二次函数图像和性质学案导学
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文档简介
二次函数
姓名
学习日期
网校班级
家长签字
测评知识点50道
测评
难度
测评
分数
学习指引
一．知识回顾
知识点一：次函数的解析式常见有以下几种形式.
（1）一般式：
y= (a，b，c为常数，a≠0)
（2）顶点式：
y= (a，h，k为常数，a≠0)
（3）交点式：
y= (a≠0)，其中x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标
知识点二：抛物线y= ax2+bx+c中a、b、c的作用
a，b，c的代数式
作用
字母的
符号
图象的特征
a
1. 决定抛物线的 方向；
2. 决定增减性
a>0
开口
a<0
开口
c
决定抛物线与 轴交点的位置，交点坐标为
c>0
交点在 轴上方
c=0
抛物线过 点
c<0
交点在 轴下方
决定对称轴的位置，对称轴直线﹍﹍﹍﹍﹍
>0
对称轴在 轴左侧
<0
对称轴在 轴右侧
b2-4ac
决定抛物线与﹍﹍轴公共点的﹍﹍
b2-4ac>0
抛物线与 轴有 交点
b2-4ac=0
顶点在﹍﹍轴上
b2-4ac<0
抛物线与 轴 公共点
知识点三：图像的平移
抛物线y=ax2 抛物线y=a(x-h)2+k 当h＞0，k＞0时，把抛物线y=ax2向右平移h个单位，再向上平移k个单位，得到抛物线 ； 当h＞0，k＜0时，把抛物线y=ax2向右平移h个单位，再向下平移|k|个单位，得到抛物线 ； 当h＜0，k＞0时，把抛物线y=ax2向左平移|h|个单位，再向上平移k个单位，得到抛物线 ； 当h＜0，k＜0时，把抛物线y=ax2向左平移|h|个单位，再向下平移|k|个单位，得到抛物线 . 在学习中，不要死记这些结论，在观察中发现，函数图象的平移就是顶点的平移(也可以是其它关键点的平移，这是由于函数图象的平移是整体的平移，每个点都做相同的变换)，还可以引申到直线、双曲线的平移.在解题时，一定分清移动谁，不妨画草图.
知识点四：根与系数的关系
X1+ X2=-b/a X1· X2=c/a
二、领学设问1
选择题
(一)图象平移的问题
1.(山西省)抛物线经过平移得到，平移方法是( ) A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
2.(湖北荆门)把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x2-3x+5，则( ) A. b=3，c=7 B. b=6，c=3 C. b=-9，c=-5 D. b=-9，c=21
(二)图像信息综合分析
3．如图，把抛物线与直线围成的图形绕原点顺时针旋转后，再沿轴向 右平移1个单位得到图形则下列结论错误的是 ( ) A．点的坐标是 B．点的坐标是 C．四边形是矩形 D．若连接OC则梯形的面积是3
4.(天津市)已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论： ① ；② ；③ ；④ ； ⑤ ，(的实数)其中正确的结论有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
5.(南充)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A(-3，0)，对称轴为x=-1．给出四个结论：
①b2＞4ac；②2a+b=0；③a-b+c=0； ④5a＜b．其中正确结论是( )． A.②④ B. ①④ C. ②③ D. ①③
填空题
6. 已知二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于点A、B两点，在抛物线上有点C，且△ABC的面积等于8， 则C点的坐标为_________________.
7. 抛物线的顶点在直线y=2上，则a的值是_____________.
8. 已知二次函数y=kx2-7x-7的图象和x轴有公共点，则k的取值范围是________ .
