(共21张PPT)
学习目标
1.利用类比的方法理解空间向量的相关概念.
2.掌握空间向量的线性运算和数量积运算.
3.掌握空间向量的数量积的性质,并能应用其解决立体几何问题.
1.1 空间向量及其运算
1.定义:在空间,把具有① 大小 和② 方向 的量叫做空间向量.
2.长度(模):空间向量的③ 大小 叫做空间向量的长度或模.
3.表示法
(1)字母表示法:空间向量用字母a,b,c,…表示;
(2)几何表示法:空间向量用有向线段表示,有向线段的长度表示空间向量的模.
若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作④ ,其模记为|a|或
⑤ | | .
1 |空间向量的有关概念
2 | 空间向量的线性运算
运算 法则(或几何意义) 图形表示 运算律
加法a+b 三角形法则:a+b= + = ; 平行四边形法则:a+b=
+ = (1)交换律:a+b=b+a;
(2)结合律:(a+b)+c=a+
(b+c),
λ(μa)=(λμ)a;
(3)分配律:(λ+μ)a=λa+
μa,
λ(a+b)=λa+λb
(λ,μ∈R)
减法a-b a-b= - =
数乘λa(a≠0) 大小:|λa|=⑥ |λ||a| . 方向:当λ>0时,λa的方
向与a的方向⑦相同; 当λ<0时,λa的方向
与a的方向⑧ 相反 ;
当λ=0时,λa=0
对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使⑨ a=λb .
3 |空间向量共线的充要条件
4 |空间向量共面的充要条件
1.共面向量:平行于同一个⑩ 平面 的向量,叫做共面向量.
2.向量共面的充要条件
如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序
实数对(x,y),使 p=xa+yb .
1.如图,已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作 =a, =b,则 ∠AOB
叫做向量a,b的夹角,记作
.
2.两个非零向量a,b的夹角的范围是 [0,π] ;若=0,则向量a,b方向
相同 ;若=π,则向量a,b方向 相反 ;若= ,则向量a,b
互相垂直 .
5|空间两个向量的夹角
1.定义
已知两个非零向量a,b,则 |a||b|cos 叫做a,b的数量积,记作 a·b .
即a·b=|a||b|cos.
规定:零向量与任意向量的数量积为 0 .
2.运算律
(1)(λa)·b= λ(a·b) ,λ∈R;
(2)交换律:a·b= b·a ;
(3)分配律:(a+b)·c= a·c+b·c .
6 | 空间向量的数量积
1.a·e= |a|cos (其中e为单位向量);
2.若a,b为非零向量,则a⊥b a·b=0 ;
3.a·a=|a||a|cos=|a|2或|a|= = ;
4.若a,b为非零向量,则cos= ;
5.|a·b|≤|a||b|(当且仅当a,b共线时,等号成立).
7 | 空间向量数量积的性质
1.若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同,则终点也相同. ( √ )
2.空间向量的数乘中λ只决定向量的大小,不决定向量的方向. ( )
提示:设b=λa(a≠0),当λ>0时,b与a方向相同,当λ<0时,b与a方向相反.
3.向量 与向量 是共线向量,则点A、B、C、D必在同一条直线上. ( )
提示:向量 与向量 是共线向量,可能点A、B、C、D在同一条直线上,也可能
AB∥CD.
4.向量a,b,c共面,即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面. ( )
提示:向量a,b,c共面,表示这三个向量的有向线段所在的直线可能共面,也可能异
面.
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
5.对于任意向量a,b,c,都有(a·b)c=a(b·c). ( )
提示:(a·b)c与c共线,a(b·c)与a共线,但c与a不一定共线.
6.对于非零向量a,b,与相等. ( )
提示:与互补.
7.若a·b=b·c,且b≠0,则a=c. ( )
提示:由a·b=b·c知b·(a-c)=0,即b与a-c垂直或a=c.
1 | 空间向量共线与共面定理的应用
1.若两个非零向量共线,则这两个向量所在的直线可能平行,也可能重合.证明空
间图形中两直线平行,可以先用向量法证明两直线的方向向量平行,然后说明一
条直线上有一点不在另一条直线上,从而推得两直线平行,不能由向量平行直接
推出直线平行.
2.空间三点共线可以通过空间向量共线的充要条件来证明,对于空间三点A,B,C,
可通过证明下列结论来证明三点共线:
(1)存在实数λ,使 =λ 成立;
(2)对空间任一点O,有 = +t (t∈R);
(3)对空间任一点O,有 =x +y (x+y=1).
已知A,B,C三点不共线,O为平面ABC外一点,且点M满足 = ( + +
).
(1)判断 , , 三个向量是否共面;
(2)判断点M是否在平面ABC内.
解析 (1)共面.由已知得 + + =3 ,所以 - =( - )+( - ),
即 = + =- - ,所以 , , 共面.
(2)点M在平面ABC内.
