2022版新教材高中数学第三章圆锥曲线的方程本章达标检测含解析新人教A版选择性必修第一册（Word含答案解析）

本章达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是 (　　)
A.
2.椭圆=1的一个焦点坐标为 (　　)
A.(10,0) B.(0,10) C.(2)
3.在平面直角坐标系Oxy中,动点P关于x轴对称的点为Q,且·=2,则点P的轨迹方程为 (　　)
A.x2+y2=2 B.x2-y2=2
C.x+y2=2 D.x-y2=2
4.如图,已知圆柱的底面半径为2,与圆柱底面成60°角的平面截这个圆柱得到一个椭圆,则该椭圆的焦距为 (　　)
A.2
5.已知F1,F2是椭圆=1的两个焦点,P为椭圆上一点,且△F1PF2是直角三角形,则△F1PF2的面积为 (　易错　)
A.
C.或8
6.设双曲线x2-=1的左,右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与双曲线的左支交于点A,与双曲线的渐近线在第一象限交于点B,若BF1⊥BF2,则△ABF2的周长为(　　)
A.4
7.过抛物线y2=8x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,线段AB的中点M在直线y=2上,O为坐标原点,则△AOB的面积为 (　　)
A. D.9
8.设A,B分别是双曲线x2-的直线PA,PB与双曲线分别交于点M,N,直线MN交x轴于点Q,过Q的直线交双曲线的右支于S,T两点,且=2,则△BST的面积为 (　　)
A.
C.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.
在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.已知曲线C:mx2+ny2=1,则下列说法正确的是 (　　)
A.若m=0,n>0,则C是两条直线
B.若m=n>0,则C是圆,其半径为
C.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在x轴上
D.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=±x
10.以下关于圆锥曲线的说法,不正确的是 (　　)
A.设A,B为两个定点,k为非零常数,|||-|||=k,则动点P的轨迹为双曲线
B.过定圆O上一定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,若(+),则动点P的轨迹为椭圆
C.若曲线C:=1为双曲线,则k<1或k>4
D.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x有且仅有一个公共点,这样的直线有2条
11.已知A,B两监测点间距离为800米,且A监测点听到爆炸声的时间比B监测点迟2秒,设声速为340米/秒,下列说法正确的是 (　　)
A.爆炸点在以A,B为焦点的椭圆上
B.爆炸点在以A,B为焦点的双曲线的一支上
C.若B监测点的声强是A监测点的4倍(声强与距离的平方成反比),则爆炸点到B监测点的距离为米
D.若B监测点的声强是A监测点的4倍(声强与距离的平方成反比),则爆炸点到B监测点的距离为680米
12.我们通常称离心率为=1(a>b>0),A1,A2,B1,B2为顶点,F1,F2为焦点,P为椭圆上一点,O为坐标原点,则下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的是 (　　)
A.|F1F2|2=|A1F1|·|F2A2|
B.∠F1B1A2=90°
C.PF1⊥x轴,且PO∥A2B1
D.四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1,F2
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.与双曲线=1有共同的渐近线,且过点(3,2)的双曲线方程为　　　　.
14.已知抛物线方程为y2=4x,直线l的方程为x-y+5=0,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,到直线l的距离为d2,则d1+d2的最小值为　　　　.
15.已知M为抛物线y2=2px(p>0)上一点,F(2,0)为该抛物线的焦点,O为坐标原点,若∠MFO=120°,N(-2,0),则p=　　　,△MNF的面积为　　　.(本题第一空2分,第二空3分)
16.已知椭圆(a-c),则椭圆的离心率e的取值范围是　　　　.
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)(1)求与双曲线,2)的双曲线的标准方程;
(2)已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e=,求m的值.
18.(本小题满分12分)已知椭圆C的焦点为F1(0,-2)和F2(0,2),长轴长为2,设直线y=x+2交椭圆C于A,B两点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求弦AB的中点坐标及|AB|.
19.(本小题满分12分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆C上一点,∠F1PF2=120°,|PF1|=2+.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求点P的坐标.
