2021-2022学年苏科版九年级数学上册1.4用一元二次方程解决问题 同步练习（Word版含答案）

1.4用一元二次方程解决问题-同步练习
一、单选题
1．肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，依题意可列方程（ ）
A．1+x＝225 B．1+x2＝225
C．（1+x）2＝225 D．1+（1+x2 ）＝225
2．有一块长、宽的长方形纸片，要在它的四角截去四个全等的小正方形，拼成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为，为了有效利用材料，则截去的正方形的边长是（ ）
A． B． C． D．
3．为了美化环境，某市加大对绿化的投资，2020年用于绿化投资30万元，2021年计划用于绿化投资36万元，求这两年绿化投资的年平均增长率，设这两年绿化投资的年平均增长率为x，根据题意所列方程为（　　）
A．30x2＝36 B．30（1+x）＝36
C．30（1+x）2＝36 D．30（1+x）+30（1+x）2＝36
4．一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面26m处有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车，问刹车后汽车滑行到16m时约用了（　　）
A．1s B．1.2s C．2s D．4s
5．一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面26m处有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车，问刹车后汽车滑行到16m时约用了（　　）
A．1s B．1.2s C．2s D．4s
6．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图所示，设绳索AC的长为x尺，根据题意，可列方程为（　　）
A．x2﹣（x+3）2＝82 B．x2﹣（x﹣3）2＝82
C．（x+3）2﹣x2＝82 D．x2﹣（x﹣3）2＝8
7．某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为200m2的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长35m，另外三面用49m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的铁制小门．设试验田垂直于墙的一边AB的长为xm，则AB的长为（　　）
A．20m或5m B．25m或5m C．5m D．20m
8．如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则下列方程正确的是（　　）
A．（32﹣x）（20﹣x）＝540
B．32×20﹣20x﹣30x﹣x2＝540
C．32×20﹣20x﹣30x＝540
D．32×20﹣20x﹣30x+2x2＝540
二、填空题
9．一次会议上，每两个参加会议的人都互相握手一次，有人统计一共是握了66次手，则这次会议到会人数是_____人．
10．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为_____．
11．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝8cm，动点P，Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/S的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P、Q两点从出发开始到_____秒时，点P和点Q的距离是10cm．
12．国家实施“精准扶贫”政策以来，贫困地区经济快速发展，贫困人口大幅度减少．某地区2018年初有贫困人口4万人，通过社会各界的努力，2020年初贫困人口减少至1万人．则2018年初至2020年初该地区贫困人口的年平均下降率是　 　．
13．如图小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD土地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程　 　．
14．某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为200m2的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长35m，另外三面用49m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．设试验田垂直于墙的一边AB的长为xm，则所列方程为 　 　．
15．在研究：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半”时，小明发现：当已知矩形A的长和宽分别为6和1时，存在一个矩形B的周长和面积分别是矩形A周长和面积的一半，那么矩形B的长为　 　．