由(1)知 , , 共面且过同一点M,
所以M,A,B,C四点共面,从而点M在平面ABC内.
1.求空间两个向量的夹角的方法
(1)结合图形,平移向量,利用空间向量的夹角定义来求,但要注意向量夹角的范围;
(2)先求a·b,再利用公式cos= 求cos,最后确定.
2.求两条异面直线所成的角的步骤
(1)根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量);
(2)将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题;
(3)利用向量的数量积求向量夹角的余弦值;
(4)异面直线所成的角为锐角或直角,利用向量的数量积求向量夹角的余弦值应
将余弦值加上绝对值,进而求出异面直线所成的角的大小.
2 | 利用空间向量的数量积求夹角
3.由于向量的夹角的取值范围为[0,π],而异面直线所成的角的取值范围为 ,
因此利用向量的数量积求异面直线所成的角时,要注意角度之间的关系,当
∈ 时,它们相等;当∈ 时,它们互补.
三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等,∠BAA1=∠CAA1=60°,则异
面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 .
解析 如图所示,
设该三棱柱的底面边长为1,
因为 = + , = - = + - ,
所以| |2=( + )2= +2 · + =2+2cos 60°=3,| |2=( + - )2=
+ + +2 · -2 · -2 · =2,
又 · =( + )·( + - )= · + · - + · + - ·
= + -1+ +1- =1,
所以cos< , >= = = .
所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 .
易错警示
求异面直线a与b所成的角,可以转化为求a与b的夹角,但要注意异面直线所成角
的范围是 ,而向量夹角的取值范围为[0,π],注意角度的转化.
1.用数量积求两点间距离的步骤
(1)用向量的模表示此距离;
(2)用已知模和夹角的向量表示此向量;
(3)用公式a·a=|a|2求|a|;
(4)|a|即为所求距离.
2.求模公式的推广
由公式|a|= 可以推广为|a±b|= = .
3 | 利用数量积求距离(或线段长)
已知线段AB在平面α内,线段AC⊥α,线段BD⊥AB,且与α所成的角是30°,如果
AB=a,AC=BD=b,求C,D间的距离.
解析 由AC⊥α,知AC⊥AB.如图,过点D作DD'⊥α于点D',连接BD',则∠DBD'=30°,
< , >=120°,
所以| |2= · =( + + )2=| |2+| |2+| |2+2 · +2 · +2 ·
=b2+a2+b2+2b2cos 120°=a2+b2,
故CD= .
利用向量数量积判定或证明线线、线面垂直的思路
(1)由数量积的性质a⊥b a·b=0可知,要证两直线垂直,可构造与两直线分别平行
的向量,只要证明这两个向量的数量积为0即可.
(2)用向量法证明线面垂直,离不开线面垂直的判定定理,需将线面垂直转化为线
线垂直,然后利用向量法证明线线垂直即可.
用向量法证明垂直关系的步骤:
①把几何问题转化为向量问题;
②用已知向量表示所证向量;
③结合数量积公式和运算律证数量积为0;
④将向量问题回归到几何问题.
4 | 利用数量积证明垂直
如图,正四面体VABC的高VD的中点为O,求证:AO,BO,CO两两垂直.
思路点拨
因为正四面体的各条棱都相等,且相邻两条棱的夹角为60°,所以可以用同一起点
的向量表示 , , ,从而利用数量积的运算证明垂直.
证明 设 =a, =b, =c,正四面体的棱长为1,则 = (a+b+c), = (b+c-5a),
= (a+c-5b), = (a+b-5c),
所以 · = (b+c-5a)·(a+c-5b)= (18a·b-9|a|2)= ×(18×1×1×cos 60°-9)=0,
所以 ⊥ ,即AO⊥BO.
同理,AO⊥CO,BO⊥CO.
所以AO,BO,CO两两垂直.(共8张PPT)
1.2 空间向量基本定理
学习目标
1.理解空间向量基本定理的意义.
2.掌握判断空间向量基底的方法.
3.掌握用基向量表示空间向量的方法.
如果三个向量a,b,c① 不共面 ,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有
序实数组(x,y,z),使得p=② xa+yb+zc .我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c
都叫做基向量.空间任意三个③ 不共面 的向量都可以构成空间的一个基底.
1 | 空间向量基本定理
如果空间的一个基底中的三个基向量④ 两两垂直 ,且长度都为1,那么这
个基底叫做单位正交基底,常用{i,j,k}表示.由空间向量基本定理可知,对空间中的
任意向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,使a=xi+yj+zk.像这样,把一个空间向量
分解为三个⑤ 两两垂直 的向量,叫做把空间向量进行正交分解.
2 | 空间向量的正交分解
1.只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一个基底.( )
提示:只要三个向量不共面,就可以作为一个基底.
2.若对向量p可找到三个向量a,b,c,使p=xa+yb+zc,则{a,b,c}可构成空间向量的一
个基底. ( )
提示:三个向量必须不共面才行.
