2021-2022学年河南省南阳市桐柏县九年级（上）第二次段考数学试卷（word解析版）

2021-2022学年河南省南阳市桐柏县九年级第一学期第二次段考数学试卷
一、选择题（每小题的四个选项中，只有一项正确，每小题3分，共30分）
1．若+＝，则y的值为（　　）
A．8 B．15 C．3 D．2
2．方程x2+4x+6＝0的根是（　　）
A．x1＝，x2＝ B．x1＝6，x2＝ C．x1＝2，x2＝ D．x1＝x2＝﹣
3．如图，△ABC中，P为边AB上一点，下列选项中的条件，不能说明△ACP与△ACB相似的是（　　）
A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB
C．AC2＝AP×AB D．AB×CP＝BC×AC
4．如果一元二次方程x2+（m+1）x+m＝0的两个根是互为相反数，那么有（　　）
A．m＝0 B．m＝﹣1
C．m＝1 D．以上结论都不对
5．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：4，那么CF：BF的值为（　　）
A．4：3 B．3：7 C．3：4 D．2：4
6．某果园今年栽种果树300棵，现计划扩大种植面积，使今后两年的栽种量都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的总栽种量为2100棵．若这个百分数为x．则由题意可列方程为（　　）
A．300（1+x）2＝2100
B．300+300（1+x）2＝2100
C．300（1+x）+300（1+x）2＝2100
D．300+300（1+x）+300（1+x）2＝2100
7．如图，在 ABCD中，E为BC的中点，AE、BD相交于点F，若△ABF的面积为6，则四边形CDFE的面积是（　　）
A．9 B．12 C．15 D．18
8．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（　　）
A．11 B．10 C．9 D．7
9．如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　）
A．k＜ B．k＜且k≠0
C．﹣≤k＜ D．﹣≤k＜且k≠0
10．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝BC，CE＝AC，BE、AD相交于点F，连接DE，则下列结论：①∠AFE＝60°；②DE⊥AC；③CE2＝DF DA；④AF BE＝AE AC，正确的结论有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．已知＝＝，则＝　 　．
12．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD⊥BC于D，CD＝2，BD的长度是 　 　．
13．已知2＜x＜5，化简+＝　 　．
14．如图，在△ABC中，点E在BC上，且BE＝3EC．D是AC的中点，AE、BD交于点F，则的值为　 　．
15．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB＝　 　米．
三、解答题（共75分）
16．计算：
（1）9+7﹣5+3；
（2）6÷+（1﹣）2﹣×．
17．已知关于x的方程x2﹣4x+m＝0的一个根为2+．
（1）求m的值及方程的另一个根．
（2）设方程的两个根为x1，x2，求x12020x22021+x1的值．
18．如图，E为 ABCD的边CD延长线上的一点，连结BE交AC于点O，交AD点F．
（1）求证：△AOB∽△COE；
（2）求证：BO2＝EO FO．
19．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是　 　；
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是　 　；
（3）△A2B2C2的面积是　 　平方单位．
20．阅读下面的例题，
范例：解方程x2﹣|x|﹣2＝0，
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）．
（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）．
∴原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2
请参照例题解方程x2﹣|x﹣1|﹣1＝0．
21．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB AD，∠ADC＝90°，E为AB的中点．
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由；
（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．
22．已知一元二次方程﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0．
（1）求证：方程有两个不等的实数根；
（2）若方程只有一个实数根小于1，求a的取值范围．
23．如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，点P是AC边长一点（与点A、C不重合），过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以PQ为一边向下做正方形PQMN，设CP＝x，正方形PQMN与△ABC重叠部分的面积为S．
（1）直接写出PQ的长（用含x的代数式表示）
（2）如图②，当PN与AB相交时，设交点为D，直接写出PD的长（用含x的代数式表示）
（3）当点N在AB上时，直接写出x的值．
（4）求S与x的函数关系式．
参考答案
一、选择题（每小题的四个选项中，只有一项正确，每小题3分，共30分）