16．观察下列图形，第1个图形中一共有4个小圆圈，第2个图形中一共有10个小圆圈，第3个图形中一共有18个小圆圈，…，第_____个图形中一共有54个小圆圈……按此规律排列，则第n个图形中小圆圈的个数是___________．
三、解答题
17．两个数的和为8，积为9.75．求这两个数．
18．2020年我县加大玫瑰产业的宣传，平阴玫瑰香飘世界，某商店在2019年至2021年期间销售一种玫瑰礼盒．2019年，该商店用3500元购进了这种礼盒且全部售完；2021年，这种礼盒的进价比2019年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2019年相同数量的礼盒也全部售完．礼盒的售价均为60元/盒．
（1）2019年这种礼盒的进价是多少元/盒？
（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，求19﹣21年增长率是多少？
19．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式
（1）有一个三位数，它的个位数字比十位数字大3，十位数字比百位数字小2，三个数字的平方和的9倍比这个三位数小20，求这个三位数．
（2）如果一个直角三角形的两条直角边长之和为14cm，面积为24cm2，求它的两条直角边的长．
20．南京某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后天经过市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．专卖店销售这种特产若想要平均每天获利2240元，且销售尽可能大，则每千克特产应定价为多少元？
（1）解：方法1：设每千克特产应降价x元，由题意，得方程为　 　；
方法2：设每千克特产降低后定价为x元，由题意得方程为：　 　．
（2）请你选择一种方法，写出完整的解答过程．
21．参加一次商品交易会的两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？
22．某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若设每件衬衫降价x元，直接写出此时的销量为　 　．
（2）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
23．十一黄金周期间，海洋中学决定组织部分优秀老师去北京旅游，天马旅行社推出如下收费标准：
（1）学校规定，人均旅游费高于700元，但又想低于1000元，那么该校所派人数应在什么范围内；
（2）已知学校已付旅游费27000元，问该校安排了多少名老师去北京旅游？
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．C
【解析】解：设1人平均感染人，
依题意可列方程：．
故选：．
2．C
【解析】解：设截去的正方形的边长为xcm，则有底面长方形的长为cm，宽为cm，由题意得：
，
解得：（不符合题意，舍去），
故选C．
3．C
【解析】解：设这两年绿化投资的年平均增长率为x，
依题意得：30（1+x）2＝36．
故选：C．
4．A
【解析】解：设约用了x秒．
汽车每秒减少的速度为：20÷[25÷（20÷2）]=8，
∴16米时的平均速度为：[20+（20﹣8x）]÷2=20﹣4x．
∴（20﹣4x）×x=16，
解得：x1=1，x2=4，
∵20﹣8x＞0，
∴x=1，
故选：A．
5．A
【解析】解：设约用了x秒．
汽车每秒减少的速度为：20÷[25÷（20÷2）]=8，
∴16米时的平均速度为：[20+（20﹣8x）]÷2=20﹣4x．
∴（20﹣4x）×x=16，
解得：x1=1，x2=4，
∵20﹣8x＞0，
∴x=1，
故选：A．
6．解：设绳索AC的长为x尺，则木柱AB的长为（x﹣3）尺，
在Rt△ABC中，
由勾股定理得，AC2﹣AB2＝BC2，
x2﹣（x﹣3）2＝82，
故选：B．
7．解：设试验田垂直于墙的一边AB的长为xm，则BC边的长为（49+1﹣2x）m，
依题意得：x（49+1﹣2x）＝200，
整理得：x2﹣25x+100＝0，
解得：x1＝5，x2＝20．
当x＝5时，49+1﹣2x＝49+1﹣2×5＝40＞35，不合题意，舍去；
当x＝20时，49+1﹣2x＝49+1﹣2×20＝10＜35，符合题意．
故选：D．
8．解：设道路的宽为x，根据题意得（32﹣x）（20﹣x）＝540，
故选：A．
9．12．
【解析】设参加会议人数为x，
则x(x－1)＝66，
x2－x－132＝0，
(x－12)(x+11)＝0，
解得x1＝12，x2＝﹣11（舍）.
故答案为12.
10．x（x﹣1）=21
【解析】有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：
x（x﹣1）=21，
故答案为x（x﹣1）=21．
11．2或．
【解析】
设当P、Q两点从出发开始到t秒时，点P和点Q的距离是10cm，
如图，作PE⊥CD于E，
则PE=AD=8cm，
∵DE=AP=3t，CQ=2t，
∴EQ=CD－DE－CQ=，
由勾股定理得：(16－5t)2+62=102，
解得t1=2，t2=.
故答案为2或.
