2020-2021学年四川省资阳市安岳县九年级（上）期末数学试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年四川省资阳市安岳县九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分.）
1．函数中自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥2 B．x＞﹣2 C．x≤2 D．x＜2
2．一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一个根是x＝1，则k的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
3．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD＝90°，CO＝CD．若B（1，0），则点C的坐标为（　　）
A．（1，2） B．（1，1） C．（，） D．（2，1）
4．如图，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为（12，5），则tanα等于（　　）
A． B． C． D．
5．抛物线y＝﹣（x+2）2﹣3向右平移了3个单位，那么平移后抛物线的顶点坐标是（　　）
A．（﹣5，﹣3） B．（﹣2，0） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
6．在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中有5个黄球，4个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为，则随机摸出一个红球的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．鸡瘟是一种传播速度很快的传染病，一轮传染为一天的时间，某养鸡场于某日发现一例鸡瘟病例，两天后发现共有169只鸡患有这种病．若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数为（　　）
A．11只 B．12只 C．13只 D．14只
8．如图，小强的身高为180cm，在阳光下影长AB＝240cm，当他走到距离墙角（点D）120cm处时，他的部分影子投射到墙上，则投射到墙上的影子DE的长度为（　　）
A．70cm B．80cm C．90cm D．100cm
9．二次函数y＝x2+bx的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣3＜x＜3的范围内有解，则t的取值范围是（　　）
A．t≥1 B．﹣1≤t＜8 C．3＜t＜15 D．﹣1≤t＜15
10．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论正确的有：（　　）
①AP＝FP，②AE＝AO，③若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，④CE EF＝EQ DE．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题.（本大题6个小题，每小题4分，共24分）
11．已知，则2a﹣b＝　 　．
12．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是　 　．
13．如图，四边形ABCD是正方形，点E是CD的中点，点P是BC上一动点，要使以点A、B、P为顶点的三角形与△ECP相似，还需具备一个条件是 　 　（填一个即可）．
14．△ABC中，∠C＝90°，斜边上的中线CD＝6，sinA＝，则S△ABC＝　 　．
15．如图，在直角梯形OABC中，BC∥AO，∠AOC＝90°，点A、B的坐标分别为（10，0）、（4，12），点D为AB上一点，且BD＝2AD，双曲线经过点D，交BC于点E．则四边形ODBE的面积为 　 　．
16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）4a+b＝0；（2）9a+c＞3b；（3）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（4）若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确结论的序号是　 　．
三、解答题（本大题共8个小题，共86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（1）计算：；
（2）解方程：x2﹣x＝3．
18．先化简，再求值：，其中．
19．为了迎接6.26世界禁毒日，积极筹备开展“6.26”国际禁毒日宣传活动，某中学举行了“禁毒知识竞赛”，李老师将九年级（1）班的学生成绩划分为A、B、C、D、E五个等级，并绘制了图1、图2两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题：
