2021-2022学年华东师大版九年级上学期数学期末模拟卷三（Word版含答案）

九年级上册华东师大版数学期末模拟卷三
（共120分，时间：120分钟)
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．下列式子中，为最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．sin45°的值是（　　）
A． B． C． D．1
3．下列事件为必然事件的是（　　）
A．打开电视机，正在播放新闻
B．任意画一个三角形，其内角和是180°
C．买一张电影票，座位号是奇数号
D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（　　）
A．∠ACD＝∠B B．CD2＝AD BD
C．AC BC＝AB CD D．BC2＝AD AB
5．一元二次方程的两根分别为和，则为　　
A． B． C．2 D．
6．用配方法解一元二次方程，配方正确的是　　
A． B． C． D．
7．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC等于（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜，那么，小李获胜的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC、AB上一点，且AF＝BE，AE与DF交于点G，连接CG．若CG＝BC，则AF：FB的比为（　　）
A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4
10．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为　　
A．3 B．4 C．3或4 D．7
11．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，∠ACD＝∠B，若AD＝2BD，BC＝6，则线段CD的长为（　　）
A．2 B．3 C．2 D．5
12．小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（　　）
A．3.2米 B．3.9米 C．4.7米 D．5.4米
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．若二次根式有意义，则x的取值范围是　　．
14．一元二次方程的解为　　．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则cosA的值是　　．
16．若随机掷一枚均匀的骰子，骰子的6个面上分别刻有1，2，3，4，5，6点，则点数不小于3的概率是　　．
17．(2021·江苏连云港)已知方程有两个相等的实数根，则=____．
18．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为5，则C点坐标为　 　．
三、解答题（共66分）
19．箱子里有4瓶牛奶，其中有一瓶是过期的．现从这4瓶牛奶中不放回地任意抽取2瓶．
（1）请用树状图或列表法把上述所有等可能的结果表示出来；
（2）求抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率．
20．如图，点D在△ABC的边BC上，DC＝AC＝BD，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF．
（1）求证：△AEF∽△ABD．
（2）若△AEF的面积为1，求△ABC的面积．
21．（2020 南充）已知，是一元二次方程的两个实数根．
（1）求的取值范围．
（2）是否存在实数，使得等式成立？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．
22．如图，在A处的正东方向有一港口B．某巡逻艇从A处沿着北偏东60°方向巡逻，到达C处时接到命令，立刻在C处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶3小时到达港口B．求A，B间的距离．（1.73，1.41，结果保留一位小数）．
23．(2021·重庆)重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用(简称“堂食”小面)，也可购买搭配佐料的袋装生面(简称“生食”小面)．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．
(1)求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？
(2)该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份，为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加．求a的值．
24．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
25．（2020 营口）如图，在矩形中，，点是线段延长线上的一个动点，连接，过点作交射线于点．
（1）如图1，若，则与之间的数量关系是　　；
（2）如图2，若，试判断与之间的数量关系，写出结论并证明；（用含的式子表示）
（3）若，连接交于点，连接，当时，求的长．
答案：
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．下列式子中，为最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
解：A、原式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、原式＝2，不符合题意；
D、原式＝2，不符合题意；
故选：B．
2．sin45°的值是（　　）
A． B． C． D．1
解：sin45°．
故选：B．
3．下列事件为必然事件的是（　　）
A．打开电视机，正在播放新闻
B．任意画一个三角形，其内角和是180°
C．买一张电影票，座位号是奇数号
D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
解：∵A，C，D选项为不确定事件，即随机事件，故不符合题意．
∴一定发生的事件只有B，任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，符合题意．
故选：B．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（　　）
A．∠ACD＝∠B B．CD2＝AD BD
C．AC BC＝AB CD D．BC2＝AD AB
解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，A正确，不符合题意；
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴CD2＝AD BD，B正确，不符合题意；
由三角形的面积公式得， AC BC＝AB CD，∴AC BC＝AB CD，C正确，不符合题意；
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴BC2＝BD AB，D错误，符合题意；
故选：D．
5．一元二次方程的两根分别为和，则为　　
A． B． C．2 D．
解：根据题意得：，
故选：．
6．用配方法解一元二次方程，配方正确的是　　
A． B． C． D．
解：由原方程，得，，，
故选：．
7．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC等于（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，即，解得：BC＝6，
故选：B．
8．小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜，那么，小李获胜的概率为（　　）
A． B． C． D．
解：画树状图如图：
共有25个等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13个，
∴小李获胜的概率为；
故选：A．
9．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC、AB上一点，且AF＝BE，AE与DF交于点G，连接CG．若CG＝BC，则AF：FB的比为（　　）
A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4
解：作CH⊥DF于点H，如图所示．
在△ADF和△BAE中，
，∴△ADF≌△BAE（SAS）．∴∠ADF＝∠BAE，
又∠BAE+∠GAD＝90°，∴∠ADF+∠GAD＝90°，即∠AGD＝90°．
由题意可得∠ADG+∠CDG＝90°，∠HDC+∠CDG＝90°，．∴∠ADG＝∠HDC．
在△AGD和△DHC中，
，∴△AGD≌△DHC（AAS）．∴DH＝AG．
又CG＝BC，BC＝DC，∴CG＝DC．