3.对于三个不共面向量a1,a2,a3,不存在实数组{λ1,λ2,λ3},使0=λ1a1+λ2a2+λ3a3. ( )
提示:当λ1=λ2=λ3=0时,满足条件.
4.若{a,b,c}为空间的一个基底,则a,b,c全不是零向量.( √ )
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
|利用基向量解决几何问题
1.基向量的选择和使用方法
用已知向量表示未知向量时,选择一个恰当的基底可以使解题过程简便易行,选
择和使用向量应注意:
(1)所选向量必须不共面,可以利用共面向量定理或常见的几何图形的几何性质
帮助判断;
(2)所选基向量与要表示的向量一般应在同一封闭图形内,能用基向量的线性运
算表示未知向量;
(3)尽可能选择具有垂直关系的、从同一起点出发的三个向量作为基底.
2.用基底表示向量的步骤
(1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.
(2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则或平行
四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果.
(3)下结论:利用空间向量的一个基底{a,b,c}可以表示出空间所有向量,即结果中
只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.
如图,已知四棱锥P-ABCD,四边形ABCD为平行四边形,M,N分别是PC,PD上
的点,且 =2,PN=ND,设 =a, =b, =c.
(1)以{a,b,c}为基底表示向量 ;
(2)若 =xa+yb+zc,求实数x,y,z的值.
解析 (1) = + = + = + ( + + )= - + =- a+
b+ c.
(2) = - = - = ( - )- ( - )= - - ( + )+
=- - + =- a- b+ c,
所以x=- ,y=- ,z= .(共21张PPT)
学习目标
1.能根据题目条件建立适当的空间直角坐标系.
2.理解空间点的坐标和向量的坐标,掌握空间向量运算的坐标表示.
3.会利用空间向量的坐标运算判定两向量共线或垂直.
4.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式,能运用这些知识解决相关
问题.
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k},以点O为原点,分别以i,j,k的方
向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐
标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i,j,k都叫做
① 坐标向量 ,通过② 每两条坐标轴 的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,
Oyz平面,Ozx平面,它们把空间分成③ 八 个部分.
1 | 空间直角坐标系
在空间直角坐标系Oxyz中,i,j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量
,且点A的位置由向量 ④ 唯一确定 ,由空间向量基本定理,存在唯一的有
序实数组(x,y,z),使⑤ =xi+yj+zk .在单位正交基底{i,j,k}下与向量 对应的
有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点
A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标.
2 | 空间点的坐标表示
在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a.作 =a.由空间向量基本定理,存在唯
一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系
Oxyz中的坐标,上式可简记作⑥ a=(x,y,z) .
3 | 空间向量的坐标表示
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
1 | 空间向量运算的坐标表示
运算 坐标表示
加法 a+b=⑦ (a1+b1,a2+b2,a3+b3)
减法 a-b=⑧ (a1-b1,a2-b2,a3-b3)
数乘 λa=⑨ (λa1,λa2,λa3) ,λ∈R
数量积 a·b=⑩ a1b1+a2b2+a3b3
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
5 | 空间向量常用结论的坐标表示
结论 坐标表示
共线 a∥b(b≠0) a=λb a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 ,λ
∈R
垂直 a⊥b a·b= a1b1+a2b2+a3b3=0
向量长度 |a|= =
向量夹角公式 cos= =
在空间直角坐标系Oxyz中,设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,则
= - =(x2-x1,y2-y1,z2-z1),
P1P2=| |= .
6| 空间两点间的距离公式
1.点(2,-3,-1)在Oxy平面上的射影为点(2,-3). ( )
提示:点(2,-3,-1)在Oxy平面上的射影为点(2,-3,0).
2.已知i,j,k是空间直角坐标系Oxyz的坐标向量,并且 =-i+j-k,则B点的坐标为(-1,
1,-1). ( √ )
3.向量a=(2,-3,1)与向量b=(-4,6,-2)平行. ( √ )
4.若向量a=(1,-1,2)与向量b=(x,2,-1)垂直,则x=4.( √ )
5.对于空间任意两个向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),若a与b共线,则 = = . ( )
提示:b为零向量时不成立.
6.空间向量a=(1,1,1)为单位向量. ( )
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
提示:|a|= = ,a的模不是1.
1 | 利用空间向量的坐标运算证明空间平行、垂直问题
1.运用向量的坐标运算解决空间立体几何问题的方法
2.向量平行与垂直问题主要有以下两种类型:一是判定平行与垂直;二是利用平行与垂直求参数或其他问题.选择向量的坐标形式,把几何问题转化为代数计算,可
以达到简化运算的目的.
(1)证明两直线平行的步骤:
①建立适当的空间直角坐标系,求出相应点的坐标;
②求出直线的方向向量;
③证明两向量共线;
④说明其中一个向量所在直线上的一点不在另一个向量所在的直线上,即表示方
向向量的有向线段不共线,即可得证.