二、领学设问2
典型题型 例1：已知二次函数y＝3x2－12x＋1； (1)当x为何值时，y随x增大而增大？x为何值时，y随x的增大而减小？
(2)这个二次函数有最大值还是最小值？当x为何值时，函数取得最大值或最小值？并求出最大或最小值。
例2：已知y＝x2－2(m＋1)x＋2(m－1)； (1)当m＝1时，写出抛物线的解析式并指出开口方向、顶点坐标、对称轴与x轴交点坐标。 (2)求证：不论m为何值抛物线必与x轴交于两点。 (3)m为何值时，这两点分布在原点左右两旁？ (4)m为何值时，抛物线的对称轴是y轴？
例3：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，如图所示： (1)确定a，b，c和b2－4ac的符号。 (2)求OA·OB的值。 (3)求ΔABD的面积。
例5：如图，矩形ABCD的边AB＝6cm，BC＝8cm，在BC边上取一点P(P与B、C点不重合)，在CD边上取一点Q，使∠APQ成直角； (1)设BP＝xcm，CQ＝ycm，试以x为自变量，写出y与x之间的函数关系式。 (2)当P点在什么位置时，CQ取得最大值？ (3)求CQ的最大值。
直击中考
1．如图抛物线与ｘ轴相交于点Ａ、Ｂ，且过点Ｃ（５，４）．
(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标．
(2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落要第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．
2．如图，在平行四边形ABCD中，，点的坐标是，以点为顶点的抛物线经过轴上的点．
（1）求点的坐标．
（2）若抛物线向上平移后恰好经过点，求平移后抛物线的解析式．
例4. 如图5，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(-1，0)，点C(0，5)， D(1，8)在抛物线上，M为抛物线的顶点。 (1)求抛物线的解析式； (2)求△MCB的面积。 解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+5，由已知，得 ∴y=-x2+4x+5 (2)如图6，作ME⊥x轴于点E，交BC于点N ∵y=-x2+4x+5=-(x2-4x+4)+9=-(x-2)2+9 ∴M(2，9) 令y=-x2+4x+5=0即x2-4x-5=0 得A(-1，0)，B(5，0) ∵S△MCB=S梯形COEM+S△MEB-S△COB =15 ∴S△MCB=15 说明：在求△MCB的面积时，例4的第(2)题给出了一种如何将问题转化的基本方法。请读者一定要掌握这种基本方法。 另外，由于本题的特殊性OB=OC=5，所以∠OBC=45°，从而EN=EB=3，这样NM=9-3=6
姓名
学习日期
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难度
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分数
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一．知识回顾
知识点一：次函数的解析式常见有以下几种形式.
（1）一般式：
y= (a，b，c为常数，a≠0)
（2）顶点式：
y= (a，h，k为常数，a≠0)
（3）交点式：
y= (a≠0)，其中x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标
知识点二：抛物线y= ax2+bx+c中a、b、c的作用
a，b，c的代数式
作用
字母的
符号
图象的特征
a
1. 决定抛物线的 方向；
2. 决定增减性
a>0
开口
a<0
开口
c
决定抛物线与 轴交点的位置，交点坐标为
c>0
交点在 轴上方
c=0
抛物线过 点
c<0
交点在 轴下方
决定对称轴的位置，对称轴直线﹍﹍﹍﹍﹍
>0
对称轴在 轴左侧
<0
对称轴在 轴右侧
b2-4ac
决定抛物线与﹍﹍轴公共点的﹍﹍
b2-4ac>0
抛物线与 轴有 交点
b2-4ac=0
顶点在﹍﹍轴上
b2-4ac<0
抛物线与 轴 公共点
知识点三：图像的平移
抛物线y=ax2 抛物线y=a(x-h)2+k 当h＞0，k＞0时，把抛物线y=ax2向右平移h个单位，再向上平移k个单位，得到抛物线 ； 当h＞0，k＜0时，把抛物线y=ax2向右平移h个单位，再向下平移|k|个单位，得到抛物线 ； 当h＜0，k＞0时，把抛物线y=ax2向左平移|h|个单位，再向上平移k个单位，得到抛物线 ； 当h＜0，k＜0时，把抛物线y=ax2向左平移|h|个单位，再向下平移|k|个单位，得到抛物线 . 在学习中，不要死记这些结论，在观察中发现，函数图象的平移就是顶点的平移(也可以是其它关键点的平移，这是由于函数图象的平移是整体的平移，每个点都做相同的变换)，还可以引申到直线、双曲线的平移.在解题时，一定分清移动谁，不妨画草图.