12．解：设2018年初至2020年初该地区贫困人口的年平均下降率为x，
依题意得：4（1﹣x）2＝1，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝1.5（不合题意，舍去）．
故答案为：50%．
13．解：由题意可得，
（30﹣2x）（20﹣x）＝78×6，
化简，得
x2﹣35x+66＝0，
故答案为：x2﹣35x+66＝0．
14．解：设当试验田垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（49+1﹣2x）m，
依题意得：x（49+1﹣2x）＝200，
故答案是：x（49+1﹣2x）＝200．
15．解：由已知可得，
矩形A的周长是（6+1）×2＝14，面积是6×1＝6，
则矩形B的周长是7，面积是3，
设矩形B的长为x，则宽为3.5﹣x，
则x（3.5﹣x）＝3，
解得，x1＝2，x2＝1.5，
当x＝2时，3.5﹣x＝1.5，此时长大于宽，符合实际；
当x＝1.5时，3.5﹣x＝2，此时长小于宽，不符合实际；
由上可得，矩形B的长为2，
故答案为：2．
16．6
【解析】观察题图得第1个图形有（个）小圆圈，
第2个图形有（个）小圆圈，
第3个图形有（个）小圆圈，…，
第n个图形有个小圆圈．
令，
解得，（舍去）．
故答案为：6；
17．这两个数是6.5和1.5
【解析】解：设其中一个数为，则另一个数为，
，
，
，
，
，
或，
解得，．
当时，，
当时，，
答：这两个数是6.5和1.5．
18．解：（1）设2019年这种礼盒的进价为x元/盒，则2021年这种礼盒的进价为（x﹣11）元/盒，
依题意得：＝，
解得：x＝35，
经检验，x＝35是原方程的解，且符合题意．
答：2019年这种礼盒的进价是35元/盒．
（2）2019年所获利润为（3500÷35）×（60﹣35）＝100×25＝2500（元）．
2021年所获利润为100×（60﹣24）＝3600（元）．
设该商店每年销售礼盒所获利润的年增长率为m，
依题意得：2500（1+m）2＝3600，
解得：m1＝0.2＝20%，m2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该商店每年销售礼盒所获利润的年增长率是20%．
19．解：（1）设十位数字为x，则个位数字为x+3，百位数字为x+2，
根据题意得：[100（x+2）+10x+（x+3）]﹣9[（x+3）2+x2+（x+2）2]＝20，
化简为9x2﹣7x﹣22＝0；
（2）设其中一条直角边的长为x，则另一条直角边为（14﹣x），根据题意得：x（14﹣x）＝24，
整理得：x2﹣14x+48＝0．
20．解：（1）方法1：设每千克特产应降价x元． 根据题意，得
（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240．
方法2：设每千克特产降价后定价为x元，由题意，得
（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240，
故答案为：（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240，（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240；
（2）方法1：设每千克特产应降价x元． 根据题意，得
（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240，
解得x1＝4，x2＝6．
要让顾客尽可能得到实惠，只能取x＝6，
60﹣6＝54元，
答：每千克特产应定价54元．
方法2：设每千克特产降价后定价为x元，由题意，得
（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240
解得x1＝54，x2＝56．
要让顾客尽可能得到实惠，只能取x＝54，
答：每千克特产应定价54元．
21．10．
【解析】设共有x家公司参加商品交易会，由题意得：，解得：，（舍去）．
答：共有10家公司参加商品交易会．
22．（1）20+2x；（2）每件衬衫应降价20元
【解析】（1）每件衬衫降价x元，则销售量为(20+2x)件，
故答案为：20+2x；
（2）根据题意得：
﹣2x2+60x+800=1200，
解之得x1=10，x2=20．
根据题意要尽快减少库存，所以应降价20元．
答：每件衬衫应降价20元．
23．（1）25＜x＜40，（2）该校安排了30名老师去北京旅游．
【解析】解：（1）设该校所派人数为x人，
∵人均旅游费低于1000元，
∴x＞25，
∵人均旅游费高于700元，
∴1000﹣20（x﹣25）＞700，
解得：x＜40，
即x的取值范围为：25＜x＜40，
答：该校所派人数应多于25人，少于40人，
（2）若该校所派人数为25人，
25×1000=25000＜27000，
∴安排的老师人数多于25人，
设该校所派人数为x人，
根据题意得：
x[1000﹣20（x﹣25）]=27000，
整理得：x2﹣75x+1350=0，
解得：x1=30，x2=45（舍去），
答：该校安排了30名老师去北京旅游．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页