20.(本小题满分12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0),抛物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3.
(1)求抛物线C的方程及其准线方程;
(2)过(-1,0)的直线l交抛物线C于不同的两点A,B,交直线x=-4于点E,直线BF交直线x=-1于点D.是否存在这样的直线l,使得DE∥AF 若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
21.(本小题满分12分)已知直线l:x=my+1过椭圆C:b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)的右焦点F,且交椭圆C于A、B两点,点A、B在直线G:x=a2上的射影依次为点D、E.
(1)若,其中O为原点,A2为椭圆C的右顶点,e为离心率,求椭圆C的方程;
(2)在(1)的条件下,连接AE,BD,试探索当m变化时,直线AE,BD是否相交于一定点N.若交于定点N,请求出N点的坐标,并给予证明;否则说明理由.
22.(本小题满分12分)设圆x2+y2-2x-15=0的圆心为M,直线l过点N(-1,0)且与x轴不重合,l交圆M于A,B两点,过点N作AM的平行线交BM于点C.
(1)证明|CM|+|CN|为定值,并写出点C的轨迹方程;
(2)设点C的轨迹为曲线E,直线l1:y=kx与曲线E交于P,Q两点,点R为曲线E上一点,若△RPQ是以PQ为底边的等腰三角形,求△RPQ面积的最小值.
答案全解全析
一、单项选择题
1.B　抛物线y2=4x的焦点为(1,0),到双曲线x2-,故选B.
2.D　由题意得椭圆=1的焦点在y轴上,因为a2=64,b2=36,
所以c2=a2-b2=64-36=28,所以焦点坐标为(0,2),
故选D.
3.B　设P(x,y),则Q(x,-y),所以·=(x,y)·(x,-y)=x2-y2=2,故选B.
4.D　如图所示,设椭圆的长轴为AB,短轴为CD,中心为点O1,圆柱的底面中心为O,
则∠OAB=60°,可得a=|O1A|=|CD|=2,
∴c=,故选D.
5.B　由题意得a2=10,b2=8,
∴c2=a2-b2=2,
设椭圆的上顶点为B,由c∠F1PF2≤∠F1BF2<90°,
因此PF1⊥F1F2或PF2⊥F1F2.
当PF1⊥F1F2时,|PF1|=,
∴,同理,当PF2⊥F1F2时,.故选B.
易错警示　“△F1PF2是直角三角形”中没有说明哪个角是直角,解题时要先判断,若∠F1PF2可以是直角,本题有两解,否则仅有一解.
6.C　由题意可得F1(-2,0),F2(2,0),双曲线的渐近线OB的方程为y=x,则∠BOF2=,因为BF1⊥BF2,OB为Rt△F1BF2的中线,所以|OB|==2,
所以△ABF2的周长C=|AB|+|AF2|+|BF2|=|AB|+(2a+|AF1|)+|BF2|=|BF1|+|BF2|+2=2.故选C.
7.B　由抛物线y2=8x,得F(2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),
由题知即(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2).
由题意知y1+y2=4,所以=kAB=2,
故直线l:y=2(x-2).
联立得y2-4y-16=0,
所以y1+y2=4,y1y2=-16.
故|y1-y2|=.
所以S△AOB=|OF|·|y1-y2|=,即△AOB的面积为4,故选B.
8.A　双曲线x2-,
联立y=0,
解得y=0或y=.
设Q(s,0),由M,N,Q三点共线,可得kMN=kQN,
即有,
将M,N的坐标代入,化简可得,
解得s=2,即Q(2,0),
设过Q的直线方程为x=my+2,
联立得(3m2-1)y2+12my+9=0,
设S(x1,y1),T(x2,y2),可得y1+y2=-,Δ=144m2-36(3m2-1)>0恒成立,
又=2,∴y1=-2y2,∴-2·,
可得S△BST=|BQ|·|y1-y2|=
=·=3·.
故选A.
