高中数学人教新课标A版必修1 2.1 指数函数(word含答案解析)

2.1 指数函数
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 定义运算 则函数 的图象是
A. B.
C. D.
2. 已知 ，，，则
A. B. C. D.
3. 设 ，则下列运算正确的是
A. B. C. D.
4. 设 ，若对任意 ，都有 ，则实数 的值为
A. B. C. D.
5. 若 ，，则函数 的图象不经过
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6. ，， 的大小关系是
A. B.
C. D.
7. 设 ， 且 ，则下列关系式中一定成立的是
A. B. C. D.
8. 在下列图象中，二次函数 与指数函数 的图象只可能是
A. B.
C. D.
9. 若 ，那么 的值为
A. B. C. D.
10. 若存在正实数 使得 成立，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 函数 的值域为 ．
12. 已知函数 是指数函数，若 ，则 ．（用“”“”或“”填空）
13. 函数 的单调减区间是 ．
14. 若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是 ．
15. 已知函数 ，定义函数 ，给出下列命题：① ；②函数 是奇函数；③当 时，若 ，，总有 成立，其中所有正确命题的序号是 ．
三、解答题（共3小题；共39分）
16. 已知函数 的最小值为 ．
（1）求 的值；
（2）求 的解析式．
17. 已知函数 ．
（1）求 的单调区间；
（2）若 的最大值等于 ，求 的值．
18. 已知函数 ．
（1）若函数 为奇函数，求 的值；
（2）判断函数 在 上的单调性，并证明．
答案
第一部分
1. A
2. D 【解析】因为 ，，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ．
3. B 【解析】A选项：，故A错误；
B选项：，故B正确；
C选项：，故C错误；
D选项：，故D错误．
4. B 【解析】 等价于 与 同号．
令 ，，
则 和 都是 上的单调函数，且都过定点 ，
因此当且仅当 和 有相同的零点时同号（如图），
由 得 ，代入 得 ，
解得 ．
5. A
【解析】函数 是减函数，
图象过定点 ，在 轴上方，过第一、二象限，
因为 ，
所以函数 的图象可看成由函数 的图象向下平移 个单位得到，
所以函数 的图象与 轴交于负半轴，
如图，函数 的图象过第二、三、四象限，不经过第一象限．
6. A 【解析】因为 ，，
而 ， 为正有理数，
所以 ，
所以 ．
7. D 【解析】 的图象如图所示．
由 且 可知，，， 不在同一个单调区间上，
故有 ，，
所以 ，．
所以 ，即 ．
8. A 【解析】方法一：由指数函数图象可以看出 ．
抛物线方程是 ，其顶点坐标为 ．
由 ，可得 ．
方法二：求 与 轴的交点，
令 ，解得 或 ．
而 ．
9. A 【解析】解法一：
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
当 时，
；
当 时，
．
解法二：
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ．
10. D
第二部分
11.
【解析】由指数函数性质知值域为 ．
12.
【解析】设 （ 且 ），
则 ，，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，，
所以 ．
13.
【解析】设 ，因为 是增函数，所以 的单调减区间即为 关于 的单调减区间，为 ．
14.
15. ②③
第三部分
16. （1） 设 ，因为 ，
所以 ，所以 ．
当 时，，
所以 时， 取最小值 ．所以 ．
（2） 因为 ，，
所以当 ， 时， 取最小值 ．所以 ；
当 ， 时， 取最小值 ，所以 ；
当 ， 时， 取最小值 ，所以 ．
综上，
17. （1） 令 ，则 ，
不论 取何值， 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 是单调递减的，
因此 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ．
（2） 由于 的最大值是 ，且 ，
所以 应该有最小值 ，即 ，从而 ．
18. （1） 因为函数 为奇函数，所以 ，
即 ，
则有 ，即 ，
所以 ，所以 ．
（2） 函数 在 上是增函数，证明如下．
任取 ，且 ，则
因为函数 在 上是增函数，且 ，
所以 ，即 ．
又 ，所以 ，，所以 ，
即 ，故函数 在 上是增函数．
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