（1）九年级（1）班共有 　 　名学生；
（2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中的“C”所对应的圆心角的度数；
（3）成绩为A类的5名同学中，有2名男生和3名女生，王老师想从这5名同学中任选2名同学进行交流，请用列表法或画树状图的方法求选取的2名同学都是女生的概率．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22＝31+|x1x2|，求实数m的值．
21．如图，BC是路边坡角为30°、长为18米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯（CD⊥CM），射出的边缘光线DA和DB与水平路面AN所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．
（1）求灯杆CD的高度；
（2）求AB的长度．（结果精确到0.1米．参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
22．小程经营的是一家服装店，店里有一款毛衣和一款牛仔裤销量非常可观，自开店以来，平均每天可卖出毛衣10件，牛仔裤20件．已知买1件毛衣和3条牛仔裤与买2件毛衣和1条牛仔裤需要的钱一样多，都为1000元．
（1）求买一件毛衣和一条牛仔裤各需要多少元？
（2）在双十一前夕，小程经营的网店提前对该毛衣和牛仔裤开启了促销活动，活动当天，毛衣每件售价降低了a%，销售量在原来的基础上上涨2a%，牛仔裤每件售价也降低了a%，但销售量和原来一样，当天，这两件商品总的销售额为7680元，求a的值．
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连结DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s．解答下列问题：
（1）当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似？
（2）①当t＝　 　s时，EP＝EQ；
②当t为何值时，QE＝QP？
（3）当点Q在B、E之间运动时，是否存在某一时刻t，使得PQ分四边形BCDE所成的两部分面积之比为S△PQE：S五边形PQBCD＝1：29？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点左侧，B点的坐标为（4，0），与y轴交于C（0，﹣4）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）
1．函数中自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥2 B．x＞﹣2 C．x≤2 D．x＜2
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
解：由题意得：﹣2x+4≥0，
解得：x≤2，
故选：C．
2．一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一个根是x＝1，则k的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
【分析】x2+kx﹣3＝0的一个根是x＝1，那么就可以把x＝1代入方程，从而可直接求k．
解：把x＝1代入x2+kx﹣3＝0中，得
1+k﹣3＝0，
解得k＝2，
故选：A．
3．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD＝90°，CO＝CD．若B（1，0），则点C的坐标为（　　）
A．（1，2） B．（1，1） C．（，） D．（2，1）
【分析】首先利用等腰直角三角形的性质得出A点坐标，再利用位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，ky），进而求出即可．
解：∵∠OAB＝∠OCD＝90°，AO＝AB，CO＝CD，等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，点B的坐标为（1，0），
∴BO＝1，则AO＝AB＝，
∴A（，），
∵等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，
∴点C的坐标为：（1，1）．
故选：B．
4．如图，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为（12，5），则tanα等于（　　）
A． B． C． D．
【分析】过P作PE⊥x轴于E，根据P（12，5）得出PE＝5，OE＝12，根据锐角三角函数定义得出tanα＝，代入求出即可．
【解答】
解：过P作PE⊥x轴于E，
∵P（12，5），
∴PE＝5，OE＝12，
∴tanα＝＝，
故选：C．
5．抛物线y＝﹣（x+2）2﹣3向右平移了3个单位，那么平移后抛物线的顶点坐标是（　　）
A．（﹣5，﹣3） B．（﹣2，0） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．