(2)证明两直线垂直的步骤:
①根据已知条件和图形特征,建立适当的空间直角坐标系,正确地写出各点的坐
标;
②根据所求点的坐标求出两直线方向向量的坐标;
③计算两直线方向向量的数量积为0;
④由方向向量垂直得到两直线垂直.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,G,H分别是CC1,CD,A1C1的中点.
(1)求证:AB1∥GE,AB1⊥EH;
(2)过点B作BM⊥AC1于点M,求点M的坐标;
(3)若P,Q分别为线段B1D1,BD上的点,且3 = ,是否存在λ,使 =λ ,且 ⊥
若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
思路点拨
根据正方体中的垂直关系,建立适当的空间直角坐标系.(1)将线线平行转化为向
量共线;将线线垂直转化为向量的数量积为0;(2)设点M的坐标,则点M满足两个条
件,点M在AC1上和BM⊥AC1,转化为向量 与 共线和 · =0,通过坐标运
算得方程组求解;(3)假设存在λ,由3 = 得点P的坐标,由 ⊥ , =λ ,
通过坐标运算列方程组求点Q的坐标及λ的值.
解析 如图,以A为坐标原点, , , 为单位正交基底建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(1,1,
1),D1(0,1,1).由中点坐标公式,得E ,G ,H .
(1)证明: =(1,0,1), = , = .
因为 =2 , · =1× +1× =0,
所以 ∥ , ⊥ ,即AB1∥GE,AB1⊥EH.
(2)设M(x,y,z),则 =(x,y,z), =(x-1,y,z).
又 =(1,1,1),所以由BM⊥AC1,得 · =0,
即x-1+y+z=0.①
因为 ∥ ,所以设 =μ ,得x=μ,y=μ,z=μ(μ∈R).②
由①②,得μ= ,所以x= ,y= ,z= .
所以点M的坐标为 .
(3)假设存在满足条件的λ.设点P(x1,y1,z1),则 =(x1-1,y1,z1-1), =(-x1,1-y1,1-z1),
由3 = ,得
解得
所以点P的坐标为 .
设点Q(x2,y2,z2),
则 = , =(x2,y2-1,z2),
得 = , =(-1,1,0).
由 ⊥ ,得x2- +y2- + (z2-1)=0,③
由 =λ ,得 ④
由③④得无解,即不存在λ满足条件.
1.求两异面直线夹角的步骤
(1)求异面直线a,b上的方向向量的坐标:a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2);
(2)利用公式cos=
求解;
(3)设异面直线a,b所成的角为θ,则cos θ=|cos|.
2.求空间中两点的距离或线段长度的常用方法
(1)空间两点间的距离公式:若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则
AB=| |= = .
(2)向量的模的计算公式:若a=(x,y,z),则|a|= .
2 | 利用空间向量的坐标运算求夹角和长度
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是DD1、BD的中点.G在棱
CD上,且CG= CD,H是C1G的中点,利用空间向量解决下列问题:
(1)求证:EF⊥B1C;
(2)求EF与C1G所成角的余弦值;
(3)求FH的长.
解析 如图所示,以 , , 为单位正交基底建立空间直角坐标系Dxyz,则E
,F ,C(0,1,0),C1(0,1,1),B1(1,1,1),G .
(1)证明: = ,
=(-1,0,-1),
∵ · = ×(-1)+ ×0+ ×(-1)=0,
∴ ⊥ ,即EF⊥B1C.
(2) = ,
∴| |= .
又| |= ,
且 · = ,
∴cos< , >= = ,
即EF与C1G所成角的余弦值为 .
(3)∵H是C1G的中点,∴H ,
又F ,
∴FH=| |= = .(共26张PPT)
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
学习目标
1.掌握直线的方向向量、平面的法向量的概念和求法.
2.掌握用直线的方向向量、平面的法向量证明空间中直线、平面平行与垂直关
系的方法.
1.点的位置向量
如图,在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量
① 来表示.我们把向量② 称为点P的位置向量.
1 | 空间中点、直线和平面的向量表示
2.空间直线的向量表示式
图（1） 图（2）
如图(1),a是直线l的方向向量,在直线l上取 =a,设P是直线l上的任意一点,由向
量共线的条件可知,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使得 =ta,即 =t
.进一步地,如图(2),取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条
件是存在实数t,使③ = +ta (i),将 =a代入(i)式,得④ = +t (i
i).(i)式和(ii)式都称为空间直线的向量表示式.
3.空间平面的向量表示式
如图,取定空间任意一点O,可以得到,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存
在实数x,y,使⑤ = +x +y (iii).我们把(iii)式称为空间平面ABC的向
量表示式.
4.法向量
如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的⑥ 法向量 .给定
一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示
为集合⑦ {P|a· =0} .