知识点四：根与系数的关系
X1+ X2=-b/a X1· X2=c/a
二、领学设问1
选择题
(一)图象平移的问题
1.(山西省)抛物线经过平移得到，平移方法是( ) A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
2.(湖北荆门)把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x2-3x+5，则( ) A. b=3，c=7 B. b=6，c=3 C. b=-9，c=-5 D. b=-9，c=21
(二)图像信息综合分析
3．如图，把抛物线与直线围成的图形绕原点顺时针旋转后，再沿轴向 右平移1个单位得到图形则下列结论错误的是 ( ) A．点的坐标是 B．点的坐标是 C．四边形是矩形 D．若连接OC则梯形的面积是3
4.(天津市)已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论： ① ；② ；③ ；④ ； ⑤ ，(的实数)其中正确的结论有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
5.(南充)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A(-3，0)，对称轴为x=-1．给出四个结论：
①b2＞4ac；②2a+b=0；③a-b+c=0； ④5a＜b．其中正确结论是( )． A.②④ B. ①④ C. ②③ D. ①③
填空题
6. 已知二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于点A、B两点，在抛物线上有点C，且△ABC的面积等于8， 则C点的坐标为_________________.
7. 抛物线的顶点在直线y=2上，则a的值是_____________.
8. 已知二次函数y=kx2-7x-7的图象和x轴有公共点，则k的取值范围是________ .
二、领学设问2
典型题型 例1：已知二次函数y＝3x2－12x＋1； (1)当x为何值时，y随x增大而增大？x为何值时，y随x的增大而减小？
(2)这个二次函数有最大值还是最小值？当x为何值时，函数取得最大值或最小值？并求出最大或最小值。
例2：已知y＝x2－2(m＋1)x＋2(m－1)； (1)当m＝1时，写出抛物线的解析式并指出开口方向、顶点坐标、对称轴与x轴交点坐标。 (2)求证：不论m为何值抛物线必与x轴交于两点。 (3)m为何值时，这两点分布在原点左右两旁？ (4)m为何值时，抛物线的对称轴是y轴？
例3：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，如图所示： (1)确定a，b，c和b2－4ac的符号。 (2)求OA·OB的值。 (3)求ΔABD的面积。
例5：如图，矩形ABCD的边AB＝6cm，BC＝8cm，在BC边上取一点P(P与B、C点不重合)，在CD边上取一点Q，使∠APQ成直角； (1)设BP＝xcm，CQ＝ycm，试以x为自变量，写出y与x之间的函数关系式。 (2)当P点在什么位置时，CQ取得最大值？ (3)求CQ的最大值。
直击中考
1．如图抛物线与ｘ轴相交于点Ａ、Ｂ，且过点Ｃ（５，４）．
(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标．
(2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落要第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．
2．如图，在平行四边形ABCD中，，点的坐标是，以点为顶点的抛物线经过轴上的点．
（1）求点的坐标．
（2）若抛物线向上平移后恰好经过点，求平移后抛物线的解析式．
例4. 如图5，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(-1，0)，点C(0，5)， D(1，8)在抛物线上，M为抛物线的顶点。 (1)求抛物线的解析式； (2)求△MCB的面积。 解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+5，由已知，得 ∴y=-x2+4x+5 (2)如图6，作ME⊥x轴于点E，交BC于点N ∵y=-x2+4x+5=-(x2-4x+4)+9=-(x-2)2+9 ∴M(2，9) 令y=-x2+4x+5=0即x2-4x-5=0 得A(-1，0)，B(5，0) ∵S△MCB=S梯形COEM+S△MEB-S△COB =15 ∴S△MCB=15 说明：在求△MCB的面积时，例4的第(2)题给出了一种如何将问题转化的基本方法。请读者一定要掌握这种基本方法。 另外，由于本题的特殊性OB=OC=5，所以∠OBC=45°，从而EN=EB=3，这样NM=9-3=6