高中数学人教新课标A版必修1 3.2 函数模型及其应用 (word含答案解析)

3.2 函数模型及其应用
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 某种动物繁殖数量 （单位：只）与时间 （单位：年）的关系为 ，设这种动物第一年有 只，第 年它们发展到
A. 只 B. 只 C. 只 D. 只
2. 基本再生数 与世代间隔 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： 描述累计感染病例数 随时间 （单位：天）的变化规律，指数增长率 与 ， 近似满足 .有学者基于已有数据估计出 ， .据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 倍需要的时间约为
A. 天 B. 天 C. 天 D. 天
3. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 （ 的单位：天）的Logistic模型：，其中 为最大确诊病例数．当 时，标志着已初步遏制疫情，则 约为
A. B. C. D.
4. 某市家庭煤气的使用量 和煤气费 （元）满足关系 ，已知某家庭 年前三个月的煤气费如表：
若四月份该家庭使用了 的煤气，则其煤气费为
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
5. 某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过 立方米的，按每立方米 元收费；用水量超过 立方米的，超过部分按每立方米 元收费．某职工某月缴水费 元，则该职工这个月实际用水量为
A. 立方米 B. 立方米 C. 立方米 D. 立方米
6. 某市家庭煤气的使用量 和煤气费 （元）满足 ，已知某家庭 年前三个月的煤气费如表，若四月份该家庭使用了 的煤气，则其煤气费为
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
7. 某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：
现欲从理论上对这些数据进行分析并预测，则下列模拟函数合适的是
A. B. C. D.
8. 在一定的储存温度范围内，某食品的保鲜时间 （单位：小时）与储存温度 （单位：）满足函数关系 （ 为自然对数的底数，， 为常数），若该食品在 时的保鲜时间为 小时，在 时的保鲜时间为 小时，则该食品在 时的保鲜时间为
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
9. 根据统计，一名工人组装第 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 （， 为常数），已知工人组装第 件产品用时 ，组装第 件产品用时 ，那么 和 的值分别是
A. ， B. ， C. ， D. ，
10. 汽车的“燃油效率”，是指汽车每消耗 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是
A. 消耗 升汽油，乙车最多可行驶 千米
B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C. 甲车以 千米/小时的速度行驶 小时，消耗 升汽油
D. 某城市机动车最高限速 千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润 （万元）与营运年数 （ 为正整数）为二次函数的关系（如图所示），其解析式为 ．
12. 根据统计，一名工人组装第 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 （， 为常数）．已知该工人组装第 件产品用时 分钟，组装第 件产品用时 分钟，那么 和 的值分别是 ．
13. 已知汽车刹车距离 （米）与行驶速度的平方 （ 的单位：千米/小时）成正比，当汽车行驶速度为 千米/小时，刹车距离为 米．若某人驾驶汽车的速度为 千米/小时，则刹车距离为 米．
14. 某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形 ，腰与底边夹角为 （如图），考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为 平方米，且高度不低于 米．记防洪堤横断面的腰长为 米，外周长（梯形的上底线段 与两腰长的和）为 米．要使防洪堤横断面的外周长不超过 米，则其腰长 的取值范围为 ．
15. 为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量 与时间 的关系为 ，用 的大小评价在 这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．
给出下列四个结论：
①在 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在 时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在 ，， 这三段时间中，在 的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（共3小题；共39分）
16. 长为 的铁丝弯成下部为矩形、上部为半圆形的框架（如图所示），若矩形底边长为 ，求此框架围成图形的面积 关于 的函数．
17. 银行一年期定期储蓄的年利率为 ，如果存款到期不取继续存于银行，银行自动将本金及利息转存一年期定期储蓄．
（1）某人以一年期定期储蓄存入银行 万元，问： 年后，这笔钱款的本利和为多少 （精确到 元）
（2）设本金为 元，年利率为 ，本利和为 ，写出 随存入年数 变化的函数表达式．
18. 某质点在 内运动速度 是时间 的函数，它的图象如图所示．用解析法表示这个函数，并求出 时质点的速度．
答案
第一部分
1. A 【解析】当 时，，得 ，
故当 时，．
2. B 【解析】【解析】因为 ，，，所以 ，所以 ，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 倍需要的时间为 天，则 ，所以 ，所以 ，
所以 天.
3. C 【解析】因为 ，
所以 ，则 ，
所以 ，解得 .
4. A
5. A
6. A 【解析】依题意有
解得 ，，．
所以 ．
所以 （元），
即四月份议家庭的煤气费为 元．
7. A 【解析】根据题中数据画出散点图，如图所示．
由图可知上述散点大体分布在函数 的图象附近，故函数 可以近似地反映这些数据的规律．故选A．
8. A
9. D
10. D
【解析】乙车的燃油效率可以大于 ，即消耗 升汽油可以行驶大于 千米的路程，故A错误；以相同的速度行驶相同的里程，甲车的燃油消耗率最高，因此以相同的的速度行驶相同的里程，甲车的消耗汽油最少，B错误；甲车以 千米/小时的速度行驶时燃油效率为 千米/升，行驶 小时，里程为 千米，消耗 升汽油，故C错误；最高限速 千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此在相同的条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，所以D正确．
第二部分
11. ，
【解析】设 ，“，过点 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，．
12. ，
【解析】显然 ，
则由题意可得
解得
13.
【解析】由汽车刹车距离 （米）与行驶速度的平方 （ 的单位：千米/小时）成正比，设 ，
当汽车行驶速度为 千米/小时，刹车距离为 米，
所以 ，
解得 ，
所以 ．
当 千米/小时，（米）．
14.
15. ①②③
【解析】设甲企业的污水排放量 与时间 的关系为 ，乙企业的污水排放量 与时间 的关系为 ．
对于①，在 这段时间内，甲企业的污水治理能力为 ，乙企业的污水治理能力为 ．
由图可知，，所以 ，
即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；
对于②，由图可知， 在 时刻的切线的斜率小于 在 时刻的切线的斜率，但两切线斜率均为负值，
所以在 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故②正确；
对于③，在 时刻，甲，乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，
所以在 时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标，故③正确；
对于④，由图可知，甲企业在 ，， 这三段时间中，在 的污水治理能力最强，故④错误．
所以正确结论的序号是①②③．
第三部分
16. 由题意知 ，，于是 ，
所以 ．
又 解得 ．
所以此函数的定义域为 ．
故所求的函数为 （）．
17. （1） 年后的本利和为 ；
年后的本利和为 ；
年后的本利和为 ．
所以， 年后的本利和为 元．
（2） 由（）的计算得： 随存入年数 变化的函数表达式为 ．
18. 根据图象可得函数的表达式为 ，
当 时，．
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