2 | 空间中直线、平面的平行
位置关系 向量表示
线线平行 设u1,u2分别是直线l1,l2的方向向量,则l1∥l2 u1∥
u2 λ∈R,使得⑧ u1=λu2
线面平行 设u是直线l的方向向量,n是平面α的法向量,l α,
则l∥α u⊥n ⑨ u·n=0
面面平行 设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α∥β n1∥n2
λ∈R,使得⑩ n1=λn2
3 | 空间中直线、平面的垂直
位置关系 向量表示
线线垂直 设直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,则l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2=0
线面垂直 设直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n,则l⊥α u∥n λ∈R,使得 u=λn
面面垂直 设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则α⊥β n1⊥n2 n1·n2=0
1.直线l的方向向量是唯一的. ( )
提示:与直线l平行或共线的任何向量都可作为l的方向向量.
2.若两条直线平行,则它们的方向向量的方向相同或相反.( √ )
3.若向量a是直线l的一个方向向量,则向量ka也是直线l的一个方向向量. ( )
提示:此命题成立的前提条件是k≠0.
4.已知直线l垂直于平面α,向量a与直线l平行,则a是平面α的一个法向量. ( )
提示:不一定.当a=0时,也满足a∥l,但a不是平面α的一个法向量.
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
5.若直线l是平面α外的一条直线,直线m垂直于l在平面α内的投影,则l与m垂直.
( )
提示:不一定.若直线m在平面α外,例如m⊥α,尽管m垂直于直线l在平面α内的投影,
但也不能得出m⊥l的结论.
6.一个平面的法向量有无数多个,任意两个都是共线向量.( √ )
1 | 利用空间向量证明平行关系及四点共面问题
利用空间向量解决平行问题时,第一,建立立体图形与空间向量的联系,用空间向
量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;第二,通
过向量的运算,研究平行问题;第三,把向量问题再转化成相应的立体几何问题,从
而得出结论.
1.证明空间两直线平行的步骤
(1)建立适当的空间直角坐标系,求出相应点的坐标,得到对应直线的方向向量;
(2)证明两向量共线;
(3)说明其中一个向量所在的直线上的一点不在另一个向量所在的直线上,即可
得证.
2.利用向量法证明线面平行的三个思路
(1)设直线l的方向向量是a,平面α的法向量是u,则要证明l∥α,只需证明a⊥u,即a·u
=0.求解法向量时,赋值与运算一定要准确.
(2)根据线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该
直线与此平面平行,要证明一条直线和一个平面平行,在平面内找一个向量与已
知直线的方向向量是共线向量即可,需要特别说明已知直线的方向向量不在平面
内.
(3)根据共面向量定理可知,要证明一条直线和一个平面平行,只要证明这条直线
的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.
3.证明面面平行的方法
设平面α的法向量为μ,平面β的法向量为v,则α∥β μ∥v.
4.对于空间四点A,B,C,D,可通过证明下列结论成立来证明四点共面:
(1) =x +y ;
(2)对空间任一点O, = +x +y ;
(3)对空间任一点O, =x +y +z (x+y+z=1);
(4) ∥ (或 ∥ 或 ∥ ).
已知正方体ABCD-A'B'C'D',求证:平面AB'D'∥平面BDC'.
思路点拨
思路一:证明两个平面的法向量平行;思路二:利用两个平面平行的判定定理证明;
思路三:证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量.
证明 证法一:设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(1,
0,0),B'(1,1,1),D'(0,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0),C'(0,1,1).
于是 =(0,1,1), =(1,1,0),设 =(1,1,0), =(0,1,1).
设平面AB'D'的法向量为n1=(x1,y1,z1),
则 即
令y1=1,则x1=-1,z1=-1,∴n1=(-1,1,-1).
设平面BDC'的法向量为n2=(x2,y2,z2).
则 即
令y2=1,则x2=-1,z2=-1,∴n2=(-1,1,-1).
∵n1=n2,∴n1∥n2,
∴平面AB'D'∥平面BDC'.
证法二:由证法一知 =(-1,0,1), =(-1,0,1), =(0,1,1), =(0,1,1),
∴ = , = ,即AD'∥BC',AB'∥DC',
∴AD'∥平面BDC',AB'∥平面BDC',
又AD'∩AB'=A,∴平面AB'D'∥平面BDC'.
证法三:由证法一得平面AB'D'的一个法向量为n1=(-1,1,-1), =(1,1,0), =(0,1,
1).
∵n1· =(-1,1,-1)·(1,1,0)=0,n1· =(-1,1,-1)·(0,1,1)=0,
∴n1也是平面BDC'的一个法向量,
∴平面AB'D'∥平面BDC'.
利用向量法证明线面垂直的两种思路
(1)证明直线与平面内两条相交直线垂直:
①用基底或坐标表示三条直线的方向向量;②分别计算直线的方向向量与平面内
两条相交直线的方向向量的数量积,得到数量积为0;③判定直线与平面垂直.当平
面的法向量不易求时,可考虑此法.
