且在∠A的平分线所在的直线y=0上,所以解方程组得A(-1,0). (2分)
因为BC边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0,所以kBC=-2,
因为点C的坐标为(1,2),所以直线BC的方程为2x+y-4=0, (4分)
因为kAC=1,kAB=-kAC=-1,所以直线AB的方程为x+y+1=0,
解方程组得B(5,-6),
故点A,点B的坐标分别为(-1,0),(5,-6).(6分)
(2)依题意得直线的斜率存在,设直线l的方程为y-2=k(x-1)(k<0),
则M,N(0,2-k), (8分)
所以S△MON=··(2-k)=·≥=4,(10分)
当且仅当-=-k,即k=-2时取等号,所以(S△MON)min=4,此时直线l的方程是2x+y-4=0. (12分)
21.解析 设A(x1,0),B(x2,0).
(1)不能出现AC⊥BC的情况, (1分)
理由如下:
因为x1,x2满足x2+mx-2=0,
所以x1x2=-2. (3分)
又C的坐标为(0,1),所以AC的斜率与BC的斜率之积为·≠-1,所以不能出现AC⊥BC的情况. (5分)
(2)证明:线段BC的中点坐标为.
由(1)可得x1+x2=-m,所以线段AB的中垂线方程为x=-. (7分)
联立
得y=-(+mx2-1), (8分)
又+mx2-2=0,
所以
所以过A,B,C三点的圆的圆心坐标为. (10分)
故y轴被圆截得的弦长为2×=3,即y轴被过A,B,C三点的圆截得的弦长为定值. (12分)
22.解析 (1)由直线l:x-=2, (2分)
故圆O的方程为x2+y2=4. (4分)
(2)过N 作圆O的切线,切点为Q,如图①所示,
图①
则∠ONQ≥∠ONP=45°,∴sin∠ONQ=≥sin∠ONP=,
∴|ON|≤2. (6分)
由点N(x0,y0)为直线y=-x+3上一动点,得+=+(3-x0)2≤8,解得≤x0≤. (8分)
(3)存在定点S(1,0),使得∠AMO=∠BMO恒成立,如图②所示.
图②
设直线AB:y=kx+m(k≠0),直线AB与圆O的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程
由∠AMO=∠BMO,得kAM+kBM=0,
由M(4,0),得2kx1x2+(m-4k)(x1+x2)-8m=0,
∴2k×-8m=0,化简得m=-k.
此时直线AB:y=kx-k,恒过定点S(1,0). (10分)
当直线AB的斜率不存在时,由圆的对称性知直线过S(1,0)时也满足∠AMO=∠BMO.
因此存在定点S(1,0),使得∠AMO=∠BMO恒成立. (12分)
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