解：抛物线y＝﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标是（﹣2，﹣3），向右平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是（﹣2+3，﹣3），即（1，﹣3）．
故选：D．
6．在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中有5个黄球，4个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为，则随机摸出一个红球的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】设红球有x个，根据摸出一个球是蓝球的概率是，得出红球的个数，再根据概率公式即可得出随机摸出一个红球的概率．
解：∵在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，三种球除颜色外其他完全相同，其中有5个黄球，4个蓝球，
随机摸出一个蓝球的概率是，
设红球有x个，
∴＝，
解得：x＝3
∴随机摸出一个红球的概率是：＝．
故选：A．
7．鸡瘟是一种传播速度很快的传染病，一轮传染为一天的时间，某养鸡场于某日发现一例鸡瘟病例，两天后发现共有169只鸡患有这种病．若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数为（　　）
A．11只 B．12只 C．13只 D．14只
【分析】设每只病鸡传染健康鸡x只，则第一天有x只鸡被传染，第二天有x（x+1）只鸡被传染，所以经过两天的传染后感染患病的鸡共有：1+x+x（x+1）只，根据经过两天的传染后使鸡场感染患病的鸡169，为等量关系列出方程求出符合题意的值即可．
解：设每只病鸡传染健康鸡x只，由题意得：
x+1+x（x+1）＝169，
整理，得x2+2x﹣168＝0，
解，得x1＝12，x2＝﹣14（不符合题意舍去）．
答：设每只病鸡传染健康鸡12只．
故选：B．
8．如图，小强的身高为180cm，在阳光下影长AB＝240cm，当他走到距离墙角（点D）120cm处时，他的部分影子投射到墙上，则投射到墙上的影子DE的长度为（　　）
A．70cm B．80cm C．90cm D．100cm
【分析】过E作EF⊥CG于F，利用相似三角形列出比例式求出投射在墙上的影子DE长度即可．
解：过E作EF⊥CG于F，
设投射在墙上的影子DE长度为xcm，由题意得：△GFE∽△HAB，
∴AB：FE＝AH：（GC﹣x），
则240：120＝180：（160﹣x），
解得：x＝70．
即：投射在墙上的影子DE长度为70cm．
故选：A．
9．二次函数y＝x2+bx的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣3＜x＜3的范围内有解，则t的取值范围是（　　）
A．t≥1 B．﹣1≤t＜8 C．3＜t＜15 D．﹣1≤t＜15
【分析】先由函数的对称轴得到b的值，然后结合函数与方程间的关系求得t的取值范围．
解：∵函数的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x，
当x＝1时，y＝1﹣2＝﹣1，当x＝﹣3时，y＝9+6＝15，当x＝3时，y＝9﹣6＝3，
∵一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣3＜x＜3的范围内有解，
∴﹣1≤t＜15，
故选：D．
10．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论正确的有：（　　）
①AP＝FP，②AE＝AO，③若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，④CE EF＝EQ DE．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】①利用四点共圆证明∠AFP＝∠ABP＝45°即可．
②设BE＝EC＝a，求出AE，OA即可解决问题．
③由相似三角形的性质求出S△ODQ＝4，S△CDQ＝8，通过计算正方形ABCD的面积为48．
④证明△EPF∽△ECD，利用相似三角形的性质证明即可．
解：连接AF．
∵PF⊥AE，
∴∠APF＝∠ABF＝90°，
∴A，P，B，F四点共圆，
∴∠AFP＝∠ABP＝45°，
∴∠PAF＝∠PFA＝45°，
∴AP＝FP，故①正确，
设BE＝EC＝a，则AE＝a，OA＝OC＝OB＝OD＝a，
∴，即AE＝AO，故②正确，
根据对称性可知，△OPE≌△OQE，
∴S△OEQ＝S四边形OPEQ＝2，
∵OB＝OD，BE＝EC，
∴CD＝2OE，OE∥CD，
∴，△OEQ∽△CDQ，
∴S△ODQ＝4，S△CDQ＝8，
∴S△CDO＝12，
∴S正方形ABCD＝48，故③错误，
∵∠EPF＝∠DCE＝90°，∠PEF＝∠DEC，
∴△EPF∽△ECD，
∴，
∵EQ＝PE，
∴CE EF＝EQ DE，故④正确，
故选：B．