1．若+＝，则y的值为（　　）
A．8 B．15 C．3 D．2
【分析】根据二次根式的加减法计算即可．
解：因为+＝，
所以＝﹣＝3﹣2＝，
所以y＝3．
故选：C．
2．方程x2+4x+6＝0的根是（　　）
A．x1＝，x2＝ B．x1＝6，x2＝ C．x1＝2，x2＝ D．x1＝x2＝﹣
【分析】先观察再确定方法解方程，本题采用公式法最简单．
解：∵a＝，b＝，c＝
∴x＝＝＝
∴x1＝x2＝﹣．故选D．
3．如图，△ABC中，P为边AB上一点，下列选项中的条件，不能说明△ACP与△ACB相似的是（　　）
A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB
C．AC2＝AP×AB D．AB×CP＝BC×AC
【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，做题即可．
解：A、当∠ACP＝∠B，∠A＝∠A时，△APC∽△ACB，故本选项不符合题意；
B、当∠APC＝∠ACB，∠A＝∠A时，△APC∽△ACB，故本选项不符合题意；
C、当AC2＝AP AB，即AC：AB＝AP：AC时，结合∠A＝∠A可以判定△APC∽△ACB，故本选项不符合题意；
D、当AB×CP＝AP×AC时，不能判断△APC和△ACB相似．
故选：D．
4．如果一元二次方程x2+（m+1）x+m＝0的两个根是互为相反数，那么有（　　）
A．m＝0 B．m＝﹣1
C．m＝1 D．以上结论都不对
【分析】根据根与系数的关系、相反数的定义可知x1+x2＝﹣（m+1）＝0，据此可以求得m的值．
解：设该一元二次方程的两个根分别是x1、x2，则根据题意知
x1+x2＝﹣（m+1）＝0，即m+1＝0，
解得，m＝﹣1；
故选：B．
5．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：4，那么CF：BF的值为（　　）
A．4：3 B．3：7 C．3：4 D．2：4
【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案．
解：∵DE∥BC，EF∥AB，AD：DB＝3：4，
∴，
∴，
故选：A．
6．某果园今年栽种果树300棵，现计划扩大种植面积，使今后两年的栽种量都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的总栽种量为2100棵．若这个百分数为x．则由题意可列方程为（　　）
A．300（1+x）2＝2100
B．300+300（1+x）2＝2100
C．300（1+x）+300（1+x）2＝2100
D．300+300（1+x）+300（1+x）2＝2100
【分析】首先表示出各年栽种果树棵数，进而得出方程即可．
解：设这个百分数为x，根据题意得出：
300+300（1+x）+300（1+x）2＝2100，
故选：D．
7．如图，在 ABCD中，E为BC的中点，AE、BD相交于点F，若△ABF的面积为6，则四边形CDFE的面积是（　　）
A．9 B．12 C．15 D．18
【分析】先由平行四边形的性质得出AD＝2BE，BE∥AD，进而得出△BEF∽△DAF，即可得出△ABF，△ABD，的面积，用面积的和差即可得出结论．
解：∵点E是平行四边形ABCD中BC边的中点，
∴AD＝BC＝2BE，BE∥AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴，
∴，
∵△ABF的面积为6，
∴S△ABF＝2S△BEF＝6，
∴S△BEF＝3，S△ADF＝4S△BEF＝12，
∴S△ABD＝S△ABF+S△ADF＝18，
∴S四边形DCEF＝S△BCD﹣S△BEF＝S△ABD﹣S△BEF＝18﹣3＝15；
故选：C．
8．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（　　）
A．11 B．10 C．9 D．7
【分析】利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH＝FG＝AD，EF＝GH＝BC，然后代入数据进行计算即可得解．
解：∵BD⊥CD，BD＝4，CD＝3，
∴BC＝＝＝5，
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴EH＝FG＝AD，EF＝GH＝BC，
∴四边形EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，
又∵AD＝6，
∴四边形EFGH的周长＝6+5＝11．
故选：A．
9．如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　）
A．k＜ B．k＜且k≠0
C．﹣≤k＜ D．﹣≤k＜且k≠0
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，则Δ＞0，以及二次根式有意义的条件，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围．
解：由题意知：2k+1≥0，k≠0，Δ＝2k+1﹣4k＞0，
∴≤k＜，且k≠0．
故选：D．
10．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝BC，CE＝AC，BE、AD相交于点F，连接DE，则下列结论：①∠AFE＝60°；②DE⊥AC；③CE2＝DF DA；④AF BE＝AE AC，正确的结论有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【分析】本题是开放题，对结论进行一一论证，从而得到答案．
①利用△ABD≌△BCE，再用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，即可证∠AFE＝60°；