(2)证明直线的方向向量与平面的法向量平行:
①建立空间直角坐标系,求出直线的方向向量的坐标和平面的法向量的坐标;②
判定直线的方向向量与平面的法向量平行;③判定直线与平面垂直.当平面的法
向量明显时,用此法简单.
2 | 利用空间向量证明垂直问题
利用空间向量证明面面垂直的两种思路
(1)利用两个平面垂直的性质定理将面面垂直问题转化为线面垂直,进而转化为
线线垂直;
(2)直接求解两个平面的法向量,证明两个法向量垂直,从而得到两个平面垂直.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、D1B1的中点,求证:EF⊥平面
B1AC.
证明 证法一:设 =a, =b, =c,连接BD,如图,
则 = + = ( + )
= ( + )= ( + - )= (b+c-a),
= + =a+b,
∵ · = (-a+b+c)·(a+b)= (b2-a2+c·a+c·b)= (|b|2-|a|2+0+0)=0,
∴ ⊥ ,即EF⊥AB1.同理可证EF⊥B1C.
又AB1∩B1C=B1,AB1,B1C 平面B1AC,
∴EF⊥平面B1AC.
证法二:设正方体的棱长为2a,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(2a,0,0),C(0,2a,0),B1(2a,2a,2a),E(2a,2a,a),F(a,a,2a),
∴ =(a,a,2a)-(2a,2a,a)=(-a,-a,a), =(2a,2a,2a)-(2a,0,0)=(0,2a,2a), =(0,2a,0)-
(2a,0,0)=(-2a,2a,0).
∵ · =(-a,-a,a)·(0,2a,2a)=-a×0+(-a)×2a+a×2a=0,
· =(-a,-a,a)·(-2a,2a,0)=2a2-2a2+0=0,∴EF⊥AB1,EF⊥AC.又AB1∩AC=A,AB1,B
1C 平面B1AC,∴EF⊥平面B1AC.
证法三:由证法二,得 =(-a,-a,a),
=(0,2a,2a), =(-2a,2a,0).
设平面B1AC的法向量为n=(x,y,z),
则 即 令y=1,则x=1,z=-1,∴n=(1,1,-1),∵ =-an,∴
∥n,
∴EF⊥平面B1AC.
解决探索性问题的基本方法
(1)对于存在、判断型问题,应先假设存在,把要成立的结论当作条件,据此列方程
或方程组,把“是否存在”问题转化为“是否有解”“是否有规定范围内的解”
等问题.
(2)对于位置探究型问题,通常是借助向量,引入参数,综合条件和结论列方程或方
程组,解出参数,从而确定位置.
3 |用空间向量解决立体几何中的探索性问题
如图,正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直,已知BC
=4,AB=AD=2.
(1)求证:AC⊥BF;
(2)在线段BE上是否存在一点P,使得平面PAC⊥平面BCEF 若存在,求出 的值;
若不存在,请说明理由.
解析 (1)证明:∵平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,AF⊥AD,
AF 平面ADEF,
∴AF⊥平面ABCD.∵AC 平面ABCD,∴AF⊥AC.
过A作AH⊥BC于H,则BH=1,AH= ,CH=3,
∴AC=2 ,∴AB2+AC2=BC2,∴AC⊥AB.
∵AB∩AF=A,∴AC⊥平面FAB,
∵BF 平面FAB,∴AC⊥BF.
(2)由(1)知,AF,AB,AC两两垂直.
以A为坐标原点, , , 的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图所示的
空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2 ,0),E(-1, ,2).
假设在线段BE上存在一点P满足题意,则易知点P不与点B,E重合,设 =λ,则λ>0,
P .
设平面PAC的法向量为m=(x,y,z).
由 = , =(0,2 ,0),
得
即 令x=1,则z= ,
∴m= 为平面PAC的一个法向量.
同理,可求得n= 为平面BCEF的一个法向量.
当m·n=0,即λ= 时,平面PAC⊥平面BCEF,
故存在满足题意的点P,此时 = .(共30张PPT)
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
学习目标
1.理解空间角、空间距离的概念.
2.会用向量法求空间角.
3.会用向量法求空间距离.
1 | 用空间向量研究距离
1.直线外一点到直线的距离
如图,直线l的单位方向向量为u,设 =a,则向量 在直线l上的投影向量 =
① (a·u)u .在Rt△APQ中,由勾股定理,得点P到直线l的距离PQ= =
② .
如图,已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点,过点P作平面
α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离PQ=
= =③ .
2 | 用空间向量研究空间角
空间角 向量求法 空间角的范围
异面直线所成的角 若异面直线l1,l2所成的角为θ,其
方向向量分别是u,v,则cos θ= |cos|=④ = ⑤
直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ,
直线AB的方向向量为u,平面α的
法向量为n,则sin θ=|cos|=
⑥ =⑦
两个平面的夹角 若平面α,β的法向量分别是n1,n2,
则平面α与平面β的夹角即为向
量n1,n2的⑧ 夹角 或 ⑨ 其补角 . 设平面α与平面β的夹角为θ,则
cos θ=|cos|=⑩
=
1.直线与平面所成的角α和该直线的方向向量与平面的法向量的夹角β互余.