二、填空题.（本大题6个小题，每小题4分，共24分）
11．已知，则2a﹣b＝　﹣3　．
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
解：根据题意得，a+b＝0，b﹣1＝0，
解得a＝﹣1，b＝1，
所以，2a﹣b＝﹣2﹣1＝﹣3．
故答案为：﹣3．
12．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是　　．
【分析】击中黑色区域的概率等于黑色区域面积与正方形总面积之比．
解：随意投掷一个飞镖，击中黑色区域的概率是＝＝．
故答案为：．
13．如图，四边形ABCD是正方形，点E是CD的中点，点P是BC上一动点，要使以点A、B、P为顶点的三角形与△ECP相似，还需具备一个条件是 　BP＝2CP　（填一个即可）．
【分析】由于△ABP与△ECP都是直角三角形，根据如果两个三角形有两组对应边的比相等，并且它们的夹角也相等，则当AB：EC＝BP：CP时能得到△ABP与△ECP相似，即可得到BP＝2CP．
解：∵△ABP与△ECP都是直角三角形，
∴当AB：EC＝BP：CP时能得到△ABP与△ECP相似，
而E是CD的中点，
∴BP＝2CP，即P为BC的三等份点．
故答案为BP＝2CP．
14．△ABC中，∠C＝90°，斜边上的中线CD＝6，sinA＝，则S△ABC＝　　．
【分析】根据直角三角形中斜边上的中线为斜边的一半可求出AB；根据三角函数的定义求出AC，根据面积公式解答．
解：在Rt△ABC中，
∵斜边上的中线CD＝6，
∴AB＝12．
∵sinA＝＝，
∴BC＝4，AC＝＝8．
∴S△ABC＝AC BC＝16．
故答案为：16．
15．如图，在直角梯形OABC中，BC∥AO，∠AOC＝90°，点A、B的坐标分别为（10，0）、（4，12），点D为AB上一点，且BD＝2AD，双曲线经过点D，交BC于点E．则四边形ODBE的面积为 　48　．
【分析】作BM⊥x轴于M，作DN⊥x轴于N，利用点A，B的坐标得到BC＝OM＝4，BM＝OC＝12，AM＝6，再证明△ADN∽△ABM，利用相似比可计算出DN＝4，AN＝2，则ON＝OA﹣AN＝8，得到D点坐标为（8，4），然后把D点坐标代入y＝中求出k的值即可得到反比例函数解析式；再根据反比例函数k的几何意义和S四边形ODBE＝S梯形OABC﹣S△OCE﹣S△OAD进行计算．
解：作BM⊥x轴于M，作DN⊥x轴于N，如图，
∵点A，B的坐标分别为（10，0），（4，12），
∴BC＝OM＝4，BM＝OC＝12，AM＝6，
∵DN∥BM，
∴△ADN∽△ABM，
∴＝＝，即＝＝，
∴DN＝4，AN＝2，
∴ON＝OA﹣AN＝8，
∴D点坐标为（8，4），
把D（8，4）代入y＝得k＝4×8＝32，
∴S四边形ODBE＝S梯形OABC﹣S△OCE﹣S△OAD
＝×（4+10）×12﹣×|32|﹣×10×4
＝48．
故答案为：48．
16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）4a+b＝0；（2）9a+c＞3b；（3）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（4）若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确结论的序号是　（1），（4）　．
【分析】由抛物线的对称轴方程得到b＝﹣4a＞0，则可对①进行判断；由于x＝﹣3时，y＜0，则可对②进行判断；根据抛物线的增减性对称轴，则可对（3）进行判断；根据解的范围，则可对（4）进行判断．
解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴b＝﹣4a＞0，即4a+b＝0，所以（1）正确；
∵x＝﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以（2）错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，图象与x轴交于（﹣1，0），
∴抛物线x轴的另一个交点是（5，0），
∵点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3），
∵﹣2＝，2﹣（﹣）＝，
∴＜
∴点C离对称轴的距离近，
∴y3＞y2，
∵a＜0，﹣3＜﹣＜2，
∴y1＜y2
∴y1＜y2＜y3，故（3）错误．
如图，∵a＜0，
∴（x+1）（x﹣5）＝﹣3，a＞0，
即（x+1）（x﹣5）＞0，
故x＜﹣1或x＞5，故（4）正确．
故答案为：（1），（4）．
三、解答题（本大题共8个小题，共86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（1）计算：；
（2）解方程：x2﹣x＝3．
【分析】（1）先计算二次根式的乘法；将特殊角的三角函数值代入上式，再计算；
（2）利用公式法求解即可．
解：（1）原式＝×2+×2﹣2××
＝3+﹣
＝3；
（2）x2﹣x＝3，
x2﹣x﹣3＝0，
∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣3，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，