②从CD上截取CM＝CE，连接EM，证△CEM是等边三角形，可证明DE⊥AC；
③△BDF∽△ADB，由相似比则可得到CE2＝DF DA；
④只要证明了△AFE∽△BAE，即可推断出AF BE＝AE AC．
解：∵△ABC是等边三角形
∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠BCA＝60°
∵BD＝BC，CE＝AC
∴BD＝EC
∴△ABD≌△BCE
∴∠BAD＝∠CBE，
∵∠ABE+∠EBD＝60°
∴∠ABE+∠CBE＝60°
∵∠AFE是△ABF的外角
∴∠AFE＝60°
∴①是对的；
如图，从CD上截取CM＝CE，连接EM，则△CEM是等边三角形
∴EM＝CM＝EC
∵EC＝CD
∴EM＝CM＝DM
∴∠CED＝90°
∴DE⊥AC，
∴②是对的；
由前面的推断知△BDF∽△ADB
∴BD：AD＝DF：DB
∴BD2＝DF DA
∴CE2＝DF DA
∴③是对的；
在△AFE和△BAE中，∠BAE＝∠AFE＝60°，∠AEB是公共角
∴△AFE∽△BAE
∴AF BE＝AE AC
∴④是正确的．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．已知＝＝，则＝　　．
【分析】设＝＝＝k，分别求出x、y、z的值，代入所求式子化简即可．
解：设＝＝＝k，
∴x＝2k，y＝3k，z＝4k，
∴＝＝＝，
故答案为．
12．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD⊥BC于D，CD＝2，BD的长度是 　6　．
【分析】根据直角三角形的性质得到AC＝2CD＝2，BC＝2AC＝4，计算即可．
解：∵∠BAC＝90°，∠B＝30°，
∴BC＝2AC，∠ACB＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD＝90°﹣60°＝30°，
∴AC＝2CD＝4，
∴BC＝8，
∴BD＝BC﹣CD＝8﹣2＝6，
故答案为：6．
13．已知2＜x＜5，化简+＝　3　．
【分析】先根据x的取值范围确定x﹣2，x﹣5的符号，再化简此二次根式即可．
解：∵2＜x＜5，
∴+＝x﹣2+5﹣x＝3．
故答案为：3
14．如图，在△ABC中，点E在BC上，且BE＝3EC．D是AC的中点，AE、BD交于点F，则的值为　　．
【分析】过E点作EH∥AC交BD于H，如图，根据平行线分线段成比例定理，由EH∥CD得到＝，由于AD＝CD，则＝，然后利用EH∥AD，根据平行线分线段成比例定理得的值．
解：过E点作EH∥AC交BD于H，如图，
∵EH∥CD，
∴＝，
∵BE＝3EC，
∴＝＝，
∵D是AC的中点，
∴AD＝CD，
∴＝，
∵EH∥AD，
∴＝＝．
故答案为．
15．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB＝　6　米．
【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似解答．
解：∵，
当王华在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即＝，
当王华在EH处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即＝＝，
∴＝，
∵CG＝EH＝1.5米，CD＝1米，CE＝3米，EF＝2米，
设AB＝x，BC＝y，
∴＝＝＝，即＝，即2（y+1）＝y+5，
解得：y＝3，
则＝，
解得，x＝6米．
即路灯A的高度AB＝6米．
三、解答题（共75分）
16．计算：
（1）9+7﹣5+3；
（2）6÷+（1﹣）2﹣×．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并即可．
解：（1）原式＝9+14﹣20+
＝4；
（2）原式＝24÷3+1﹣2+2﹣×3
＝8+1﹣2+2﹣6
＝5﹣2．
17．已知关于x的方程x2﹣4x+m＝0的一个根为2+．
（1）求m的值及方程的另一个根．
（2）设方程的两个根为x1，x2，求x12020x22021+x1的值．
【分析】（1）设方程的另一个根为a，则由根与系数的关系得：a+2+＝4，（2+）a＝m，求出即可．
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2＝4，x1 x2＝1，根据积的乘方把原式变形，代入计算即可．
解：设方程的另一个根为a，
则由根与系数的关系得：a+2+＝4，（2+）a＝m，
解得：a＝2﹣，m＝1，
即m＝1，方程的另一个根为2﹣．
（2）x1，x2是方程x2﹣4x+1＝0的两个根，
则x1+x2＝4，x1 x2＝1，
∴x12020x22021+x1＝（x1x2）2020x2+x1＝x2+x1＝4．
18．如图，E为 ABCD的边CD延长线上的一点，连结BE交AC于点O，交AD点F．
（1）求证：△AOB∽△COE；
（2）求证：BO2＝EO FO．
【分析】（1）由题意可直接得到结论；
（2）由相似三角形的性质可得，通过证明△AOF∽△COB，可得，可得结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△AOB∽△COE；
（2）∵△AOB∽△COE，
∴，
∵AD∥BC，
∴△AOF∽△COB．
∴，
∴，
即OB2＝OF OE．
19．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是　（2，﹣2）　；
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是　（1，0）　；
（3）△A2B2C2的面积是　10　平方单位．
【分析】（1）利用平移的性质得出平移后图象进而得出答案；
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置即可；