二、多项选择题
9.AD　对于A,若m=0,n>0,则C:ny2=1,即y=±,为两条直线,故A正确;
对于B,若m=n>0,则C:x2+y2=,故B错误;
对于C,若m>n>0,则0<,
所以C:mx2+ny2=1即C:=1为椭圆,且焦点在y轴上,故C错误;
对于D,若mn<0,则C:x,故D正确.故选AD.
10.ABD　根据双曲线的定义,必须有k<|AB|,动点P的轨迹才为双曲线,故A的说法不正确;∵(+),∴P为弦AB的中点,故∠APO=90°,则动点P的轨迹为以线段AO为直径的圆,故B的说法不正确;显然C的说法正确;过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x有且仅有一个公共点,这样的直线有3条,分别为直线x=0、y=1、y=x+1,故D的说法不正确.故选ABD.
11.BD　依题意,A,B两监测点间距离为800米,且A监测点听到爆炸声的时间比B监测点迟2秒,
设爆炸点为C,则|CA|-|CB|=340×2=680<800,所以爆炸点在以A,B为焦点的双曲线的一支上,所以A选项错误,B选项正确.
若B监测点的声强是A监测点的4倍(声强与距离的平方成反比),则=4,
即|CA|=2|CB|,结合|CA|-|CB|=680可得|CB|=680,所以C选项错误,D选项正确.故选BD.
12.BD　∵椭圆C:=1(a>b>0),
∴A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,b),B1(0,-b),F1(-c,0),F2(c,0),
对于A,若|A1F1|·|F2A2|=,不满足条件,故A不符合题意;
对于B,∠F1B1A2=90°,∴=+(舍去),故B对;
对于C,PF1⊥x轴,且PO∥A2B1,
∴P,∵kPO=,不符合题意,故C不符合题意;
对于D,四边形A1B2A2B1的内切圆的半径为c,∴ab=c,符合题意,故D对.
故选BD.
三、填空题
13.答案　=1
解析　设所求的双曲线方程为=λ(λ≠0),又点(3,2)在双曲线上,∴=λ,解得λ=2.
故双曲线方程为=1.
14.答案　3-1
解析　∵抛物线方程为y2=4x,直线l的方程为x-y+5=0,
∴焦点F(1,0),准线为x=-1,
∵在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,到直线l的距离为d2,
∴根据抛物线的定义可知,
d1+d2的最小值为焦点到直线l的距离减去1,
∴最小值为-1.
故答案为3-1.
15.答案　4;8
解析　由抛物线的焦点为F(2,0),得=2,解得p=4.
设抛物线y2=8x的准线为l,则l与x轴的交点即为N(-2,0),作MP⊥l于点P,FQ⊥MP于点Q.
∵∠MFO=120°,∴∠MFQ=30°,
∴|MQ|=|MF|.
由抛物线的定义可知,|MF|=|MP|,
∴|MQ|=|MP|-|PQ|=|MF|-p=·|MF|,即|MF|-4=|MF|,
∴|MF|=8,∴|MQ|=4,
∴|FQ|=4,∴S△MNF=.
16.答案　
解析　当P点位于椭圆的右顶点时,|PF2|取得最小值,且最小值为|PF2|=a-c.
∵|PT|=,
∴≥(a-c),
∴(a-c)2≥4(b-c)2,∴a-c≥2(b-c),
∴a+c≥2b,∴(a+c)2≥4(a2-c2),
化为5c2+2ac-3a2≥0,即5e2+2e-3≥0,
解得e≥或e≤-1(舍去).
又e∈(0,1),∴≤e<1.①
∵b>c,∴b2>c2,
∴a2-c2>c2,∴a2>2c2,∴e2<,
∴0由①②得≤e<.
故椭圆离心率的取值范围为.