则x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
18．先化简，再求值：，其中．
【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后算除法，最后算减法，再将字母a进行分母有理化计算，从而代入求值．
解：原式＝﹣
＝
＝，
∵a＝＝+1，
∴原式＝＝＝．
19．为了迎接6.26世界禁毒日，积极筹备开展“6.26”国际禁毒日宣传活动，某中学举行了“禁毒知识竞赛”，李老师将九年级（1）班的学生成绩划分为A、B、C、D、E五个等级，并绘制了图1、图2两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题：
（1）九年级（1）班共有 　50　名学生；
（2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中的“C”所对应的圆心角的度数；
（3）成绩为A类的5名同学中，有2名男生和3名女生，王老师想从这5名同学中任选2名同学进行交流，请用列表法或画树状图的方法求选取的2名同学都是女生的概率．
【分析】（1）由B等级的人数和其所占的百分比即可求出总人数；
（2）求出D等级的人数，补全条形统计图；C等级的人数可知，而总人数已求出，进而可求出其所对应扇形的圆心角的度数；
（3）画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到2名同学都是女生的情况数，即可求出所求的概率．
解：（1）由题意可知九年级（1）班共有学生人数为10÷20%＝50（名），
故答案为：50；
（2）D等级的人数为50﹣5﹣10﹣15﹣7＝13（名），补全条形统计图如图1所示：
扇形统计图中C等级所对应扇形的圆心角＝360°×＝108°；
（3）画树状图如图：
所有等可能的情况有20种，其中选取的2名同学都是女生的情况有6种，
∴选取的2名同学都是女生的概率＝＝．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22＝31+|x1x2|，求实数m的值．
【分析】（1）利用判别式的意义得到（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据题意x1+x2＝2m+3，x1x2＝m2+2，由条件得x12+x22＝31+x1x2，再利用完全平方公式得（x1+x2）2﹣3x1x2﹣31＝0，所以2m+3）2﹣3（m2+2）﹣31＝0，然后解关于m的方程，最后利用m的范围确定满足条件的m的值．
解：（1）根据题意得（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，
解得m≥﹣；
（2）根据题意x1+x2＝2m+3，x1x2＝m2+2，
因为x1x2＝m2+2＞0，
所以x12+x22＝31+x1x2，
即（x1+x2）2﹣3x1x2﹣31＝0，
所以（2m+3）2﹣3（m2+2）﹣31＝0，
整理得m2+12m﹣28＝0，解得m1＝﹣14，m2＝2，
而m≥﹣；
所以m＝2．
21．如图，BC是路边坡角为30°、长为18米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯（CD⊥CM），射出的边缘光线DA和DB与水平路面AN所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．
（1）求灯杆CD的高度；
（2）求AB的长度．（结果精确到0.1米．参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【分析】（1）延长DC交AN于H，根据等腰三角形的判定定理证明BC＝CD即可；
（2）在Rt△BCH中，求出BH、CH，在Rt△ADH中求出AH，结合图形计算，得到答案．
解：（1）延长DC交AN于H，
∵∠DBH＝60°，∠DHB＝90°，
∴∠BDH＝30°，
∵∠CBH＝30°，
∴∠CBD＝∠BDC＝30°，
∴BC＝CD＝18（米）；
（2）在Rt△BCH中，CH＝BC＝9米，BH＝BC cos∠CBH＝18×＝9≈15.57（米），
∴DH＝27（米），
在Rt△ADH中，AH＝≈＝36（米），
∴AB＝AH﹣BH≈36﹣15.57≈20.0（米）．
答：AB的长度约为20.0米．
22．小程经营的是一家服装店，店里有一款毛衣和一款牛仔裤销量非常可观，自开店以来，平均每天可卖出毛衣10件，牛仔裤20件．已知买1件毛衣和3条牛仔裤与买2件毛衣和1条牛仔裤需要的钱一样多，都为1000元．
（1）求买一件毛衣和一条牛仔裤各需要多少元？
（2）在双十一前夕，小程经营的网店提前对该毛衣和牛仔裤开启了促销活动，活动当天，毛衣每件售价降低了a%，销售量在原来的基础上上涨2a%，牛仔裤每件售价也降低了a%，但销售量和原来一样，当天，这两件商品总的销售额为7680元，求a的值．