( )
提示:当直线的方向向量与平面的法向量的夹角β是锐角时,直线与平面所成的角
α和其互余.
2.若一条直线在某一平面外,则该直线上任一点到平面的距离d必为一个正数.
( )
提示:直线在平面外也有可能与平面相交.当直线与平面相交时,该说法不成立.
3.平面的斜线与平面所成的角是锐角. ( √ )
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
4.若两个平面的法向量分别为n1,n2,则这两个平面的夹角与两个法向量的夹角n2>一定相等. ( )
提示:也可能互补.
5.设n是平面α的法向量,AB是平面α的一条斜线,则点B到α的距离d= .
（ ）
提示:当A在平面内,B在平面外时结论才正确.
1 | 用空间向量研究距离问题
用向量法求点到直线的距离的两种思路
(1)将求点到直线的距离问题转化为求向量模的问题,即利用待定系数法求出垂
足的坐标,然后求出向量的模,这是求各种距离的通法.
(2)直接套用点线距公式求解.
注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.
点面距、线面距、面面距的求解方法
线面距、面面距实质上都是求点面距,求直线到平面、平面到平面的距离的前提
是线面、面面平行.
点面距的求解步骤:
(1)过已知点求出平面的一个法向量;
(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量;
(3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值,再除以法向量的模,即可求
出点到平面的距离.
两条异面直线之间的距离也可以转化为点到平面的距离.
已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的
中点.
(1)求点D到平面PEF的距离;
(2)求直线AC到平面PEF的距离.
思路点拨
思路一:(1)先建立合适的空间直角坐标系,再作DH⊥平面PEF,垂足为H,由线面垂
直关系求得 的坐标,从而求出 的模,即点D到平面PEF的距离;(2)设AH'⊥平
面PEF,求出| |即可.
思路二:(1)求出平面PEF的法向量n,利用公式d= 求点D到平面PEF的距离;
(2)由AC∥平面PEF,将直线AC到平面PEF的距离转化为点A到平面PEF的距离求
解.
解析 解法一:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,
则D(0,0,0),P(0,0,1),A(1,0,0),E ,F ,
∴ = , = , =(0,0,1).
作DH⊥平面PEF,垂足为H,则 =x +y +z = ,其中x+y+z=
1,
= , = ,
∵ · =x+ y+ -z= x+y-z=0.
同理, · =x+ y-z=0,
又x+y+z=1,
∴x=y= ,z= .
∴ = ,
∴| |= .
因此,点D到平面PEF的距离为 .
(2)设AH'⊥平面PEF,垂足为H',则 ∥ ,由(1)知 = ,
所以设 =λ(2,2,3)=(2λ,2λ,3λ)(λ≠0),则
= + = +(2λ,2λ,3λ)= .
∵ · =4λ2+4λ2-λ+9λ2=0,∴λ= .
∴ = (2,2,3)= ,| |= .
又AC∥平面PEF,
∴AC到平面PEF的距离为 .
解法二:(1)由解法一建立的空间直角坐标系知 = , = , =
,
设平面PEF的法向量为n=(x,y,z),则 解得
令x=2,则n=(2,2,3),
∴点D到平面PEF的距离d= = = .
(2)∵AC∥平面PEF,∴直线AC到平面PEF的距离即点A到平面PEF的距离.
又 = ,∴点A到平面PEF的距离d= = = .
∴直线AC到平面PEF的距离为 .
利用向量法求空间角时,要注意空间角的范围与向量夹角范围的区别.
1.两异面直线所成角的向量求法
(1)基底法:在一些不适合建立坐标系的题中,我们经常用基底法.在由公式
cos= 求向量a、b的夹角时,关键是求出a·b及|a|与|b|,一般是把a、b用一个
基底表示出来,再求有关的量.
(2)用坐标法求异面直线的夹角的方法:
①建立恰当的空间直角坐标系;
②找到两条异面直线的方向向量并写出其坐标形式;
③利用向量的夹角公式计算两直线的方向向量的夹角;
2 | 利用空间向量求空间角
④结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角.
2.求直线与平面的夹角的方法与步骤
方法一:求出直线在平面内的射影的方向向量,将直线与平面的夹角转化为两向
量夹角计算.
方法二:利用平面的法向量求直线与平面的夹角,基本步骤:
(1)建立空间直角坐标系;
(2)求直线的方向向量 ;
(3)求平面的法向量n;
(4)计算:设线面角为θ,则sin θ= .
3.两个平面夹角的向量求法
设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面的
夹角,用坐标法的解题步骤如下:
(1)建系:依据几何条件建立适当的空间直角坐标系;
(2)求法向量:在建立的坐标系下求两个面的法向量n1,n2;
(3)计算:cos θ= .