由等腰三角形三线合一的性质可得GH＝DH，
∴AG＝DH＝GH．∴tan∠ADG＝．
又tan∠ADF＝＝，∴AF＝AB．
即F为AB中点，∴AF：FB＝1：1．故选：A．
10．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为　　
A．3 B．4 C．3或4 D．7
解：当3为腰长时，将代入，得：，解得：，
当时，原方程为，解得：，，
，，符合题意；
当3为底边长时，关于的方程有两个相等的实数根，
△，解得：，
当时，原方程为，解得：，
，，符合题意．
的值为3或4．
故选：．
11．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，∠ACD＝∠B，若AD＝2BD，BC＝6，则线段CD的长为（　　）
A．2 B．3 C．2 D．5
解：设AD＝2x，BD＝x，∴AB＝3x，
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，∴DE＝4，，
∵∠ACD＝∠B，∠ADE＝∠B，∴∠ADE＝∠ACD，
∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD，∴，
设AE＝2y，AC＝3y，∴，∴ADy，∴，∴CD＝2，
故选：C．
12．小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（　　）
A．3.2米 B．3.9米 C．4.7米 D．5.4米
解：过点O作OE⊥AC于点E，延长BD交OE于点F，
设DF＝x，
∵tan65°，∴OF＝xtan65°，∴BF＝3+x，
∵tan35°，∴OF＝（3+x）tan35°，∴2.1x＝0.7（3+x），∴x＝1.5，
∴OF＝1.5×2.1＝3.15，∴OE＝3.15+1.5＝4.65，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．若二次根式有意义，则x的取值范围是　x≥﹣4　．
解：x+4≥0，
∴x≥﹣4；
故答案为x≥﹣4；
14．一元二次方程的解为　，　．
解：
或
解得，．
故答案为：，．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则cosA的值是　　．
解：在Rt△ABC中，cosA，
故答案为：．
16．若随机掷一枚均匀的骰子，骰子的6个面上分别刻有1，2，3，4，5，6点，则点数不小于3的概率是　　．
解：随机掷一枚均匀的骰子有6种等可能结果，其中点数不小于3的有4种结果，所以点数不小于3的概率为，
故答案为：．
17．(2021·江苏连云港)已知方程有两个相等的实数根，则=____．
解：∵9有两个相等的实数根，∴△=0，∴9-4k=0，∴k=．
故答案为．
18．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为5，则C点坐标为　 　．
解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，
∴＝，∵BG＝5，∴AD＝BC＝，
∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，∴＝，∴＝，
解得：OA＝，∴OB＝+＝，∴C点坐标为：（，），
故答案为：（，）．
三、解答题（共66分）
19．箱子里有4瓶牛奶，其中有一瓶是过期的．现从这4瓶牛奶中不放回地任意抽取2瓶．
（1）请用树状图或列表法把上述所有等可能的结果表示出来；
（2）求抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率．
解：（1）设这四瓶牛奶分别记为A、B、C、D，其中过期牛奶为A，
画树状图如图所示，
由图可知，共有12种等可能结果；
（2）由树状图知，所抽取的12种等可能结果中，抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的有6种结果，
所以抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率为．
20．如图，点D在△ABC的边BC上，DC＝AC＝BD，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF．
（1）求证：△AEF∽△ABD．
（2）若△AEF的面积为1，求△ABC的面积．
（1）证明：∵DC＝AC，CF是∠ACB的平分线，∴AF＝DF，
∵点E是AB的中点，即AE＝BE，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD，
∴△AEF∽△ABD；
（2）∵△AEF∽△ABD，∴，
∵AE＝AB，S△AEF＝1，∴S△ABD＝4，
∵BD＝CD，∴S△ABC＝2S△ABD＝8
21．（2020 南充）已知，是一元二次方程的两个实数根．
（1）求的取值范围．
（2）是否存在实数，使得等式成立？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．
解：（1）一元二次方程有两个实数根，
△，解得：．
（2），是一元二次方程的两个实数根，
，．
，，，解得：，．
又，．存在这样的值，使得等式成立，值为．
22．如图，在A处的正东方向有一港口B．某巡逻艇从A处沿着北偏东60°方向巡逻，到达C处时接到命令，立刻在C处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶3小时到达港口B．求A，B间的距离．（1.73，1.41，结果保留一位小数）．
解：过点C作CD⊥AB，垂足为点D，则∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，如图所示．
在Rt△BCD中，sin∠BCD，cos∠BCD，
∴BD＝BC sin∠BCD＝20×342.3，CD＝BC cos∠BCD＝20×342.3；
在Rt△ACD中，tan∠ACD，
∴AD＝CD tan∠ACD＝42.373.2．
∴AB＝AD+BD＝73.2+42.3＝115.5．
∴A，B间的距离约为115.5海里．
23．(2021·重庆)重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用(简称“堂食”小面)，也可购买搭配佐料的袋装生面(简称“生食”小面)．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．
(1)求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？
(2)该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份，为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加．求a的值．
解：(1)设每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是x、y元，根据题意列方程组得，，解得，，
答：每份“堂食”小面价格是7元，“生食”小面的价格是5元．
(2)根据题意得，，
解得，(舍去)，，
答：a的值为8．
24．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
解：（1）①当△BPQ∽△BAC时，
∵，BP＝3t，QC＝2t，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴，
∴，
②当△BPQ∽△BCA时，
∵，
∴，
∴；
∴或时，△BPQ与△ABC相似；
（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，
则有PB＝3t，，，，
∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，
∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°，
∴△ACQ∽△CMP，
∴，
∴
解得：．
25．（2020 营口）如图，在矩形中，，点是线段延长线上的一个动点，连接，过点作交射线于点．
（1）如图1，若，则与之间的数量关系是　　；
（2）如图2，若，试判断与之间的数量关系，写出结论并证明；（用含的式子表示）
（3）若，连接交于点，连接，当时，求的长．
解：（1）．
，四边形矩形，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
；
故答案为：．
（2）．
证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
．
（3）解：①如图1，当点在线段上时，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
．
在中，，
，
，
，，
，
，
，
．
，
，
．
在中，，
，
②如图2，当点在线段的延长线上时，，
在中，，
．
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
．
综上所述，的长为或．