【分析】（1）设买一件毛衣需要x元钱，买一件牛仔裤需要y元钱，根据等量关系：①买1件毛衣的钱数+买3条牛仔裤的钱数＝1000元；②买2件毛衣的钱数+买1条牛仔裤的钱数＝1000元，列出方程组求解即可；
（2）根据等量关系：两件商品总的销售额为7680元，列出方程求解即可．
解：（1）设买一件毛衣需要x元钱，买一条牛仔裤需要y元钱，依题意有：
，
解得．
答：买一件毛衣需要400元钱，买一条牛仔裤需要200元钱．
（2）依题意有：
400（1﹣a%）×10（1+2a%）+200（1﹣a%）×20＝7680，
解得a1＝﹣20（舍去），a2＝20．
故a的值为20．
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连结DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s．解答下列问题：
（1）当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似？
（2）①当t＝　1或3　s时，EP＝EQ；
②当t为何值时，QE＝QP？
（3）当点Q在B、E之间运动时，是否存在某一时刻t，使得PQ分四边形BCDE所成的两部分面积之比为S△PQE：S五边形PQBCD＝1：29？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）当t＞时，Rt△EPQ∽△Rt△BAC或Rt△EQP∽△Rt△BAC，列出关于t的方程求得；
（2）①分为t＜和t＞，列出方程求得结果；
②作QF⊥PE于F，可证△EFQ∽△BCA，从而求得结果；
（3）由S△PQE：S五边形PQBCD＝1：29得＝，作PH⊥AE于H，根据△EPH∽△BAC表示出PH，从而表示出△PEQ和梯形BCDE的面积，列出方程求得t．
解：（1）如图1，
∵∠C＝90°，AC＝﹣6，BC＝8，
∴AB＝10，
∴D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE∥BC，BE＝5，
∴△ADE∽△ACB，
∵△ADE与△PQE相似，
∴△PQE与△ABC相似，
当点Q在AE上，PQ⊥AB时，
则＝，
∴＝＝，
∴t＝，
如图2，
当PQ⊥DE时，
则＝，
∴，
∴t＝，
综上所述：t＝或；
（2）①当4﹣t＝5﹣2t时，
t＝1，
当4﹣t＝2t﹣5时，
t＝3，
故答案是：1或3；
②如图3，
作QF⊥PE于F，
∵PQ＝EQ，
∴EF＝PE＝，
类比（1）得：△EFQ∽△BCA，
∴＝，
∴＝，
∴t＝；
（3）如图4，
存在t＝2，使S△PQE：S五边形PQBCD＝1：29，
∵S△PQE：S五边形PQBCD＝1：29，
∴＝，
作PH⊥AE于H，
由（1）知：PH＝（4﹣t），
∴S△PEQ＝＝，
∵S梯形BEDC＝＝＝18，
∴（5﹣2t） （4﹣t）＝×18，
∴t1＝2，t2＝（舍去），
∴当t＝2时，S△PQE：S五边形PQBCD＝1：29．
24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点左侧，B点的坐标为（4，0），与y轴交于C（0，﹣4）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
【分析】（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；
（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标；
（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标．
解：（1）将B、C两点的坐标代入得：
，
解得：；
所以二次函数的表达式为：y＝x2﹣3x﹣4；
（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；
设P点坐标为（x，x2﹣3x﹣4），PP′交CO于E
若四边形POP′C是菱形，则有PC＝PO；
如图1，连接PP′，则PE⊥CO于E，
∵C（0，﹣4），
∴CO＝4，
又∵OE＝EC，
∴OE＝EC＝2
∴y＝﹣2；
∴x2﹣3x﹣4＝﹣2
解得：x1＝，x2＝（不合题意，舍去），
∴P点的坐标为（，﹣2）；
（3）如图2，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2﹣3x﹣4），设直线BC的解析式为：y＝kx+d，
则，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣4，
则Q点的坐标为（x，x﹣4）；
当0＝x2﹣3x﹣4，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴AO＝1，AB＝5，
S四边形ABPC＝S△ABC+S△BPQ+S△CPQ
＝AB OC+QP BF+QP OF
＝×5×4+（4﹣x）[x﹣4﹣（x2﹣3x﹣4）]+x[x﹣4﹣（x2﹣3x﹣4）]
＝﹣2x2+8x+10
＝﹣2（x﹣2）2+18
当x＝2时，四边形ABPC的面积最大，
此时P点的坐标为：（2，﹣6），四边形ABPC的面积的最大值为18．