高中数学人教新课标A版必修1 2.4 反函数（补充）(word含答案解析)

2.4 反函数（补充）
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 函数 的反函数是
A. B.
C. D.
2. 若函数 是函数 的反函数，则 的值为
A. B. C. D.
3. 已知 是 上的增函数，点 ， 在它的图象上，那么，不等式 的解集是
A. B.
C. D.
4. 已知函数 ，则 的值是
A. B. C. D.
5. 已知函数 的反函数是
A.
B.
C.
D.
6. 要使函数 在 上存在反函数，则 的取值范围是
A. B. C. 或 D.
7. 函数 在 上的最小值
A. B. C. D.
8. 已知函数 与 互为反函数，函数 的图象与 的图象关于 轴对称，若 ，则实数 的值为
A. B. C. D.
9. 已知函数 在区间 上的反函数是其本身，则 可以是
A. B. C. D.
10. 已知 是方程 的根， 是方程 的根，则
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 函数 的反函数是 ．
12. 函数 的图象与 的图象关于直线 对称，则函数 的递增区间是 ．
13. 对区间 上有定义的函数 ，记 ，已知定义域为 的函数 有反函数 ，且 ，若方程 有解 ，则 ．
14. 已知函数 与函数 的图象关于直线 对称，则 的值为 ．
15. 已知函数 的图象关于直线 对称，那么 ．
三、解答题（共3小题；共39分）
16. 设函数 是 上的奇函数．
（1）求 的值．
（2）求 的反函数 ．
17. 设函数 的反函数是 ．如果 ，那么 是否正确，试说明理由．
18. 已知函数 是 的反函数．定义：若对给定的实数 ，函数 与 互为反函数，则称 满足" 和性质"；若函数 与 互为反函数，则称 满足" 积性质"．
（1）判断函数 是否满足" 和性质"，并说明理由；
（2）求所有满足" 和性质"的一次函数；
（3）设函数 对任何 ，满足" 积性质"．求 的表达式．
答案
第一部分
1. B
2. B 【解析】由 是函数 的反函数，知 ，从而 ．
3. D 【解析】提示： 也是 上的增函数，且过点 ，，所以不等式 ，即 的解集为 ．
4. A
5. B
【解析】 的值域是 ，由 得 ，所以 的反函数为 ．
6. C 【解析】提示：要使函数 在 上存在反函数，只要函数在 上单调即可．
7. A 【解析】由题可知 的导数为 ，
又因为 ，
当 时，， 单调递减，
当 时，， 单调递增，
故 在 处取得最小值，且 ，
故选A．
8. D 【解析】因为函数 与 互为反函数，
所以函数 ，
因为 的图象与 的图象关于 轴对称，
所以函数 ，
因为 ，即 ，
所以 ．
故选D．
9. B
10. C
【解析】
设 ，，如图， 是 和 的交点， 是 和 的交点，根据同底指对数函数的关系，和反比例函数的对称性，我们知道 关于直线 对称，所以 ，．
第二部分
11.
【解析】，则 ，，
故 反函数为 ．
12.
【解析】提示：， 的定义域为 ，递增区间为 ．
13.
【解析】根据反函数定义，
当 时，，此时 ；
时，，此时 ；
而 的定义域为 ，且有反函数，
故当 时，，而 有解，故只可能有 ．
14.
【解析】由 得 ，所以函数 的反函数是 ，即 ，即 ．
15.
【解析】 的反函数为 ．因为函数图象关于直线 对称，所以 ，即 ，对一切 的实数恒成立．∴ ．
第三部分
16. （1） 是 上的奇函数，
即 ．经验证，此时函数为奇函数．
（2） 由（1）得：，即 ，
，
，
．
17. 解：设 由于 是 的反函数，
从而
以 、 分别代替上式中的 、 ．即得 ．
18. （1） 函数 的反函数是
所以
而 ，其反函数为
故函数 不满足" 和性质"．
（2） 设函数 满足" 和性质" ．
所以
所以
而 得反函数
由" 和性质"定义可知 对 恒成立，
所以
即所求一次函数为
（3） 设 ，，且点 在 图象上，
则 在函数 图象上，故
可得
令 则
所以
即
综上所述，
此时 ，其反函数就是
而
故 与 互为反函数．
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