如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形,对角线AC,BD交于点O,OA=8,OB=6,
OP=8,OP⊥底面ABCD,设点M满足 =λ (0<λ<1).
(1)若λ= ,求平面MAB与平面ABC的夹角;
(2)若直线PA与平面BDM所成角的正弦值为 ,求λ的值.
思路点拨
建立空间直角坐标系,得相关点坐标.(1)得向量坐标,求两个平面的法向量,代入公
式求出两个平面夹角的余弦值,进而求角;(2)求出平面的法向量,代入公式得到关
于λ的关系式,进而求出λ的值.
解析 以O为坐标原点,OA,OB,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标
系Oxyz,则A(8,0,0),B(0,6,0),C(-8,0,0),D(0,-6,0),P(0,0,8).
(1)易得 =(-8,6,0),设M(x1,y1,z1),∵ = ,∴(x1,y1,z1-8)= (-8-x1,-y1,-z1),
∴M(-2,0,6),
∴ =(-2,-6,6),
取平面ABC的一个法向量n1=(0,0,1),
设平面MAB的法向量为n2=(x2,y2,z2),
则 即 令x2=3,则y2=4,z2=5,∴n2=(3,4,5),
∴cos= = = ,
∴平面MAB与平面ABC的夹角的大小为 .
(2) =(8,0,-8), =(0,12,0),
设M(x3,y3,z3),∵ =λ ,
∴(x3,y3,z3-8)=λ(-8-x3,-y3,-z3),
∴M ,
∴ = ,
设平面BDM的法向量为m=(x4,y4,z4),
则 即 令z4=λ,则x4=1,y4=0,∴m=(1,0,λ),
∵| |=8 ,|m|= ,∴ ·m=8-8λ,
∵直线PA与平面BDM所成角的正弦值为 ,
∴ =|cos< ,m>|= = = ,
∴2λ2-5λ+2=0,解得λ= 或λ=2,
又0<λ<1,∴λ= .
1.利用向量解决与空间角有关的探索性问题的步骤
(1)假设存在(或结论成立);
(2)建立空间直角坐标系,列出空间点的坐标;
(3)构建有关向量;
(4)结合空间向量,利用空间角的计算公式列方程求解;
(5)作出判断.
3 | 利用空间向量解决空间角的探索性问题
2.空间角的探究性问题要注意两个方面
(1)空间角的正确表示,即利用直线的方向向量和平面的法向量表示空间角时要
注意两者的准确转化,如线面角的正弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹
角余弦值的绝对值等;
(2)利用方程判断存在性时,要特别注意题中的条件限制.
如图,在三棱锥P-ABC中,底面ABC是正三角形,AB=2PA=4,PA⊥底面ABC,
点E,F分别为AC,PC的中点.
(1)求证:平面BEF⊥平面PAC;
(2)在线段PB(不含端点)上是否存在点G,使得平面EFG与平面PBC夹角的正弦值
为 若存在,确定点G的位置;若不存在,请说明理由.
思路点拨
(1)利用面面垂直的判定定理证明;(2)利用点G在线段PB上设点G坐标,求出两个
平面的法向量,根据已知条件求解方程,方程有解则存在,无解,则不存在.
解析 (1)证明:∵AB=BC,E为AC的中点,∴BE⊥AC.
又∵PA⊥平面ABC,BE 平面ABC,∴PA⊥BE.
∵PA∩AC=A,PA,AC 平面PAC,∴BE⊥平面PAC,又∵BE 平面BEF,∴平面
BEF⊥平面PAC.
(2)如图,易知,PA⊥BE,PA⊥AC,点E,F分别为AC,PC的中点,
∴EF∥PA,∴EF⊥BE,EF⊥AC,又BE⊥AC,∴EB,EC,EF两两垂直,以E为原点, ,
, 的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,
则A(0,-2,0),P(0,-2,2),B(2 ,0,0),C(0,2,0),E(0,0,0),F(0,0,1),∴ =(-2 ,-2,2), =
(2 ,2,0), =(0,0,1), =(-2 ,2,0), =(0,4,-2),
设 =λ =(-2 λ,-2λ,2λ)(0<λ<1),
∴G(2 -2 λ,-2λ,2λ),
∴ = + =(2 -2 λ,2-2λ,2λ),
=(2 -2 λ,-2λ,2λ).
设平面EFG的法向量为m=(a,b,c),
则 即
令a=λ,则b= (1-λ),∴m=(λ, - λ,0).
设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),
则 即 令x=1,则y= ,z=2 ,∴n=(1, ,2 ).
由|cos|= = = ,得λ=1,
又λ∈(0,1),∴线段PB(不含端点)上不存在点G,使得直线AG与平面PBC所成的角
的正弦值为 .
解题反思
对几何体中的空间角与距离有关探究问题,属于计算型问题,此类问题多通过求
角、求距离等的基本方法把这些探究性问题转化为求关于某个参数的方程的解
的问题,根据方程解的存在性来解决.