四、解答题
17.解析　(1)∵所求双曲线与双曲线=1有相同焦点,
∴设所求双曲线的方程为=1(-4<λ<16), (2分)
∵双曲线过点(3,2),
∴=1,
∴λ=4或λ=-14(舍). (4分)
∴所求双曲线方程为=1. (5分)
(2)椭圆方程可化为=1(m>0), (6分)
∵m-, (8分)
∴a2=m,b2=,
由e=,解得m=1. (10分)
18.解析　(1)依题意,椭圆的焦点在y轴上,设其方程为=1(a>b>0). (1分)
易知c=2,a=, (3分)
又a2=b2+c2,所以b=1, (5分)
故椭圆C的标准方程为+x2=1. (6分)
(2)设A(x1,y1), B(x2,y2),弦AB的中点为M(x0,y0),
由消去y,得6x2+4x-1=0. (8分)
故x1+x2=-,
则x0=-,
所以弦AB的中点M的坐标为.(10分)
|AB|=.(12分)
19.解析　(1)设椭圆C的焦距为2c,
由椭圆的定义,得a==2, (2分)
在△PF1F2中,=+-2|PF1|×|PF2|cos 120°
=+)=15, (4分)
由4c2=15,得c2=,
故椭圆C的方程为+4y2=1. (6分)
(2)设点P的坐标为(m,n)(m>0),
|PF1|·|PF2|·sin 120°=, (8分)
又由, (10分)
将点P的坐标代入椭圆C的方程得,
故点P的坐标为.(12分)
20.解析　(1)因为横坐标为1的点到焦点的距离为3,所以1+=3,解得p=4,(2分)
所以y2=8x, (3分)
所以准线方程为x=-2. (4分)
(2)显然直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x+1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).
由消去y,得k2x2+(2k2-8)·x+k2=0. (5分)
令Δ=且k≠0.
由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=1.(6分)
因为DE∥AF,所以. (9分)
整理得x1x2+(x1+x2)=8,即x1+x2=7, (10分)
所以. (11分)
解得k=±符合题意.
所以存在这样的直线l,使得DE∥AF,直线l的方程为y=(x+1).(12分)
21.解析　(1)椭圆的方程为=1(a>b>0),
设椭圆的半焦距为c,由题意可得c=1, (2分)
由,
即有(负值舍去), (4分)
则a=2,b=,
所以椭圆C的方程为=1. (6分)
(2)当m=0时,直线AB垂直于x轴,可得四边形ABED为矩形,直线AE,BD相交于点; (7分)
当m≠0时,分别设A,B的坐标为(x1,y1),(x2,y2),由题意可得D(4,y1),E(4,y2),
由可得(4+3m2)y2+6my-9=0,
所以y1+y2=-, (9分)
易得kBN=,
则kBN-kDN=,
又·-m·
=0, (11分)
则kBN-kDN=0,即kBN=kDN,所以B,D,N三点共线,
同理可得A,E,N三点共线.
则直线AE,BD相交于定点N. (12分)
22.解析　(1)因为圆x2+y2-2x-15=0可化为(x-1)2+y2=16,
所以圆心M(1,0),半径|MB|=4, (1分)
又因为过点N作AM的平行线交BM于点C,所以AM∥NC,
又因为|MA|=|MB|,所以∠BNC=∠BAM=∠NBC,所以|CN|=|CB|, (3分)
所以|CM|+|CN|=|CM|+|CB|=|MB|=4>|MN|=2, (4分)
所以点C的轨迹为椭圆(除去两点),由椭圆定义可得点C的轨迹方程为=1(y≠0). (6分)
(2)由(1)可知点C的轨迹方程为=1(y≠0),
易知k≠0,设P(x1,y1),
由消去y,得(3+4k2)x2=12,
解得 (7分)
则|OP|=, (8分)
因为△PQR是以PQ为底边的等腰三角形,
所以RO⊥PQ,所以kRO·kPQ=-1,则kRO=-.
同理,|OR|=. (9分)
所以S△RPQ=×|PQ|×|OR|
=
= (10分)
≥, (11分)
当且仅当3+4k2=4+3k2,即k=±1时取等号,
所以(S△RPQ)min=. (12分)
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