（3）利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积．
解：（1）如图所示：C1（2，﹣2）；
故答案为：（2，﹣2）；
（2）如图所示：C2（1，0）；
故答案为：（1，0）；
（3）∵A2C22＝20，B2C22＝20，A2B22＝40，
∴△A2B2C2是等腰直角三角形，
∴△A2B2C2的面积是：×20＝10平方单位．
故答案为：10．
20．阅读下面的例题，
范例：解方程x2﹣|x|﹣2＝0，
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）．
（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）．
∴原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2
请参照例题解方程x2﹣|x﹣1|﹣1＝0．
【分析】分为两种情况：（1）当x≥1时，原方程化为x2﹣x＝0，（2）当x＜1时，原方程化为x2+x﹣2＝0，求出方程的解即可．
解：x2﹣|x﹣1|﹣1＝0，
（1）当x≥1时，原方程化为x2﹣x＝0，解得：x1＝1，x2＝0（不合题意，舍去）．
（2）当x＜1时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）．
故原方程的根是x1＝1，x2＝﹣2．
21．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB AD，∠ADC＝90°，E为AB的中点．
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由；
（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．
【分析】（1）根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行求解；
（2）根据∠EAC＝∠ECA，∠DAC＝∠CAE，即可得出∠DAC＝∠ECA，进而得到CE∥AD；
（3）先根据∠FCE＝∠DAC，∠CEF＝∠ADF，判定△CEF∽△ADF，即可得出＝＝，进而得到＝．
解：（1）∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
又∵AC2＝AB AD，
∴AD：AC＝AC：AB，
∴△ADC∽△ACB；
（2）CE∥AD，
理由：∵△ADC∽△ACB，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°，
又∵E为AB的中点，
∴CE＝AB＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠DAC＝∠CAE，
∴∠DAC＝∠ECA，
∴CE∥AD；
（3）∵AD＝4，AB＝6，CE＝AB＝AE＝3，
∵CE∥AD，
∴∠FCE＝∠DAC，∠CEF＝∠ADF，
∴△CEF∽△ADF，
∴＝＝，
∴＝．
22．已知一元二次方程﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0．
（1）求证：方程有两个不等的实数根；
（2）若方程只有一个实数根小于1，求a的取值范围．
【分析】（1）先计算判别式的意义得到Δ＝（2a﹣2）2﹣4×（﹣1）（﹣a2+2a）＞0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）先利用求根公式解方程得x1＝a，x2＝a﹣2，再根据题意得到a﹣2＜1，从而得到m的范围．
解：（1）∵a＝﹣1，b＝2a﹣2，c＝﹣a2+2a，
∴Δ＝（2a﹣2）2﹣4×（﹣1）（﹣a2+2a）＝4＞0，
∴方程有两个不等的实数根；
（2）∵Δ＝（2a﹣2）2﹣4×（﹣1）（﹣a2+2a）＝4＞0，
∴x＝，
∴x1＝a，x2＝a﹣2，
∵方程只有一个实数根小于1，a﹣2＜a，
∴a﹣2＜1，且a≥1，
∴1≤a＜3．
23．如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，点P是AC边长一点（与点A、C不重合），过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以PQ为一边向下做正方形PQMN，设CP＝x，正方形PQMN与△ABC重叠部分的面积为S．
（1）直接写出PQ的长（用含x的代数式表示）
（2）如图②，当PN与AB相交时，设交点为D，直接写出PD的长（用含x的代数式表示）
（3）当点N在AB上时，直接写出x的值．
（4）求S与x的函数关系式．
【分析】（1）由PQ∥AB知△CPQ∽△CAB，即可得＝，即＝，据此可得答案；
（2）根据勾股定理求得BC＝6，作CF⊥AB于点F、交PQ于点E，可知PD＝EF，根据△ABC的面积求得CF＝＝，由△CPQ∽△CAB可得＝，求出CE后可得PD＝CF﹣CE＝﹣x；
（3）当点N在AB上时，PD＝PQ，即﹣x＝x，解之可得；
（4）当0＜x≤时S＝PQ2，当＜x＜8时，S＝PQ PD，据此可得．
解：（1）∵PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB，
∴＝，即＝，
则PQ＝x；
（2）∵AB＝10、AC＝8、∠C＝90°，
∴BC＝＝＝6，
如图，作CF⊥AB于点F，交PQ于点E，
则CE⊥PQ，CF＝＝＝，
∵四边形PQMN为正方形，
∴∠NPQ＝90°，
∴四边形PEFD为矩形，
∴PD＝EF，
由△CPQ∽△CAB可得＝，即＝，
解得：CE＝x，
则PD＝EF＝CF﹣CE＝﹣x；
（3）当点N在AB上时，PD＝PQ，即﹣x＝x，
解得：x＝；
（4）当0＜x≤时，S＝PQ2＝（x）2＝x2；
当＜x＜8时，S＝PQ PD＝x （﹣x）＝﹣x2+6x．