广东省部分学校2022届高三上学期12月联考数学试题（Word版含答案）

广东省部分学校2022届高三上学期12月联考
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知点，，，，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A B. C. D.
4. 若直线过点，则的最小值为（ ）
A. 27 B. 30 C. 33 D. 36
5. 已知是定义在上且周期为2的函数，当时，则（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在三棱锥中，，，点，分别为，中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 2021年1月18号，国家航天局探月与航天工程中心表示，中国首辆火星车全球征名活动已经完成了初次评审．评审委员会遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、星火10个名称，将其作为中国首辆火星车的命名范围．某同学为了研究这些初选名称的涵义，计划从中选3个名称依次进行分析，其中有1个是祝融，其余2个从剩下的9个名称中随机选取，则祝融不是第3个被分析的情况有（ ）
A. 144种 B. 336种 C. 672种 D. 1008种
8. 已知定义在上的函数满足，且有，则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列说法中，正确的为（ ）
A. 某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本．已知该校高一、高二、高三年级学生人数之比为，则应从高三年级中抽取15名学生
B. 10件产品中有8件正品，2件次品，若从这10件产品中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为
C. 若随机变量X服从正态分布，，则
D. 设某校男生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，若该校某男生的身高为170cm，则可断定其体重为62.5kg
10. 将函数图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，，则（ ）
A.
B
C. 在上的最小值为
D. 直线为图象的一条对称轴
11. 设数列前n项和为，若，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 满足的n的最大值为2020
12. 我国南北朝时期的著作《孙子算经》中对同余问题有了较深的研究．设，，为正整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B.
C. 若，，，则
D. 若，，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13. 抛物线的焦点坐标为__________．
14. 已知为第二象限角，且，则______．
15. 已知双曲线，过左焦点且斜率为的直线交的一条渐近线于点，且在第一象限，若（为坐标原点），则的渐近线方程为________．
16. 如图所示的四边形是边长为的正方形，对角线，相交于点，将沿折起到的位置，使平面平面．给出以下5个结论：
①；②和都是等边三角形；③平面平面；④；⑤三棱锥表面的四个三角形中，面积最大的是和．
其中所有正确结论的序号是____________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知等差数列的前n项和为，，且______，求数列的前n项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，．
（1）求角的大小；
（2）求的最小值．
19. 如图，某市有南、北两条城市主干道，在出行高峰期，北干道有，，，，四个交通易堵塞路段，它们被堵塞的概率都是，南干道有，，两个交通易堵塞路段，它们被堵塞的概率分别为，．某人在高峰期驾车从城西开往城东，假设以上各路段是否被堵塞互不影响．
（1）求北干道，，，个易堵塞路段至少有一个被堵塞的概率；
（2）若南干道被堵塞路段的个数为，求的分布列及数学期望；
（3）若按照“平均被堵塞路段少的路线是较好的高峰期出行路线”的标准，则从城西开往城东较好的高峰期出行路线是哪一条？请说明理由．
20. 如图所示的四棱锥的底面是一个等腰梯形，，且，是的中线，点是棱的中点．
（1）证明：平面．
（2）若平面平面，且，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
21. 已知椭圆的离心率为，且椭圆经过点，过右焦点作两条互相垂直的弦和．
（1）求椭圆的方程；
（2）当四边形的面积取得最小值时，求弦所在直线的方程．
22. 已知函数．
（1）判断的单调性；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．
广东省部分学校2022届高三上学期12月联考
数学 答案版
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
答案 D
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
答案 A
3. 已知点，，，，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A B. C. D.
答案 B
4. 若直线过点，则的最小值为（ ）
A. 27 B. 30 C. 33 D. 36
答案 A
5. 已知是定义在上且周期为2的函数，当时，则（ ）
A. B. C. D.
答案 A
6. 如图，在三棱锥中，，，点，分别为，中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
答案 B
7. 2021年1月18号，国家航天局探月与航天工程中心表示，中国首辆火星车全球征名活动已经完成了初次评审．评审委员会遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、星火10个名称，将其作为中国首辆火星车的命名范围．某同学为了研究这些初选名称的涵义，计划从中选3个名称依次进行分析，其中有1个是祝融，其余2个从剩下的9个名称中随机选取，则祝融不是第3个被分析的情况有（ ）
A. 144种 B. 336种 C. 672种 D. 1008种
答案 A
8. 已知定义在上的函数满足，且有，则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
答案 B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列说法中，正确的为（ ）
A. 某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本．已知该校高一、高二、高三年级学生人数之比为，则应从高三年级中抽取15名学生
B. 10件产品中有8件正品，2件次品，若从这10件产品中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为
C. 若随机变量X服从正态分布，，则
D. 设某校男生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，若该校某男生的身高为170cm，则可断定其体重为62.5kg
答案 AC
10. 将函数图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，，则（ ）
A.
B
C. 在上的最小值为
D. 直线为图象的一条对称轴
答案 AB
11. 设数列前n项和为，若，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 满足的n的最大值为2020
答案 ACD
12. 我国南北朝时期的著作《孙子算经》中对同余问题有了较深的研究．设，，为正整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B.
C. 若，，，则
D. 若，，则
答案 D
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13. 抛物线的焦点坐标为__________．
答案
14. 已知为第二象限角，且，则______．
答案
15. 已知双曲线，过左焦点且斜率为的直线交的一条渐近线于点，且在第一象限，若（为坐标原点），则的渐近线方程为________．
答案
16. 如图所示的四边形是边长为的正方形，对角线，相交于点，将沿折起到的位置，使平面平面．给出以下5个结论：
①；②和都是等边三角形；③平面平面；④；⑤三棱锥表面的四个三角形中，面积最大的是和．
其中所有正确结论的序号是____________．
答案 ①②④
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知等差数列的前n项和为，，且______，求数列的前n项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
答案 选①②③答案一样，
18. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，．
（1）求角的大小；
（2）求的最小值．
答案 （1）
（2）4
19. 如图，某市有南、北两条城市主干道，在出行高峰期，北干道有，，，，四个交通易堵塞路段，它们被堵塞的概率都是，南干道有，，两个交通易堵塞路段，它们被堵塞的概率分别为，．某人在高峰期驾车从城西开往城东，假设以上各路段是否被堵塞互不影响．
（1）求北干道，，，个易堵塞路段至少有一个被堵塞的概率；
（2）若南干道被堵塞路段的个数为，求的分布列及数学期望；
（3）若按照“平均被堵塞路段少的路线是较好的高峰期出行路线”的标准，则从城西开往城东较好的高峰期出行路线是哪一条？请说明理由．
答案 （1）
（2）分布列见解析，
（3）高峰期选择南干道路线较好，理由见解析
20. 如图所示的四棱锥的底面是一个等腰梯形，，且，是的中线，点是棱的中点．
（1）证明：平面．
（2）若平面平面，且，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
答案 （1）证明见解析；
（2）.
21. 已知椭圆的离心率为，且椭圆经过点，过右焦点作两条互相垂直的弦和．
（1）求椭圆的方程；
（2）当四边形的面积取得最小值时，求弦所在直线的方程．
答案 （1）；
（2）或.
22. 已知函数．
（1）判断的单调性；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．
答案 （1）在上单调递增，无单调递减区间
（2）